2014年一轮复习：5.1功和功率

功率的计算 【例证2】(2011·海南高考)一质量为1 kg的质点静止于光滑水
平面上，从t=0时起，第1秒内受到2 N的水平外力作用，第2秒
内受到同方向的1 N的外力作用.下列判断正确的是( A.0～2秒内外力的平均功率是 )
9 W 4
B.第2秒内外力所做的功是 5 J
4
C.第2秒末外力的瞬时功率最大 D.第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是 4
W f f 1 (d d) k d d (d d) 2 2
又因铁锤对铁钉每次做功相同， 故有：
1 2 1 kd = k(d'+d)(d'-d) 2 2 解得：d 2d
故击打第二次时，铁钉还能进入木块的深度 Δd=d'-d=( 2 -1)d
1 2
答案：(1) kd2
v
(图中AB、BO均为直线).假设电动车行驶中所受的阻力恒定.
(1)根据图线ABC，判断该电动车做什么运动，并计算电动车的
额定功率； (2)求此过程中电动车做匀加速直线运动的加速度的大小； (3)电动车由静止开始运动，经过多长时间速度达到v1=2 m/s?
【解题指南】解答本题时应注意以下三点： (1)图象中AB段电动车牵引力恒定.
第1讲
功和功率
考点1
功
1.做功的两个要素
力 (1)作用在物体上的____. 力的方向 (2)物体在__________上发生的位移. Fscosα 2.公式：W=________ 位移 (1)α 是力与____方向之间的夹角，s为物体对地的位移. 恒力 (2)该公式只适用于____做功.
1.判断正、负功的方法 (1)根据力和位移方向之间的夹角判断：此法常用于恒力做功.
A.Wa最小 C.Wa>Wc
B.Wd最大 D.四种情况一样大
【解析】选D.依据功的定义式W=Fscosθ，在本题的四种情况下， F、s、θ均相同，这样四种情况下力F所做的功一样大，故选项 D正确.
考点2
功率
做功的快慢 1.物理意义：描述力对物体___________ 2.公式
W (1)P=_____(P为时间t内的平均功率). t
【解析】选C.速度是矢量，因此速度要相同，必须大小和方向 都相同；功和功率是标量，重力对两小球做功相同，两小球落 地时动能相等，因而速度大小相等，但由于初速度方向不同，
落地时两小球的速度方向不同，设速度方向与竖直方向夹角为
θ，小球落地时重力的瞬时功率P=mgvcosθ，由于两小球的速 度与重力的夹角不同，重力的瞬时功率不同，故A、B错误，C正 确；由于A小球平抛、B小球竖直上抛，运动时间不同，故重力 对两小球做功的平均功率不相同，D错误.
5
【解题指南】解答本题时应注意以下两点： (1)前2 s内外力和速度均变化，求平均功率时注意所选的公式.
(2)瞬时速度最大时，外力的功率不一定最大.
【自主解答】选A、D.第1 s内质点运动的位移为1 m，第2 s内
质点运动的位移为2.5 m.第1 s内外力所做的功W1=2×1 J=2 J, 第2 s内外力所做的功为W2=1×2.5 J=2.5 J,则0～2 s内外力的
不变 F
不变 P Fv 直 到P额 Fv1
加速度减小的加速
直线运动
匀加速直线运动， 维持时间 t 0 v1 a
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
v F a P额
过程 分析 AB 段 运动 性质
F F阻 a 0 F阻 P vm
v F F阻 m
没有考虑第1 s内外力比第2 s内外力大
机车启动与图象的综合问题 【例证3】(14分)电动车因其可靠的安全性能和节能减排的设计 理念，越来越受到人们的喜爱.在检测某款电动车性能的某次实 验中，质量为8×102 kg的电动车由静止开始沿平直公路行驶， 达到的最大速度为15 m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻 电动车的牵引力F与对应的速度v,并描绘出 F 1 图象如图所示
②用W=Pt求解，其中变力的功率P不变.
③将变力做功转化为恒力做功，此法适用于力的大小不变，方 向与运动方向相同或相反，或力的方向不变，大小随位移均匀
变化的情况.
如图所示的a、b、c、d中，质量为M的物体甲受到相同的恒力F的 作用，在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移.μ 表示 物体甲与水平面间的动摩擦因数，乙是随物体甲一起运动的小物 块，比较物体甲移动的过程中力F对甲所做的功的大小( )
1.两种启动方式比较 两种方式 以恒定功率启动
P v vm A B P额
以恒定加速度启动
P
P-t图 和 v-t图
O
vm v1
B C A t1 t
t O
t
O
t O t0
过程 分析
OA 段
运动 性质
P（不变） v F v F F阻 a m
a
F F阻 m
v
2.瞬时功率的计算方法 (1)利用公式P=F·vcosα ，其中v为t时刻的瞬时速度.
(2)P=F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度.
(3)P=Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力.
两个完全相同的小球A、B，在某一高度 处以相同大小的初速度v0分别沿水平方 向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如 图所示，则下列说法正确的是( A.两小球落地时速度相同 B.两小球落地时，重力的瞬时功率相同 C.从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同 D.从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同 )
(4分)
(2分)
电动车在速度达到3 m/s之前，一直做匀加速直线运动,
故所求时间为 t v1 1 s
a
(2分)
答案：(1)AB段表示电动车做匀加速直线运动，BC段表示电动车 做加速度逐渐减小的变加速直线运动 6×103 W (2)2 m/s2 (3)1 s
【总结提升】分析机车起动问题时应注意的事项 (1)机车起动的方式不同，机车运动的规律就不同，因此机车启 动时，其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律也不 相同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律. (2)恒定功率下的加速一定不是匀加速，这种加速过程发动机做 的功可用W=Pt计算，不能用W=Fs计算(因为F为变力); (3)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动
平均功率为 P W1 W2 9 W, 选项A正确，B错误.根据动能定理
W1 4 ,选 可知，第1 s内与第2 s内质点动能增加量的比值等于 W2 5
2s 4
项D正确.由功率公式P=Fv可知，在第1 s末外力的瞬时功率为 4 W，第2 s末外力的瞬时功率为3 W,选项C错误.
【总结提升】求功率时，首先要确定是求平均功率还是瞬时功率， 然后再选择合适的公式进行计算，对易错选项及错误原因具体分 析如下： 易错角度 易漏选A 易错选C 错误原因 不能选用合适的公式求解前2 s内的平均功率 误认为第2 s末质点的速度最大，功率也最大，
Fvcosα (2)P=_________(α 为F与v的夹角). 正常工作 3.额定功率：机械__________时的最大功率 实际工作 4.实际功率：机械__________时的功率，要求不能大于 额定功率 __________
1.平均功率的计算方法
(1)利用 P W .
t (2)利用 P F vcosα， 其中 v 为物体运动的平均速度. ·
增加,则该力对物体做正功,反之则做负功.
2.功的大小计算
(1)恒力做的功：直接用W=Fscosα 计算. (2)合外力做的功.
方法一：先求合外力F合，再用W合=F合scosα 求功.
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3„再应用W合=W1+W2+W3+„ 求合外力做的功.
(3)变力做的功. ①应用动能定理求解.
(2)( 2 -1)d
【总结提升】“化变为恒法”求功适用的两种情况 (1)若力的大小改变，方向不变，且力的大小与物体的位移大小 成正比，则此力做的功可用W= Fs 求解. (2)若力的方向时刻变化，但力沿运动方向的分力大小不变时， 可用W=Fx·s(其中Fx为力F在运动方向的分力，s为物体运动的路 程)来求功.
m
用“化变为恒法”求解变力做的功
【例证1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁
钉进入木块内的深度成正比，即f=kx(其中x为铁钉进入木块的 深度).在铁锤击打第一次后，铁钉进入木块的深度为d. (1)求铁锤对铁钉做功的大小； (2)若铁锤对铁钉每次做功相等，求击打第二次时，铁钉还能进 入的深度.
P P vm . F F阻
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W=Pt.由动能定理：
Pt- F阻s=Δ Ek.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移
大小.
汽车在平直的公路上以恒定的功率启动，设阻力恒定，则图中
关于汽车运动过程中加速度、速度随时间变化的关系，以下判
断正确的是( )
A.汽车的加速度—时间图象可用图乙描述 B.汽车的速度—时间图象可用图甲描述 C.汽车的加速度—时间图象可用图丁描述 D.汽车的速度—时间图象可用图丙描述
【解题指南】解答本题应注意以下两个方面：
(1)铁锤对铁钉做的功全部用于克服阻力做功. (2)铁钉所受阻力与铁钉进入木块的深度的关系.
【自主解答】(1)第一次击入的深度为d, 则阻力f=kd,
此过程铁钉克服阻力所做的功：
W 0f 1 · d kd 2 2 2 1 2
故铁锤对铁钉做的功为 kd 2 (2)设击打第二次后，铁钉进入木块的总深度为d′，此时阻力 为f′=kd′ 则第二次击打铁钉的过程中，铁钉克服阻力所做的功
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速 运动
F F阻 a 0 F阻
BC段

P额 vmห้องสมุดไป่ตู้
，以v m 做匀速
直线运动
2.三个重要关系式 (1)无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的
速度，即 vm
F阻).
P P (式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力 Fmin F阻
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时， 功率最大，速度不是最大，即 v
P P 【解析】选A、B.由牛顿第二定律得F-f=ma， ，即 f F v v
=ma，随着v的增大，物体做加速度减小的加速运动，在v-t图象 上斜率应越来越小，故甲为汽车的速度—时间图象，B对D错； 因速度增加得越来越慢，由 a P f
mv
知，加速度减小得越来
越慢，最后趋于零，故图乙为汽车加速度—时间图象，A对C错.
夹角
0 2
功的正负 W>0
物理意义 力对物体做正功
力对物体做负功，或
2 2
W<0
者说物体克服这个力 做了功
W=0
力对物体不做功
(2)根据力和瞬时速度方向的夹角判断：此法常用于判断质点做
曲线运动时变力做的功，夹角为锐角时做正功，夹角为钝角时
做负功，夹角为直角时不做功. (3)根据能量转化与守恒定律判断:若在该力作用下物体的能量
(2)图线BC段斜率的物理意义.
(3)C点对应的牵引力的物理意义.
【规范解答】(1)分析图线可知：图线AB段代表的过程为牵引力
F不变，阻力f不变，电动车由静止开始做匀加速直线运动；图 线BC段的斜率表示电动车的功率P，P不变为额定功率，达到额 定功率后，则电动车所受牵引力逐渐减小，做加速度减小的变 加速直线运动，直至达最大速度15 m/s；此后电动车做匀速直
线运动.
(3分)
由图象可得，当达到最大速度vmax=15 m/s时，牵引力为Fmin= 400 N
故恒定阻力f=Fmin=400 N
额定功率P=Fminvmax=6×103 W
(1分)
(2分)
(2)匀加速直线运动的加速度
F f 2 000 400 m / s2 2 m / s2 m 800 P (3)匀加速直线运动的末速度 v B 3 m / s F a
考点3
机车的启动
1.机车的输出功率 等于 P=F·v.其中F为机车的牵引力，匀速行驶时，牵引力_____阻力. 2.两种常见的启动方式 最大速度 逐渐减小 (1)以恒定功率启动：机车的加速度_________，达到_________ 时，加速度为零. 逐渐增大 (2)以恒定加速度启动：机车的功率_________，达到额定功率 最大 逐渐减小 后，加速度_________，当加速度减小到零时，速度_____.