公开课极坐标和直角坐标的互化PPT课件
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数学：1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》课件
y M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 ((11, 33（ 3）2 2 tan 3 3
1
第三页，编辑于星期日：十一点 四十六分。
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
第四页，编辑于星期日：十一点 四十六分。
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴
重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
第五页，编辑于星期日：十一点 四十六分。
第一页，编辑于星期日：十一点 四十六分。
问题:
极坐标系是怎样定义的?
极坐标系与直角坐标系有何异同?
平面内的一个点的直角坐标是(1, 33 ) 这个点如何用极坐标表示?
第二页，编辑于星期日：十一点 四十六分。
在直角坐标系中,
以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
极坐标和直角坐标的互化 课件
故有|BC|＝|AC|＝|AB|，
即(x＋ 2)2＋(y＋ 2)2＝(x－ 2)2＋(y－ 2)2
＝( 2＋ 2)2＋( 2＋ 2)2，
即xx＋－
22＋y－ 22＋y＋
22＝16， 22＝16，
∴xx22＋＋yy22＋－22
2x－2 2x＋2
2y－12＝0， 2y－12＝0，
① ②
②－①，得y＝－x，
[解题过程] ∵对于点A2，π4有ρ＝2，θ＝π4， ∴x＝ρcos θ＝2cos π4＝ 2，y＝ρsin θ＝2sin π4＝ 2， ∴A( 2， 2)． 对于B2，54π有ρ＝2，θ＝54π， ∴x＝2cos 54π＝－ 2，y＝2sin 54π＝－ 2，∴B(－ 2，－ 2)．
设点C的直角坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，
(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，
于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M 直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化 公式
x＝__ρ_c_o_s_θ_ y＝_ρ_s_in__θ__
ρ2＝___x_2_＋__y_2 __
y tan θ＝__x_____ (和直角坐标的互化
( 1 ) 互 化 背 景 ： 把 直 角 坐 标 系 的 原 点 作 为 _ _ _极_ _点， x 轴 的 正 半 轴 作 为极_ _轴_ _ _ _ ， 并 在 两 种 坐 标 系 中 取 相 同长的度_ _单_ _位_ _ _ _ _ _ ， 如图所示．
的
时
候
的
直
角
坐
标
为(x′，y′)，极坐标为(ρ，θ)，则有x′＝x－x0＝ρcosθ，y′
极坐标系公开课(共24张PPT)
y
M (1, 3 )
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1 , 3 )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
12（3） 2 2 tan 3 3
1
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2x2y2, tan y(x0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
6
练习: 点的直角坐标, 求它们
的极坐标.
A (3, 3)
C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例求两3 已点知间两的点距（离2. ，π3 ）B ，（3，π2 ）
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
o
推广：在极坐标下，任意两点P1(1,1),P2(2,2)
x
之间的距离可总结如下：
以下点的极坐标，求它们的直
角坐标。
A (3, )
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
例2. 将点M的直角坐标 ( 3, 1)
化成极坐标.
解: (3)2 （ 1 ） 22
tan 1 3
3 因为点在第三象限,
3 所以
7
6
因此, 点M的极坐标为( 2, 7 )
有。〔ρ，2kπ+θ〕
•做业：习题1.2 1，3 ，4，5
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 三、点的极坐标的表达式的研究
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 极轴与直角坐标系的x轴的正半
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极坐标与直角坐标 的互化
知识回顾
O
X
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做 极点 ;
引一条射线OX，叫做 极轴 ;
再选定一个长度单位和角度单位及 _它__的__正__方__向__ (通常取 逆时针 方向）, 这样就建立了一个 极坐标系 。
M的极坐标是 _(ρ_,_θ_)__
极径 极角
O
·M
课堂小结
1.点M的直角坐标 (x, y)与极坐标 (ρ,θ)的互化关系
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
2、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将
x = ρcosθ，y = ρsinθ代入再化简即可
3、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcosθ，ρsinθ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
D(0,5) E(4,0) F(0,2)
思路：第一步：求极 径x2 y2
第二:步 求极角 .(先求 tany.再根据该点
x
直角坐标所在象 定的 限值 ， ) 确
类型三 点的直角坐标与极坐标的应用
练习3在极坐标系中,点A(2,
6
)与B(2,
7 6
)
之间的距离为（ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
(1)角的正弦 sin值 y
r
x
(2)角的余弦 co值 sr
(3)角的正切 tan值 y
x
.
y
P(x, y)
r
O
x
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为_极__点__, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位 (x, y)
? M极坐标
M直角坐标
(ρ,θ)
(x, y)
x cos
练习6 课本P15 第4题
高考链接
1.(13年广东模 )在拟极坐标,曲 系线 中
c oss in 1与s inc os 1,
则两曲线交点的 为极 _ 1, _2 坐 __标
2.1 (年 1 安 )在徽 极坐 （ ,2， 标 ）系 到 中 2圆 co s
3
的圆心_的 _3 _距 __ 离为
3.(10年广东模)已拟知直线的极坐为 标方程
X
平面内的一个点既可以用直角坐标表示， 也可以用极坐标表示 互化前提:把直角坐标系的原点作为_极_点___, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并在两种坐标系中 取相同的长度单位
思考1 平面内的一个点的直角坐标是 A(1, 1),则该点极坐标为_(_2_,_4 _) ___
思考2 平面内的一个点的极坐标 是 B(2, ) 则该点直角坐标为（_0_，__2）__
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(
5
,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
A(4, )
3
D(1,)
B(3, )
4
E(2, )
2
C(2, 7 )
6
思路:利用x=ρcosθ, y=ρsinθ计算
类型二 点的直角坐标化为极坐标
例2 将点 M的直角(坐3,标 1)化成极坐标
解： ( 3)2(1)2 312,
tany 1 3
x 3 3
点M在第三象限 ，7
点M的极坐标2， 为 7） （ 6
6
思路：第一步：求极 径x2 y2
第二:步 求极角 .(先求 tany.再根据该点的
x
直角坐标所在象 定的 限值 ， ) 确
练习2将下列点的直角坐标化为极坐标.
A(1, 3) B(3,3) C(3, 3)
24
2
半径为5的圆。 2
5.极坐标方程 sin22cos0
表示的曲线是__抛__物__线_
6.以 (
2
,
4
)为圆心，2
为半径的圆极坐标方程 (C)
A. (si nco)sB. sincos
C. 2(si nco)sD. 2(si nco)s
3.3的 直 角 坐 标 方 程 是
解 t 4a ： n y ta 3 n y ,即 y x (y 0 ) x 4x
4.在极坐标系下不易处理的问题，将它转化到直
角坐标系下来处理会更好。
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
练习5 课本P15的互化
例4、把下列极坐标方 成程 直化 角坐标方程：
(1)2cos 3sin 10 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
sin
2
2,则极点到该直线的 _2 _距 _ 离
4 2
思路:在极坐标系下不易处理的问题，将它转化
到直角坐标系下来处理会更好。
4 . 极 坐 标 方 程 sin 2 c o s所 表 示 的
曲 线 是
解：因给定不 的恒等于,得 零2＝sin 2cos
化成直角坐标x方 2 程 y2 y2x
即(x1)2 (y1)2 5这是以(点 1, 1)为圆心，
2
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为_极__点__, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位
(x, y)
M极坐标
M直角坐标
? (ρ,θ)
(x, y)
知识回顾 3、任意角的三角函数的定义
设是一个任 ,角 意 的角 终边上任 P(x意 ,y)一 ,
它与原点的 r(其 距中 r离 是 x2y2),那么 :
练在 习4极坐标系中A， (2,已 ),B知 (3,点 2),
3
3
33
则AB__7 _求 _S, AOB_2____
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
即x与y的关系式
即ρ与θ的关系式
例3 把下列直角坐标方程化为极坐标方程
（1）y=3
(2) x2+y2-8y=0
ρsinθ=3
ρ=8sinθ
思路：将直角坐标方程化成极坐标方程，只要 将 x 用ρcosθ，y用ρsinθ ,x2 +y2用ρ2代入再化 简即可
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)极坐标是(ρ,θ) 极化直 x=ρcosθ, y=ρsinθ
直化极 2x2y2, tan y(x0)
x 其中角θ的值由该点的象限决定
通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标
时,取 0, 0,2
知识回顾
O
X
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做 极点 ;
引一条射线OX，叫做 极轴 ;
再选定一个长度单位和角度单位及 _它__的__正__方__向__ (通常取 逆时针 方向）, 这样就建立了一个 极坐标系 。
M的极坐标是 _(ρ_,_θ_)__
极径 极角
O
·M
课堂小结
1.点M的直角坐标 (x, y)与极坐标 (ρ,θ)的互化关系
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
2、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将
x = ρcosθ，y = ρsinθ代入再化简即可
3、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcosθ，ρsinθ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
D(0,5) E(4,0) F(0,2)
思路：第一步：求极 径x2 y2
第二:步 求极角 .(先求 tany.再根据该点
x
直角坐标所在象 定的 限值 ， ) 确
类型三 点的直角坐标与极坐标的应用
练习3在极坐标系中,点A(2,
6
)与B(2,
7 6
)
之间的距离为（ D ）
A.1 B.2 C.3 D.4
(1)角的正弦 sin值 y
r
x
(2)角的余弦 co值 sr
(3)角的正切 tan值 y
x
.
y
P(x, y)
r
O
x
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为_极__点__, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位 (x, y)
? M极坐标
M直角坐标
(ρ,θ)
(x, y)
x cos
练习6 课本P15 第4题
高考链接
1.(13年广东模 )在拟极坐标,曲 系线 中
c oss in 1与s inc os 1,
则两曲线交点的 为极 _ 1, _2 坐 __标
2.1 (年 1 安 )在徽 极坐 （ ,2， 标 ）系 到 中 2圆 co s
3
的圆心_的 _3 _距 __ 离为
3.(10年广东模)已拟知直线的极坐为 标方程
X
平面内的一个点既可以用直角坐标表示， 也可以用极坐标表示 互化前提:把直角坐标系的原点作为_极_点___, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并在两种坐标系中 取相同的长度单位
思考1 平面内的一个点的直角坐标是 A(1, 1),则该点极坐标为_(_2_,_4 _) ___
思考2 平面内的一个点的极坐标 是 B(2, ) 则该点直角坐标为（_0_，__2）__
类型一 把点的极坐标化为直角坐标
例1.将点M的极坐标
(
5
,
2 3
)化成直角坐标.
练习1将点的极坐标化为直角坐标。
A(4, )
3
D(1,)
B(3, )
4
E(2, )
2
C(2, 7 )
6
思路:利用x=ρcosθ, y=ρsinθ计算
类型二 点的直角坐标化为极坐标
例2 将点 M的直角(坐3,标 1)化成极坐标
解： ( 3)2(1)2 312,
tany 1 3
x 3 3
点M在第三象限 ，7
点M的极坐标2， 为 7） （ 6
6
思路：第一步：求极 径x2 y2
第二:步 求极角 .(先求 tany.再根据该点的
x
直角坐标所在象 定的 限值 ， ) 确
练习2将下列点的直角坐标化为极坐标.
A(1, 3) B(3,3) C(3, 3)
24
2
半径为5的圆。 2
5.极坐标方程 sin22cos0
表示的曲线是__抛__物__线_
6.以 (
2
,
4
)为圆心，2
为半径的圆极坐标方程 (C)
A. (si nco)sB. sincos
C. 2(si nco)sD. 2(si nco)s
3.3的 直 角 坐 标 方 程 是
解 t 4a ： n y ta 3 n y ,即 y x (y 0 ) x 4x
4.在极坐标系下不易处理的问题，将它转化到直
角坐标系下来处理会更好。
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练习5 课本P15的互化
例4、把下列极坐标方 成程 直化 角坐标方程：
(1)2cos 3sin 10 (2) 4sin
思路:将极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2分别替换成 x，y，和x2 +y2再化简即可 ， 有时要方程两边要先乘以ρ才能转化 ；
sin
2
2,则极点到该直线的 _2 _距 _ 离
4 2
思路:在极坐标系下不易处理的问题，将它转化
到直角坐标系下来处理会更好。
4 . 极 坐 标 方 程 sin 2 c o s所 表 示 的
曲 线 是
解：因给定不 的恒等于,得 零2＝sin 2cos
化成直角坐标x方 2 程 y2 y2x
即(x1)2 (y1)2 5这是以(点 1, 1)为圆心，
2
探究新知
互化前提:把直角坐标系的原点作为_极__点__, x轴的正半轴作为_极__轴__ ,并且两种坐标系中
取相同的长度单位
(x, y)
M极坐标
M直角坐标
? (ρ,θ)
(x, y)
知识回顾 3、任意角的三角函数的定义
设是一个任 ,角 意 的角 终边上任 P(x意 ,y)一 ,
它与原点的 r(其 距中 r离 是 x2y2),那么 :
练在 习4极坐标系中A， (2,已 ),B知 (3,点 2),
3
3
33
则AB__7 _求 _S, AOB_2____
类型四直角坐标方程与极坐标方程的互化
即x与y的关系式
即ρ与θ的关系式
例3 把下列直角坐标方程化为极坐标方程
（1）y=3
(2) x2+y2-8y=0
ρsinθ=3
ρ=8sinθ
思路：将直角坐标方程化成极坐标方程，只要 将 x 用ρcosθ，y用ρsinθ ,x2 +y2用ρ2代入再化 简即可
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是(x, y)极坐标是(ρ,θ) 极化直 x=ρcosθ, y=ρsinθ
直化极 2x2y2, tan y(x0)
x 其中角θ的值由该点的象限决定
通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标
时,取 0, 0,2