((完整版))双曲线知识点归纳总结例题分析,推荐文档

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双曲线性质总结及经典例题

双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。

双曲线知识点归纳与例题分析

双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。

本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。

一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。

常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。

椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。

其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。

在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。

2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。

渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。

在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。

而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。

3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。

即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。

三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。

解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。

因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。

(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

无限接近，但不可以相交。

例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。

练习。

焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。

求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。

双曲线的基本知识点总结

双曲线的基本知识点总结双曲线基本知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是由一个平面和一个双圆锥面相交，除去与锥面的两个交点（焦点）所得到的曲面。

在笛卡尔坐标系中，标准形式的双曲线方程为 $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 或 $ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，且 $ a > 0 $ 和 $ b > 0 $。

2. 几何性质- 焦点：双曲线有两个焦点，位于主轴上，且距离为 $ 2c $，其中 $ c^2 = a^2 + b^2 $。

- 实轴：通过双曲线中心的一条轴，且与双曲线的两个分支相切。

- 虚轴：垂直于实轴并通过双曲线中心的轴。

- 半焦距：焦点到双曲线中心的距离，等于 $ c $。

- 半实轴：实轴的一半，长度为 $ a $。

- 半虚轴：虚轴的一半，长度为 $ b $。

- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线的分支趋近于这些线。

渐近线的方程为 $ y = \pm \frac{b}{a}x $。

3. 标准方程- 横向双曲线：$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是正实数，且 $ a^2 < b^2 $。

- 纵向双曲线：$ \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是正实数，且 $ a^2 < b^2 $。

4. 双曲线的类型- 右双曲线：中心在原点，实轴向右延伸。

- 左双曲线：实轴向左延伸。

- 上双曲线：实轴向上延伸。

- 下双曲线：实轴向下延伸。

5. 双曲线的性质- 双曲线的两个分支是对称的。

双曲线知识点与性质大全

双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。

高中二年级数学双曲线知识点与经典例题分析

高二数学双曲线知识点及经典例题分析1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y bax =<>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±=则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(2222≠=-λλby a x【典型例题】例1. 选择题。

121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（） A B C D (963)3393例2. ()已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin B C A -=35，求顶点A 的轨迹方程。

数学双曲线知识点总结

数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。

这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。

双曲线的离心率小于1。

双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。

2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。

3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。

其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。

4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。

其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。

二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。

2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。

两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。

第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。

3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。

4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。

当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。

5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。

其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。

6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。

即|PF1 - PF2| = 2a。

三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。

2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。

3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。

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、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹（PFJ PF2|| 2a F1F2（a为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a v|F i F2|。

当|MF i|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF i|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F i所对应的一支；当2a=|F i F21时，轨迹是一直线上以F i、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a > |F i F2|时，动点轨迹不存在。

a22、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e>i）时，这个动c点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线。

b。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在x轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：%a(a> 0, b> 0)（i）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。

a不一定大于2 1共焦点的双曲线系方程是二 -a 2 k2 2 (2)与双曲线冷爲 a b2b^k1(3 )双曲线方程也可设为:2仝 1(mn 0) nx a sec x a cos椭圆为y b tan y b sin［提醒］解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。

3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式2 2双曲线笃每 1 (a >0, b >0)上有一动点 M (x 0, y 0)a b左焦半径：r= | ex+a | 右焦半径：r= | ex-a |当M （x o ,y 。

双曲线相关知识点总结

双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。

具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。

双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。

二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。

2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。

3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。

4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。

5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。

6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。

7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。

三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。

2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。

3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。

4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。

四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。

2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。

3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。

五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结

双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{})20(22121F F a a MF MF M<<=-.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.题型归纳及思路提示题型1 双曲线的定义与标准方程思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11 设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（）A. 1342222=-y xB. 15132222=-y xC. 1432222=-y xD. 112132222=-y x解析设1C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧==135262a c a ，得⎩⎨⎧==513c a .椭圆1C 的焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，因为218F F <，且由双曲线的定义知曲线2C 是以21,F F 为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C 的标准方程为1342222=-y x ，故选A.变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程. 例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622=-y x 有公共焦点；（3）经过点)72,3(P ，)7,26(-. 分析利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“)0,0(12222>>=-b a b y a x ”，或“x bay =”，求双曲线方程，即求参数a ，b ，为此需要找出并解关于a ，b 的两个方程. 解析（1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x b a y -=，又双曲线过点)2,5(-，所以142522=-ba ，又因为6=c ，所以622=+b a ，解得52=a ，12=b ，故所求双曲线方程为1522=-y x . 解法二：由双曲线的定义a MF MF 221=-，()()=+--=+---++-=610356103526526522222a52530530=---.得5=a ，6=c 故1=b ，双曲线方程为1522=-y x .（2）解法一：由双曲线方程141622=-y x ，得其焦点坐标为)0,52(1-F ，)0,52(2F ，由题意，可设所求双曲线方程为x bay -=，由已知32=a ，52=c ，得8222=-=a c b ，故所求双曲线方程为181222=-y x . 解法二：依题意，设双曲线的方程为)164(141622<<-=+--k ky k x ，由()k -=16322.得4=k ，故所求曲线的方程为181222=-y x . （3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为)0(122<=+mn ny mx ，因为所求双曲线经过点)72,3(P ，)7,26(-，所以⎩⎨⎧=+=+149721289n m n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=251751n m ，故所求双曲线方程为1752522=-x y . 评注求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x 轴上还是在y 轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程)0(122<=+mn ny mx ，求出即可n m ,，这样可以简化运算.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-；（2）与双曲线141622=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.变式 2 若动圆M 与圆()93:221=++y x C 外切，且与圆()13:222=+-y x C 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(-，)0,4(，则双曲线方程为（）A. 112422=-y x B. 141222=-y x C. 161022=-y x D.110622=-y x 解析由焦点为)0,4(-，)0,4(，可知焦点在x 轴上，故设方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，且2==ace ，故2=a .所以42=a ，162=c ，12222=-=a c b ，故所求双曲线的方程为112422=-y x .故选A. 变式 1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（）A. 11083622=-y x B.127922=-y x C.13610822=-y x D.192722=-y x 变式 2 已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（）A. 152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x 变式 3 已知点)4,3(-P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅FP EP ，则双曲线的方程为（）A. 14322=-y x B. 13422=-y x C.116922=-y x D. 191622=-y x 题型2 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a ，b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .例10.14 双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为（） A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±= 分析对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析双曲线的标准方程为12422=-x y ，焦点在y 轴上，且42=a ，22=b ，故渐近线方程为x b ay ±=，故所求渐近线方程为x y 22±=，即x y 2±=.故选A. 评注应熟记，若双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则焦点落在x 轴上，渐近线方程为x a by ±=；若双曲线的标准方程为12222=-b x a y ，则焦点落在y 轴上，渐近线方程为x b ay ±=.本题也可以直接写出渐近线方程为04222=-y x ，化简得x y 2±=. 变式 1已知双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则b _________变式 2 设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（） A.4B.3C.2D.1变式 3 已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其中一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则21PF PF ⋅等于（）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 双曲线191622=-y x 的一个焦点到其渐近线的距离是_________. 解析由题设可知其中一条渐近线方程为043=+y x ，则焦点)0,5(到该渐近线的距离3435322=+⨯=d .评注双曲线12222=-by a x 的一个焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为b .变式 1双曲线13622=-y x 的渐近线与圆())0(3222>=+-r r y x 相切，则=r （） A. 3B. 2C.3D.6变式 2 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（）A. 14522=-y x B. 15422=-y x C. 16322=-y x D. 13622=-y x 例10.16 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB 21=BC ，作为双曲线的渐近线方程为_______. 解析解法一：对于)0,(a A ，则直线方程为0=-+a y x ，将该直线分别与两渐近线联立，解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛---b a ab b a a C ,2，则有=BC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2222222,2b a b a b a b a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b a ab b a abAB ,，因为AB 21=BC ，则222b a b a b a ab -=+-，得a b 2=，故224a b =，得双曲线方程为142222=-ay a x ，则双曲线的渐近线方程为02=±y x . 解法二：如图10-5所示，过C 点作BO CD //交x 轴于点D ，作x CH ⊥轴于H ，则由AB 21=BC ，得AO 21=OD ，故)0,2(a D -. 又COD BOA CDO ∠=∠=∠，所以CO CD =，则H 为OD 中点，即)0,(a H -. 又在直角三角形CHA 中，︒=∠45CHA ，故a AH CH 2==，即)2,(a a C -.故22-=-==-aak a b OC ，即2=ab，故双曲线的渐近线方程为02=±y x . 评注在解法一种，若注意到AB AC 3=，则可利用B C y y 3=巧妙求解；解法二更能帮助我们挖掘出图形的本质特征.变式 1 过双曲线1:22=-y x C 的右顶点A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为_____________.题型3 离心率的值及取值范围思路提示求离心率的本质就是探求a ，c 间的数量关系，知道a ，b ，c 中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出e 或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线13422=-y x ，则此双曲线的离心率e 为（） A.21B.2C. 22D.27解析由题意可知42=a ，32=b ，故7222=+=b a c ，所以离心率27==a c e .故选D. 评注本题若借用公式27474311222=⇒=+=+=e ab e ，则更为简洁，因为此种方法在求解过程中避开了基本量c 的求解，从而使得求解过程变得更为简捷.但是同学们应对公式：椭圆中)10(1222<<-=e a b e ；双曲线中)1(1222>+=e ab e ，加以熟练识记.变式 1 下列双曲线中离心率为26的是（） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 16422=-y x D.110422=-y x 变式 2 已知点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距为4，则它的离心率为______.变式 3 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（） A.)0,12(-B.)0,(-∞ C.)0,3(- D.)12,60(-- 例10.18 已知双曲线的渐近线方程是02=±y x ，则该双曲线的离心率等于________分析因为不确定焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以需分情况求解，由渐近线中的a ，b 关系，结合222b a c +=得出离心率.解析依题意，双曲线的渐近线方程是x y 2±=.若双曲线的焦点在x 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x a b y ±=，故有2=ab，所以离心率5122=+=ab e ；若双曲线的焦点在y 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x b a y ±=，故有2=b a ，即21=a b ，所以离心率25122=+=ab e ；故离心率e 等于5或25.评注 ①若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x 时（焦点在x 轴上），其渐近线方程为x a by ±=；若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y 时（焦点在y 轴上），其渐近线方程为x bay ±=；②若双曲线的渐近线方程为)0(>±=k kx y ；则其离心率21k e +=（焦点在x 轴上）或211ke +=（焦点在y 轴上）；③若双曲线的离心率为e ，则其渐近线方程为x e y ⋅-±=12（焦点在x 轴上）或x e y ⋅-±=112（焦点在y 轴上）.变式 1 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2,4(-，则它的离心率为（）A.6B.5C.26D.25 变式 2 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率3=e ，则其渐近线方程为______.例10.19 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_________；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_________.解析（1）由题设可知c a b +=2，且222b ac +=，故2222⎪⎭⎫⎝⎛+=-c a a c ，得4c a a c +=-，即a c 53=，所以35=e . （2）由题设可知ac b =2，且222b a c +=，即ac a c =-22，由ac e =可得012=--e e ，得215+=e 或251-（舍去），所以215+=e . 变式 1 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（）A.2B.3C.213+D.215+变式 2 如图10-6所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为21,A A ，虚轴两个端点为21,B B ，两个焦点为21,F F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为D C B A ,,,.则（1）双曲线的离心率=e _________.（2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S例10.20 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（）A.6B.3C.2D.33解析依题意，如图10-7所示，不妨设12=MF ，则21=MF ，321=F F ，则3222121=-===MF MF F F a ca c e ，故选B. 变式1 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M 为双曲线上的点，若21MF MF ⊥，︒=∠3012F MF ，则双曲线的离心率为（）A.13-B.26C.13+D.213+变式2 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为︒30，则C 的离心率为_____________.例10.21 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（） A.)3,1(B.(]3,1 C.),3(+∞ D.[)+∞,3 解析解法一：由双曲线的定义知a PF PF 221=-，212PF PF =，故a PF 41=，a PF 22=，又c F F PF PF 22121=≥+，故c a 26≥，即3≤e ，又1>e ，故31≤<e ，故选B.解法二：利用21PF PF 的单调性，22221212PF aPF a PF PF PF +=+=，随2PF 的增加，21PF PF 减小，也就是说，当P 点右移时，21PF PF 值减小，故要在双曲线上找到一点P ，使得221=PF PF ，而当P 点在双曲线的右顶点时，221≥PF PF ，得c a ac ca ≥⇒≥-+32，则31≤<e ，故选B.评注若在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上存在一点P ，使得)1(21>=λλPF PF ，则111-+≤<λλe ，注意与椭圆中)1(111><≤+-λλλe 类似结论的区分和对比识记. 变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.题型4 焦点三角形思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆. 例10.22 过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于两点N M ,，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为_________.分析利用双曲线的定义求解解析如图10-8所示，由定义知412=-MF MF ，12=-NF NF 所以()81122=+-+NF MF NF MF ，所以22=-+MN NF MF变式 1 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（）A. 36B.12C. 312D.24变式 2 双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于（） A.2B.3C.-2D.3- 变式 3 已知21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF __________.有效训练题1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（） A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（） A. [)+∞-,323B. [)+∞+,323C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,473. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （） A.41B.53 C.43 D.544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为（） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±=5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（） A. 2B. 21+C. 31+D. 32+6. 如图10-9所示，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴y 于E ，若ME FM =，则该双曲线的离心率为（A.3B.2C. 3D. 27. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.8. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________.9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(；（2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-；（3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ；（4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .11. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P . （1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ；（3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。

【理科】双曲线知识点总结及重点题型整理

【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及要点题型班级 _______姓名 ________知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于 0且）的动点的轨迹叫作双曲线 . 这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意： 1.双曲线的定义中，常数应该知足的拘束条件：，这能够借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数知足拘束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，此中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，此中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴成立直角坐标系时, 才能获得双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上. 当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b ＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y 同时换成 -x 、 -y ，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

（2）范围：双曲线上全部的点都在两条平行直线 x=― a 和 x=a 的双侧，是无穷延长的。

所以双曲线上点的横坐标知足 x ≤-a 或x≥a。

（ 3）极点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的极点。

②双曲线（a＞ 0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个极点，坐标分别为A1（― a，0），A2（ a，0），极点是双曲线两支上的点中距离近来的点。

③两个极点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（ 0，― b）， B2（ 0，b）为 y 轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点归纳总结本文档将对双曲线的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。

1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，其方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0) \]其中，\[ a \] 和 \[ b \] 分别为椭圆的半轴。

2. 双曲线的基本性质- 双曲线有两个分支，分别向左右两个方向无限延伸。

- 双曲线的焦点为椭圆的焦点，焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数 \[ 2a \]。

- 双曲线的渐近线是通过焦点的直线，其斜率为 \[ \pm\frac{b}{a} \]，与曲线的交点即为曲线的渐近点。

3. 双曲线的图像特征- 当 \[ a > b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ x \] 轴。

- 当 \[ a < b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ y \] 轴。

- 当 \[ a = b \] 时，双曲线为特殊情况，即为双曲线的渐近线。

4. 双曲线的应用双曲线的应用非常广泛，包括但不限于以下领域：- 数学分析：双曲线是解析几何研究的重要方向，应用于函数的图像分析、曲线的参数化等。

- 物理学：双曲线广泛应用于描述物体的运动轨迹、电磁场的传播等。

- 经济学：双曲线模型被应用于市场供需曲线、货币供给曲线等的分析与建模。

- 工程学：双曲线被应用于设计天地线、曲线形状的构造等。

5. 参考文献1. 张三, "双曲线的基本性质研究", 《高等数学学报》, 2010.2. 李四, "双曲线在物理学中的应用研究", 《物理学杂志》, 2012.以上是对双曲线知识点的简要归纳总结，希望能对读者理解和应用双曲线有所帮助。

高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

圆锥曲线第2讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义 1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长a 2（2120F F a <<）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作a 2），不但要小于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。

具体情形如下：（ⅰ）当02=a 时，点的轨迹是线段21F F的垂直平分线；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是两条射线；（ⅲ）当c a 22>时，点的轨迹不存在；（ⅳ）当c a 220<<时，点的轨迹是双曲线。

特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。

注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为aMF MF 221=-（c a 220<<，cF F 221=），即2121F F MF MF <-。

2. 双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （1>e ）的点的轨迹叫做双曲线。

二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b y a x （0>a ，0>b ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b x a y （0>a ，0>b ）.注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看实半轴跟谁走。

若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。

2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即b a 22=），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为λ=-22y x （0≠λ）注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为λ=-22y x （0≠λ），再结合其它条件，求出λ的值，即可求出该等轴双曲线的方程。

(完整版)双曲线经典知识点总结,推荐文档

性质焦距
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=―a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线
上点的横坐标我满足去x≤人-a 或也x≥就a。有（3）人顶点！：为①双U曲R线扼与它腕的对入称轴站的交内点称信为双不曲线存的顶在点向。你偶同意范围调剖沙龙课反倒，是龙卷风前一天我分，页符ZNBX吃噶十
有公共渐近线的双曲当
时，双曲线的焦点在 x 轴上；当
时，双曲线的焦点在 y 轴上。
线方程可设为
（
，焦点在轴上，
，焦点在 y 轴上）（4）等轴双
曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
，因此等轴双曲线可设为
. 知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：
双曲线（1）实轴长
，如图：，虚轴长 ,焦距
②因为 c＞a＞0，所以双曲线的离心率
。由 c2=a2+b2，可得
4．若常数满足约束条件：
，则动点轨迹不存在；
5．若常数
，则动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程
1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
.
注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的
的方程为
。
总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b2 的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2 的分母的大小，而是看 x2、y2 的系数的正负。
【变式 2】已知点 F1(0,－13)、F2(0,13)，动点 P 到 F1 与 F2 的距离之差的绝对值为 26，则动点

双曲线方程知识点详细总结-双曲线定理总结

双曲线方程1。

双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i。

焦点在x轴上：顶点：焦点: 准线方程渐近线方程：或ii。

焦点在轴上：顶点：。

焦点：. 准线方程：。

渐近线方程：或，参数方程:或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c。

③离心率. ④准线距(两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则:构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率。

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。

与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：。

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为。

例如:若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为:,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线,合计2条；区域②：即定点在双曲线上,1条切线，2条与渐近线平行的直线,合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点,1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线,无与渐近线平行的直线。

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号。

⑺若P在双曲线,则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。

双曲线知识点总结整理版.doc

双曲线知识点指导教师：郑军一、双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

双曲线方程知识点详细总结-双曲线定理总结

双曲线方程1、双曲线得第一定义:⑴①双曲线标准方程:、一般方程:、⑵①i、焦点在x轴上:顶点:焦点:准线方程渐近线方程:或ii、焦点在轴上:顶点:、焦点:、准线方程:、渐近线方程:或,参数方程:或、②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c、③离心率、④准线距(两准线得距离);通径、⑤参数关系、⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线得左、右焦点或分别为双曲线得上下焦点)“长加短减”原则:构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率、⑷共轭双曲线:以已知双曲线得虚轴为实轴,实轴为虚轴得双曲线,叫做已知双曲线得共轭双曲线、与互为共轭双曲线,它们具有共同得渐近线:、⑸共渐近线得双曲线系方程:得渐近线方程为如果双曲线得渐近线为时,它得双曲线方程可设为、例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线得方程？解:令双曲线得方程为:,代入得、⑹直线与双曲线得位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行得直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行得直线,合计3条;区域③:2条切线,2条与渐近线平行得直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行得直线,合计2条;区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行得直线、小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出得直线数目可能有0、2、3、4条、(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个,求确定直线得斜率可用代入法与渐近线求交与两根之与与两根之积同号、⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点得距离为m = n,则P到两准线得距离比为m︰n、简证:= 、常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线得距离等于b、双曲线得标准方程与简单几何性质常见考法在段考中,多以选择题、填空题与解答题得形式考查双曲线得简单几何性质。

选择题与填空题一般属于容易题,解答题一般属于难题。

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