(完整word版)双曲线知识点总结
(完整word版)双曲线讲义
圆锥曲线第二讲 双曲线一 双曲线的定义平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线.（2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支.例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线.例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形：（16=；（26=练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.二 双曲线的标准方程（1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22221(0,0)x y a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确（2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -，M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22221(0,0)y x a b a b-=>>其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确例1 若方程22123x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______.(3,2)(3,)-+∞U例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在y 轴上的双曲线.例3 方程221cos 2010sin 2010x y ︒︒-=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线.练习1 若方程2221523x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1三 双曲线的定义及其标准方程的应用例1 若12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16例2 在ABC V 中，,,a b c 为其三边边长，点B ，C 的坐标分别为(1,0)B -，(1,0)C ，则满足1sin sin sin 2C B A -=的顶点A 的轨迹方程为______.224141()32x y x -=>例 3 已知(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过,M N 与圆C 相切的两直线相交于P ，则点P 的轨迹方程为________.221(1)8y x x -=>例4 已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____.9练习1在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC V 的顶点(6,0),(6,0)A C -，若顶点B在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin A C B -=______.56练习2若点P 是以(A B 为焦点，实轴长为2210x y +=的一个交点，则PB PA +的值为______.例3 已知2225:(2)4A x y ++=e ，221:(2)4B x y -+=e ，动圆P 与A e ，B e 都外切，则动圆P 圆心的轨迹方程为_____.221(0)3y x x -=>练习4 已知双曲线的方程2214y x -=，点A 的坐标为(0)，B 是圆2x +2(1y =上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为1四 双曲线的简单几何性质注：（1）标准方程中参数,,a b c ，其中c 最大，,a b 大小关系不确定.（2）我们把ce a=称为双曲线的离心率且1e >.22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a=±.（3）如果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.（求离心率的范围）（4）122PF PF c +≥,122PF PF c -<.（求离心率范围）（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率e =（6）共轭双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共轭双曲线.三 双曲线的定义练习（5.3）已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=，与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（）D .A 实轴长相等 .B 虚轴长相等 .C 焦距相等 .D 离心率相等 四 双曲线标准方程的求解（先定位后定量）例1（调研）设双曲线与椭圆2212736x y +=有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为4)，则此双曲线的标准方程是______.22145y x -=例2 （调研）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为________.22131********y x -= 练习1（简单）设椭圆1C 的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线2C 上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为_______.221169x y -= 例2（5.3）已知双曲线:C 22221x y a b -=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为_______.221205x y -= 五 双曲的简单几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点，两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.例 1（简单）设双曲线22221x y a b-=，的虚轴长为2，焦距为近线的方程为_______.y x =例2（练透）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为_____.12y x =±.练习1（调研）设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，1234PF PF =，则12PF F V 的面积等于_____.24例2（简单）若直线1y kx =+与双曲线221916y x -=的一条渐近线垂直，则实数k=____.43±六 双曲线的离心率 离心率的取值问题例1（练透）12,F F 是双曲线:C 22221x y a b-=的左右焦点，过1F 的直线l 与C 的左右两支分别交于,A B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为例2（练透）过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF 的垂直平分线，则双曲线的离心率为____.练习1（练透）设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上的一点，若126PF PF a +=，且12PF F V 的最小内角为30︒，则C 的离心率为练习2（练透） 设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12,F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ︒∠=，则该双曲线的离心率为________.3练习3（练透）设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +=u u u r u u u u r u u u u rg ，O为坐标原点，且12PF =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为1离心率的范围问题双曲线的离心率范围问题主要考查两点：（1）利用三角形的三边关系得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.（2）若果12,F F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的任意一点，则121cos 1F PF -≤∠<.通过余弦定理得到关于,a c 的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.例1 （调研）已知双曲线2222:1(0,0)A x y C a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为_____.53. 例2（调研）已知(1,2),(1,2)A B -，动点P 满足AP BP ⊥u u u r u u u r ，若双曲线22221x y a b-=的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是____.12e <<练习1（5.3）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是_____.(1,3]练习2（练透）点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率取值范围是_______.4(1,]3练习3（练透）已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE V 是锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为______.(1,2) 七 双曲线的综合问题例1 （练透）设双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为____.11。
高中双曲线知识点
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5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ，0)直线y=x-
1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
2 3
，则此
双曲线的方程是( D )
(A) x2 y2 1
34
(C) x2 y2 1
52
(B) x2 y2 1
43
(D) x2 y2 1
52
能力·思维·方法
1. 求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双
课前热身
1．如果方程 x2 y2 1表示双曲线，则实数m的取值
m -1 2-m
范围是( D )
(A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
2．若椭圆
x2 a2
by22
1ab0的离心率为32，则双曲线
x2 a2
y2 b2
1的离心率是(
Ｂ)
(A) 5
(B) 5
(C) 3
返回 4. 已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e＞1+√2，左、右焦点
分别为F1，F2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到
一点P，使得|PF1|是P到l 的距离d与|PF2|的等比中项?
【解题回顾】1＜e≤1+√2是双曲线x2/a2-y2/b2=1 ，左支上存在
P 点 ， 使 |PF1|2=|PF2|·d 成 立 的 充 要 条 件 ， 例 如 双 曲 线 x2/20y2/25=1的离心率e=3/2＜1+√2，则这样的P
延伸·拓展
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5.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0，b点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 3
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结一．双曲线的定义及其性质1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程标准方程：12222=-by a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系数为负，则焦点在y 轴上)共焦点双曲线的方程： 12222=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12222=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-2222by a x（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;②e=a c =2222221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c或e=ac =a c22=aR R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=ab 2④若点P （x 0,y 0)在双曲线12222=-by a x 上，则过点P 与双曲线相切的直线方程为12020=-byy a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;mn=θcos 122-b ),[2+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2tan 2θb .证明如下：①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)⇒mn=θcos 122-b②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=2tan 2sin 22cos2sin2cos 1sin 2212222θθθθθθb b b ==-三．双曲线的中点弦（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结一、双曲线的定义和性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一类曲线，其定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（横轴为实轴）或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（纵轴为实轴）。
其中，a和b分别为横轴和纵轴半轴的长度。
（2）双曲线的对称性双曲线关于x轴、y轴、原点对称。
（3）渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
（4）焦点和直焦距双曲线的焦点定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
焦点之间的距离称为直焦距。
（5）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
双曲线与它的渐近线有如下关系：a）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$时，它的渐近线是x=±a，当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=-1$时，它的渐近线是y=±b;b）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}<1$时，它的渐近线是y=ax或x=ay;c）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}>0$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}>0$时，它的渐近线是没有。
（６）四条特殊的双曲线内离心双曲线，外离心双曲线，右开弧双曲线，左开弧双曲线。
二、双曲线的图像与方程1. 双曲线的图像（1）当$a>b$时，双曲线的图像为两支开口朝左右的曲线，焦点在横轴上。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（ ）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。
(完整版)(完整word)高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版),推荐文档
0 ， b 0 ），过其焦点 F ( ,0) 且垂 2c
2
A(c, b )
A 在 x 轴的上方） ，则
a
，
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2
B( c, b ) a ，于是该双曲线的通径长为
b2
b2
b2
AB
( )2
a
a
a
.
四、关于双曲线的标准方程，需要注意的几个问题
（1）关于双曲线的标准方程， 最基本的两个问题是： 其一， 当题目已指明曲线的位置特征，
高中数学讲义之解析几何
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圆锥曲线第 2 讲 双曲线
【知识要点】
一、双曲线的定义
1. 双曲线的第一定义：
平面内到两个定点 F1 、
F 的距离之差的绝对值等于定长
2
2a（ 0 2a
FF
1 2 ）的点的轨迹
叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注 1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作
a 、 b 的值。特别
需要注意的是：若题目中已经指明双曲线的焦点在
x 轴或 y 轴上，则以 a 、 b 为未知参数的
方程组只有一个解， 即 a 、b 只有一个值； 若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上， 则以 a 、
b 为未知参数的方程组应有两个解，即 a 、 b 应有两个值。
（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为
2
b
（8）焦准距： c
；
e
（9）离心率：
c 且 e 1 . e 越小，双曲线的开口越小； a
பைடு நூலகம்
e 越大，双曲线的开口越大；
y
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足到两个定点的距离之差等于一个常数的性质。
具体来说，设F1(-c,0)和F2(c,0)是平面上的两个定点，c是正实数，点P(x,y)在双曲线上当且仅当PF1-PF2=2a(a>0)。
双曲线分为左右两支，由F1和F2确定的两支双曲线分别称为向左开口和向右开口的双曲线，分别称为左双曲线和右双曲线。
二、双曲线的基本性质1. 定义域和值域：双曲线的定义域是实数集R，值域是实数集R。
2. 对称性：关于坐标轴和原点对称。
3. 渐近线：y=±a/x(斜渐近线)。
4. 渐近线性质：双曲线与其渐近线的交点趋于无穷，且渐近线是双曲线的渐近线。
5. 单调性：双曲线在x轴的两侧都是单调递增或单调递减。
6. 拐点：双曲线的两支在原点都有拐点，拐点的坐标为(0,±a)。
7. 渐近线与曲线的位置关系：当a为正数时，双曲线的两支位于渐近线的两侧；当a为负数时，双曲线的两支位于渐近线的同一侧。
三、双曲线的方程1. 标准方程：双曲线的标准方程分别为x^2/a^2-y^2/b^2=1(右双曲线)和y^2/b^2-x^2/a^2=1（左双曲线），其中a和b分别为双曲线两支离心率的绝对值。
2. 中心点、顶点和焦点：双曲线的中心点为坐标原点，顶点为(±a,0)，焦点为(±c,0)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e=c/a。
4. 参数方程：双曲线的参数方程分别为x=acosh(t)，y=bsinh(t)（右双曲线）和x=asinh(t)，y=bcosh(t)（左双曲线），其中t为参数。
四、双曲线的图像1. 双曲线的图像具有对称性，关于x轴和y轴对称，同时关于原点对称。
2. 双曲线与其渐近线之间的位置关系决定了双曲线的图像形状。
3. 当a和b的取值变化时，双曲线的形状也随之变化。
五、双曲线的应用1. 物理学中，双曲线常用于描述波的传播和衰减，尤其是在光学和声学中有着广泛的应用。
(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结
四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。
● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
双曲线12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a>0,b>0）的区别和联系（二）双曲线的简单性质1．范围： 由标准方程12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。
x 的取值范围________ ,y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比a ca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c a ce 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c a x l 22:=； 6．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0=±b ya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线方程知识点详细总结-双曲线定理总结
双曲线方程1、双曲线得第一定义:⑴①双曲线标准方程:、一般方程:、⑵①i、焦点在x轴上:顶点:焦点:准线方程渐近线方程:或ii、焦点在轴上:顶点:、焦点:、准线方程:、渐近线方程:或,参数方程:或、②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c、③离心率、④准线距(两准线得距离);通径、⑤参数关系、⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线得左、右焦点或分别为双曲线得上下焦点)“长加短减”原则:构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率、⑷共轭双曲线:以已知双曲线得虚轴为实轴,实轴为虚轴得双曲线,叫做已知双曲线得共轭双曲线、与互为共轭双曲线,它们具有共同得渐近线:、⑸共渐近线得双曲线系方程:得渐近线方程为如果双曲线得渐近线为时,它得双曲线方程可设为、例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线得方程？解:令双曲线得方程为:,代入得、⑹直线与双曲线得位置关系:区域①:无切线,2条与渐近线平行得直线,合计2条;区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行得直线,合计3条;区域③:2条切线,2条与渐近线平行得直线,合计4条;区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行得直线,合计2条;区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行得直线、小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出得直线数目可能有0、2、3、4条、(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个,求确定直线得斜率可用代入法与渐近线求交与两根之与与两根之积同号、⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点得距离为m = n,则P到两准线得距离比为m︰n、简证:= 、常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线得距离等于b、双曲线得标准方程与简单几何性质常见考法在段考中,多以选择题、填空题与解答题得形式考查双曲线得简单几何性质。
选择题与填空题一般属于容易题,解答题一般属于难题。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结本文档将对双曲线的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。
1. 双曲线的定义双曲线是二次曲线的一种，其方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > 0, b > 0) \]其中，\[ a \] 和 \[ b \] 分别为椭圆的半轴。
2. 双曲线的基本性质- 双曲线有两个分支，分别向左右两个方向无限延伸。
- 双曲线的焦点为椭圆的焦点，焦点到曲线上任意一点的距离之差等于常数 \[ 2a \]。
- 双曲线的渐近线是通过焦点的直线，其斜率为 \[ \pm\frac{b}{a} \]，与曲线的交点即为曲线的渐近点。
3. 双曲线的图像特征- 当 \[ a > b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ x \] 轴。
- 当 \[ a < b \] 时，双曲线的主轴平行于 \[ y \] 轴。
- 当 \[ a = b \] 时，双曲线为特殊情况，即为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的应用双曲线的应用非常广泛，包括但不限于以下领域：- 数学分析：双曲线是解析几何研究的重要方向，应用于函数的图像分析、曲线的参数化等。
- 物理学：双曲线广泛应用于描述物体的运动轨迹、电磁场的传播等。
- 经济学：双曲线模型被应用于市场供需曲线、货币供给曲线等的分析与建模。
- 工程学：双曲线被应用于设计天地线、曲线形状的构造等。
5. 参考文献1. 张三, "双曲线的基本性质研究", 《高等数学学报》, 2010.2. 李四, "双曲线在物理学中的应用研究", 《物理学杂志》, 2012.以上是对双曲线知识点的简要归纳总结，希望能对读者理解和应用双曲线有所帮助。
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结双曲线作为数学中的重要曲线之一，具有广泛的应用领域。
本文将对双曲线的基本概念、性质以及相关公式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用双曲线。
一、双曲线的基本概念和标准方程在数学中，双曲线是由于两个焦点的特殊点之间的距离差等于一常数而定义的曲线。
其标准方程为：(x² / a²) - (y² / b²) = 1 (1)其中，a和b分别为双曲线的半轴长度。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴、y轴以及原点具有对称性。
2. 渐近线：双曲线的渐近线分为两类，即斜渐近线和水平/垂直渐近线。
斜渐近线的斜率为±(b / a)，水平渐近线为y = ±(b / a)，垂直渐近线为x = ±(a / b)。
3. 离心率：双曲线的离心率为e = √(1 + (b² / a²))。
4. 焦点和准线：双曲线有两个焦点和两条准线，焦点到双曲线上任意一点的距离差等于双曲线的半焦距。
5. 直径和短轴：双曲线的直径为两个焦点之间的距离，短轴为双曲线的两个半焦距之和。
除了标准双曲线外，双曲线还有一些常见的变形形式，如：1. 椭圆形式：当双曲线的焦点在y轴上，准线在x轴上时，其方程可表示为：(y² / b²) - (x² / a²) = 1 (2)2. 倾斜形式：当双曲线的焦点不在x轴或y轴上时，其方程可表示为：(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 (3)其中，(h, k)为双曲线中心的坐标。
四、双曲线的重要公式在应用中，我们常常需要根据已知条件求解双曲线的相关参数。
以下是一些重要的计算公式：1. 长轴长度：2a = |焦点之间的距离|2. 短轴长度：2b = |2半焦距之和|3. 离心率：e = √(1 + (b² / a²))4. 焦点坐标：(±ae, 0)5. 垂直渐近线方程：x = ±(a / e)6. 水平渐近线方程：y = ±(b / e)双曲线在数学中具有广泛的应用，尤其在科学、工程和实际问题的建模和分析中发挥着重要作用。
双曲线知识点总结整理版.doc
双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线知识点总结1. 定义双曲线是二次曲线的一种，它是所有与两个固定点（焦点）距离之差为常数的点的集合。
这两个固定点称为双曲线的焦点。
2. 标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别对应于水平和垂直方向的开口。
- 水平开口：\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)- 垂直开口：\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)其中，\(a\) 是实轴半长，\(b\) 是虚轴半长。
3. 性质- 实轴：双曲线上最长的轴，两端分别指向两个焦点。
- 虚轴：与实轴垂直的轴，两端是双曲线的顶点。
- 焦点：双曲线上两个特定的点，所有曲线上的点到这两个点的距离之差为常数。
- 焦距：两个焦点之间的距离，用 \(2c\) 表示，其中 \(c^2 = a^2+ b^2\)。
- 顶点：双曲线与虚轴的交点，坐标为 \((±a, 0)\)（水平开口）或\((0, ±b)\)（垂直开口）。
- 渐近线：双曲线的两条直线，它们不与双曲线相交，但双曲线会无限接近这些线。
渐近线的方程为 \(y = ±\frac{b}{a}x\)（水平开口）或 \(x = ±\frac{a}{b}y\)（垂直开口）。
4. 应用双曲线在许多领域都有应用，包括：- 物理学：在描述某些行星轨道和电磁波的传播时使用。
- 工程学：在设计某些类型的天线和雷达系统中使用。
- 几何学：在研究对称性和变换中经常出现。
5. 图形特征- 双曲线是开放的曲线，没有封闭的区域。
- 它有两个分支，每个分支都无限延伸。
- 双曲线的图形是对称的，关于实轴和虚轴对称。
6. 变换双曲线可以通过平移和旋转进行几何变换。
例如，通过改变标准方程中的常数项，可以平移双曲线；通过组合平移和旋转，可以得到任意位置和方向的双曲线。
7. 双曲线的参数- 离心率 \(e\)：表示双曲线相对于其焦点的扩展程度，计算公式为\(e = \frac{c}{a}\)。
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双曲线知识点
知识点一：双曲线的定义:
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）
的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：
1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F
1、F
2
为端点的
两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F
1F
2
的垂直平分线。
标准方程图形
性质焦点，，
焦距
范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴长 实轴长=，虚轴长=
离心率 渐近线方程
1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长a
b 2
2
2.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率
,两条渐近线互相垂直为
,等轴双曲线可设为
3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，
焦点在轴上，
，焦点在y 轴上）
4.焦点三角形的面积2
cot
2
21θ
b S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆
双曲线
根据|MF 1|+|MF 2|=2a
根据|MF 1|－|MF 2|=±2a
a ＞c ＞0， a 2－c 2=
b 2（b ＞0）
0＜a ＜c ， c 2－a 2=b 2（b ＞0）
，
（a ＞b ＞0）
，
（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）。