耦合载荷冲击下圆柱壳的动态屈曲

圆柱壳体的应变势能密度为 U = K 2 1 － μ 2 + D（ 2 + 2 + 2 2 2 κx κθ μκ x κ θ + 2 （ 1 － μ） κ xθ ） + ε + ε θ + 2 με x ε θ + ε xθ 2 x 2 2 N x w 2 x 动能密度为 V = 1 u ρh 2 t
应用数学和力学， 第 35 卷 第 5 期 2014 年 5 月 15 日出版
Applied Mathematics and Mechanics No． 5 ， May． 15 ， 2014 Vol． 35 ，
文章编号： 1000-0887 （ 2014 ） 05-0510-13
ISSN 1000-0887 应用数学和力学编委会，
0 ≤ x ≤ c2 t ；
纵波作用区
x xθ
c2 t ≤ x ≤ c1 t ；
非扰动区
x xθ
c1 t ≤ x ≤ l．
2
Hamilton 体系
令 X = x / Ｒ ，W = w / Ｒ ，U = u / Ｒ ，V = v / Ｒ ，γ = 12 （ Ｒ / h） 2 ，L = l / r， T = c1 t / Ｒ ，N cr （ t） = N x （ t） Ｒ2 / D，T cr （ t） = N xθ （ t） Ｒ2 / D，
考虑壳体在冲击端 （ x = 0 ） 作用有轴向和扭转藕合冲击载荷 ： （ 0， t） = － NH（ t） ， {N N （ 0， t） = TH（ t） ，
x xθ
T 是常数， H（ t） 是时间的阶梯函数： 其中 N， H（ t） = ， {1 0， t ≥ 0， t ＜ 0．
1 /2 E / （ ρ（ 1 － μ2） ） ］ 轴向冲击载荷以波速 c1 = ［ 在圆柱壳内传播， 扭转冲击载荷以波速 c2 1 /2 =［ E / （ 2 （ 1 + μ） ρ） ］ 在圆柱壳内传播， 波速 c2 ＜ c1 ． 圆柱壳的内力由轴力和剪力组合而成 ．
2 X
γ 2
{ （ U + V + W）
X 2 2 X
－ 2 （ 1 － μ）
2 X X
[ U（ V + W）
X 2 2 X cr X
－
1 （ U + X V） 4
X X
2
]}+
（ 5）
{ （ W － φ） － 2 （ 1 － μ ） [ W W － （ W ） － V W + V W － N 1 （ V） ] } + （ W － φ） （ － W + V － φ） + T W W + （ W） ． 2 4
{
[
]}
{（ q
2 X 3
－ q4 ）
2
+ 2 （ 1 － μ）Biblioteka [q q + ( q
4 2 X 3 2
X 4
－
1 q 2 X 2
) ]} －
2
T cr q3 X q3 +
1 （ 1 + γ ） （ 1 － μ ） （ X q2 ） 4
－
N cr （ X W） 2 ． 2
（ 8）
收稿日期： 作者简 介： 2013-08-08 ； 修订日期： 2013-12-10 mail： majianqing2000 @ 163． 马 建 青 （ 1977 ―） ， 女，河 北 望 都 人，博 士 （ 通 讯 作 者． Ecom） ． 510
*
马
建
青
徐
新
生
511
1
基本问题
考虑承受轴向和扭转冲击载荷作用的圆柱壳 （ 如图 1 ） ， 半径为 Ｒ ， 厚度为 h， 长度为 l， 密度 Poisson（ 泊松） 比为 μ， r） ， v， w） ． 弹性模量为 E ， 选取柱坐标系（ x， θ， 对应的位移为（ u， 为 ρ， 内力和弯矩与曲率关系以及几何关系可以写成 ： N x = K （ ε x + με θ ） ， ε x = x u， N = K （ ε + με ） ， ε θ = θ v + w / r， x θ θ N xθ = K （ 1 － μ ） ε xθ / 2 ， ε xθ = θ u + x v ， 2 M x = D（ κ x + μκ θ ） ， κ x = － x w， M = D（ κ + μκ ） ， 2 2 x θ θ κ θ = － θ w + θ v / r ， M = D（ 1 － μ） κ ； κ xθ = － x θ w + x v / （ 2 r ） ， xθ xθ
2 2 2 x 2 θ x θ 2 xθ 2
－
N x w D 2 2 （ κ x + κ2 θ + 2 μκ x κ θ + 2 （ 1 － μ ） κ xθ ） － 2 2 x
( )
2
－
N xθ w w Ｒ dθdx． Ｒ x θ
}
（ 4）
Hamilton 作用量 J = Ldt， 由 Hamilton 变分原理 δ Ldt = 0 得到． 上式对 u 变分， 可以得到波动方程：
如果不考虑应力波的反射， 圆柱壳应分为 3 个区域：
{
0 ≤ x ≤ c2 t ， c2 t ≤ x ≤ c1 t ， c1 t ≤ x ≤ l ，
应力纵波和横波耦合作用区， 应力纵波作用区， 非扰动区．
在这 3 个区域， 应力分别为 耦合作用区
{N N {N N {N N
x xθ
= － N， = T， = － N， = 0， = 0， = 0，
δL δL p3 = = － （ 2 p4 = = φ － 2 X W － φ） + T cr X W ， X W． δ φ δW
（ 6）
方程（ 6 ） 可以改写为 2 p1 p2 q1 = － X q2 ，q2 = － q3 － μX q1 ，q3 = － q4 + q2 ，q4 = p4 + 2 X q3 ． （ 7 ） γ（ 1 － μ） γ 用原变量和对偶变量表示的 Hamilton 函数为 H（ q， p） = p T q － L（ q， p ） = p1 q1 + p2 q2 + p3 q3 + p4 q4 － L （ q ， p） = p1 q1 + p2 q2 + p3 q3 + p4 q4 － 2 （ 1 － μ） 1 2 γ （ X q1 + q2 + q3 ） 2 － 2 1 2 － X q1 （ q2 + q3 ） － （ q1 + X q2 ） 4
进行无量纲化． 将 θ 坐标模拟时间坐标， 即 （） =
·
（ ） ≡ θ （ ） ， （ ） ≡ X （ ） ． θ X
考虑在某一时刻圆柱壳的前屈曲问题 ， 因此可忽略惯性项． 引入 φ = － W + V， 则 Lagrange 函数可写为
马
建
青
2
徐
新
生
513
L（ U， V， W） = 1 2
2 cr 2 X X
定义 对偶变量
原变量 T q = { U， V， W， q2 ， q3 ， q4 } T ， φ } ≡ { q1 ， p = { p1 ， p2 ， p3 ， p 4 } T ≡ { N xθ ， Nθ ， Q， M}T
分别为
{
p1 =
δL γ（ 1 － μ） δL = （ U + X V） ，p2 = = γ（ V + W + μX U） ， 2 δU δV
［3 ］
用有限元方法分析了轴压与内外压的临界时间及屈曲模式 ． Azam
［4 ］
考虑脱
应用有限元方法分析了轴压脱层圆柱壳的屈曲以及外压圆柱壳的前屈曲和后屈 层接触影响， 曲问题． Diaconu 等 曲行为． 黄承义等
［5 ］
采用 Flügge 理论研究了在轴向和扭转载荷共同作用下层合圆柱壳的屈
［7 ］
∫
∫
512
2 2 u 2 u 2 － c1 2 = 0， t x
耦合载荷冲击下圆柱壳的动态屈曲
1 /2 E / （ ρ（ 1 － μ2） ） ］ ， 其中 c1 = ［ 为应力波纵波波速．
w 方向位移， 对 v 变分， 不考虑 u， 可以得到波动方程：
2 2 v 2 v － c 2 2 2 = 0， t x 2 2 ρ（ 1 + μ） ］ ， c2 为扭转应力波波速． 其中 c2 ≈ E /［
（ 1）
2 3 2 其中抗拉刚度 K = Eh / （ 1 － μ ） ， 抗弯刚度 D = Eh / （ 12 （ 1 － μ ） ） ， x ≡ / x ， θ ≡ / （ r θ ） ．
图1 Fig． 1
受耦合冲击的圆柱壳
Geometrical parameters of a cylindrical shell under coupled impact
中图分类号：
doi： 10． 3879 / j． issn． 1000-0887． 2014． 05． 005
引
言
薄壁结构的屈曲问题一直是结构工程师和结构力学家们所关注的课题 ， 圆柱壳作为工程
在耦合冲击载荷作用下的动态屈曲问题也是工程中的重要问题 ， 一直受到 中常用的基本构件， ［12 ］ 人们的关注． Bisagni 等 通过实验分析了薄壁碳纤维复合材料圆柱壳的前屈曲及后屈曲问 题， 对圆柱壳分别加载轴向载荷、 扭转载荷以及两种载荷耦合情形， 并且也对轴压和扭转载荷 共同作用下加筋圆柱壳的后屈曲进行了理论分析和实验研究 ， 给出了具有工程参考价值的实 验数据． Miyazaki