高考数学 3.2导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修2-2
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.2导数在实际问题中的应用3.2.1
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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谢谢欣赏！
2019/7/9
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(3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函 数称为边际成本,边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增 加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0) 个单位的成本.
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【变式训练】 假设某国家在20年间通货膨胀率为5%,物价p(单
高中数学第三章导数应用3.2导数在实际问题中的应用教材基础素材北师大版选修2_2
§2 导数在实际问题中的应用导数概念具有很强的实际背景,而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数知识来解决的问题,可以说,导数的知识构成一种思路.在生产建设和科学技术中,要求“用料最省”“体积最大”“效率最高”等问题时,往往可以归纳为求函数的最大值和最小值的问题.这就是导数知识应用的一个方面. 高手支招1细品教材一、实际问题中导数的意义1.导数在实际生活中的应用(1)与几何有关的最值问题;(2)与物理学有关的最值问题;(3)与利润及其成本有关的最值问题;(4)效率最值问题.2.解决问题的思路(1)审题:理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系;(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;(4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案.状元笔记解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问【示例】在某种工业品的生产过程中,每日次品数y 是每日产量x 的函数:y=xx -101,x≤100,该工厂售出一件正品可获利A 元,但生产一题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去. 件次品就损失3A 元,为了获得最大利润,日产量应为多少? 思路分析:最大利润等于正品获利减去次品损失,根据已知条件列出利润关于日产量的函数关系式,利用导数求出最值.解:在每天生产的x 件产品中,x-y(x)是正品数,y(x)是次品数,每日获利总数为T(x)=A(x-y)- 31Ay,要使T(x)取最大值,则T′(x)=A(1-34y′).令T′(x )=0,得y′=43,又y=x x -101,x≤100,由y′=2)101(101x -=43⇒x≈89.4,因此产品个数应是89或90件.又由于T(89)≈79.11A,T(90)≈79.09A,所以每日生产89件将获得最大利润.二、函数最大、最小值问题状元笔记极大、极小值与最大、最小值的区别：函数极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的,函数最大值、最小值是比较整个定义区间上的函数值得到的.1.在闭区间［a,b ］上可导的函数f(x),在［a,b ］上必有最大值和最小值;但在开区间(a,b)内可导的函数f(x)不一定有最大值与最小值.【示例】下列结论正确的是（ ）A.在区间［a,b ］上,函数的极大值就是最大值B.在区间［a,b ］上,函数的极小值就是最大值C.在区间［a,b ］上,函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时达到D.一般地,在［a,b ］上可导的函数f(x)在［a,b ］上必有最大值和最小值思路分析:利用函数极值与最值的定义可直接判断.答案:D2.设f(x)在其定义域［a,b ］上可导,求f(x)的最值步骤如下:(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值;(2)求出f(x)在区间端点的值f(a),f(b);(3)将f(x)的极值与端点处函数值f(a),f(b)进行对比,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【示例】 求下列函数的最值:(1)f(x)=3x-x 3(-3≤x≤3); (2)f(x)=6-12x+x 3,x∈［31-,1］. 思路分析:函数f(x)在给定区间上可导,必有最大值和最小值,因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值,然后与端点处函数值比较即可.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x)=0,得x=±1,∴f(1)=2,f(-1)=-2.又f(-3)=0,f(3)=-18,∴［f(x)］max =2,［f(x)］min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0,∴x=±2.∵当x∈(-2,2)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.∴当x∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(31-)=27269. 高手支招2基础整理函数的“最值”是个整体概念,是整个定义域上的最大值和最小值,具有绝对性、唯一性,多项式函数在某一闭区间上一定存在最值.。
北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数在实际问题中的应用一课件41416
解： R q 收 p q 2 入 5 1 q 2q 5 1 q 2
8
8
利 润 LRC25q1q2(1004q)
8
1q2 8
21q10(00q20)0
L'
1 4
q
21
令 L' 0， 即 1q21 0 求得唯一的极值点
q 84
4
因为L只有一个极值点,所以它是最大值.
答:产量为84时,利润L最大.
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题
建立数学 模型
优化问题的答案
作答
用函数表示的数学问题 解决数学模型
用导数解决数学问题
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
北师大版高中数学选修2-2第三章《导 数应用》导数在实际问题中的应用 (一)课件41416
一、教学目标：1、知识与技能：⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法；⑵会利用导数求解最值。2、过程与方法：通过 分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程。3、情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的 思想方法 二、教学重点：函数建模过程
V(40)为极大值，且为最。 大值
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
高中数学 第三章 导数应用 3.2导数在实际问题中的应用 3.2.2.2 导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)因为次品率
3������
p=4������+32,
所以当每天生产 x 件时,有 x·4������3+������32件次品,
有x
1-
3������ 4������+32
件正品.
所以
T=200x· 1-
3������ 4������+32
-100x·4������3+������32=25·64���������+���-8������2(x∈N+).
用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
������ 3������ +
5
(0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层
建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式;
(2)当隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
第2课时 导数在实际问题中的应用
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
1.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值.
2.解决优化问题的基本思路.
反思解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立 利润的函数关系,常见的基本等量关系有:
(1)利润=收入-成本;
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练 2】 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(单位:吨)与每吨产品的价格 p(单位:元/吨)之间的关系式为 p=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x(元).问该厂每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少万元?
北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件
分析:设法把湿周l 求出来,这是关键
B
h
2013-9-14
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 1 2 3 3 600 h 2b)h ( h b)h ① ∴S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
2013-9-14
当r 2时, f r 0.
' '
由于瓶子的半径为 , 所以每瓶饮料的利润是 r 4 3 r3 2 2 y f r 0.2 πr 0.8πr 0.8π r , 3 3 0 r 6. 令f ' r 0.8π r 2 2r 0.
'
②
半径为 cm时,利润最大 . 2013-9-14 6
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 , 直接 从函数的图象 图 ( 1.4 4)上观察, 你有什么发现? 从图象上容 易看出, 当 r 3 时,
f 3 0, 即瓶子半径是 3cm 时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰
y
r3 2 f r 0.8π r 3
3.2 导数在实际问题中的应用 课件(高中数学北师大版选修2-2)
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最 高等问题,这些问题通常称为 优化 问题.导数是求
函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一
些生活中的优化问题.
问题3
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的
数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x); (2)求函数的 导数f'(x) ,解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 最大(小)者为最大(小)值.
利润最大问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售 量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 a y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 5
x -3
元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售量价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
4 x
2
x 16-x
16-x 4
)=
8
2
4 4 x 2 -16x+128 8
,其面积和为 ,0<x<16.
令 S'=
2x -16 x -8
=
4
=0 得 x=8,当 0<x<8 时,S'<0,当
8<x<16 时,S'>0,所以 x=8 时,面积和 S 取极小值,也 是最小值,最小值为 8.
2
要做一个圆锥形漏斗,其母线长 20 cm,要使其体积 最大,则其高是( A ).
3.2 导数在实际问题中的应用
3.2 导数在实际问题中的应用 第1课时 课件(北师大版选修2-2)
导数应用
第三章 §2 导数在实际问题中的应用
第三章 第1课时 实际问题中导数的意义
1
知能目标解读
2
知能自主梳理
5
探索延拓创新
3
学习方法指导
6
课堂巩固训练
4
思路方法技巧
7
课后强化作业
知能目标解读
• 了解导数在实际问题中的意义． • 本节重点：会解释导数的实际意义． • 本节难点：利用导数的实际意义解题，并能 解释．
• 从上面的分析中可以看出，导数在日常生活 中的应用非常广泛，这需要我们认真理解， 领会导数在不同环境下的具体含义．
• 2．实际问题中平均变化率的意义． • 在实际问题中的平均变化率，也具有一定的 实际意义．x1到x2之间的平均变化率常用来 反映在此段时间内y的平均水平，如在有关 运动问题中的平均速度，平均加速度；在有 关温度变化问题中的平均温度；在有关功与 时间关系中的平均功率等．在解题时注意结 合题意分析平均变化率的实际意义．
学习方法指导
• 1．实际问题中导数的意义． • 在实际问题中，在x＝x0处的导数，往往反 映在x＝x0时函数的瞬时变化率，在不同的 环境中，f′(x0)所表示的含义不同．如在功与 时间的关系中，W′(t0)表示在t＝t0时的功率； 在降雨强度中，f′(t0)表示在t＝t0时的降雨强 度(t0时刻的强度)；在建筑业中，成本y与面 积x之间的关系中，在x＝x0处的导数表示边 际成本；在路程关于时间的函数中，S′(t0) 表示在t＝t0时的瞬时速度．
要弄清在实际问题中导数的意义，一定要正确计算 Δy Δy Δy 和 Δx，并知道它们的实际意义，再看Δx，当 Δx→0 时，Δx趋 于定值的实际意义． [ 点评]
• 3．要理解实际问题中导数的意义，首先要 熟练掌握导数的定义，学习中要通过实际例 子从不同的方面加深对导数定义的理解．另 外，还要学会把“问题情境”译为数学语言， 体会数学是从实践中来，又要应用到实践中 去；体会数学的应用价值，提高学习数学的 兴趣，坚定学好数学的信心．
【精编】高考数学 3.2导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修2-2-精心整理
令 y'=0,即 3x2-3(8-x)2=0,得 x=4.
当 0≤x<4 时,y'<0;当 4<x≤8 时,y'>0.
所以当 x=4 时,y 最小.
答案:B
12345
2.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去
一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容
当 x>5 时,y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴年产量是 475 台时,工厂所得利润最大.
12345
1.将 8 分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( )
A.2 和 6
B.4 和 4
C.3 和 5 D.以上都不对
解析:设其中一个数为 x,则另一个数为
8-x,y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y'=3x2-3(8-x)2,
答案:B
12345
3.函数 f(x)=x3-3ax+a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( )
A.0≤a<1
B.0<a<1
C.-1<a<1
解析:f'(x)=3x2-3a,∵f(x)在(0,1)内有最小值,
D.0<a<12
∴f'(0)<0,f'(1)>0,
∴-a<0,3-3a>0,∴0<a<1.
造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×3���4���+05+6x=38������0+05+6x(0≤x≤10) (2)f'(x)=6-(32������4+050)2,令 f'(x)=0,即(32������4+050)2=6, 解得 x1=5,x2=-235(舍去),当 0<x<5 时,f'(x)<0,当 5<x<10 时,f'(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+1850+05=70,即当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.2导数在实际问题中的应用3.2.2.1
∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c. ∵对任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立, ∴9+8c<c2,即c<-1或c>9.
故c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞). (2)由(1)知,f(x)<f(3)=9+8c,
∴9+8c≤c2,即c≤-1或c≥9,
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
5
求函数
f (x)=������������2
+
������2
12
(x∈(0,1),a>0,b>0)的最值.
1-������
3
4
5
解:f '(x)=-������������22
+
������2 (1-������)2
x f'(x) -
a 0, a + b
a
a +b
0
+
a a + b ,1
f(x) ↘
(a+b)2
↗
由上表可知当 x=������+������ ������时,
f(x)有最小值 f
������ ������+������
=(a+b)2,
且在(0,1)内,函数 f(x)无最大值.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
-
1 3
北师大版高中数学选修2-2课件第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(一)
y
围成的图形中有一个内接
矩形ABCD,求这 个矩形的
最大面积.
解:设B(x,0)(0<x<2), 则
x
A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
令
S(
x)
0
,得x1
2
2
3 3
,
x2
2
2
3 3
.
x1 (0,2), 所以当 因此当点B为(2 2
x
3
2
,0)
23 3
时, S (
x)max
32 9
3
.
时,矩形的最大面积是
32
3 .
3
9 10
3、如图,铁路线上AB段长
C
100km,工厂C到铁路的
距离CA=20km.现在要
答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3 时, 圆柱体的体积最大.
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回顾总结：
1．利用导数解决优化问题的基本思路：
建立 优化问题 数学
模型
优化问题的答 案
作答
用函数表示的数学问 题
解决数学 模型
用导数解决数学问题
15
2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的 统计数据，建立与其相应的数学模型，再 通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往 往是一个有利的工具。
4