双曲线知识点归纳总结例题分析
高二数学双曲线知识点及经典例题分析
9.已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，
则双曲线的方程为
（A） （B） （C） （D）
10．已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
11．已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程为．
12．已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（A） （B） （C） （D）
3．已知双曲线 ： 的离心率 ，且其右焦点 ，则双曲线 的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．已知 ， 为双曲线 的左，右顶点，点 在 上，△ 为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
3.已知双曲线C的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。
（1）求双曲线C的方程；
（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 ，求 面积的取值范围
双曲线专题练习题
1．下列双曲线中，渐近线方程为 的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．已知双曲线 （ ， ）的一个焦点为 ，且双曲线的渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（ ）
双曲线知识点总结及经典练习题
双曲线知识点总结及经典练习题圆锥曲线（三）------双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线•即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若|^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3•若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二・冈珂|，则动点轨迹不存在；5 •若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1•当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中/二F十沪.2•当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中r a—沖+护注意：1 •只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2•在双曲线的两种标准方程中，都有''-；3•双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质一 f y(1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线知识点总结例题
双曲线知识点总结例题1.双曲线的定义双曲线知识点总结例题双曲线知识点总结例题数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1,F2分别为双曲线的左右两焦点,P为椭圆上的一点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1,F2分别为双曲线的下上两焦点,P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清是指整条双曲线,还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切,与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切,求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值是（）A. B. C. D.【例3】已知双曲线与点M（5,3）,F为右焦点,若双曲线上有一点P,使最小,则P 点的坐标为考点2、求双曲线的方程 求双曲线标准方程的方法1．定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a 、b 、c 即可求得方程． 2．待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线a2x2－b2y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；②若双曲线的渐近线方程是y ＝±a bx ,则双曲线的方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；③与双曲线a2x2－b2y2＝1共焦点的方程可表示为a2－k x2－b2＋k y2＝1(－b 2＜k ＜a 2)； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m x2＋n y2＝1(mn ＜0)；⑤与椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λx2＋b2－λy2＝1(b 2＜λ＜a 2)．例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线9x2－16y2＝1有共同的渐近线,且过点(－3,2)；(2)与双曲线16x2－4y2＝1有公共焦点,且过点(3,2)．1.在双曲线的标准方程中,若x 2的系数是正的,那么焦点在x 轴上；如果y 2的系数是正的,那么焦点在y 轴上,且对于双曲线,a 不一定大于b .2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,可设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0),以避免分类讨论．考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切,解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量,如a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系,充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程例5、(12分)双曲线C ：a2x2－b2y2＝1(a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ,x 轴上有一点Q (2a,0),若C 上存在一点P ,使→AP ·→PQ＝0,求此双曲线离心率的取值范围．例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2,P 为双曲线上一点,且|PF 1|＝3|PF 2|,则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．【例7】直线过双曲线的右焦点,斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >B.1<e <C.1<e <D.e >【例8】设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为（ ）A ．B ．C.D ．【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形,是事前不曾想到的吧？可是,这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力,这正是命题人的高明之处.渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线,渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交,这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多,所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1,3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中,令即为其渐近线.根据这一点,可以简洁地设待求双曲线为,而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易,所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为,证明：=1.设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例11】双曲线的一弦中点为（2,1）,则此弦所在的直线方程为 （ ）A.B.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤,只要有可能,可以用虚设代替而不必真地去求它.但是,“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用,也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上,是否存在被点M （1,1）平分的弦？如果存在,求弦所在的直线方程；如不存在,请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法：练习1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 C ．4D ．42．(2011山东高考)已知双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )A.5x2－4y2＝1B.4x2－5y2＝1C.3x2－6y2＝1D.6x2－3y2＝13.(2012嘉兴测试)如图,P 是双曲线4x2－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点,A 1,A 2分别是左、右顶点,O 是坐标原点,直线PA 1,PO ,PA 2的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则斜率之积k1k 2k 3的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,81)C ．(0,41) D ．(0,21)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0),顶点B 在双曲线16x2－9y2＝1上,则|sin A －sin C|sin B为( )A.23B.32C.45D.545．P 为双曲线9x2－16y2＝1的右支上一点,M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点,则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 6．(2012南宁模拟)已知点F 1,F 2分别是双曲线的两个焦点,P 为该曲线上一点,若△PF 1F 2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为( )A.＋1B.＋1 C ．2D ．27．方程2－m x2＋|m|－3y2＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ,使得|OA |·|OB |＝15,其中O 为双曲线的中心,则AB 中点的轨迹方程是________．9．双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率是2,则3a b2＋1的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0),一条渐近线的方程是 x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程； (2)若以k (k≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N ,且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k 的取值范围．11．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0),右顶点为(,0)． (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线：y ＝kx ＋m (k≠0,m≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ,且线段MN 的垂直平分线过点A (0,－1),求实数m 的取值范围．12已知中心在原点,顶点A、A2在x轴上,离心率e=的双曲线过点P(6,6)(1)求双曲线方程(2)动1直线l经过△A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N,问是否存在直线l,使G平分线段MN,证明你的结论13．已知双曲线,问过点A（1,1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点,并且A为线段PQ的中点？若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
[理科]双曲线知识点总结与重点题型整理
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【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结与重点题型班级_______________知识点一：双曲线的定义在平面，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数〔大于0且〕的动点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边〞来理解；2. 假如去掉定义中的“绝对值〞，常数满足约束条件：〔〕，如此动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；假如〔〕，如此动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线〔a＞0，b ＞0〕的简单几何性质〔1〕对称性：对于双曲线标准方程〔a＞0，b＞0〕，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线〔a＞0，b＞0〕是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
〔2〕围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
〔3〕顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线〔a＞0，b＞0〕与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1〔―a，0〕，A2〔a，0〕，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1〔0，―b〕，B2〔0，b〕为y轴上的两个点，如此线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
双曲线知识总结、练习和测试
双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1，F 2为两定点，P 为一动点，(1)若||PF 1|-|PF 2||=2a①0<2a<|F 1F 2|则动点P 的轨迹是②2a=|F 1F 2|则动点P 的轨迹是③2a=0则动点P 的轨迹是○42a>|F 1F 2|则动点P 的轨迹是 2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|=|PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的一点)（1） 焦点在y 轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 实半轴的长 虚半轴的长 焦距 离心率e= 范围 e 越大双曲线的开口越 e 越小双曲线的开口越 准线 渐近线 焦半径公式|PF 1|=|PF 2|= (F 1，F 2分别为双曲线的下上两焦点，P 为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：22(0)x y λλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x =±③离心率为2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线 特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x y a b+=的共轭双曲线是双曲线基础练习1. 双曲线2231x y -=的两条渐近线方程是___________________。
2. 双曲线2221(0)44x y k k +=>-的焦点坐标为__________________。
3. 如果双曲线的一个焦点为(0,3)F -，一条渐近线方程为x y 2=，则此这双曲线的方程是_____________________________。
双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。
本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。
一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。
常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。
椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。
在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。
2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。
渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。
在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。
而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。
3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。
即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。
三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。
解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。
因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。
双曲线知识点及例题
双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。
二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。
焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。
2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。
3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。
4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。
5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。
四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。
双曲线知识点总结及练习题
双曲线知识点总结及练习题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝五、 弦长公式[提醒]解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。
双曲线及其性质知识点及题型归纳总结
双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{})20(22121F F a a MF MF M<<=-.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.题型归纳及思路提示题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11 设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A. 1342222=-y xB. 15132222=-y xC. 1432222=-y xD. 112132222=-y x解析 设1C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧==135262a c a ，得⎩⎨⎧==513c a .椭圆1C 的焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，因为218F F <，且由双曲线的定义知曲线2C 是以21,F F 为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C 的标准方程为1342222=-y x ，故选A.变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程. 例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622=-y x 有公共焦点； （3）经过点)72,3(P ，)7,26(-. 分析 利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“)0,0(12222>>=-b a b y a x ”，或“x bay =”，求双曲线方程，即求参数a ，b ，为此需要找出并解关于a ，b 的两个方程. 解析 （1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x b a y -=，又双曲线过点)2,5(-，所以142522=-ba ，又因为6=c ，所以622=+b a ，解得52=a ，12=b ，故所求双曲线方程为1522=-y x . 解法二：由双曲线的定义a MF MF 221=-，()()=+--=+---++-=610356103526526522222a52530530=---.得5=a ，6=c 故1=b ，双曲线方程为1522=-y x .（2）解法一：由双曲线方程141622=-y x ，得其焦点坐标为)0,52(1-F ，)0,52(2F ，由题意，可设所求双曲线方程为x bay -=，由已知32=a ，52=c ，得8222=-=a c b ，故所求双曲线方程为181222=-y x . 解法二：依题意，设双曲线的方程为)164(141622<<-=+--k ky k x ， 由()k -=16322.得4=k ，故所求曲线的方程为181222=-y x . （3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为)0(122<=+mn ny mx ，因为所求双曲线经过点)72,3(P ，)7,26(-，所以⎩⎨⎧=+=+149721289n m n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=251751n m ，故所求双曲线方程为1752522=-x y . 评注 求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x 轴上还是在y 轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程)0(122<=+mn ny mx ，求出即可n m ,，这样可以简化运算.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-； （2）与双曲线141622=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.变式 2 若动圆M 与圆()93:221=++y x C 外切，且与圆()13:222=+-y x C 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(-，)0,4(，则双曲线方程为（ ）A. 112422=-y x B. 141222=-y x C. 161022=-y x D.110622=-y x 解析 由焦点为)0,4(-，)0,4(，可知焦点在x 轴上，故设方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，且2==ace ，故2=a .所以42=a ，162=c ，12222=-=a c b ，故所求双曲线的方程为112422=-y x .故选A. 变式 1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 11083622=-y x B.127922=-y x C.13610822=-y x D.192722=-y x 变式 2 已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x 变式 3 已知点)4,3(-P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅FP EP ，则双曲线的方程为（ ）A. 14322=-y x B. 13422=-y x C.116922=-y x D. 191622=-y x 题型2 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a ，b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .例10.14 双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为（ ） A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±= 分析 对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析 双曲线的标准方程为12422=-x y ，焦点在y 轴上，且42=a ，22=b ，故渐近线方程为x b ay ±=，故所求渐近线方程为x y 22±=，即x y 2±=.故选A. 评注 应熟记，若双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则焦点落在x 轴上，渐近线方程为x a by ±=；若双曲线的标准方程为12222=-b x a y ，则焦点落在y 轴上，渐近线方程为x b ay ±=.本题也可以直接写出渐近线方程为04222=-y x ，化简得x y 2±=. 变式 1已知双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则b _________变式 2 设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.1变式 3 已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其中一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则21PF PF ⋅等于（ ）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 双曲线191622=-y x 的一个焦点到其渐近线的距离是_________. 解析 由题设可知其中一条渐近线方程为043=+y x ，则焦点)0,5(到该渐近线的距离3435322=+⨯=d .评注 双曲线12222=-by a x 的一个焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为b .变式 1双曲线13622=-y x 的渐近线与圆())0(3222>=+-r r y x 相切，则=r （ ） A. 3B. 2C.3D.6变式 2 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 14522=-y x B. 15422=-y x C. 16322=-y x D. 13622=-y x 例10.16 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB 21=BC ，作为双曲线的渐近线方程为_______. 解析 解法一：对于)0,(a A ，则直线方程为0=-+a y x ，将该直线分别与两渐近线联立，解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛---b a ab b a a C ,2，则有=BC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2222222,2b a b a b a b a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b a ab b a abAB ,，因为AB 21=BC ，则222b a b a b a ab -=+-，得a b 2=，故224a b =，得双曲线方程为142222=-ay a x ，则双曲线的渐近线方程为02=±y x . 解法二：如图10-5所示，过C 点作BO CD //交x 轴于点D ，作x CH ⊥轴于H ，则由AB 21=BC ，得AO 21=OD ，故)0,2(a D -. 又COD BOA CDO ∠=∠=∠，所以CO CD =，则H 为OD 中点，即)0,(a H -. 又在直角三角形CHA 中，︒=∠45CHA ，故a AH CH 2==，即)2,(a a C -.故22-=-==-aak a b OC ，即2=ab，故双曲线的渐近线方程为02=±y x . 评注 在解法一种，若注意到AB AC 3=，则可利用B C y y 3=巧妙求解；解法二更能帮助我们挖掘出图形的本质特征.变式 1 过双曲线1:22=-y x C 的右顶点A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为_____________.题型3 离心率的值及取值范围 思路提示求离心率的本质就是探求a ，c 间的数量关系，知道a ，b ，c 中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出e 或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线13422=-y x ，则此双曲线的离心率e 为（ ） A.21B.2C. 22D.27解析 由题意可知42=a ，32=b ，故7222=+=b a c ，所以离心率27==a c e .故选D. 评注 本题若借用公式27474311222=⇒=+=+=e ab e ，则更为简洁，因为此种方法在求解过程中避开了基本量c 的求解，从而使得求解过程变得更为简捷.但是同学们应对公式：椭圆中)10(1222<<-=e a b e ；双曲线中)1(1222>+=e ab e ，加以熟练识记.变式 1 下列双曲线中离心率为26的是（ ） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 16422=-y x D.110422=-y x 变式 2 已知点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距为4，则它的离心率为______.变式 3 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（ ） A.)0,12(-B.)0,(-∞ C.)0,3(- D.)12,60(-- 例10.18 已知双曲线的渐近线方程是02=±y x ，则该双曲线的离心率等于________分析 因为不确定焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以需分情况求解，由渐近线中的a ，b 关系，结合222b a c +=得出离心率.解析 依题意，双曲线的渐近线方程是x y 2±=.若双曲线的焦点在x 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x a b y ±=，故有2=ab，所以离心率5122=+=ab e ；若双曲线的焦点在y 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x b a y ±=，故有2=b a ，即21=a b ，所以离心率25122=+=ab e ；故离心率e 等于5或25.评注 ①若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x 时（焦点在x 轴上），其渐近线方程为x a by ±=；若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y 时（焦点在y 轴上），其渐近线方程为x bay ±=；②若双曲线的渐近线方程为)0(>±=k kx y ；则其离心率21k e +=（焦点在x 轴上）或211ke +=（焦点在y 轴上）；③若双曲线的离心率为e ，则其渐近线方程为x e y ⋅-±=12（焦点在x 轴上）或x e y ⋅-±=112（焦点在y 轴上）.变式 1 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2,4(-，则它的离心率为（ ）A.6B.5C.26D.25 变式 2 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率3=e ，则其渐近线方程为______.例10.19 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_________；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_________.解析 （1）由题设可知c a b +=2，且222b ac +=，故2222⎪⎭⎫⎝⎛+=-c a a c ，得4c a a c +=-，即a c 53=，所以35=e . （2）由题设可知ac b =2，且222b a c +=，即ac a c =-22，由ac e =可得012=--e e ，得215+=e 或251-（舍去），所以215+=e . 变式 1 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.213+D.215+变式 2 如图10-6所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为21,A A ，虚轴两个端点为21,B B ，两个焦点为21,F F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为D C B A ,,,.则（1）双曲线的离心率=e _________.（2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S例10.20 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.6B.3C.2D.33解析 依题意，如图10-7所示，不妨设12=MF ，则21=MF ，321=F F ，则3222121=-===MF MF F F a ca c e ，故选B. 变式1 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M 为双曲线上的点，若21MF MF ⊥，︒=∠3012F MF ，则双曲线的离心率为（ ）A.13-B.26C.13+D.213+变式2 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为︒30，则C 的离心率为_____________.例10.21 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.)3,1(B.(]3,1 C.),3(+∞ D.[)+∞,3 解析 解法一：由双曲线的定义知a PF PF 221=-，212PF PF =，故a PF 41=，a PF 22=，又c F F PF PF 22121=≥+，故c a 26≥，即3≤e ，又1>e ，故31≤<e ，故选B.解法二：利用21PF PF 的单调性，22221212PF aPF a PF PF PF +=+=，随2PF 的增加，21PF PF 减小，也就是说，当P 点右移时，21PF PF 值减小，故要在双曲线上找到一点P ，使得221=PF PF ，而当P 点在双曲线的右顶点时，221≥PF PF ，得c a ac ca ≥⇒≥-+32，则31≤<e ， 故选B.评注 若在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上存在一点P ，使得)1(21>=λλPF PF ，则111-+≤<λλe ，注意与椭圆中)1(111><≤+-λλλe 类似结论的区分和对比识记. 变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.题型4 焦点三角形 思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆. 例10.22 过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于两点N M ,，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为_________.分析 利用双曲线的定义求解解析 如图10-8所示，由定义知412=-MF MF ，12=-NF NF 所以()81122=+-+NF MF NF MF ，所以22=-+MN NF MF变式 1 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A. 36B.12C. 312D.24变式 2 双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于（ ） A.2B.3C.-2D.3- 变式 3 已知21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF __________.有效训练题1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（ ） A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（ ） A. [)+∞-,323B. [)+∞+,323C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,473. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （ ） A.41B.53 C.43 D.544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为（ ） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±=5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2B. 21+C. 31+D. 32+6. 如图10-9所示，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴y 于E ，若ME FM =，则该双曲线的离心率为（A.3B.2C. 3D. 27. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.8. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________.9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(； （2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-； （3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ； （4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .11. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P . （1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ； （3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|PF1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A. B. C. D.【例3】已知双曲线与点M（5，3），F为右焦点，若双曲线上有一点P，使最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程．2．待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)；②若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程可表示为－＝t(t≠0)；③与双曲线－＝1共焦点的方程可表示为－＝1(－b2＜k＜a2)；④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为＋＝1(mn＜0)；⑤与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为＋＝1(b2＜λ＜a2)．例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避免分类讨论．考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使·＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例6、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A.e>B.1<e<C.1<e<D.e>【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）A．B． C.D．【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）A. B. C. D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1．(2011安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．42．(2011山东高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝13.(2012嘉兴测试)如图，P是双曲线－y2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A1，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线P A1，PO，P A2的斜率分别为k1，k2，k3，则斜率之积k1k2k3的取值范围是()A．(0,1)B．(0，)C．(0，)D．(0，)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线－＝1上，则为()A.B.C.D.5．P为双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．96．(2012南宁模拟)已知点F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A.＋1B.＋1C．2D．27．方程＋＝1表示双曲线．那么m的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA|·|OB|＝15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是________．9．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(－3,0)，一条渐近线的方程是x－2y＝0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．11．(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
双曲线知识点总结例题
（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F 1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围 e越大双曲线的开口越 e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直③离心率为2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）A. B. C. D.【例3】已知双曲线与点M （5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使最小，则P 点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1．定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a 、b 、c 即可求得方程． 2．待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线a2x2－b2y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；②若双曲线的渐近线方程是y ＝±a bx ，则双曲线的方程可表示为a2x2－b2y2＝t (t ≠0)；③与双曲线a2x2－b2y2＝1共焦点的方程可表示为a2－k x2－b2＋k y2＝1(－b 2＜k ＜a 2)； ④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m x2＋n y2＝1(mn ＜0)；⑤与椭圆a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2－λx2＋b2－λy2＝1(b 2＜λ＜a 2)．例4、求下列条件下的双曲线的标准方程．(1)与双曲线9x2－16y2＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)； (2)与双曲线16x2－4y2＝1有公共焦点，且过点(3，2)．1.在双曲线的标准方程中，若x 2的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2的系数是正的，那么焦点在y 轴上，且对于双曲线，a 不一定大于b .2．若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，以避免分类讨论．考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a 、b 、c 、e 的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12分)双曲线C ：a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q (2a,0)，若C 上存在一点P ，使→AP ·→PQ ＝0，求此双曲线离心率的取值范围．例6、【活学活用】 3.(2012北京期末检测)若双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．【例7】直线过双曲线的右焦点，斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）A .e >B.1<e <C.1<e <D.e >【例8】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A ．B． C. D．【评注】解题中发现△PF1F2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线——双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线——虚、实易位的孪生弟兄将双曲线的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10】两共轭双曲线的离心率分别为，证明：=1.设而不求——与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例： 【例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A.B.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线上，是否存在被点M （1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：练习1．(2011安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 C ．4 D ．42．(2011山东高考)已知双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.5x2－4y2＝1B.4x2－5y2＝1C.3x2－6y2＝1D.6x2－3y2＝13.(2012嘉兴测试)如图，P 是双曲线4x2－y 2＝1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左、右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，81)C ．(0，41)D ．(0，21)4．(金榜预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线16x2－9y2＝1上，则|sin A －sin C|sin B为( )A.23B.32C.45D.545．P 为双曲线9x2－16y2＝1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．(2012南宁模拟)已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.＋1B.＋1 C ．2 D ．27．方程2－m x2＋|m|－3y2＝1表示双曲线．那么m 的取值范围是________．8．(2012大连测试)在双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线上分别取点A 和B ，使得|OA |·|OB |＝15，其中O 为双曲线的中心，则AB 中点的轨迹方程是________．9．双曲线a2x2－b2y2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，则3a b2＋1的最小值是________．10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(－3,0)，一条渐近线的方程是 x －2y ＝0.(1)求双曲线C 的方程；(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围．11．(文用)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．12已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论13．已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
【理科】双曲线知识点总结及重点题型整理
【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及要点题型班级 _______姓名 ________知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于 0且）的动点的轨迹叫作双曲线 . 这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意： 1.双曲线的定义中，常数应该知足的拘束条件：，这能够借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数知足拘束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，此中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，此中.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴成立直角坐标系时, 才能获得双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上. 当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b ＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y 同时换成 -x 、 -y ，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上全部的点都在两条平行直线 x=― a 和 x=a 的双侧，是无穷延长的。
所以双曲线上点的横坐标知足 x ≤-a 或x≥a。
（ 3）极点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的极点。
②双曲线（a＞ 0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个极点，坐标分别为A1（― a，0），A2（ a，0），极点是双曲线两支上的点中距离近来的点。
③两个极点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（ 0，― b）， B2（ 0，b）为 y 轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。
(完整版)双曲线知识点归纳总结例题分析
双曲线基本知识点直线和双曲线的位置双曲线12222=-byax与直线y kx b=+的位置关系：利用22221x ya by kx b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长2212121()4AB k x x x x=++-通径：21AB y y=-补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；（2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；（3）离心率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（ ） Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习二:双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程为 。
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值。
〔2〕2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比拟简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 〔准线2ca 〕的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的标准方程〔222a c b -=，其中|1F 2F |=2c 〕焦点在x 轴上：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕焦点在y 轴上：12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕〔1〕如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比拟x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上〔2〕与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 〔3〕双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，那么弦长ab AB 22||=。
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双曲线基本知识点直线和双曲线的位置双曲线12222=-byax与直线y kx b=+的位置关系：利用22221x ya by kx b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦AB的弦长2212121()4AB k x x x x=++-通径：21AB y y=-补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；（2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；（3）离心率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。
例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（ ） Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（ ）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习二:双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为 ．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程为 。
例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =1同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（ ）Ａ．22123x y -=Ｂ．22132x y -=Ｃ．2214x y -=Ｄ．2214y x -=例5、与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1同步练习五:以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为（ ） 例6、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是(A)12y x )D (1y 2x )C (116y 4x )B (14y 16x 22222222=-=-=-=-同步练习六:双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点是(0，3)，那么k 的值是例7、经过双曲线的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ，（1）求|AB|.（2）F 1是双曲线的左焦点，求△F 1AB 的周长．同步练习七过点（0，3）的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程。
高考真题分析1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵===2，∴的实轴长为4，故选C.2.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 2x y =(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
3.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
4x =222x y a -=4x =y ||AB a C a b 3=x y 3=【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。
4.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
5.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x 2- y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2,则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为___________________.【答案】【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
【解析】由双曲线的方程可知【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。
,2a b c ==∴=12||2,||PF x PF x ==12||||2PF PF x a -===12|||PF PF ==124F F=222222*********cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅2221(0)9x y a a -=>320,x y ±=a 3y x a=±2a=121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+=6.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为 ． 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得∴，解得。
课后作业1．双曲线14322=-y x 的实轴长和虑轴长分别是( )A. 32，4B.4，32C.3，4D. 2，32．双曲线12222=-by a x 的焦点到它的渐近线的距离等于( )A. 22b a b +B.bC. aD. 22b a a +3．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( ) A.23 B. 26 C. 23 D.2 4．双曲线的渐近方程是x y 21±=，焦点在坐标轴一，焦距为10，其方程为( )A. 152022=-y xB. 152022=-y x 或 152022=-x yC. 120522=-y xD. 152022±=-x y5．双曲线116922=-y x 的右准线与渐近线在第一象限的交点和右焦点连线的斜率是( )A.43-B.34- C. 53- D. 35-22214x y m m -=+a b c =c e a 244=0m m -+=2m6．双曲线1251622=-y x 的两条渐近线所成的角是( )A.54arctan 2B. 45arctan 2C. 54arctan 2-πD. 45arctan 2-π7．双曲线12222=-by a x 与其共轭双曲线有( )A.相同的焦点B. 相同的准线C. 相同的渐近线D. 相等的实轴长 8．已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则此双曲线的 （ ） A ．焦距为10 B ．实轴长与虚轴长分别为8与6 C ．离心率e 只能是45或35 D ．离心率e 不可能是45或359．等轴双曲线的一个焦点是F 1（4，0），则它的标准方程是 ，渐近线方程是 10．若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为_____________11．若双曲线1366422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离是8，则到它的右准线之间的距离为12．若双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，左焦点坐标为)0,26(-，则它的两条准线之间的距离为_______________13．写出满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）双曲线的两个焦点是椭圆16410022=+y x 的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦点：______________________（2）双曲线的渐近线方程为x y ±=，两顶点之间的距离为2:____________________ 14．双曲线的其中一条渐近线的斜率为72，求此双曲线的离心率___________15．已知双曲线)0(122>=-m my x 的右顶点为A ，而B 、C 是双曲线右支上的两点，如果ABC ∆是正三角形，则m 的取值范围是_____________________16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_____________________17．已知双曲线191622=-y x 上一点M 到左焦点F 1的距离是它到右焦点距离的5倍，则M 点的坐标为_________________18．已知直线l 过定点（0，1），与双曲线122=-y x 的左支交于不同的两点A 、B ，过线段AB 的中点M 与定点)0,2(-P 的直线交y 轴于),0(b Q ，求b 的取值范围.19．已知双曲线116822=-y x（1）过右焦点F 2作一条渐近线的垂线（垂中为A ），交另一渐近线于B 点，求证：线段AB 被双曲线的左准线平分；（2）过中心O 作直线分别交双曲线于C 、D 两点，且1CDF ∆)(1为左焦点F 的面积为20，求直线CD 的方程。