双曲线知识点总结及练习题

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双曲线知识点总结及练习题

、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹2a F1F2 （a为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

差的绝对值。

（2）2a v|F i F2|。

当|MF1|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两b。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上要注意两点：（1）距离之V二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在X轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：芯a(a> 0,（1）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。

a不一定大于边之差小于第三边当2a > IF1F2时，动点轨迹不存在。

a2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e> 1）时，这个动c 点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线b> 0)2 2 2 2(2)与双曲线冷占1共焦点的双曲线系方程是二2y1a2 b2八2 k b2 k2 2(3 )双曲线方程也可设为：—乂l(mn 0)m n三、双曲线的性质标准方程(焦点在x轴) 标准方程(焦点在y轴)双曲线第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2)的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

M MF1 MF2 2a 2a |证|y yF2F iF i第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。

定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e ( e 1 )叫做双曲线的离心率。

双曲线知识点总结及经典练习题

双曲线知识点总结及经典练习题圆锥曲线（三）------双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线•即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若|^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3•若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二・冈珂|，则动点轨迹不存在；5 •若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1•当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中/二F十沪.2•当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中r a—沖+护注意：1 •只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2•在双曲线的两种标准方程中，都有''-；3•双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质一 f y(1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

双曲线性质总结及经典例题

双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。

双曲线知识点与性质大全

双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。

双曲线知识点归纳总结例题分析

双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。

所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。

例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。

双曲线知识总结、练习和测试

双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1，F 2为两定点，P 为一动点，(1)若||PF 1|-|PF 2||=2a①0<2a<|F 1F 2|则动点P 的轨迹是②2a=|F 1F 2|则动点P 的轨迹是③2a=0则动点P 的轨迹是○42a>|F 1F 2|则动点P 的轨迹是 2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF 1|=|PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的一点)（1）焦点在y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点焦点对称轴实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF 1|=|PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：22(0)x y λλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x =±③离心率为2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x y a b+=的共轭双曲线是双曲线基础练习1. 双曲线2231x y -=的两条渐近线方程是___________________。

2. 双曲线2221(0)44x y k k +=>-的焦点坐标为__________________。

3. 如果双曲线的一个焦点为(0,3)F -，一条渐近线方程为x y 2=，则此这双曲线的方程是_____________________________。

双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。

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、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹（PFJ PF2|| 2a F1F2（a为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a v|F i F2|。

当|MF i|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF i|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F i所对应的一支；当2a=|F i F21时，轨迹是一直线上以F i、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a > |F i F2|时，动点轨迹不存在。

a22、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e>i）时，这个动c点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线。

b。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在x轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：%a(a> 0, b> 0)（i）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。

a不一定大于2 1共焦点的双曲线系方程是二 -a 2 k2 2 (2)与双曲线冷爲 a b2b^k1(3 )双曲线方程也可设为:2仝 1(mn 0) nx a sec x a cos椭圆为y b tan y b sin［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式2 2双曲线笃每 1 (a >0, b >0)上有一动点 M (x 0, y 0)a b左焦半径：r= | ex+a | 右焦半径：r= | ex-a |当M （x o ,y 。

双曲线专题

双曲线专题典型例题：1.设动点到的距离与它到点的距离的差等于，则点的轨迹方程是（）A.B. C.D. 2.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（）A.B. C. D. 3.已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（）A.B. C. D. 4. 已知双曲线离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A. B. C. D. 5.设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则的方程为M ()0,5-A ()0,5B 6M 116922=-y x 116922=-x y ()0116922<=-x y x ()0116922>=-x y x ()0,012222>>=-b a by a x F A OAF ∆O 112422=-y x 141222=-y x 1322=-y x 1322=-y x ()0,01:2222>>=-b a b y a x C 25⎪⎭⎫ ⎝⎛21,5C C 141622=-x y 1422=-x y 1422=-x y 1422=-y x ()0,012222>>=-b a b y a x 2636214822=-y x 181622=-y x 1121622=-y x 181222=-y x C ()2,21422=-x y C题组一：1.双曲线的焦距是（） A. B. C. D.与有关2.若方程表示双曲线，则的取值范围是（） A. B. C. D.3.椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（） A. B. C. D.4.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D. 题组二：焦点三角形1.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A. B. C. D.2.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）A.2B.4C.6D.83.已知双曲线的左、右焦点分别为，为右支上的一点，且，则的面积等于（）A.24B.36C.48D.9614122222=--+my m x 4228m 151022=-+-ky k x k ()10,5()5,∞-()+∞,10()()+∞∞-,105,U 14222=+a y x 1222=-y a x a 212-1或211或11=+1-+222my m x 12-<<-m 12->-<m m 或0<m 0>m 21,F F 2:22=-y x C P C 212PF PF ==∠21cos PF F 4153435421,F F 1:22=-y x C P C o 6021=∠PF F =⋅21PF PF 1169:22=-y x C 21,F F P C 212=F F PF 21ΔF PF4. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且，则的面积为。

双曲线专题复习(附答案)

双曲线专题考点1 双曲线的定义及标准方程题型1：运用双曲线的定义1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

2. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（）（A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(|||题型2 求双曲线的标准方程3.已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为k x -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.4.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=>C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围7.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为．[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53．(方法2) ac aPF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ，双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a(方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF=，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题9.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.5D.2[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e10.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x基础巩固训练1..已知双曲线的两个焦点为1(10,0)F -、2(10,0)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是（）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -=[解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A2..已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）(A).),21(+∞+(B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B3.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的（）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A 综合提高训练4. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程[解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n-=，即x y 43±=，．（2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||c AB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 5..已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为()3,0.（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:2=+l y kx 与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2∙>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得3,2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将2=+y kx 代入2213-=x y 得22(13)6290---=k x kx 由直线l 与双曲线交与不同的两点得()22221306236(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则 22629,1313-+==--A B A Bx y x y k k ，由2∙>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2(2)(2)(1)2()2+=+++=++++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x2222296237(1)222131331-+=+++=---k k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ② 由①+②得2113<<k 故的取值范围为33(1,),133⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭。

双曲线知识点与性质大全

双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤；（1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围；（3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值；（3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。

双曲线练习题带答案,知识点总结(基础版)

双曲线重难点复习一．知识点总结双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭圆的离心率，ce a=且1e >.e 越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e =渐近线方程为y x =±3.y y=0b ax x y x a b±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，线方程。

4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.122ta 5n2.PF F S b θ= 焦点三角形的面积22222222222222226.1010x y x y a b a b x y x y b a b aλλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.1.已知F 为双曲线C ：116922=-y x 的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5,0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 442．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的焦距为20x y +=垂直，则双曲线的方程为A. 2214x y -=B. 2214y x -= C. 22331205x y -= D. 22331520x y -= 【答案】A【解析】由题可知2c =，则c =．渐近线方程为12y x =，则12b a =．又222c a b =+可得，224,1a b ==．所以双曲线的方程为2214x y -=；故本题答案选A ．视频3．已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |=（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 12【答案】A【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ |,根据双曲线的定义，||PF 1|−|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH |=1.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.4.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为( ) A ．．4 D ．85.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为（A （B （C ）1或1-（D ）2或2- D6．已知双曲线x 2－23y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF的最小值为________．-27.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 答案 B解析由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B. 8与双曲线622=-y x的左支交于不同的两点，（）A ．()11-， C【答案】C试题分析：联立方程2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()2214100k x kx ---=…① 若直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根k 9．经过双曲线4−y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A ,B 两点，若 AB =4，则这样的直线的条数为（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】B【解析】由双曲线x 24−y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为2b 2a=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B.10．P 是双曲线C :x 2−y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ,F 2是双曲线C 的右焦点，则 PF 2 + PQ 的最小值为（） A.22B. 2C. 3 2D. 2+22【答案】C【解析】由题知|PF 2|−|PF 1|=2a =2 2，则|PF 2|+|PQ |=|PF 1|+|PQ |+2 2，由对称性，当F 1,P ,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ |最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O |=2知|F 1Q |= 2 则|PF 2|+|PQ |的最小值为3 2．故本题答案选C ．11．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的点，12,F F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12•0PF PF = ，若12F PF ∆的面积是9，则a b +的值等于（） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B【解析】双曲线的离心率是5344c b a a ==⇒=，120PF PF ⋅=1212,PF PF PFF ∴⊥∴ 的面积121219182S PF PF PF PF =⋅=∴⋅=，．在12PF F 中，由勾股定理可得222222*********||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，34b a ∴=∴=，，7a b ∴+=，故选 C ．12．若双曲线C :x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的一条渐近线被圆 x −2 2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（） A. 2 B. C. D. 2 33【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 a >0,b >0 的渐近线方程为bx ±ay =0，圆心 2,0 到渐近线距离为d = 2−12= 3，则点 2,0 到直线bx +ay =0的距离为d =22=2b c= 3，即4(c 2−a 2)c =3，整理可得c 2=4a 2，双曲线的离心率e = c 2a = 4=2．故选A ．13．右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率是（）C. 2D.【答案】A14．右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，且120AOB ∠= ，其中O 为原点，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 【答案】C 【解析】如下图：，（0a >，0b >），过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）B. ()1,2C.D. ()2,+∞ 【答案】D【解析】AB 是双曲线通径，即2222a a cbc a +<=-，2220c ac a -->，即，故选D ．16．设1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：222222221(0,0)x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（）A. 92B. 2C. 32D. 54【答案】B【解析】设12,m MF n MF ==，所以1122122{{ 2m n a m a am n a n a a+==+∴-==-，由1290F MF ∠= 得()()()()222222212121222c m n a a a a a a =+=++-=+，222222212121222222121122a a a a c a a c c c e e +∴=+∴==+=+，1234e e =∴= 17．已知双曲线C :x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)，F 1,F 2分别为其左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ,B 两点，若|AB |:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，则双曲线C 的离心率为（）A. 2B. 4C. 13D. 15 【答案】A 【解析】∵|AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，不妨令 AB =3， BF 2 =4，|AF 2|=5， ∵|AB |2+|BF 2|2=|AF 2|2 ，∴∠ABF 2=90∘又由双曲线的定义得：|BF 1|−|BF 2|=2a ，|AF 2|−|AF 1|=2a ∴|AF 1|+3−4=5−|AF 1|,∴|AF 1|=3 ，|BF 1|−|BF 2|=3+3−4=2a ,∴a =1在RtΔBF 1F 2 中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52,∴c = 13 所以双曲线的离心率e =c = 13 ，故选C.18．已知12,F F 是双曲线的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且则该双曲线的离心率为B. D. 2【答案】A则A. 19．已知F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过,F A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若3A B F A = ，则此双曲线的离心率为__________．【解析】F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，。

双曲线练习题带答案,知识点总结(提高版)

双曲线重难点复习一．知识点总结双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）的点的轨迹叫做双曲线. 集合语言表示为：{}12122,2P M MF MF a a F F =-=<.当双曲线焦点在x 轴上时当双曲线焦点在y 轴上时标准方程22221(0,0)x y a b a b -=>> 22221(0,0)y x a b a b -=>> 图形范围 x a ≤-，或x a ≥y a ≤-，或y a ≥对称轴 x 轴、y 轴x 轴、y 轴对称中心坐标原点(0,0)O 坐标原点(0,0)O 实轴虚轴实轴长2a ，虚轴长2b实轴长2a ，虚轴长2b顶点坐标 (,0)a ±(0,)a ±焦点坐标 (,0)c ±，其中222c a b =+(0,)c ±，其中222c a b =+渐近线0x y a b ±=，即x a b y ±= 0y x a b ±=，即x ba y ±= 通径 22b a 22b a离心率(c e a =其中1)e > (c e a=其中1)e > 1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭圆的离心率，ce a=且1e >. e 越大，双曲线的张口就越大.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率2e =渐近线方程为y x =±3.y y=0b ax x y x a b±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，线方程。

4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.122ta 5n2.PF F S b θ=焦点三角形的面积22222222222222226.1010x y x y a b a b x y x yb a b aλλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.221(2)45x y x -=≥ 2．已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2−y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH|=（）A. 1B. 2C. 4D. 12【答案】A【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ|,根据双曲线的定义，||PF 1|−|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH|=1.故选A. 点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.3．已知双曲线x 2－23y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ·2PF 的最小值为________．-24．经过双曲线x 24−y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A,B 两点，若|AB |=4，则这样的直线的条数为（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】B【解析】由双曲线x 24−y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为2b 2a=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B. 5．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则k 取值范围为（A．()11-， C【解析】试题分析：联立方程2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩得()2214100k x kx ---=…① 若直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负k 6l 是双曲线C 的一条渐近线， P 在l 上的射影为Q,F 2是双曲线C 的右焦点，则|PF 2|+|PQ |的最小值为（） A. √22 B. √ C. 3√ D. 2+√22【答案】C1.2222若动圆M 与圆C:(x +3)+y =9外切，且与圆C:(x -3)+y =1内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程【解析】由题知|PF 2|−|PF 1|=2a =2√2，则|PF 2|+|PQ|=|PF 1|+|PQ|+2√2，由对称性，当F 1,P,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ|最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O|=2知|F 1Q|=√2 则|PF 2|+|PQ|的最小值为3√2．故本题答案选C ．7．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的点， 12,F F 是其焦点，双曲线的离心率是54，且12•0PF PF =，若12F PF ∆的面积是9，则a b +的值等于（） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B【解析】双曲线的离心率是5344c b a a ==⇒= ， 120PF PF ⋅= 1212,PF PF PF F ∴⊥∴ 的面积121219182S PF PF PF PF =⋅=∴⋅=，．在12PF F 中，由勾股定理可得222222221212124||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，34b a ∴=∴=，，7a b ∴+=，故选 C ． 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1D.x 22－y 25＝1 答案 D解析设双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.9．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)离心率为√3，左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ,|F 2Q|=2，则双曲线方程为 A.B.C.D.【答案】B【解析】因为F 1PF 2的平分线为l ，故点F 1关于l 的对称点为Q 必在PF 2的延长线上，且|PQ|=|PF 1|，由于F 2Q =2，故|PQ|−|PF 2|=|QF 2|=2，即|PF 1|−|PF 2|=2，由双曲线的定义可得2a =2，则a =1，又e =ca =√3，故c =√3⇒b =√3−1=√2，应选答案B 。

双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值。

〔2〕2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比拟简单或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 〔准线2ca 〕的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程〔222a c b -=，其中|1F 2F |=2c 〕焦点在x 轴上：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕焦点在y 轴上：12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕〔1〕如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比拟x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上〔2〕与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 〔3〕双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝五、弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，那么弦长ab AB 22||=。

双曲线个人总结知识,知识点及练习题

例1、已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程例2、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．例3、(12分)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使AP →·PQ →＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例4、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．练习1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．22 C ．4D ．4 22．(2011山东高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1 3.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线x 24－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线P A 1，PO ，P A 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，18)C ．(0，14)D ．(0，12)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B|sin A －sin C |为( )A.32B.23C.54D.455．P 为双曲线x 29－y 216＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．2 27．方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则b 2＋13a 的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 5x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围．10．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．双曲线考纲：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．一、双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．1．与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a＜|F1F2|时，轨迹才是双曲线．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．二、双曲线的标准方程及其简单几何性质1、标准方程，2图形，3性质（范围、对称性、定点、渐近线、离心率、实虚轴、a、b、c间的关系）三、等轴双曲线等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝a2，其离心率为e＝，渐近线方程为考点1。