黑龙江省鹤岗一中2017-2018学年高一下学期期末考试 数学(理) Word版含答案

鹤岗一中2017-2018学年度下学期期末考试高一数学试题(理科)一、选择题:（每题5分，共12题，满分60分.每题只有一个正确答案）1．如果直线m ⊂平面a ，直线n ⊂平面a ， ,,,M m N n M l N l ∈∈∈∈，则 （ ） A.l α⊂ B.l α⊄ C.lM a = D.l N a =2.若直线a 与b 垂直，⊥b 平面α，则a 与α的位置关系是（ ） A ． α⊥a B ．a ‖α C ．α⊂a D ．α⊂a 或a ‖α3．如图所示，ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( ) A ．A 、M 、O 、A 1不共面 B ．A 、M 、O 三点共线 C ．A 、M 、C 、O 不共面 D ．B 、B 1、O 、M 共面 4.圆台上、下底面面积分别是π、π4，侧面积是π6，则这个圆台的体积是 （ ） A ．π334 B ．π335 C ．π32 D ．π3375.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A ． 22+ B ．221+ C ． 222+ D ．21+ 6.,a b 是空间中不同直线，,αβ是空间中不同平面，下列中正确．．的是 （ ） A ．若直线//a b ，b α⊂，则//a α B ．若平面αβ⊥，a α⊥，则//a βC ．若平面//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a bD ．若,a b αβ⊥⊥，//a b ，则//αβ7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．48.在空间直角坐标系中，点A （1，－2,3）关于平面xoz 的对称点为B ，A 关于x 轴的对称点为C,则B,C 两点间的距离为（ ）9．如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AC 上 B ．直线BC 上 C ．直线AB 上 D ．△ABC 内部(第12题图)10.已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成060角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点,则直线AB 与MN 所成的角为( )A. 060 B.030 C.0120 D.060或030 11．已知四面体满足下列条件（1）有一个面是边长为1的等边三角形；（2）有两个面是等腰直角三角形,那么四面体的体积的取值集合是（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，在正四棱锥ABCD S -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①AC EP ⊥；②//EP BD ；③SBD EP 面//；④SAC EP 面⊥中恒成立的为 （ ）A.①③B.③④C.①②D.②③④二、填空题:（每小题5分，共4题,计20分）13.设有以下四个：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真的序号是 ．14.正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为 ．15.侧棱长为33的正三棱锥ABC V -中，040=∠=∠=∠CVA BVC AVB ，过A 作截面AEF ∆，则截面AEF ∆的周长的最小值为_____________．16．如图，多面体OABCD ，AB=CD=2，且OA ，OB ，OC 两两垂直，给出下列5个结论：①三棱锥O —ABC 的体积是定值； ②球面经过点A 、B 、C 、D 四③直线OB//平面ACD ； ④直线AD 与OB 所成角是600； ⑤二面角A —OC —D 等于300．其中正确的结论是_________．三、解答题：(本大题共6个小题，满分70分.)17.(本小题满分10分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.18．（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，沿矩形的对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上。

（Ⅰ）求证：;1D A BC ⊥（Ⅱ）求证：平面⊥BC A 1平面.1BD A19．(本小题满分12分)如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．（Ⅰ）若点是的中点，求证：平面； （Ⅱ）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为时，求实数的值．20.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面A B C D ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点．（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．21.分）已知四棱锥P —GBCD 中，PG ⊥平面GBCD ，GD ∥BC ，，且BG ⊥GC ，GB=GC=2，E 是BC 的中点，PG=4（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；（2）若F 点是棱PC 上一点，且GC DF ⊥，CF k PF =，求k 的值.22．（本小题满分12分）已知等腰梯形中，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点P ，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．高一数学试题(理科)答案一、选择题二、填空题13.①④ 14.36π 15.9 16.①②④17.解:由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1) V=64 (2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为, 另两个侧面VAB. VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 因此18.证明：（Ⅰ）由于A 1在平面BCD 上的射影O 在CD 上， 则BCD BC BCD O A 平面又平面⊂⊥,1 则O A BC 1⊥ 又,,1O CO O A CO BC =⋂⊥则,,111CD A D A CD A BC 平面又平面⊂⊥故.1D A BC ⊥ （Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以.11B A D A ⊥由（Ⅰ）知,,,1111BC A D A B BC B A D A BC 平面则⊥=⋂⊥ 又.11BD A D A 平面⊂从而有平面⊥BC A 1平面.1BD A 19.解：（Ⅰ）如图，连接AC ，设ACBD Q =，又点E 是PC 的中点，则在PAC ∆中，中位线EQ //PA ， 3分 又EQ ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ．所以//PA 平面BDE 5分（Ⅱ）依据题意可得：2PA AB PB ===，取AB 中点O ，所以PO AB ⊥，且PO =又平面PAB ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ； 6分 作//FM PO 于AB上一点M ，则FM⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥平面PAB ，则PBC ∆为直角三角形 8分所以BC ==，则直角三角形ABP ∆的面积为1=2ABP S AB AD ∆⋅=41=33B AFD F ABD ABD V V S FM FM FM --∆==⋅=⇒ 10分 由//FM PO得：2===3FM FA PO PA λλλ⇒⇒ 12分20.解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=，∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴//AF 平面PEC ；（2）∵60DAB ∠=，∴DE DC ⊥，如图所示，建立坐标系，则 (0,0,1)P ，(0,1,0)C，(2E ，1,0)2A -，1,0)2B，∴1(,1)2AP =-，()0,1,0AB =，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴1020x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取1x =，则2z =，∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =，∵(0,1,1)PC =-，∴设向量n 与PC 所成角为θ，∴cos 147n PC n PCθ⋅===-，∴PC 平面PAB ．21.解法一：（1）如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系o xyz -，则()()()2,0,0,0,2,0,0,0,4B C P 故()1,1,0E10102022||||,cos )4,2,0(),0,1,1(=⋅=⋅>=<-==PC GE PC GE故异面直线GE 与PC 所成角的余弦值为1010. （2）设()0,,F y z3333(0,,)(,,0)(,,),(0,2,0)222233330(,,)(0,2,0)2()0,2222DF OF OD y z y z GC DF GC y z y y =-=--=-=⋅=∴-⋅=-=∴=则在平面PGC 内过F 点作FM GC ⊥，M 为垂足，则21,23==MC GM 3==∴MCGMFC PF ，∴3-=K 解法二： （1）在平面GBCD 内，过C 点作CH //EG 交AD 于H ，连结PH ，则PCH ∠（或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角.在PCH ∆中，18,20,2===PH PC CH 由余弦定理得，cos PCH ∠=∴异面直线GE 与PC 所成角的余弦值为1010. （2）在平面GBCD 内，过D 作DM GC ⊥，M 为垂足，连结MF ，又因为DF GC ⊥∴GC ⊥平面MFD ，MF MFD ⊂面 ∴GC FM ⊥由平面PGC ⊥平面GBCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM //PG由0=⋅GC DF 得GM MD ⊥，∴3cos 452GM GD =⋅=32123===MC GM FC PF ，∴3-=k . 22.（ I ） 由题意可知四边形ABED 是平行四边形，所以ME AM =，故AE M B ⊥1． 又因为AB BE =，M 为AE 的中点所以BM AE ⊥，即.DM AE ⊥又因为AD //BC ， 2.AD CE ==所以四边形ADCE 是平行四边形．所以//.AE CD 故CD DM ⊥．因为平面⊥AE B 1平面AECD ， 平面 AE B 1平面AE AECD =，1B M ⊂平面AECD 所以⊥M B 1平面AECD ．1.B M AE ⊥因为⊂CD 平面AECD ， 所以⊥M B 1CD ． 因为M M B MD =1 ， MD 、⊂M B 1平面MD B 1，所以⊥CD 平面MD B 1．（Ⅱ） 以ME 为x 轴， MD 为y 轴， 1MB 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,3,2(C ，)3,0,0(1B ， )0,0,1(-A ， )0,3,0(D ．平面E AB 1的法向量为)0,3,0(=→MD ．设平面A DB 1的法向量为),,(z y x m =→， 因为)3,0,1(1=→AB ，)0,3,1(=→AD ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303y x z x ， 令1=z 得， )1,1,3(-=→m ． 所以55,cos >=<→→MD m ， 因为二面角E AB D --1为锐角， 所以二面角E AB D --1的余弦值为55． （Ⅲ） 存在点P ，使得//MP 平面1B AD ． 法一: 取线段1B C 中点P ，1B D 中点Q ，连结,,MP PQ AQ ．则//PQ CD ，且1=2PQ CD ． 又因为四边形AECD 是平行四边形，所以//AE CD ． 因为M 为AE 的中点，则//AM PQ ．所以四边形AMPQ 是平行四边形，则//MP AQ ． 又因为AQ ⊂平面1AB D ，所以//MP 平面1AB D ． 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ． 法二：设在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，设11B P B C λ=，（10≤≤λ），(2,,C ，因为11MP MB B P =+．所以(2)MP λ=．因为//MP 平面AD B 1， 所以0MP m ⋅=， 所以033332=-++-λλλ， 解得21=λ， 又因为MP ⊄平面AD B 1， 所以在线段C B 1上存在点P ，使得//MP 平面AD B 1，2111=C B P B ．。