怎样学好圆锥曲线
高中数学选修1-1圆锥曲线考试技巧
高中数学选修1-1圆锥曲线考试技巧如下:
1.掌握圆锥曲线的定义和性质,理解各种曲线的几何特征和方程特点。
2.学会利用待定系数法、判别式法、参数法等求解圆锥曲线问题。
3.熟悉曲线的轨迹方程的求法,了解曲线的几何性质在解题中的应用。
4.掌握圆锥曲线中的一些重要结论,如切线长定理、弦长公式等。
5.注意数形结合思想在解题中的应用,能够根据题意画出符合条件的图形或根据图形得出结论。
6.熟悉圆锥曲线与其他知识点的综合问题,如与直线、圆、向量等知识的综合应用。
7.掌握一些常用的数学方法和技巧,如换元法、配方法、消元法等。
8.注意解题的规范性,保证步骤完整、答案准确。
以上技巧仅供参考,具体应用需要根据题目类型和要求进行灵活运用。
建议多做练习题,加深对知识点的理解和掌握,提高解题能力。
圆锥曲线的经验
学好圆锥曲线的关键1、牢记核心知识点核心的知识点是基础,好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在x轴,y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清,在做题时自然做不对。
2、计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些,计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程,然后得到判别式,两根之和,两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧,加快运算速度。
3、思维套路拿到圆锥曲线的题,很多同学说无从下手,从表面感觉很难。
老师建议:山重水复疑无路,没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题,都有共同的三部曲:一设二联立三韦达定理。
一设:设直线与圆锥曲线的两个交点,坐标分别为(x 1 ,y 1 ),( x 2 ,y 2 ),直线方程为y=kx+b。
二联立:通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理:得到二次方程后立马得出判别式,两根之和,两根之积。
走完三部曲之后,在看题目给出了什么条件,要求什么。
例如涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.总结起来:找值列等量关系,找范围列不等关系,通常结合判别式,基本不等式求解。
4、题型总结圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式,有△>0,直线与圆锥曲线相交;△=0,直线与圆锥曲线相切;△<0,直线与圆锥曲线相离.若且a=0,b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.注意:设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况,可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等,平行,垂直去寻找坐标间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合应用,体现数形结合的思想,达到简化计算的目的。
3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式:设直线l与圆锥曲线C相交于A(x 1 ,y 1 ),B( x 2 ,y 2 )两点,则:4、定点、定值问题(1)定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点,再证明结论,即可简化运算;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种:几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;(5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种:定义法,相关点法和参数法。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究高中数学中,圆锥曲线是一个重要的内容,包括抛物线、椭圆和双曲线。
学好圆锥曲线需要掌握一定的教学方法和解题技巧。
下面将探究一些教学方法和解题技巧。
教学方法方面,可以采用理论结合实例的方式进行教学。
学生可以先学习圆锥曲线的相关概念和性质,然后通过一些具体的例题来加深理解。
在讲解的过程中,可以采用图示的方式,通过画图来帮助学生理解每个概念和定理。
还可以通过引导学生思考和讨论的方式,培养学生的逻辑思维能力。
解题技巧方面,需要培养学生观察和分析问题的能力。
对于每个具体问题,学生首先要观察和分析题目中给出的条件和要求,看能否直接用已知条件解决问题,如果不能,需要考虑使用什么方法进行求解。
对于某些特殊形式的题目,还可以采用一些技巧进行变形和转化。
对于求抛物线的切线方程,可以通过求解过抛物线给定点的切线来简化问题。
还需要培养学生运用数学工具进行计算的能力。
还可以通过一些综合性的例题和思考题来提高学生的综合运用能力。
通过这样的例题和思考题,能够帮助学生将所学的知识点进行综合运用,提高在实际问题中的应用能力。
在教学过程中,还需注意以下几点。
要注意给学生营造良好的学习氛围,激发他们的学习兴趣。
可以通过举一些有趣且实际的例子,来引发学生对圆锥曲线的兴趣和好奇心。
要注重巩固和复习。
数学的学习需要不断的巩固和复习才能真正掌握。
可以安排一些课后练习题,并进行详细讲解和订正。
要注重引导学生独立思考和解决问题的能力。
在解题过程中,可以适当地引导学生思考和尝试,而不是直接给完整的解法,这样能够培养学生的自主学习和解决问题的能力。
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳1.球面坐标系与圆锥曲线:在球面坐标系中,圆锥曲线可以看作是一个直线在球面上的投影。
通过利用球面坐标系的相关性质,可以简化圆锥曲线的解题过程。
2.圆锥曲线的标准方程:圆锥曲线的标准方程是通过平移和旋转的方式将一般方程转化成一种特殊形式的方程。
通过将一般方程转化成标准方程,可以方便地研究圆锥曲线的性质。
3.圆锥曲线的分类与特点:根据圆锥曲线的二次项和四次项的系数可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
每一类圆锥曲线都有其特有的性质和特点,熟悉这些特点可以帮助我们更好地解题。
4.圆锥曲线的参数方程:圆锥曲线的参数方程是通过引入一个参数来表示曲线上的点的坐标。
通过使用参数方程,可以简化圆锥曲线的分析和解题过程。
5.圆锥曲线的对称性:圆锥曲线具有多种对称性,包括关于坐标轴、原点和直线的对称性。
利用这些对称性可以简化问题的分析和解题过程。
6.圆锥曲线的焦点与准线:焦点和准线是圆锥曲线的两个重要特点。
了解焦点和准线的性质可以帮助我们理解圆锥曲线的形状和性质,并解决相关的问题。
7.圆锥曲线的参数化方程:圆锥曲线的参数化方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
通过使用参数化方程,可以更灵活地处理圆锥曲线上的点和相关的问题。
8.圆锥曲线的极坐标方程:圆锥曲线的极坐标方程是通过将直角坐标系中的变量用极坐标表示来得到的。
利用极坐标方程,可以方便地研究圆锥曲线的性质,并解决相关的问题。
9.圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的转换:圆锥曲线的参数方程和极坐标方程可以相互转换。
通过掌握参数方程和极坐标方程之间的转换关系,可以灵活地处理圆锥曲线的问题,并得到更加深入的理解。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式,由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1,且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式:椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1;焦缩比为e = c/a,其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式,由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1,焦缩比为1.抛物线的轴是准线,顶点是焦点和准线的交点。
重要公式:抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式,由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1,离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式:双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质,如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性:椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性,抛物线关于y轴有对称性。
切线性质:圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质:圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点,并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后,我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学中的重要内容,学好圆锥曲线不仅可以帮助学生提高数学分析能力,还可以为后续的高等数学学习打下基础。
下面将探究高中数学圆锥曲线的教学方法和解题技巧。
一、教学方法:1. 提前引导:在开始学习圆锥曲线之前,可以通过引入相关的实际问题,例如运动问题、工程问题等,引起学生的兴趣,激发学生对圆锥曲线的学习积极性。
2. 形象化教学:在讲解圆锥曲线的性质和特点时,可以通过几何图形、实物模型等形象化工具进行展示,帮助学生更好地理解和记忆。
3. 实例分析:在讲解圆锥曲线的解题方法时,可以选择一些具体实例进行分析,通过具体问题的讲解,引导学生掌握解题的思路和方法。
4. 综合应用:在学习圆锥曲线时,可以将圆锥曲线与其他数学知识相结合,例如函数、导数等,通过综合应用的方式来解决问题,培养学生的数学思维能力。
二、解题技巧:1. 注意曲线的方程形式:圆锥曲线有四种常见的方程形式,即圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程。
学生在解题时需要根据曲线的方程形式来选择相应的解题方法。
2. 利用对称性质解题:圆锥曲线具有一些特殊的对称性质,例如椭圆和双曲线的中心对称性、抛物线的轴对称性等。
在解题时,可以利用这些对称性质简化问题,减少计算量。
3. 利用关系式和性质解题:学生可以通过研究圆锥曲线的性质和关系式来解题,例如利用椭圆的离心率和焦点之间的关系,或者利用双曲线的渐近线方程等。
4. 应用微积分解题:在一些特殊情况下,可以利用微积分的知识来解决圆锥曲线的问题。
例如通过求导来确定曲线的切线方程、确定曲线的极值点等。
高中数学圆锥曲线的教学应注重形象化教学和实例分析,通过引导学生掌握解题的思路和方法,培养学生的数学思维能力。
学生在解题时需要注意曲线的方程形式,利用对称性质和关系式,以及适时应用微积分的知识来解决问题。
怎么学好圆锥曲线
怎么学好圆锥曲线圆锥曲线是高中数学的难点,也是重点。
归根结底,圆锥曲线是解析几何的核心内容,也是高考数学中的必考内容。
高中数学圆锥曲线怎么才能学好呢?下面店铺和你一起来看一看相关的内容。
怎么学好圆锥曲线学好圆锥曲线方法一舍弃太难、太偏的题目,得把握基础知识。
首先以中低档的题训练为主,打好基础,再做难题就顺理成章,得心应手。
难度大的题教学中一定要循序渐进,千万不能急于求成,可将题目分解,从学生的认知基础、认知能力出发,先做与之有关的变形题,在层层递进,漫漫过度到本题的解决。
说圆锥曲线难,主要的是压轴题目的后两问,第一问和前面的选择和填空也是基础的题目。
要握基础知识,不可拔苗助长。
就是在高考的时候我们也要学会适当的放弃。
他说为部分尖子生准备的,但并不是说我们一般的学生在平时就可以放弃了。
学好圆锥曲线方法二舍得花时间,得提高计算能力。
圆锥曲线的计算量非常大,一个圆锥曲线的题目完整的做出来至少需要花一二十分钟的时间,甚至是一节课。
高中阶段课程比较紧张,时间比较紧张,使得学生沉不下心来做这样耗时的题目。
计算能力实在计算的过程中提高的。
很多学生眼高手低,思路清楚了,就是这样算,然后就放弃了。
其实计算里面有很多技巧,并不是机械的算。
学好圆锥曲线方法三舍弃技巧性很强的题目,得把典型题目,常规做法练熟。
其实,汇总一下圆锥曲线的解答题的做法,你会总结出一些规律,直线和圆锥曲线的位置关系是重点,常用的做法是联立,常求的结论是弦长、面积、参数的范围等等。
学好圆锥曲线方法四舍弃圆锥曲线就是纯计算的错误思想,得用数形结合思想解决圆锥曲线问题。
学生学习过程中,要注意养成良好的画图习惯,不断增强对图形的思辨能力,充分发挥图形性质的功能来研究问题。
平时可多做一些运用数形结合的思想来解决的问题,养成自觉运用数形结合的思想解决某些问题的习惯。
数形结合有时可大大减少计算量,使问题简化,让我们发现里面本质的东西。
在高考中,圆锥曲线通常作为压轴题出现,同时在选择和填空题中也会考查,所占比例较大。
如何学好圆锥曲线
如何学好圆锥曲线1 韦达定理回顾1.1 韦达定理描述及证明在初中,我们便学过一元二次方程的韦达定理,即在实数范围内,若一元二次方程 a x^{2}+b x+c=0 有两个实数根 x_1 和x_2 ,则有如下关系成立\color{red}{x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \quad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}} \\该结论证明起来有很多方法,一种证明过程如下。
由于 x_1 和 x_2 是方程 a x^{2}+b x+c=0 的两个根,因此有\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0 \\两边同乘二次系数 a 得a \left (x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)=0 \\展开有a x^{2}-a\left(x_{1}+x_{2}\right) x+a x_{1} x_{2}=0 \\显然{x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \quad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}} \\上述关系便称为一元二次方程的韦达定理。
1.2 直线与圆锥曲线方程联立设直线 l 方程为 A x + B y + C = 0 ( A 和 B 不同时为零),圆锥曲线方程为 F(x,y) = 0 ,那么联立两方程消去 x (或 y )便会得到一个关于 y (或 x )的一元方程。
即有\left\{\begin{array}{lll} A x+B y+C=0 &\stackrel{\text { 消去 } y}{\Rightarrow} & a_{1}x^{2}+b_{1} x+c_{1}=0 \\ F(x, y)=0 & \stackrel{\text { 消去 } x}{\Rightarrow} & a_{2} y^{2}+b_{2} y+c_{2}=0 \end{array}\right. \\下面以消去 y 为例进行分析。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究高中数学中的圆锥曲线是一门重要的内容,它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线形式。
在教学中,我们应该注重培养学生的几何直觉和解题能力,采用启发式的教学方法,帮助学生理解和掌握圆锥曲线的性质和特点。
下面将介绍一些教学方法和解题技巧,帮助教师更好地进行教学。
一、教学方法1. 图像法引入:可以先给学生展示圆锥曲线的图像,让学生观察和感受曲线的形状和特点。
通过观察和描述图像的方式,引导学生猜测曲线的定义和方程,并通过实际推导验证猜想的正确性。
2. 推导法讲解:通过对曲线方程的推导,将曲线的性质和特点逐步展示给学生。
可以从直线、圆和平行线的特殊情况开始,引导学生理解曲线的定义和方程。
3. 实例分析法:通过解决一些实际问题,如抛射问题、光学问题等,引入圆锥曲线的定义和方程。
使学生能够将数学知识应用到实际问题中,提高学生的学习兴趣和学习动力。
4. 研究探索法:引导学生进行一定的研究和探索,使学生能够发现圆锥曲线的推导规律和性质。
通过学生自主发现和思考,培养学生的创造性思维和问题解决能力。
二、解题技巧1. 辅助直线法:对于一些复杂的曲线方程,可以通过引入辅助直线的方式进行简化。
根据直线与曲线的交点和切线的斜率关系,可以得到曲线的方程和性质。
2. 参数化方程法:对于一些参数方程难以解析的曲线,可以通过将参数去掉,转化为一般方程进行求解。
可以根据参数方程中的参数关系,化简方程为一般方程。
3. 曲线性质利用法:对于一些问题,可以根据曲线的性质和特点进行推导和解答。
如利用椭圆的切线性质、双曲线的渐近线性质等,简化问题的解题过程。
4. 对称性利用法:对于一些具有对称性的曲线,可以利用对称性进行求解。
如利用抛物线的对称性质,求解抛物线的焦点、顶点等重要点。
5. 极坐标方程法:对于一些具有极坐标特点的曲线,可以将一般方程转化为极坐标方程,从而求出曲线的性质和特点。
可以利用极坐标方程的几何意义和性质,简化问题的解题过程。
高中数学圆锥曲线解题方法归纳
高中数学圆锥曲线解题方法归纳圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分,包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线通常通过平面截取圆锥的不同部分来形成。
为了更好地理解和解决这类问题,我们需要掌握一些基本的解题方法。
1. 定义法:根据圆锥曲线的定义来解题。
例如,椭圆和双曲线的定义是两个焦点到曲线上任一点的距离之和或差为一个常数。
抛物线的定义是一个点到固定点(焦点)和固定直线(准线)的距离相等。
2. 参数方程法:对于一些复杂的圆锥曲线问题,我们可以使用参数方程来表示曲线上点的坐标。
这样可以将几何问题转化为代数问题,便于计算。
3. 切线法:对于一些与圆锥曲线切线相关的问题,我们可以使用切线性质来解题。
例如,切线到曲线上任一点的距离在切点处达到最小值。
4. 极坐标法:将问题转化为极坐标形式,利用极坐标的性质来解题。
例如,在极坐标下,距离和角度的关系可以简化为数学表达式。
5. 几何法:利用圆锥曲线的几何性质来解题。
例如,椭圆的焦点到椭圆中心的距离等于椭圆上任一点到椭圆中心的距离减去椭圆半径。
6. 代数法:通过代数运算来解题。
例如,解联立方程来找到满足多个条件的点的坐标。
7. 数形结合法:结合图形和数学表达式来解题。
通过观察图形,可以更好地理解问题的本质,从而找到合适的解题方法。
以上是高中数学中圆锥曲线解题的一些基本方法。
需要注意的是,每种方法都有其适用的范围和局限性,需要根据具体问题选择合适的方法。
同时,这些方法也不是孤立的,有时需要综合运用多种方法来解决一个复杂的问题。
通过大量的练习和总结,我们可以提高解决圆锥曲线问题的能力。
圆锥曲线解题技巧
圆锥曲线解题技巧
解题技巧 for 圆锥曲线包括以下几个方面:
1. 了解基本定义:圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
熟悉每种曲线的定义、特征方程和性质。
2. 观察方程形式:观察给定的方程形式,确定曲线的类型。
每种类型的曲线有特定的方程形式。
3. 找出关键参数:找出曲线方程中的关键参数,如圆心坐标、半径、焦点、准线等。
这些参数可以帮助确定曲线的
位置、形状和大小。
4. 利用性质解题:利用圆锥曲线的性质解题。
例如,椭圆
的焦点到准线的距离之和等于椭圆的长轴长度;抛物线的
对称轴平行于焦点之连线等。
根据不同的问题,选择合适
的性质来解题。
5. 数学工具:利用数学工具来解题,如坐标系、直线方程、二次方程、参数方程等。
根据具体问题的要求,灵活选择
和运用工具。
6. 运用变换:对于复杂的问题,可以考虑将坐标系进行平移、旋转或缩放等变换,以简化问题的解决过程。
7. 综合分析:在解题过程中,进行综合分析,考虑所有已
知条件和约束条件,找出合适的解决方案。
圆锥曲线解题的万能套路
圆锥曲线解题的万能套路可以归纳为以下步骤:
1. 确定焦点位置:根据题目给定的条件,确定圆锥曲线的焦点位置,是位于X 轴上还是Y轴上。
2. 设而不求:设定圆锥曲线上的两点坐标,然后根据点在曲线上的性质,列出方程,但不求解。
3. 点差法:如果题目涉及弦的中点问题,可以使用点差法。
将两个点在曲线上的坐标分别带入方程,然后作差,化简后可以求得中点的坐标。
4. 联立方程:将题目给定的图形方程与圆锥曲线方程联立,形成一元二次方程组。
5. 使用韦达定理:利用韦达定理,将方程组的解用函数的k表示出来。
6. 求切线方程:如果需要求切线方程,可以通过图形的一个切点代入,求得切线斜率,进而得到切线方程。
7. 弦长公式:如果需要求弦长,可以使用弦长公式,将直线方程与图形方程联立,化简后得到一元二次不等式,通过韦达定理求解。
8. 求最值:根据题目给定的条件,利用函数关系或几何关系求出最值。
9. 求轨迹方程:根据题目给定的条件,利用待定系数法或定义法求出轨迹方程。
以上步骤可以作为圆锥曲线解题的万能套路,但具体解题过程中还需根据题目的具体情况进行灵活应用。
圆锥曲线教学的几点策略
圆锥曲线教学的几点策略圆锥曲线是高中数学中比较深奥的内容之一,它涉及到了很多的数学知识点,需要学生掌握一定的数学基础。
为了帮助学生更好地掌握圆锥曲线的知识,这里提出了几点教学策略:一、简化概念在教学中,应该尽量减少专业术语和公式的出现,以便学生更好地理解概念。
例如,在介绍圆锥曲线的定义时,可以用简洁明了的语言来描述,如“圆锥曲线是一种由切割圆锥体而得到的曲线”,而不是直接给出定义式。
二、搭建图形学生在学习圆锥曲线时,需要形象直观的图形展示来帮助理解。
因此,在教学中可以借助几何工具,如圆规,直尺等,手绘出圆锥曲线的形状,让学生通过观察图形理解有关圆锥曲线的基本特征。
三、使用案例教师可以通过案例的方式,让学生掌握不同类型的圆锥曲线的特征和应用。
例如,可以通过一些生动有趣的案例,让学生了解抛物线的球场设计,双曲线的车道设计等等,这样有利于学生更好地了解圆锥曲线的应用。
四、鼓励实践学生可以通过实践探究的方式来进一步了解圆锥曲线的知识。
例如,可以先让学生利用手工图形或计算机绘制出不同类型的圆锥曲线,再通过调整参数等方式对其进行探究,通过实践进一步加深对圆锥曲线的了解。
五、联系实际教学中也可以将圆锥曲线的知识与生活实际相联系,例如,介绍一下圆锥曲线的应用,如抛物线在汽车事故中的碰撞实验,双曲线在卫星轨道的研究中的应用,让学生了解学习圆锥曲线的意义和实际价值。
综上所述,以上几点教学策略可以让学生更好地掌握圆锥曲线的知识。
通过简化概念,搭建图形,使用案例,鼓励实践,联系实际等方式,可以使学生更深刻地理解圆锥曲线的概念和应用,更好地应对高中数学中的圆锥曲线内容。
圆锥曲线常用方法
圆锥曲线常用方法
圆锥曲线是一类常见的几何曲线,包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
以下是圆锥曲线的几种常用方法:
1. 构造法:通过一些特定的几何操作来构造圆锥曲线。
例如,通过圆的平移和旋转可以构造椭圆,通过圆的平移和拉伸可以构造椭圆和双曲线,通过直线的截切可以构造抛物线等。
2. 解析法:通过解析几何的方法,即使用数学方程来描述圆锥曲线。
例如,椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,其中a 和b是椭圆的半长轴和半短轴,通过调节a和b的值可以得到
不同形状的椭圆。
3. 参数方程法:通过引入参数来描述圆锥曲线上的点的坐标。
例如,椭圆的参数方程可以表示为x = a*cos(t),y = b*sin(t),
其中t是参数,通过改变t的取值可以得到椭圆上的所有点。
4. 矩阵法:通过矩阵的运算来描述圆锥曲线的性质和变换。
例如,通过矩阵乘法可以进行平移、旋转、拉伸等操作,从而得到不同形状的圆锥曲线。
5. 数值方法:通过数值计算来求解圆锥曲线的相关问题。
例如,可以通过数值逼近的方法来求解圆锥曲线的焦点、顶点、离心率等性质。
这些方法各有特点,可以根据具体问题的要求选择合适的方法来处理圆锥曲线的相关问题。
高考数学中的圆锥曲线像分析技巧
高考数学中的圆锥曲线像分析技巧圆锥曲线是高考数学中的一个重要内容,包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解题过程中,掌握一些圆锥曲线的分析技巧可以更好地应对高考数学考试。
本文将从椭圆、双曲线和抛物线这三个方面,介绍一些常用的圆锥曲线分析技巧。
一、椭圆的分析技巧椭圆是圆锥曲线中的一种,由离心率小于1的点构成。
在解椭圆相关问题时,可以运用以下的分析技巧:1. 利用长轴和短轴长度的关系判断椭圆的形状。
若长轴和短轴长度相等,则椭圆是一个圆;若长轴长度大于短轴长度,则椭圆是一个纵向椭圆;若长轴长度小于短轴长度,则椭圆是一个横向椭圆。
2. 利用椭圆的对称性简化计算。
椭圆具有关于$x$轴和$y$轴对称的性质,利用这一性质可以简化计算过程。
例如,可以通过在整个图像上只计算某一象限内的点,然后利用对称性得到其他象限内的点。
3. 利用椭圆的参数方程求解问题。
椭圆的参数方程可以通过参数方程求导得到切线斜率,从而求解与切线相关的问题。
二、双曲线的分析技巧双曲线是圆锥曲线中的另一种,由离心率大于1的点构成。
在解双曲线相关问题时,可以运用以下的分析技巧:1. 利用双曲线的对称性简化计算。
双曲线具有关于$x$轴和$y$轴对称的性质,利用这一性质可以简化计算过程。
例如,可以通过在整个图像上只计算某一象限内的点,然后利用对称性得到其他象限内的点。
2. 利用双曲线的参数方程求解问题。
双曲线的参数方程可以通过参数方程求导得到切线斜率,从而求解与切线相关的问题。
3. 利用双曲线的渐近线性质判断双曲线的形状。
双曲线有两条渐近线,通过判断渐近线的倾斜角度可以判断双曲线的形状。
三、抛物线的分析技巧抛物线是圆锥曲线中的最后一种,具有开口方向和焦点的特点。
在解抛物线相关问题时,可以运用以下的分析技巧:1. 利用顶点和焦点求解问题。
抛物线的顶点坐标和焦点坐标可以通过公式推导得到,通过利用这些坐标可以求解与顶点和焦点相关的问题。
2. 利用抛物线对称性简化计算。
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究圆锥曲线是高中数学的一大难点,涉及范围广泛,概念复杂,涉及到多种图形和方程的表示。
为了使学生更好地掌握圆锥曲线的知识,我们需要采用适当的教学方法和解题技巧。
一、教学方法1、理论概念与实际例子相结合圆锥曲线的理论概念通常比较抽象,难以让学生完全理解。
因此,教师需要通过具体的例子来帮助学生更好地理解圆锥曲线。
例如,对于椭圆,可以通过一个足球形的实物来解释椭圆的概念,对于双曲线,可以通过交叉的铁路来说明双曲线的形状等。
2、几何图形与代数方程相结合圆锥曲线通常可以用代数方程表示,但这种表示方法可能对于学生来说比较抽象。
因此,我们可以通过几何图形的方式帮助学生更好地理解代数方程的含义。
例如,通过将焦点和直角等几何图形绘制在坐标系上,并使用代数方程来表示,来帮助学生更清晰地理解圆锥曲线的含义。
3、实际问题与数学公式相结合高中数学的知识通常与实际问题密切相关。
因此,我们可以利用实际问题来帮助学生更好地理解相关的数学公式。
例如,在学习椭圆的时候,可以通过讲解地球绕太阳的轨迹等实际问题来帮助学生理解椭圆的概念。
二、解题技巧1、理解归纳、推理和分析思维圆锥曲线的解题需要运用到归纳、推理和分析等思维方式。
因此,学生需要掌握这些思维方法,以便更好地应用到圆锥曲线的解题中。
2、熟练掌握基本公式圆锥曲线的基本公式是解题的基础,学生需要熟练掌握这些公式,并且能够使用代数方程表示不同类型的圆锥曲线。
3、注意特殊情况在解题过程中,学生需要留意特殊情况。
例如,在椭圆的求解中,当长轴和短轴等于一定值的时候,椭圆可能变成一个圆,这种情况需要特别处理。
4、运用变量代换圆锥曲线的解题通常需要同时涉及多个变量,因此,运用变量代换可以使问题变得更简单。
例如,在求解双曲线的顶点时,可以将$x$和$y$分别表示为某个变量的函数,然后进行变量代换,将问题转化为一个单变量的问题。
总之,通过采用合适的教学方法和解题技巧,可以帮助学生更好地掌握圆锥曲线的知识,提高解题能力。
圆锥曲线求解技巧
圆锥曲线求解技巧圆锥曲线是数学中重要的一个分支,包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们都具有各自独特的性质和方程形式。
在求解圆锥曲线的问题时,有一些常见的技巧和方法可以帮助我们简化计算和理解问题。
下面是一些圆锥曲线求解技巧的介绍。
1. 几何特征:首先,了解每种圆锥曲线的几何特征是非常重要的。
圆是所有圆锥曲线中最简单的一种,其方程形式为x²+ y²= r²,其中r是圆的半径。
椭圆具有中心点和两个焦点,其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1,其中(h, k)是中心点的坐标,a和b是椭圆在x轴和y轴上的半径。
抛物线则有焦点和直线的焦点形式,其方程形式为y²= 4ax或x²= 4ay,其中a是抛物线的焦距。
双曲线也有焦点和直线的形式,其方程形式为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(y - k)²/b² - (x - h)²/a² = 1,其中(h, k)是中心点的坐标,a和b 是双曲线在x轴和y轴上的半径。
2. 参数化表示:参数化是一种将一个曲线表示为参数的函数的方法。
通过引入新的参数,我们可以简化对曲线的表示和求解。
例如,对于椭圆,我们可以引入参数化坐标x = a cosθ和y = b sinθ,其中a和b是椭圆的半径。
这样,我们可以将椭圆的方程简化为极坐标形式r = a(1 - e²)/(1 + e cosθ),其中e是椭圆的离心率。
同样地,对于抛物线,我们可以引入参数化坐标x = at²和y = 2at。
通过参数化,我们可以更容易地计算和理解曲线的性质。
3. 极坐标表示:极坐标是一种将点表示为距离和角度的方式。
对于圆锥曲线,极坐标表示是很有用的,特别是当涉及到对称性和角度的问题时。
圆锥曲线技巧
圆锥曲线技巧
圆锥曲线是数学中研究的一类曲线,由圆锥的割平面与圆锥相交而得。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在研究圆锥曲线时,有一些常用的技巧可以帮助简化问题:
1. 利用对称性:圆锥曲线具有各种对称性质,如椭圆和双曲线都具有关于x轴和y轴的对称性,抛物线具有关于y轴的对称性。
通过利用这些对称性,可以简化计算和推导过程。
2. 利用焦点和直角三角形:圆锥曲线的定义通常涉及焦点和直角三角形。
利用焦点和直角三角形的性质,可以推导出圆锥曲线的一些特性,如离心率、焦点到曲线上一点的距离等。
3. 利用参数方程:圆锥曲线可以用参数方程表示,即将x和y
表示为参数t的函数。
通过选择不同的参数值,可以得到曲线
上的不同点,从而研究曲线的形状和性质。
4. 利用极坐标:极坐标是一种表示点的方法,其中点的位置由角度和距离确定。
通过将圆锥曲线的方程转换为极坐标形式,可以更方便地研究曲线的性质,如离心率和极坐标方程的形式。
5. 利用矩阵:可以使用矩阵的方法研究圆锥曲线的性质。
通过将圆锥曲线的方程表示为一个矩阵方程,可以利用矩阵的性质来研究曲线的对称性、变换等问题。
综上所述,使用这些技巧可以帮助简化圆锥曲线的研究,更好地理解和应用这一数学概念。
怎样学好圆锥曲线
怎样学好圆锥曲线(解析几何的高考热点与例题解析)圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到:1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这些内容.2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程.(1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量.(2)用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效.(3)掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标法的训练.考点一求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。
解决这类问题常用定义法和待定系数法。
●思路方法:一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。
圆锥曲线—概念、方法、题型、及应试技巧总结
圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结1.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。
若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42xy =上一动点P (x ,y ),则y+|PQ|的最小值是_____(答2)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程): (1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b yax(0a b >>),焦点在y 轴上时2222bxa y+=1(0a b >>)。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。
如(1)已知方程12322=-++kykx表示椭圆,则k 的取值范围为____(答:11(3,)(,2)22---);(2)若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___2)(2)双曲线:焦点在x 轴上:2222by ax -=1,焦点在y 轴上:2222bx ay -=1(0,0a b >>)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
一、[学法指导]怎样学好圆锥曲线圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到:1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中的题目都涉及到这些内容.2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹,此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程.(1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量.(2)用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效.(3)掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法,因此要加强坐标的训练.二直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.●案例探究[例1]如图所示,抛物线y 2=4x 的顶点为O ,点A 的坐标为(5,0),倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点,求△AMN 面积最大时直线l 的方程,并求△AMN 的最大面积.命题意图:直线与圆锥曲线相交,一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★★★级题目.知识依托:弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.错解分析:将直线方程代入抛物线方程后,没有确定m 的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.技巧与方法:涉及弦长问题,应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长,涉及垂直关系往往也是利用韦达定理,设而不求简化运算.解:由题意,可设l 的方程为y =x +m ,-5<m <0.由方程组⎩⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m -4)x +m 2=0 ① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=(2m -4)2-4m 2=16(1-m )>0, 解得m <1,又-5<m <0,∴m 的范围为(-5,0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4-2m ,x 1²x 2=m 2,∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m+.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1-m )(5+m )2=2(2-2m )²(5+m )(5+m )≤2(35522m m m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2-2m =5+m ,即m =-1时取等号. 故直线l 的方程为y =x -1,△AMN 的最大面积为82.[例2]已知双曲线C :2x 2-y 2=2与点P (1,2)(1)求过P (1,2)点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. (2)若Q (1,1),试判断以Q 为中点的弦是否存在.命题意图:第一问考查直线与双曲线交点个数问题,归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”,属★★★★★级题目.知识依托:二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.错解分析:第一问,求二次方程根的个数,忽略了二次项系数的讨论.第二问,算得以Q 为中点弦的斜率为2,就认为所求直线存在了.技巧与方法:涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率,弦的中点坐标联系起来,相互转化.解:(1)当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k(x -1),代入C 的方程,并整理得(2-k 2)x 2+2(k 2-2k)x -k 2+4k -6=0 (*) (ⅰ)当2-k 2=0,即k=±2时,方程(*)有一个根,l 与C 有一个交点(ⅱ)当2-k 2≠0,即k ≠±2时 Δ=[2(k 2-2k)]2-4(2-k 2)(-k 2+4k -6)=16(3-2k) ①当Δ=0,即3-2k=0,k=23时,方程(*)有一个实根,l 与C 有一个交点. ②当Δ>0,即k <23,又k ≠±2,故当k <-2或-2<k <2或2<k <23时,方程(*)有两不等实根,l 与C 有两个交点.③当Δ<0,即k >23时,方程(*)无解,l 与C 无交点.综上知:当k=±2,或k=23,或k 不存在时,l 与C 只有一个交点;当2<k <23,或-2<k <2,或k <-2时,l 与C 有两个交点;当k >23时,l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则2x 12-y 12=2,2x 22-y 22=2两式相减得:2(x 1-x 2)(x 1+x 2)=(y 1-y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2∴2(x 1-x 2)=y 1-y 2即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以Q 为中点的弦不存在.[例3]如图,已知某椭圆的焦点是F 1(-4,0)、F 2(4,0),过点F2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且|F 1B|+|F 2B|=10,椭圆上不同的两点A(x 1,y 1),C(x 2,y 2)满足条件:|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦AC 中点的横坐标;(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m ,求m 的取值范围.命题意图:本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识,一、二问较简单,第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围,设计新颖,综合性,灵活性强,属★★★★★级题目.知识依托:椭圆的定义、等差数列的定义,处理直线与圆锥曲线的方法.错解分析:第三问在表达出“k=3625y 0”时,忽略了“k=0”时的情况,理不清题目中变量间的关系.技巧与方法:第一问利用椭圆的第一定义写方程;第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解,第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y0,利用y0的范围求m 的范围.解:(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F 1B|+|F 2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1.(2)由点B(4,y B )在椭圆上,得|F 2B|=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x=425,离心率为54,根据椭圆定义,有|F 2A|=54(425-x 1),|F 2C|=54(425-x 2), 由|F 2A|、|F 2B|、|F 2C|成等差数列,得54(425-x 1)+54(425-x 2)=2³59,由此得出:x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为P(x 0,y 0),则x 0=221x x +=4. (3)解法一:由A(x 1,y 1),C(x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①-②得9(x 12-x 22)+25(y 12-y 22)=0,即9³)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2) 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式,得9³4+25y 0(-k 1)=0(k ≠0)即k=3625y 0(当k=0时也成立).由点P(4,y 0)在弦AC 的垂直平分线上,得y 0=4k+m,所以m=y 0-4k=y 0-925y 0=-916y 0.由点P(4,y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部,得-59<y 0<59,所以-516<m <516.解法二:因为弦AC 的中点为P(4,y 0),所以直线AC 的方程为y -y 0=-k 1(x -4)(k ≠0) ③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得(9k 2+25)x 2-50(ky 0+4)x+25(ky 0+4)2-25³9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k=3625y 0.(当k=0时也成立) (以下同解法一). ●锦囊妙计1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍.① ②●难点训练 一、选择题1.(★★★★)斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点,则|AB|的最大值为( )A.2B.554 C.5104 D.5108 2.(★★★★)抛物线y=ax 2与直线y=kx+b(k ≠0)交于A 、B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( )A.x 3=x 1+x 2B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3C.x 1+x 2+x 3=0D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=0 二、填空题3.(★★★★)已知两点M(1,45)、N(-4,-45),给出下列曲线方程:①4x+2y -1=0,②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x -y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.4.(★★★★★)正方形ABCD 的边AB 在直线y=x+4上,C 、D 两点在抛物线y 2=x 上,则正方形ABCD的面积为_________.5.(★★★★★)在抛物线y 2=16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题6.(★★★★★)已知抛物线y 2=2px(p >0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,且|AB|≤2p.(1)求a 的取值范围.(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ,求△NAB 面积的最大值.7.(★★★★★)已知中心在原点,顶点A 1、A 2在x 轴上,离心率e=321的双曲线过点P(6,6). (1)求双曲线方程.(2)动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M 、N ,问:是否存在直线l,使G 平分线段MN ,证明你的结论.8.(★★★★★)已知双曲线C 的两条渐近线都过原点,且都以点A(2,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y=x 对称.(1)求双曲线C 的方程.(2)设直线l 过点A ,斜率为k,当0<k <1时,双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时B 点的坐标.9. (★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ|=210,求椭圆方程.参考答案歼灭难点训练一、1.解析:弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104. 答案:C2.解析:解方程组⎩⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2-kx -b =0,可知x 1+x 2=a k ,x 1x 2=-a b ,x 3=-k b,代入验证即可. 答案:B二、3.解析:点P 在线段MN 的垂直平分线上,判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点. 答案:②③④4.解析:设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长,利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离,求出b 的值,再代入求出|CD |的长. 答案:18或505.解析:设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ,且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得,(y 1+y 2)(y 1-y 2)=16(x 1-x 2).即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8. 故所求直线方程为y =8x -15.答案:8x -y -15=0 三、6.解:(1)设直线l 的方程为:y =x -a ,代入抛物线方程得(x -a )2=2px ,即x 2-2(a +p )x +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤-p 2 又∵p >0,∴a ≤-4p . (2)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),AB 的中点 C (x ,y ), 由(1)知,y 1=x 1-a ,y 2=x 2-a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p . ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y -p =-(x -a -p ),从而N 点坐标为(a +2p ,0) 点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅ 当a 有最大值-4p时,S 有最大值为2p 2.7.解:(1)如图,设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1.(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3,0)、(-3,0), ∴其重心G 的坐标为(2,2)假设存在直线l ,使G (2,2)平分线段MN ,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ,∴k l =34 ∴l 的方程为y =34 (x -2)+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2-4x +28=0. ∵Δ=16-4³28<0,∴所求直线l 不存在. 8.解:(1)设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为(0,2). ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2-y 2=2.(2)设直线l :y =k (x -2)(0<k <1),依题意B 点在平行的直线l ′上,且l 与l ′间的距离为2. 设直线l ′:y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2.②把l ′代入双曲线方程得(k 2-1)x 2+2mkx +m 2-2=0,由Δ=4m 2k 2-4(k 2-1)(m 2-2)=0.可得m 2+2k 2=2 ③ ②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk ,y =10.故B (22,10).9.解:设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n -1=0,Δ=4n 2-4(m +n )(n -1)>0,即m +n -mn >0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2, 将m +n =2,代入得m ²n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.三、 求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法.●案例探究[例1]某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A 、A ′是双曲线的顶点,C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点,B 、B ′是下底直径的两个端点,已知AA ′=14 m ,CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m.(1)建立坐标系并写出该双曲线方程.(2)求冷却塔的容积(精确到10 m 2,塔壁厚度不计,π取3.14).命题意图:本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识,考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:待定系数法求曲线方程;点在曲线上,点的坐标适合方程;积分法求体积. 错解分析:建立恰当的坐标系是解决本题的关键,积分求容积是本题的重点. 技巧与方法:本题第一问是待定系数法求曲线方程,第二问是积分法求体积.解:如图,建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上,AA ′的中点为坐标原点O ,CC ′与BB ′平行于x 轴.设双曲线方程为2222b y a x -=1(a >0,b >0),则a =21AA ′=7又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上,所以有179,17112222222122=-=-by b y由题意,知y 2-y 1=20,由以上三式得:y 1=-12,y 2=8,b =72故双曲线方程为984922y x -=1. (2)由双曲线方程,得x 2=21y 2+49设冷却塔的容积为V (m 3),则V =π⎰⎰---+=+=812812812322|)4961()4921(y y dy y dy x ππ,经计算, 得V =4.25³103(m 3) 答:冷却塔的容积为4.25³103m 3.[例2]过点(1,0)的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点,直线y =21x 过线段AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C 的方程.命题意图:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强,属★★★★★级题目.知识依托:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题. 错解分析:不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二,用韦达定理.解法一:由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上.则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得,(x 12-x 22)+2(y 12-y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =-002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上,y 0=21x 0,于是-002y x = -1,k AB =-1,设l 的方程为y =-x +1.右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1-b )在椭圆上,得1+2(1-b )2=2b 2,b 2=89,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =-x +1. 解法二:由e =21,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x -1), 将l 的方程代入C 的方程,得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2b 2=0,则x 1+x 2=22214kk +,y 1+y 2=k (x 1-1)+k (x 2-1)=k (x 1+x 2)-2k =-2212kk+. 直线l :y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-,解得k =0,或k =-1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k =0舍去,从而k =-1,直线l 的方程为y =-(x -1),即y =-x +1,以下同解法一. [例3]如图,已知△P 1OP 2的面积为427,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程.命题意图:本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:定比分点坐标公式;三角形的面积公式;以及点在曲线上,点的坐标适合方程. 错解分析:利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键,正确地表示出 △P 1OP 2的面积是学生感到困难的.技巧与方法:利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程,从而求出a 、b 的值.解:以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为2222by a x -=1(a >0,b >0)由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ,得23=a b .∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =-23x 设点P 1(x 1,23x 1),P 2(x 2,-23x 2)(x 1>0,x 2>0),则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐标为(22,322121x x x x -+),又点P 在双曲线222294a y a x -=1上,所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1, 即(x 1+2x 2)2-(x 1-2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2①,427131241321sin ||||211312491232tan 1tan 2sin ;21349||,21349||212121121212222212121121=⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯=+==+==+=∆x x OP P OP OP S OxP Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2= 29 ② 由①、②得a 2=4,b 2=9 故双曲线方程为9422y x -=1.●锦囊妙计一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知直线x +2y -3=0与圆x 2+y 2+x -6y +m =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则m 等于( )A.3B.-3C.1D.-12.(★★★★)中心在原点,焦点在坐标为(0,±52)的椭圆被直线3x -y -2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为( )12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 二、填空题3.(★★★★)直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2-4y 2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4.(★★★★)已知圆过点P (4,-2)、Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为43,则该圆的方程为_________.三、解答题5.(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F ,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2,且|M 1M 2|=3104,试求椭圆的方程. 6.(★★★★)某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.7.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x -2)2+(y -1)2=320,椭圆C 2的方程为2222by a x +=1(a >b >0),C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.●难点磁场1.(★★★★★)双曲线2224b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,|OP |<5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2=_________.2.(★★★★)如图,设圆P 满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长比为3∶1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线l :x -2y =0的距离最小的圆的方程.参考答案难点磁场1.解析:设F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)<2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2<50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|-|PF 2|)2+2|PF 1|²|PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|-|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|²|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2∴16+8c 2<50+2c 2,∴c 2<317, 又∵c 2=4+b 2<317,∴b 2<35,∴b 2=1.答案:12.解法一:设所求圆的圆心为P (a ,b ),半径为r ,则点P 到x 轴、y 轴的距离分别为|b |、|a | ∵圆P 截y 轴所得弦长为2,∴r 2=a 2+1又由题设知圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为90°,故弦长|AB |=2r ,故r 2=2b 2,从而有2b 2-a 2=1 又∵点P (a ,b )到直线x -2y =0的距离d =5|2|b a -,因此,5d 2=|a -2b |2=a 2+4b 2-4ab ≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a =b 时上式等号成立,此时5d 2=1,从而d 取最小值,为此有⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1111 1222b a b a a b ba 或得, ∵r 2=2b 2, ∴r 2=2于是所求圆的方程为:(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2 解法二:设所求圆P 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)设A (0,y 1),B (0,y 2)是圆与y 轴的两个交点,则y 1、y 2是方程a 2+(y -b )2=r 2的两根, ∴y 1,2=b ±22a r -由条件①得|AB |=2,而|AB |=|y 1-y 2|,得r 2-a 2=1设点C (x 1,0)、D (x 2,0)为圆与x 轴的两个交点,则x 1,x 2是方程(x -a )2+b 2=r 2的两个根, ∴x 1,2=a ±22b r -由条件②得|CD |=2r ,又由|CD |=|x 2-x 1|,得2b 2=r 2,故2b 2=a 2+1 设圆心P (a ,b )到直线x -2y =0的距离为d =5|2|b a -∴a -2b =±5d ,得a 2=(2b ±5d )2=4b 2±45bd +5d 2又∵a 2=2b 2-1,故有2b 2±45bd +5d 2+1=0.把上式看作b 的二次方程, ∵方程有实根.∴Δ=8(5d 2-1)≥0,得5d 2≥1. ∴d min =55,将其代入2b 2±45bd +5d 2+1=0, 得2b 2±4b +2=0,解得b =±1. 从而r 2=2b 2=2,a =±12-r =±1于是所求圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2或(x +1)2+(y +1)2=2 歼灭难点训练一、1.解析:将直线方程变为x =3-2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x -6y +m =0, 得(3-2y )2+y 2+(3-2y )+m =0.整理得5y 2-20y +12+m =0,设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2) 则y 1y 2=512m+,y 1+y 2=4. 又∵P 、Q 在直线x =3-2y 上,∴x 1x 2=(3-2y 1)(3-2y 2)=4y 1y 2-6(y 1+y 2)+9故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2-6(y 1+y 2)+9=m -3=0,故m =3. 答案:A2.解析:由题意,可设椭圆方程为:2222b x a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250bx b y ++=1. 将直线3x -y -2=0代入,整理成关于x 的二次方程.由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案:C二、3.解析:所求椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|.欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解.答案:4522y x + =14.解析:设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程.答案:x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0三、5.解:|MF |max =a +c ,|MF |min =a -c ,则(a +c )(a -c )=a 2-c 2=b 2,∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y ax ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =-x +m② 将②代入①得:(4+a 2)x 2-2a 2mx +a 2m 2-4a 2=0③设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),则x 0=21(x 1+x 2)=224a m a +,y 0=-x 0+m =244a m +. 代入y =x ,得222444a ma m a +=+, 由于a 2>4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=-2244a a +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x , 代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为:4522y x + =1.6.解:以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB |=20,|OM |=4,A 、B 坐标分别为(-10,-4)、(10,-4) 设抛物线方程为x 2=-2py ,将A 点坐标代入,得100=-2p ³(-4),解得p =12.5, 于是抛物线方程为x 2=-25y.由题意知E 点坐标为(2,-4),E ′点横坐标也为2,将2代入得y =-0.16,从而|EE ′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.7.解:由e =22,可设椭圆方程为22222by b x +=1,又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又2222222212212,12b y b x b y b x +=+=1,两式相减,得22221222212byy b x x -+-=0, 即(x 1+x 2)(x 1-x 2)+2(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0. 化简得2121x x y y --=-1,故直线AB 的方程为y =-x +3, 代入椭圆方程得3x 2-12x +18-2b 2=0.有Δ=24b 2-72>0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x , 得3209722422=-⋅b ,解得b 2=8. 故所求椭圆方程为81622y x +=1.四、 圆锥曲线综合题圆锥曲线的综合问题包括:解析法的应用,与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题,圆锥曲线知识的纵向联系,圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系,解答这部分试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整.●案例探究[例1]已知圆k 过定点A (a ,0)(a >0),圆心k 在抛物线C :y 2=2ax 上运动,MN 为圆k 在y 轴上截得的弦.(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化?(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时,抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系? 命题意图:本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力,属 ★★★★★级题目.知识依托:弦长公式,韦达定理,等差中项,绝对值不等式,一元二次不等式等知识. 错解分析:在判断d 与R 的关系时,x 0的范围是学生容易忽略的.技巧与方法:对第(2)问,需将目标转化为判断d =x 0+2a与R =a x +20的大小. 解:(1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0, 圆k 的半径R =|AK |=2202020)(a x y a x +=+- ∴|MN |=2202202022x a x x R -+=-=2a (定值) ∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化. (2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k :(x -x 0)2+(y -y 0)2=x 02+a 2中,令x =0,得y 2-2y 0y +y 02-a 2=0 ∴y 1y 2=y 02-a 2 ∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项. ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a . 又|MN |=|y 1-y 2|=2a∴|y 1|+|y 2|=|y 1-y 2| ∴y 1y 2≤0,因此y 02-a 2≤0,即2ax 0-a 2≤0. ∴0≤x 0≤2a . 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+2a≤a ,而圆k 半径R =220a x +≥a . 且上两式不能同时取等号,故圆k 必与准线相交.[例2]如图,已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ,设f (m )=||AB |-|CD ||(1)求f (m )的解析式; (2)求f (m )的最值.命题意图:本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式,并求其最值,体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目.知识依托:直线与圆锥曲线的交点,韦达定理,根的判别式,利用单调性求函数的最值. 错解分析:在第(1)问中,要注意验证当2≤m ≤5时,直线与椭圆恒有交点.技巧与方法:第(1)问中,若注意到x A ,x D 为一对相反数,则可迅速将||AB |-|CD ||化简.第(2)问,利用函数的单调性求最值是常用方法.解:(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ,则a 2=m ,b 2=m -1,c 2=a 2-b 2=1∴椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0).故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±ca 2,即x =±m .∴A (-m ,-m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y ,消去y 得:(m -1)x 2+m (x +1)2=m (m -1) 整理得:(2m -1)x 2+2mx +2m -m 2=0 Δ=4m 2-4(2m -1)(2m -m 2)=8m (m -1)2 ∵2≤m ≤5,∴Δ>0恒成立,x B +x C =122--m m. 又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上∴|AB |=|x B -x A |=2=(x B -x A )²2,|CD |=2(x D -x C ) ∴||AB |-|CD ||=2|x B -x A +x D -x C |=2|(x B +x C )-(x A +x D )| 又∵x A =-m ,x D =m ,∴x A +x D =0 ∴||AB |-|CD ||=|x B +x C |²2=|mm212--|²2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=mm222,m ∈[2,5]. (2)由f (m )=mm 222,可知f (m )=m1222-又2-21≤2-m1≤2-51∴f (m )∈[324,9210] 故f (m )的最大值为324,此时m =2;f (m )的最小值为9210,此时m =5.[例3]舰A 在舰B 的正东6千米处,舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米,它们准备捕海洋动物,某时刻A 发现动物信号,4秒后B 、C 同时发现这种信号,A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度为1千米/秒,炮弹的速度是3320g千米/秒,其中g 为重力加速度,若不计空气阻力与舰高,问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?命题意图:考查圆锥曲线在实际问题中的应用,及将实际问题转化成数学问题的能力,属★★★★★级题目.知识依托:线段垂直平分线的性质,双曲线的定义,两点间的距离公式,斜抛运动的曲线方程. 错解分析:答好本题,除要准确地把握好点P 的位置(既在线段BC 的垂直平分线上,又在以A 、B 为焦点的抛物线上),还应对方位角的概念掌握清楚.技巧与方法:通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位,一般可利用声音传播的时间差来建立方程.解:取AB 所在直线为x 轴,以AB 的中点为原点,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知,A 、B 、C 舰的坐标为(3,0)、(-3,0)、(-5,23).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所在位置为P ,则|PB |=|PC |.于是P 在线段BC 的中垂线上,易求得其方程为3x -3y +73=0.又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB |-|P A |=4,故知P 在双曲线5422y x -=1的右支上.直线与双曲线的交点为(8,53),此即为动物P 的位置,利用两点间距离公式,可得|P A |=10. 据已知两点的斜率公式,得k P A =3,所以直线P A 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.设发射炮弹的仰角是θ,初速度v 0=3320g,则θθcos 10sin 200⋅=⋅v g v , ∴sin2θ=23102=v g ,∴仰角θ=30°. ●锦囊妙计解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题,需构造参数满足的不等式,通过求不等式(组)求得参数的取值范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题,解法常有两种:当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用数形结合法解;当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上,其横坐标依次为1,m ,4(1<m <4),当△ABC 的面积最大时,m 等于( )A.3B.49C.25D.232.(★★★★★)设u ,v ∈R ,且|u |≤2,v >0,则(u -v )2+(vu 922--)2的最小值为( ) A.4B.2C.8D.22二、填空题3.(★★★★★)A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P ,使∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________.4.(★★★★)一辆卡车高3米,宽1.6米,欲通过抛物线形隧道,拱口宽恰好是抛物线的通径长,若拱口宽为a 米,则能使卡车通过的a 的最小整数值是_________.5.(★★★★★)已知抛物线y =x 2-1上一定点B (-1,0)和两个动点P 、Q ,当P 在抛物线上运动时,BP ⊥PQ ,则Q 点的横坐标的取值范围是_________.三、解答题6.(★★★★★)已知直线y =kx -1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点,若另一条直线l 经过点P (-2,0)及线段AB 的中点Q ,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.7.(★★★★★)已知抛物线C :y 2=4x .(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合,试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程;(2)若M (m ,0)是x 轴上的一定点,Q 是(1)所求轨迹上任一点,试问|MQ |有无最小值?若有,求出其值;若没有,说明理由.8.(★★★★★)如图,为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且OD ⊥AB ,Q 为线段OD 的中点,已知|AB |=4,曲线C 过Q 点,动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程;(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ,且M 在D 、N 之间,设DNDM=λ,求λ的取值范围.●难点磁场(★★★★)若椭圆2222by a x =1(a >b >0)与直线l :x +y =1在第一象限内有两个不同的交点,求a 、b 所满足的条件,并画出点P (a ,b )的存在区域.。