四川省成都七中2020-2021学年高一上学期1月阶段性测试数学试卷试题含答案

成都七中2020-2021学年度（上期）1月阶段性测试2023届高一数学考试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是（ ） A ．π3 B ．π3- C ．π6 D ．π6- 2．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{3，4，5}，B ＝{1，3，6}，则()U A B =（ ）A ．{4，5}B ．{2，4，5，7}C ．{1，6}D ．{3}3．若角α的终边与直线y ＝-x +1相交，则角α的集合为（ ）A ．π5π2π2π,44k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ZB ．3π7π2π2π,44k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3ππ2π2π,44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．π3π2π2π,44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 4．函数2cos(π)()22x f x x x =-+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列函数是偶函数且在(0，+∞)上具有单调性的函数是（ ）A ．()f x x =B ．f (x )＝x 2+x ，x ∈RC ．f (x )＝1-|x |，x ∈RD ．1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩当为有理数时当为无理数时6．已知321()x f x x x+=+，若f (2021)＝a ，则f (-2021)＝（ ） A ．-a B ．2-a C ．4-a D ．1-a 7．已知1133log log a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b >B ．1120222021ba ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ln(a -b )＞0D ．2020a -b ＜18．已知2lg(x -2y )＝lg x +lg y ，则xy的值为（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．14或4 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如[-2.6]＝-3，[2.3]＝2，已知函数2()||1x f x x =+，若函数y ＝f [(x )]的值域集合为Q ，则下列集合不是Q 的子集的是（ ）A ．[0，+∞)B ．{0，2}C ．{1，2}D ．{1，2，3}10．关于函数f (x )＝sin|x |+|sin x |有下述四个结论：①f (x )是偶函数；②f (x )在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③f (x )在[-π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③11．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与标准声调m 0（m 0约为10-12，单位：W/m 2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L （贝尔），即0lg mL m =，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y （分贝）与喷出的泉水高度x （米）满足关系式y ＝2x ，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A 同学大喝一声的声强大约相当于10个B 同学同时大喝一声的声强，则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）米A ．5B ．10C ．45D ．4812．已知函数12log ,02()ππcos ,21663x x f x x x ⎧<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数y ＝f (x )-a 恰有5个零点x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5，a 为实数，则3445123428x x x x x x x x ++-+的取值范围为（ ） A ．594,355⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．57,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．105,73⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．函数6()21f x x =-+在[-2，-1]上的值域是________． 14．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则f (f (-3))＝________． 15．若函数f (x )＝m sin 2x +3cos 2x 的图象关于直线3π8x =对称，则实数m ＝________．16．设函数2()2x f x e x x a =++-（a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线y ＝cos x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设集合A ＝{x |x 2-x -2≤0}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1}，且B ≠∅． （1）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围； （2）若()R BA 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．18．已知函数()x f x ax b =+，a ，b ∈R ，a ≠0，b ≠0，1(1)2f =，且方程f (x )＝x 有且仅有一个实数解；（1）求a 、b 的值；（2）当11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，不等式(x +1)·f (x )＞m (m -x )-1恒成立，求实数m的范围．19．已知函数π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解+析式，并求出f (x )的单调递增区间；（2）将函数f (x )的图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移π6个单位，得到g (x )的图象，若存在2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得等式2a ＝-2g 2(x )+3g (x )+1成立，求实数a 的取值范围．20x π6- π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y-1131-113（1）根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解+析式；（2）根据（1）的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程f (kx )＝m恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润L (x )（万元）关于年产量x （千件）的函数解+析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22．已知函数1()h x x x =+． （1）直接写出h (x )在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间（无需证明）；（2）求h (x )在11,22a a ⎡⎤⎛⎫> ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭上的最大值；（3）设函数f (x )的定义域为I ，若存在区间A ⊆I ，满足：∀x 1∈A ，2I x A ∃∈，使得f (x 1)＝f (x 2)，则称区间A 为f (x )的“Г区间”．已知11(),22f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若1,2A b ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭是函数f (x )的“Г区间”，求实数b 的最大值．成都七中2020-2021学年度（上期）1月阶段性测试2023届高一参考答案一、选择题：1-5 BADAC 6-10 CBBAC 11-12 CD 二、填空题：13．[2，6] 14．0 15．-3 16．[1，e +2] 三、解答题： 17．解：（1）由x 2-x -2≤0，得-1≤x ≤2，则A ＝{x |-1≤x ≤2}． 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，又B ＝{x |2m ＜x ＜1}，且B ≠∅．则1112122m m -≤<⇒-≤<， 所以，m 的取值范围是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． （2）∵A ＝{x |-1≤x ≤2}，∴{|12}RA x x x =<->或，又B ＝{x |2m ＜x ＜1}，且B ≠∅． 若()R A B 中只有一个整数，则-3≤2m ＜-2，得312m -≤<-； 所以，m 的取值范围是3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 18．解：（1）∵()x f x ax b =+，且1(1)2f =；∴112a b =+，即a +b ＝2； 又xx ax b=+只有一个实数解；∴10ax b x ax b --⎛⎫= ⎪+⎝⎭有且仅有一个实数解为0；∴b ＝1，a ＝1；∴()1x f x x =+ (1)x ≠-．（2）∴11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；∴x +1＞0；∴(x +1)f (x )＞m (m -x )-1恒成立⇔(1+m )x ＞m 2-1； 当m +1＞0时，即m ＞-1时，有m -1＜x 恒成立⇔m ＜x +1⇔m ＜(x +1)min ，∴514m -<≤； 当m +1＜0，即m ＜-1时，同理可得max 3(1)2m x >+=；∴此时m 不存在． 综上，m 的取值范围是51,4⎛⎤- ⎥⎝⎦．19．（1）由图象可知：2πππ2362T =-=，所以T ＝π，则2π2T ω==， 又ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z 得π2π6k ϕ=+，又π||2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由π2π22k x -≤ππ2π62k +≤+，k ∈Z 得，ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ； （2）由图象变换得g (x )＝sin x ，所以存在2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得等式2a ＝-2sin 2x +3sin x +1成立， 即2a ＝-2sin 2x +3sin x +1在2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 令t ＝sin x ∈[0，1]，则22312y t t =-++=-2317171,488t ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以17128a ≤≤，即117216a ≤≤． 20．解：（1）绘制函数图象如图所示：设f (x )的最小正周期为T ，得11ππ2π66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭．由2πT ω=得ω＝1． 又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩解得21A B =⎧⎨=⎩， 令5ππ2π62k ωϕ⋅+=+，即5ππ2π62k ϕ+=+，k ∈Z ， 据此可得：π2π3k ϕ=-，又π||2ϕ<，令k ＝0可得π3ϕ=-． 所以函数的解+析式为π()2sin 13f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（2）因为函数π()2sin 13y f kx kx ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为2π3， 又k ＞0，所以k ＝3． 令π33t x =-，因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦． sin t ＝s 在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，等价于函数y ＝sin t 与y ＝s 的图象有两个不同的交点，∴3s ⎫∈⎪⎪⎣⎭， 所以方程f (kx )＝m 在π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的条件是[31,3)m ∈， 即实数m 的取值范围是[31,3)+．21．解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元， 依题意得：当0＜x ＜80时，2211()(0.051000)202003020022L x x x x x x ⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭， 当x ≥80时，1000010000()(0.051000)51600200400L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()L x = 2130200,08021000040 0,80x x x x x x ⎧-+-<<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）当0＜x ＜80时，21()(30)2502L x x =--+， 此时，当x ＝30时，即L (x )≤L (30)＝250万元． 当x ≥80时，1000010000()4004002400200200L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅=-= ⎪⎝⎭， 此时10000x x=，x ＝100，即L (x )≤L (100)＝200万元， 由于250＞200， 所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元22．（1）h (x )在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1，2]上单调递增；（2）由题意知，15(2)22h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ①若112a <≤，则h (x )在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以h (x )的最大值为1522h ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ②若1＜a ≤2，则h (x )在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1，a ]上单调递增，此时15()(2)22h a h h ⎛⎫≤== ⎪⎝⎭， 所以h (x )的最大值为1522h ⎛⎫= ⎪⎝⎭； ③若a ＞2，则h (x )在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1，a ]上单调递增，此时1()(2)2h a h h ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 所以h (x )的最大值为()h a a =+1a 综上知：若122a <≤，则h (x )的最大值为52；若a ＞2，则h (x )的最大值为1a a+． （3）由（1）（2）知： ①当112b <≤时，f (x )在1,2b ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为15,2b b ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，f (x )在[b ，2]上的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∵12b b +≥，有155,2,22b b ⎛⎤⎡⎤+⊆ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，满足11,2x b ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭，∃x 2∈[b ，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，∴此时1,2b ⎡⎫⎪⎢⎣⎭是f (x )的“Г区间”， ②当1＜b ≤2时，f (x )在1,2b ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f (x )在[b ，2]上的值域为15,2b b ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，∵当x 1∈[1，b )时，11()()f x f b b b <=+，∴∃x 1∈[1，b )，使得115(),2f x b b ⎛⎤∉+ ⎥⎝⎦，即∃x 1∈[1，b )，∀x 2∈[b ，2]，f (x 1)≠f (x 2)∴此时1,2b ⎡⎫⎪⎢⎣⎭不是f (x )的“Г区间”， 综上，实数b 的最大值为1．。