奥数知识点 奇偶性初步

奇偶性初识

认识奇数和偶数

奇数：个位是1、3、5、7、9的数，不能被2整除的自然数叫奇数。

（奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数）

偶数：个位是2、4、6、8、0的数，能被2整除的自然数叫偶数。

（偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数）

奇数与偶数运算的特点：

1)偶数±偶数=偶数

2)奇数±奇数=偶数

3)偶数±奇数=奇数

4)奇数±偶数=奇数

5)奇数个奇数相加减=奇数（加减法中，奇数改变运算结果的奇偶性。）

6)偶数个奇数相加减=偶数

7)任意多个偶数相加减=偶数。（加减法中，偶数不改变运算结果奇偶性）

8)奇数×奇数=奇数（奇数个奇数相加=奇数）

9)奇数×偶数=偶数（偶数个奇数相加=偶数）

10)偶数×偶数=偶数（偶数

11)相邻的两个整数必为一奇一偶，它们的积必为偶数，它们的和必为奇数。

12)若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；反过来，如果若干个数的

积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；

13)如果所有因数（乘数）都是奇数，那么积就是奇数。反过来如果若干个数的积是奇数，那

么所有的因数都是奇数。

14)在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇

数肯定不能被偶数整除。

15)偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

因为(2n)2=4n2=4×n2，所以(2n)2能被4整除；

因为(2n+1)2=4n2+4n+1=4×(n2+n)+1，所以(2n+1)2除以4余1。

16)如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一

个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

17)应用题中：偶数恢复原状

例1、一筐苹果，4个4个地拿，最后还剩下1个，问这筐苹果的个数是单数还是双数？

解：4个4个拿，根据任意多个偶数相加为偶数，最后还剩1个，说明原来是单数。

例2、晚上小明在灯下做作业的时候，突然停电，小明去拉了三下开关，爸爸回来后又拉了五下开关，等来电以后，小明房间的灯是亮的还是不亮的？

解：停电前小明正在做作业，说明灯是开着的，根据偶数恢复原状特性：灯是开着的

例3、一辆公共汽车从东站开到西站为开一趟.若这辆车从东站出发，开了11趟之后，这辆车在东站还是西站?

解：根据偶数恢复原状特性：开11次（奇数次），应该在西站。

例4、一只快乐的小鸭子在小河的两岸之间游来游去玩耍，从一岸游到另一岸算游一次。下面小鸭子要跟你捉迷藏，让你猜猜它在哪儿？（1）如果小鸭子最初在左岸，来回游若干次之后，它又回到了左岸，那么这只小鸭子游得次数是奇数还是偶数？（2）如果小鸭子最初在右岸，来回共游101次，小鸭子到了左岸还是右岸？

解：（1）根据偶数恢复原状特性：回到左岸，说明是游了偶数次。

（2）根据偶数恢复原状特性：共游101次（奇数次），说明是游到了左岸。

例5、把11根香蕉分给3个小朋友，不要求每个小朋友分得的香蕉一样多，但分得的香蕉根数应是双数。想一想，能分吗?

解：根据：奇数个奇数相加减=奇数，3个小朋友没办法都分到双数个。

例6、高年级同学做了18朵红花送给低年级6个班级的“三好生”，要求每班得到的朵数是单数，能分吗?

解：根据：偶数个奇数相加减=奇数，6个班的“三好生”都可以分到单数个。

例7、有的电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。

① 一个人拿了三张单号的电影票，这三个号码相加之和等于9，问这三个座位分别是几号? ② 若三张号码相加之和等于24，三个座位各是几号?

解：① 由于都是单数，分别为：N-2、N 、N+2：(N-2)+N+(N+2)=9，N=3

② 由于都是双数，分别为：N-2、N 、N+2：(N-2)+N+(N+2)=24，N=8

例8、小华买了一支铅笔、2块橡皮、2个练习本，付了1元钱，售货员找给他5分钱。小华看了看1支铅笔的价钱是8分，就说：“叔叔，您把账算错啦。”想一想，小华为什么这么快就知道账算错了？

解：由于铅笔是8分钱(偶数)，2块橡皮和2个练习本总价钱一定是偶数，1元=100分 根据：偶数个奇数相加减=偶数，所以总价钱和找零也是一定是偶数。

例9、下式的和是奇数还是偶数？ 1+2+3+4+…+1997+1998

解：根据：偶数个奇数相加减=奇数。算式中有999个奇数相加，所以答案为奇数。

例10、如图，将一个5×5的正方形的每个小方格里填上一个数，这个数是这样产生的：将这个小方格所在的行数与它所在的列数加起来，这个和就是小方格里要填的数．例如：图中小方格中的A ＝3+2＝5，因为A 所在的小方格是在第3行第2列。按这个办法，我们将这个5×5的正方形中的每个小方格都填上数，那么这25个数中，奇数多还是偶数多 ?

解：将每个小方格里的数算出来，数一数奇数和偶数的个数，再比较12个，偶数13个，所以是偶数多。或者：根据：奇数+奇数=偶数，右图中，奇数

例11、如图，将一个6×6的正方形的每个小方格里填上一个数，填数的规则是：这个数等于它所在小方格的行数与列数的和．那么所填的36个数中，奇数多还是偶数多?多几个 ? 解：将每个小方格里的数算出来，数一数奇数和偶数的个数，再比较一下，就知道是奇数多还是偶数多。如右图我们数出奇数有18个，偶数有18个，所以是一样多。或者：根据：右图中，奇数和偶数一样多，所以结果中，偶数应该多于奇数。

例12、能否在下式的□中填上+或-，使得等式成立？ 1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

解：算式中有5个奇数相加，奇数个奇数相加减=奇数，答案为奇数。等式不成立。

例13、有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5张牌的画面都向下吗？

解：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使5张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。

例14、下式的积是奇数还是偶数？ 1×3×5×7×…×2005×2007

解：根据：如果所有因数（乘数）都是奇数，那么积就是奇数。算式中所有的乘数都是奇数，所以积为奇数。

例15、一团乱毛线，小东用剪刀随意剪一次，剪出的端点是奇数个还是偶数个？

解：端点数一定是偶数个。因为每一个线段都明两个端点，任意个偶数相乘结果为偶数。

例16、下式的各是奇数还是偶数？ 1+2+3+…97+98+99+100+99+98+97+…+3+2+1 解：算式中（除了100）每个数字使用了2次，所以计算结果为偶数。

例17、1+2×3+4×5+6×7+…98×99的计算结果是奇数还是偶数，为什么？

解：相邻的两个自然数相乘，结果为偶数。共48个偶数加1个奇数，计算结果为奇数。

例18、东东在做算术题时，写出了如下一个等式：1038=13×75+64，他做得对吗？

解：算式中奇数×奇数=奇数，奇数+偶数=奇数，所以计算结果为奇数。

例19、某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分。

解：由于答对、不答和答错的结果都是得奇数分，题目共有50道，根据：偶数个奇数相加减结果为偶数可以知道，每个人的得分一定是偶数，任意个偶数相加，结果仍为偶数，所以全班的总分应该是偶数。