高一数学复习题
高一数学必修一函数经典题型复习
1集合题型1：集合的概念，集合的表示1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CB CB ．()()AB A CC ．()()A B B CD ．()A B C4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个题型2：集合的运算例1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ D ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0例2. 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围。
解：当121m m +>-，即2m <时，,B φ=满足B A ⊆，即2m <；当121m m +=-，即2m =时，{}3,B =满足B A ⊆，即2m =；当121m m +<-，即2m >时，由B A ⊆，得12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m <≤；∴3≤m变式：1．设222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈,如果AB B =，求实数a 的取值范围。
A BC2．集合{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,AB φ≠，,AC φ=求实数a 的值。
高一数学复习考点题型专题讲解14 单调性与最大(小)值
高一数学复习考点题型专题讲解第14讲 单调性与最大（小）值一、单选题1．下列四个函数在(),0∞-是增函数的为（ ）A ．()24f x x =+B ．()12f x x =-C ．()21f x x x =--+D ．()32f x x=- 【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【解析】对A ，()24f x x =+二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(),0∞-是减函数，故A 不对．对B ，()12f x x =-为一次函数，0k <，在(),0∞-是减函数，故B 不对．对C ，()21f x x x =--+，二次函数，开口向下，对称轴为12x =-，在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是增函数，故C 不对．对D ，()32f x x=-为反比例类型，0k <，在(),0∞-是增函数，故D 对． 故选：D2．函数1()f x x=的单调递减区间是（ ）A ．(,0),(0,)-∞+∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞ 【答案】A【分析】根据反比例函数的性质得解；【解析】解：因为1()f x x=定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减， 故函数的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞； 故选：A3．定义域为R 的函数()f x 满足:对任意的12,R x x ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->，则有（ ）A ．(2)(1)(3)f f f -<<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(3)(2)(1)f f f <-<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【解析】定义域在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，2x R ∈，有1212()(()())0x x f x f x -⋅->， 可得函数()f x 是定义域在R 上的增函数， 所以(2)f f -<（1）f <（3）． 故选：A ．4．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（ ）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【解析】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B5．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的1x ，[]2,x a b ∈（12x x ≠），则下列结论不正确的是（ ）A ．()()12120f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x ≠ 【答案】C【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【解析】解：由函数的单调性定义知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -，与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B ，D 都正确. 若12x x >，则()()12f x f x >，故选项C 不正确. 故选：C.6．若()f x 是R 上的严格增函数，令()()13F x f x =++，则()F x 是R 上的（ ） A ．严格增函数B ．严格减函数C ．先是严格减函数后是严格增函数D ．先是严格增函数后是严格减函数 【答案】A【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.【解析】解：因为()f x 是R 上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，()+1f x 也是R 上的严格增函数，所以()()13F x f x =++是R 上的严格增函数.故选：A.7．若函数()()2318f x x mx m =-+∈R 在()0,3上不单调，则m 的取值范围为（ ）A ．02m ≤≤B ．02m <<C ．0m ≤D ．2m ≥ 【答案】B【分析】要想在()0,3上不单调，则对称轴在()0,3内【解析】()()2318f x x mx m =-+∈R 的对称轴为32mx =，则要想在()0,3上不单调，则()30,32m∈，解得：()0,2m ∈ 故选：B8．若函数2()21f x x mx =+-在区间(1,)-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞-B ．[4,)+∞C ．[2,)+∞D ．(,2]-∞- 【答案】B【分析】根据二次函数的性质可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，即可解出．【解析】依题意可知，(1,),4m ⎡⎫-+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以14m-≤-，解得4m ≥． 故选：B ．9．函数s ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D【分析】首先求出函数的定义域，再由二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解.【解析】由230x x +≥得3x ≤-或0x ≥，即函数s (][),30,-∞-⋃+∞，又二次函数23t x x =+的图象的对称轴方程为32x =-，所以函数23t x x =+（x ∈(][),30,-∞-⋃+∞）在区间(],3-∞-上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，又函数0)y t =≥为增函数，所以s (],3-∞-． 故选：D10．函数()41f x x x =++在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）A ．103B ．152C ．3D ．4 【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【解析】设1t x =+，则问题转化为求函数()41g t t t =+-在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数()g t 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]2,3上单调递增，所以()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭．故选：B11．已知函数()f x 在[]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(](,01,2022)-∞⋃B ．(](,00,2022)-∞⋃C ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．()(),00,1-∞⋃ 【答案】A【分析】利用换元法以及复合函数的单调性的法则进行处理.【解析】当a =0时，()f x =.当a >0时，设2022t ax =-，则函数y =2022t ax =-在区间[]0,1上单调递减，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10? 20220a a ->⎧⎨-≥⎩，解得12022a <≤.当a <0时，2022t ax =-在区间[]0,1上为增函数，要使函数()f x =在[]0,1上单调递减，则10?202200a a -<⎧⎨-⨯≥⎩，解得a <0.综上，a 的取值范围为(](,01,2022)-∞⋃.故B ，C ，D 错误. 故选：A.12．若函数()()2,12225,1a x ax x f x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪+-<⎩在R 上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A ．81,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．81,5⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(]1,2-D ．()1,2-【答案】B【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.【解析】由题意122201232a a aa ⎧≤⎪⎪+>⎨⎪⎪-≥-⎩，解得815a -<≤，故选：B二、多选题13．（多选）下列函数中，满足“1x ∀，()20x ∞∈+，，都有1212()()0f x f x x x -<-”的有（ ）A ．()1f x x =-B ．()31f x x =-+C ．()243f x x x =++D ．()2f x x=【答案】BD【解析】由题设条件可得()f x 应为()0,∞+上的增函数，逐项判断后可得正确的选项. 【解析】因为1x ∀，()20,x ∈+∞，都有1212()()0f x f x x x -<-，故()f x 应为()0,∞+上的减函数.对于A ，当1x > ，()1f x x =-，则()f x 在()1,+∞上为增函数，故A 错误. 对于B ，()31f x x =-+在()0,∞+上为减函数，故B 正确.对于C ，对称轴20x =-<，故()243f x x x =++在()0,∞+上为增函数，故C 错误.对于D ，()2f x x=在()0,∞+上为减函数，故D 正确. 故选：BD ．14．（多选）若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值可以是（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 【答案】AB【分析】根据一次函数的单调性分0a >和0a <两种情况分别求解最大值和最小值，列出方程得解.【解析】依题意，当0a >时，1y ax =+在2x =取得最大值，在1x =取得最小值，所以()2112a a +-+=，即2a =；当0a <时，1y ax =+在1x =取得最大值，在2x =取得最小值，所以()1212a a +-+=，即2a =-．故选AB ．【点睛】本题考查一次函数的单调性和最值求解，属于基础题.15．（多选）已知函数()()22101x x f x x x -+=≥+，则（ ）A ．()f x 最小值为12B ．()f x 在[]0,1上是增函数C ．()f x 的最大值为1D ．()f x 无最大值 【答案】AC【分析】分0x =和0x ≠两种情况，把函数转化为()111f x x x=-+，利用对勾函数的性质和基本不等式求函数的最值与值域即可.【解析】()2221111x x xf x x x -+==-++， 当0x =时，()1f x =；当0x >时，()111f x x x=-+，此时()f x 在()0,1是减函数，在[)1,+∞上是增函数， 所以()()min 112f x f ==，故A 正确，B 错误； 当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号，所以11012x x<≤+，所以11112x x≤-<1+，此时()112f x ≤<，又0x =时，()1f x =，所以()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 16．设函数()21,21,ax x af x x ax x a-<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（ ） A ．2B ．-1C ．0D ．1 【答案】BC【分析】分0a =，0a >和0a <三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.【解析】解：当x a ≥时，()()222211f x x ax x a a =-+=--+，所以当x a ≥时，()()2min 1f x f a a ==-+，若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，所以此时()min 1f x =-，即()f x 存在最小值， 若0a >，则当x a <时，()1f x ax =-，无最小值， 若0a <，则当x a <时，()1f x ax =-为减函数， 则要使()f x 存在最小值时，则22110a a a ⎧-+≤-⎨<⎩，解得1a ≤-，综上0a =或1a ≤-. 故选：BC.三、填空题17．若函数()22f x x x =-，则()1f 、()1f -、f 之间的大小关系为______．【答案】()()11f f f <<-##()()11f f f ->>【分析】结合二次函数开口和对称轴，判断自变量与对称轴距离，进而判断大小.【解析】因为()()22211f x x x x =---=，因为()f x 开口向上，所以()1f 最小，又()1110,1--=∈，所以()1f f->，所以()()11f f f <<-.故答案为：()()11f f f <<-18．已知函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=，则()1a b -的最大值为______.【答案】94##214##2.25【分析】依题意可得4a b +=，再根据函数的定义域求出a ，b 的取值范围，则()239124a b a ⎛⎫- ⎪⎭-=-+⎝，[]1,2a ∈，根据二次函数的性质计算可得.【解析】解：∵函数()23f x x =-，[]1,2x ∈-，实数a ，b 满足()()10f a f b +-=， ∴()232130a b -+--=，可得4a b +=，[]1,2a ∈-，[]0,3b ∈，又4b a =-，∴[]1,2a ∈，则()()2391324a b a a a -=-=--⎫ ⎪⎭+⎛⎝，[]1,2a ∈， 所以当32a =时，()max 914a b ⎡⎤⎣⎦-=，即32a =，52b =时，()1a b -取得最大值94. 故答案为：9419．已知函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞，则实数a 的值为___________. 【答案】6【分析】去绝对值将()3f x x a =-+转化为分段函数，再根据单调性求解a 的值即可.【解析】因为函数()3,33,3a x a x f x a x a x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，故当3a x ≤时，()f x 单调递减，当3a x >时，()f x 单调递增. 因为函数()3f x x a =-+的增区间是[)2,+∞， 所以23a =，所以6a =. 故答案为：6.20．已知∈a R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________【答案】9-，2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论： ①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x xx=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得：92a =或92a < 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．四、解答题21．指出下列函数的单调区间： （1）13y x =-； （2）12y x=+； （3）21y x =+； （4）21y x x =-+-.【答案】（1）单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间；（2）单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间；（3）单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，；（4）单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）根据一次函数的单调性，由30-<，可得出函数的单调区间； （2）根据反比例函数的单调性可得出函数的单调区间； （3）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间； （4）由二次函数的图象和其对称轴可得出函数的单调区间.【解析】解：（1）函数13y x =-的定义域为()-∞+∞，，因为30-<，所以13y x =-在()-∞+∞，上单调递减，所以13y x =-单调递减区间为()-∞+∞，，没有单调递增区间； （2）函数12y x=+的定义域为()()00-∞∞，，+，因反比例函数1y x=在()0-∞，和()0+∞，上单调递减，所以12y x=+单调递减区间为()0-∞，和()0+∞，，没有单调递增区间； （3）因为函数21y x =+的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向上的抛物线，对称轴为0x =，所以21y x =+的单调递减区间为()0-∞，，单调递增区间为()0+∞，； （4）函数21y x x =-+-的定义域为()-∞+∞，，它的图象是开口向下的抛物线，对称轴为12x =，所以21y x x =-+-的单调递减区间为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，单调递增区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，. 22．（1）在定义域[],a b 上单调递减的函数()f x ，最大值是多少？ （2）若()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增，最小值是多少？ 【答案】（1）()()max f x f a =；（2）()()min f x f u =. 【分析】（1）根据单调递减函数的性质进行求解即可；（2）根据函数的单调性进行求解即可.【解析】（1）因为()f x 是定义域[],a b 上单调递减的函数， 所以()()max f x f a =；（2）因为()f x 在[],a u 上单调递减而在[],u b 上单调递增， 所以()()min f x f u =.23．设a 为实数，已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>，求a 的取值范围. 【答案】()1,+∞【分析】直接根据函数的单调性可得12a a +<，从而可得出答案.【解析】解：因为函数()y f x =在定义域R 上是减函数，且(1)(2)f a f a +>， 所以12a a +<，解得1a >， 所以a 的取值范围()1,+∞. 24．已知函数f (x )=12x x ++，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【答案】证明见解析.【分析】∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函数值大小进而可证得. 【解析】证明：∀x 1，x 2∈(-2，+∞)，且x 1>x 2>-2， f (x )=11122x x x +=-++ 则f (x 1)-f (x 2)=212x -+112x + =1212-(2)(2)x x x x ++，因为x 1>x 2>-2，所以x 1-x 2>0，x 1+2>0，x 2+2>0，所以1212-(2)(2)x x x x ++>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(-2，+∞)上单调递增.25．设函数()f x 的定义域为()4,5-，如果()f x 在()4,0-上是减函数，在()0,5上也是减函数，能不能断定它在()4,5-上是减函数？如果()f x 在()4,0-上是增函数，在[)0,5上也是增函数，能不能断定它在()4,5-上是增函数？ 【答案】见解析【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【解析】取()3,405,05x x f x x x -+-<≤⎧=⎨-<<⎩，则()f x 在()4,-0上是减函数，在()0,5上也是减函数， 但()()0.2 3.2,0.01 4.99f f -==，()()0.20.01f f -<， 因此不能断定()f x 在()4,5-上是减函数. 若取()5,403,05x x f x x x +-<<⎧=⎨+≤<⎩，则()f x 在()4,-0上是增函数，在[)0,5上也是增函数，但()()0.2 4.8,0.01 3.01f f -==，()()0.20.01f f ->， 因此不能断定()f x 在()4,5-上是增函数.26．已知函数f (x )=[](],0,24,2,4x x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩；（1）在图中画出函数f (x )的大致图象.（2）写出函数f (x )的单调递减区间. 【答案】（1）答案见解析；（2）[2，4].【分析】（1）根据分段函数的解析式可画出图象； （2）根据图象观察可得答案.【解析】（1）函数f (x )的大致图象如图所示.（2）由函数f (x )的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].27．函数()f x ，()(),,x a b b c ∈⋃的图像如图所示，有三位同学对此函数的单调性作出如下的判断：甲说函数()f x 在定义域上是增函数；乙说函数()f x 在定义域上不是增函数，但有增区间；丙说函数()f x 的增区间有两个，分别为(),a b 和(),b c .请你判断他们的说法是否正确. 【答案】甲的说法是错误的；乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.【分析】根据函数图象，应用数形结合的思想直接判断甲、乙、丙说法的正误. 【解析】甲的说法是不正确的，乙的说法是正确的，丙的说法是正确的.若取120x b x c <<<<（如上图），则12y y >，与甲的说法矛盾， 故甲的说法是错误的；由甲的说法的错误可知：乙的说法是正确的，这两个增区间分别是(),a b 和(),b c ， ∴丙的说法是正确的.28．画出函数2()1f x x x =-++（11x -剟）的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当12112x x -<剟时，比较()1f x 与()2f x 的大小； （2）是否存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-？ 【答案】（1）()1f x ＜()2f x ；（2）不存在.【分析】（1）根据图象得到函数的单调性，即得解； （2）根据函数的最小值判断得解. 【解析】（1）函数的图象如图所示，当12112x x -<剟时，由于函数单调递增，所以()1f x ＜()2f x ； （2）由图得当1x =-时，函数取到最小值1-， 所以不存在0[1,1]x ∈-，使得()0 2f x =-.29．若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围【解析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴f （x ）＝x 2－x ＋1.（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－54－m ，其对称轴为x ＝32， ∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数，∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.30．已知函数()()a f x x a R x=+∈(1)当1a =，证明函数在()0,1上单调递减；(2)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()371,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求a 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)14a =【分析】(1)利用证明函数单调性的定义()12,0,1x x ∀∈，由1201x x <<<，()()120f x f x ->，可证明函数在()0,1上单调递减.(2)通过讨论参数a ，分别求出0a =，0a <，0a >时()f x 的值即可. （1）证明：若1a =，则()1f x x x=+()12,0,1x x ∀∈，1201x x <<<()()12121212121111f x f x x x x x x x x x -=+--=-+- ()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+= 当()120,1x x ∈时，1201x x <<，所以()()12121210x x x x x x -->所以，函数在()0,1上单调递减. （2）①当0a =时，()f x x =，不满足条件；②当0a <时，易知函数()f x 在定义域内单调递增，则满足：112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37312f =联立()11237312f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，即11122373312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14136a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不满足条件；③当0a >时，令120x x <<<()()()()121212121212x x a a af x f x x x x x x x x x --=+--=- 所以()()12f x f x >，函数在(上单调递减；同理可证，函数在)+∞上单调递增， 所以，函数()f x最小值应在x =当102<时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得14a =，符合条件；当3<函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为()3f ，所以()31f =，解得6a =-，不符合条件；当132≤时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f，所以1f =，解得：14a =，不符合条件； 综上，14a =.31．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时，()0f x >，(4)1f =；(1)求证：1()()f x f x =-；(2)试判断()f x 在(0,)+∞的单调性并用定义证明你的结论； (3)解不等式1(1)(1)2f x f x -++<- 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数；证明见解析(3)【分析】（1）使用赋值法，先令121x x ==求得(1)f ，然后再令121,x x x x==可证；（2）先设120x x >>，然后用21x 代换1212()()()f x x f x f x =+中的2x ，结合1x >时，()0f x >可证；（3）先用赋值法求得11()22f =-，然后将不等式转化为21(1)()2f x f -<，利用单调性去掉函数符号，结合定义域可解. （1）令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，解得(1)0f = 再令121,x x x x ==，则1()()(1)0f x f f x+== 所以1()()f x f x =- （2）()f x 在(0,)+∞上为增函数，证明如下：设120x x >>，则121x x >，因为1x >时，()0f x > 所以11221()()()0xf x f f x x +=>由（1）知221()()f x f x =- 所以1221()()()f x f f x x >-= 所以()f x 在(0,)+∞上为增函数.（3）因为(4)1f =，所以(2)(2)(4)1f f f +==，得1(2)2f =， 又因为11(2)()22f f =-=， 所以11()22f =-， 所以1(1)(1)2f x f x -++<-⇔21(1)()21010f x f x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩由上可知，()f x 是定义在(0,)+∞上为增函数所以，原不等式⇔21121010x x x ⎧-<⎪⎪->⎨⎪+>⎪⎩，解得1x <<. 32．已知函数ty x x=+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．(1)已知()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域； (2)对于（1）中的函数()f x 和函数()2g x x a =--，[]0,1x ∈，若对任意[]10,1x ∈，总存在[]20,1x ∈，使得()()21g x f x =成立，求实数a 的值．【答案】(1)()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]4,3--． (2)32a =【分析】（1）令21t x =+，[]1,3t ∈，将()f x 化为()48h t t t =+-，由对勾函数的单调性可得()f x 的单调区间和值域（2）由题意可得()f x 的值域是()g x 的值域的子集，结合（1）的值域和一次函数的单调性可得()g x 的值域，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围 （1）()2412342182121x x y f x x x x --===++-++． 设21u x =+，[]0,1x ∈，则48y u u =+-，[]1,3u ∈．由已知性质，得当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 由()03f =-，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1113f =-，得()f x 的值域为[]4,3--． （2）因为()2g x x a =--在[]0,1上单调递减， 所以()[]12,2g x a a ∈---．由题意，得()f x 的值域是()g x 的值域的子集， 所以12423a a --≤-⎧⎨-≥-⎩，所以32a =．。
高一上数学集合综合复习题
高一上数学集合综合复习题一、单项选择题1.下列四个关系中,正确的是（ ）A.∅∈{a}B.a ⊆{a}C.{a}∈{a,b,c}D.a ∈{a,b}2.“x ＞6”是“x ＞9”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，子集A ＝{1，3}，B ＝{2，3，4，5}，则A∪∪UB ＝（ ）A.{1，6}B.{1，3}C.{1，3，6}D.{1，3，4，6}4.下列表示错误的是（ ）A.－2∪RB.3∈NC.12∪QD.π∈Q5.下列说法正确的是（）A.0∈∅B.{0}＝∅C.∅⊆{0}D.{0}∈∅6.若集合A＝{x|x2＝16}，B＝{－4，4}，则A与B的关系是（）A.A∈BB.A/⊂BC.A＝BD.无法确定7.设全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，4，x}，且UA＝{0，6，7，8，9}，则x等于（）A.5B.0或5C.6D.08.若不等式|x|<2和x2－2x－3<0的解集分别为A，B，则A∪B等于（）A.（－2，3）B.（－2，1）C.（－1，2）D.（－2，2）9.用描述法表示集合M＝{－1，0，1，2}为（）A.M＝{x|x＞－1}B.M＝{x|－2＜x＜3，x∪Z}C.M＝{x|x＜2}D.M＝{x|－1＜x＜2}10.集合{x－1，x2－1，2}中的x不能取的值是（）A.2B.3C.4D.511.集合{（x，y）｜x＝1，y＝0）表示（）A.1和0的集合B.点（1，0）的集合C.直线x＝1上所有点的集合D.y＝0的所有点的集合12.U＝{1，2，3，4，5}，A＝{3，4，5}，则U A＝（）A.{3，4，5}B.{1，2}C.{1或2}D.{1，2，3，4，5}13.已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{x|x＜3，x∈N}，则A∩B等于（）A.{－1，0，1，2}B.{－1，1，2，3}C.{0，1，2}D.{0，1}14.设全集U＝R，A＝{x|2x－4＞0}，则∁UA等于（）A.{x|x＞2}B.{x|x≥2}C.{x|x＜2}D.{x|x≤2}15.已知集合A＝{x|2x＋px＋q＝0}且－2∪A，1∪A，则p，q的值分别为（）A.1，2B.1，－2C.D.{－1，4}16.“a＝2”是“直线ax＋2y－1＝0与x＋（a－1）y＋2＝0互相平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.“a＋b＝2”是“a，b是方程x2－2x－15＝0的两根”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件18.集合M＝{x|x<3.14}，则下面式子正确的是（）A.e∈AB.e∉AC.e⊆AD.{e}⊇A19.设集合A＝{(x，y）|2x＋y＝6}，B＝{(x，y）|x＋3y＝3}，则A∩B等于（）A.{(3，0）}B.{－3，0}C.{(－3，0）}D.{3，0}20.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形二、填空题21.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－3}，则UA＝.22.集合中元素的三个特性是、、.23.已知集合A＝{2，3，4，5}，A∩B＝{2}，A∪B＝{2，3，4，5，6}，则B＝.24.给定集合A 、B ，定义一种运算⊗，A ⊗B ＝{m ｜m ＝x －y ，x∪A ，y∪B}，若A ＝{4，5}，B ＝{1，2}，则A ⊗B 构成的集合是 .25.用列举法表示集合A ＝6|2x x ∈⎧⎫∈⎨⎬-⎩⎭Z N ＝ .26.若集合A ＝{x|x2－x －6＝0}，B ＝{x|x2＋2x ＝0}，则A∪B ＝ .27.试写出|x|>x 的一个充要条件： .28.“x ＝2”是“x2－4＝0”的 条件.三、解答题29.已知集合A ＝{2，4，6}，且6－a∪A ，求a 的值.30.求命题“集合{x ｜ax2＋4x ＋2＝0}只含有一个元素”的充要条件.31.用适当的方法表示下列集合：（1）方程x2＋x －6＝0的解集；（2）方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝25，3x －4y ＝0的解集； （3）不大于3的正实数构成的集合.32.用列举法表示下列集合：（1）A ＝{||1|2*}x x x N -<∈；（2）B ＝.33.若集合A ＝{x|x2－2x －8＜0}，B ＝{x|x －m ＜0}，且A∩B ＝，求实数m 的取值范围.答案一、单项选择题1.D{(,)|1,,}x y y x x N y N =-∈∈∅2.B 【解析】∪x>6不能推出x>9，而x>9必然推出x>6，∪选B.3.C4.D5.C 【解析】∅是任意集合的子集.6.C7.A8.A 【提示】A ：－2<x<2，B ：（x －3）（x ＋1）<0，解得－1<x<3，∴A ∪B ：－2<x<3.9.B 【提示】由集合中描述法的概念知M ＝{x|－2＜x ＜3，x∪Z}，故选B.10.B11.B12.B 【提示】U A 的元素由U 中不属于A 的元素组成，U A ＝{1，2}，故答案选B.13.D14.D15.B 【提示】分别将－2，1代入集合中的方程组得42010p q p q -+=⎧⎨++=⎩，解方程组得p ＝1，q ＝－2，故答案选B.16.A17.B 【提示】方程x2－2x －15＝0的两根为5和－3，即a ＋b ＝2，但a ＋b ＝2推不出a ，b 为方程x2－2x －15＝0的两个根，故为必要不充分条件．18.A19.A 【提示】联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋3y ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0， 故选A.20.D二、填空题21.{x|x>－3}22.确定性、无序性、互异性【提示】集合元素的基本特性.23.{2，6}24.{2，3，4}25.{－3，－6，6，3，2，1}26.{3，－2，0}27.x<028.充分不必要【提示】 当x2－4＝0时，x ＝2或x ＝－2.三、解答题29.解：∪6－a∪A ，∴a 的值为4，2，0.30.解：对于方程ax2＋4x ＋2＝0，当a ＝0时，4x ＋2＝0，x ＝－12，即{x ｜ax2＋4x ＋2＝0}＝12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；当a≠0时，{x ｜ax2＋4x ＋2＝0}只有一个元素，即方程ax2＋4x ＋2＝0只有一个解，则Δ＝42－4×2×a ＝16－8a ＝0，即a ＝2，综上，集合{x ｜ax2＋4x ＋2＝0}只含有一个元素的充要条件为a ＝0或a ＝2．31.（1）{－3，2} （2）{（4，3）} （3）{x|0<x≤3}32.解：（1）A ＝{1，2}．（2）B ＝{（0，1），（1，0）}33.解：由题意知A＝(－2，4)，B＝{x|x<m}，又∪A∩B＝ ，∴m≤－2.。
高一必修一数学期末复习题及答案
高一数学期末复习（必修一）一、选择题：本大题10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集I ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()I C M N 等于 ( )A.｛0，4｝B.｛3，4｝C.｛1，2｝D. ∅2、设集合2{650}M x x x =-+=，2{50}N x x x =-=，则M N 等于（ ）A.｛0｝B.｛0，5｝C.｛0，1，5｝D.｛0，－1，－5｝3、计算：9823log log ⋅＝（ ）A 12B 10C 8D 64、函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点 ( ) X|k | b| 1 . c|o |mA （0,1）B （0,3）C （1,0）D （3,0）5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ）6、函数y =的定义域是（ ）A {x ｜x ＞0}B {x ｜x ≥1}C {x ｜x ≤1}D {x ｜0＜x ≤1}7、把函数x1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为 （ ） A 1x 3x 2y --=B 1x 1x 2y ---=C 1x 1x 2y ++=D 1x 3x 2y ++-= 8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=，，则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数C f(x)与g(x)都是偶函数D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数9、使得函数2x 21x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A (0，1) B (1，2) C (2，3) D (3，4)10、若0.52a =，πlog 3b =，2log 0.5c =，则（ ）A a b c >>B b a c >>C c a b >>D b c a >> 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11、函数5()2log (3)f x x =++在区间[-2，2]上的值域是______12、计算：2391－ ⎪⎭⎫ ⎝⎛＋3264＝______ 13、函数212log (45)y x x =--的递减区间为______14、函数122x )x (f x -+=的定义域是______ 三、解答题 ：共5小题，满分80分。
高一数学期末复习资料(1-5)总复习题(共5套)
期末复习资料之一 必修1 复习题一、选择题1、 下列函数中，在区间()0,+∞不是增函数的是（ ） A.xy 2= B. x y lg = C. 3x y = D. 1y x=2、函数y ＝log 2x ＋3（x≥1）的值域是（ ）A.[)+∞,2B.（3，＋∞）C.[)+∞,3D.（－∞，＋∞）3、若{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P （ ）A.{|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥ 4、对数式2log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A.a>5,或a<2B.2<a<5C.2<a<3,或3<a<5D.3<a<45、 已知xax f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是（ ）A. 0>aB. 1>aC. 1<aD. 10<<a6、函数y ＝(a 2-1)x在(-∞，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.｜a ｜>1 B.｜a ｜>2C.a>2D.1<｜a ｜<26、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( --8、值域是（0，＋∞）的函数是（ ）A 、125xy -=B 、113xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭C、yD9、函数|log |)(21x x f =的单调递增区间是A 、]21,0( B 、]1,0( C 、（0，+∞） D 、),1[+∞10、图中曲线分别表示l g a y o x =，l g b y o x =，l g c y o x =，l g d y o x =的图象，,,,a b c d 的关系是（ ）A 、0<a<b<1<d<cB 、0<b<a<1<c<dC 、0<d<c<1<a<bD 、0<c<d<1<a<b11、函数f(x)=log 31(5-4x-x 2)的单调减区间为( )A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］12、a=log 0.50.6，b=log 20.5，c=log 35，则( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b13、已知)2(log ax y a -=在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，2)C.(0，2)D.［2，+∞］14、设函数1lg )1()(+=x x f x f ，则f(10)值为（ ）A ．1 B.-1 C.10 D.101 二、填空题 15、函数)1(log 21-=x y 的定义域为 16、．函数y ＝2||1x -的值域为________ 17、将(61)0，2，log 221,log 0.523由小到大排顺序：x18. 设函数()()()()4242xx f x x f x ⎧≥⎪=⎨<+⎪⎩，则()2log 3f =19、计算机的成本不断降低，如果每隔5年计算机的价格降低31，现在价格为8100元的计算机，15年后的价格可降为20、函数),2[log +∞=在x y a 上恒有|y|>1，则a 的取值范围是 。
高一数学试题库
高一数学试题库一、选择题1. 根据函数f(x) = x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。
a) -3b) -2c) 1d) 82. 已知三角形ABC中，角A的余角的两倍等于角B的补角，且角C为直角。
若AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为多少？a) 13 cmb) 17 cmc) 19 cmd) 25 cm3. 若a + b = 7，a^2 + b^2 = 25，则a^3 + b^3的值为多少？a) 52b) 180c) 252d) 302二、填空题1. 若a，b均为正整数，且a + b = 10，则a和b的乘积的最大值为___________。
2. 在等差数列-3, 0, 3, 6, ..., 597中，求共有___________项。
3. 若a，b，c满足2a + b + c = 8，a + 3b + 6c = 26，则a + 2b + 3c的值为___________。
三、解答题1. 某商品原价为200元，现在打折促销，打八折出售。
若小明使用100元买下该商品后还找到了零钱，假设找零钱最少，请问找零多少元？2. 若函数f(x) = 3x - 5与g(x) = 2x + k有且只有一个公共解，求k的值。
3. 求方程x^2 - 7x + 12 = 0的两个根之和和两个根的乘积。
四、应用题1. 甲、乙、丙三人共抓了100只鸟，甲抓的鸟数是乙的一半，乙抓的鸟数是丙的一半。
如果甲、乙、丙三人每人抓了多少只鸟？2. 电脑游戏厅有多个游戏机器，其中1/3的游戏机器是街机，其余的都是电玩。
若电玩机器的台数是街机的4倍，求电脑游戏厅共有多少台游戏机器？3. 甲、乙两人合作种植兰花，甲的工作效率是乙的1.5倍，如果两人合作12天后完成了任务，甲独立完成任务需要多少天？以上为高一数学试题库的一部分，希望可以帮助到你的学习和复习。
请根据题目要求进行选择、填空或解答，并核对你的答案。
祝你学业进步！。
高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解
高一上期数学(必修1+必修4)期末复习培优专题卷附详解高一上学期数学（必修1+必修4）期末复培优专题卷一．选择题1.已知定义域为实数集的函数f（x）的图像经过点（1，1），且对任意实数x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则不等式的解集为（）。
A。
（-∞，1）∪(1，+∞) B。
（-∞，+∞）C。
（1，+∞） D。
（-∞，1）2.对任意x∈[0，2π]，任意y∈（-∞，+∞），不等式-2cosx≥asinx-x恒成立，则实数a的取值范围是（）。
A。
[-3，3] B。
[-2，3] C。
[-2，2] D。
[-3，2]3.定义在实数集上的偶函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=lnx-x+1，若函数g（x）=f（x）+mx有7个零点，则实数m的取值范围为（）。
A。
(-∞，-1/2) B。
(-∞，0)C。
(-1，+∞) D。
(0，+∞)4.定义在实数集上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f （x-1）的图像关于点（1，0）对称，若f（x-2x）+f（2b-b）≤0，且-2≤x≤2，则x-b的取值范围是（）。
A。
[-2，0] B。
[-2，2] C。
[0，2] D。
[0，4]5.设函数f（x）=x^2-2x+1，当x∈[-1，1]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）。
A。
(-∞，-1) B。
(-1，+∞)C。
(-∞，1) D。
(-∞，-2)6.定义域为实数集的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=x^2-x，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥-t+2恒成立，则实数t的取值范围是（）。
A。
[2，3] B。
[1，3] C。
[1，4] D。
[2，4]7.已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f （x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4-cosx；③f（x）=|sinx|；④f（x）=|x|+1.其中为“三角形函数”的个数是（）。
高一数学复习考点题型专题讲解6 等式与不等式性质
高一数学复习考点题型专题讲解第6讲等式与不等式性质一、单选题1．下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A．若x=y，则x+5=y+5B．若a=b，则ac=bcC．若a bc c=，则a=bD．若x=y，则x ya a=【答案】D【分析】利用等式的性质分别对各选项逐一分析判断并作答.【解析】对于选项A，由等式的性质知，若x=y，则x+5=y+5，A正确；对于选项B，由等式的性质知，若a=b，则ac=bc，B正确；对于选项C，由等式的性质知，若a bc c=，则a=b，C正确；对于选项D，由等式的性质知，若x=y，则x ya a=的前提条件为a≠0，D错误．故选：D2．已知0a b c>>>，则以下不等式不正确的是（）A．22ac bc>B．c a c b a b ++>C ．22a ab b >>D ．b a a b> 【答案】D【分析】利用不等式的性质逐项判断即得.【解析】∵0a b c >>>，∴2220,c ac bc >>，故A 正确； ∵0a b c >>>，∴1110,ab a b ><，∴,11c c c c a b a b >+>+，即c a c b a b++>，故B 正确； 由0a b >>可得，22,a ab ab b >>，∴22a ab b >>，故C 正确； 因为0a b >>，所以22a b >，10ab >，所以2211a b ab ab ⨯>⨯，即a b b a>．故D 错误. 故选：D ．3．下列命题正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若ac bc =，则a b = C ．若a b >，则11ab< D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】D【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【解析】对于A ，若0c <，由ac bc >可得：a b <，A 错误； 对于B ，若0c =，则0ac bc ==，此时a b =未必成立，B 错误； 对于C ，当0a b >>时，110ab>>，C 错误；对于D ，当22ac bc >时，由不等式性质知：a b >，D 正确. 故选：D.4．已知a ，b 为实数，则“1a b >>”是“1111a b <--”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据不等式的性质可判断. 【解析】由11111011a b a b a b >>⇒->->⇒<--． 当0a =，2b =时，11111a b a b <>>--¿， 故“1a b >>”是“1111a b <--”的充分不必要条件. 故选：A ．5．已知22t a b =+，221s a b =++，则（ ） A ．t s >B ．t s ≥C ．t s ≤D ．t s < 【答案】C【分析】作差法即可比较大小.【解析】()()()22222110t s a b a b a -=+-++=--≤，故t s ≤，当1a =时，t s =. 故选：C.6．已知2x ≠，1y ≠-，2242M x y x y =+-+，5N =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N >B ．M N <C ．M N =D ．不能确定 【答案】A【分析】采用作差法计算M N -与0的大小关系，由此判断出,M N 的大小关系. 【解析】因为()()222242521x y x y M N x y +-++=-++-=，且2x ≠，1y ≠-，所以0M N ->，所以M N >， 故选：A.7．若a ，b ，c ，d 均为实数，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A ．若,a b c d ><，则a c b d +>+B ．若,a b c d >>，则ac bd > C ．若0,0c d bc ad ab ->->，则0ab <D ．若0,0a bcd >>>>>【答案】D【分析】举特例说明并判断选项A ，B ，利用不等式性质推理判断选项C ，D 即可作答. 【解析】对于A ，如3>2，-3<0，显然3+(-3)<2+0，A 不正确； 对于B ，如3>2，-4>-5，显然3(4)2(5)⨯-<⨯-，B 不正确； 对于C ，因0bc ad ->，而0c d bc adabab--=>，则0ab >，C 不正确； 对于D ，因0c d >>，则110d c >>，又0a b >>，于是得0a b d c >>D 正确. 故选：D8．已知1a 、()21,a ∈+∞，设1211P a a =+，1211Q a a =+，则P 与Q 的大小关系为（ ）A ．P Q >B ．P Q <C ．P Q =D ．不确定 【答案】B【分析】利用作差法可得出P 与Q 的大小关系.【解析】解析：()()()121121212121212121212111111111a a a a a a a a a P Q a a a a a a a a a a a a -+---⎛⎫⎛⎫++-=+-+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为1a 、()21,a ∈+∞，所以110a ->，210a -<，120a a >，所以()()1212110a a P Q a a ---=<，所以P Q <．故选：B．9．设n*∈NAC．不能确定【答案】B【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．22-==.22-==.*n N∈42,31n n n n+>++>+根据不等式的开方性质可以得出再根据不等式相加性质可以得出成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．10．已知14a b≤+≤，12a b-≤-≤，则42a b-的取值范围是（）A．[]4,10-B．[]3,6-C．[]2,14-D．[]2,10-【答案】D【分析】利用待定系数法得出()()423a b a b a b -=++-，并计算出()3a b -的取值范围，利用不等式的性质可得出42a b -的取值范围.【解析】设()()()()42a b x a b y a b x y a x y b -=++-=++-，42x y x y +=⎧∴⎨-=-⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩， ()()423a b a b a b ∴-=++-，14a b ≤+≤Q ，12a b -≤-≤，()336a b ∴-≤-≤，由不等式的性质可得()()2310a b a b -≤++-≤，即24210a b -≤-≤， 因此，42a b -的取值范围是[]2,10-，故选D.【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题. 11．已知ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，有以下4个命题：（1 （2）以2a 、2b 、2c 为边长的三角形一定存在； （3）以2a b +、2b c +、2c a+为边长的三角形一定存在；（4）以ab 、bc 、ca 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【分析】ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案. 【解析】ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，对于（1）：220b c a -=+-+1）正确；对于（2）：()2222220b c a b c bc a +-=+-->不一定成立，因此以2a 、2b 、2c 为边长的三角形不一定存在；故（2）不正确； 对于（3）：0222b c c a a b c ++++-=>，因此以2a b +、2b c +、2c a+为边长的三角形一定存在；故（3）正确；对于（4）： 取5,4,2a b c ===，b c a +>，因此a 、b 、c ，能构成一个三角形的三边，而ac bc ab +<，因此以ab 、bc 、ca 为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确， 所以正确的命题有2个， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是设不妨设a b c ≥≥，则b c a +>，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.12．已知,αβ满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，，则3αβ+的取值范围是A ．137αβ≤+≤B ．313αβ+-5≤≤C ．37αβ+-5≤≤D ．1313αβ+≤≤ 【答案】A【分析】首先利用待定系数法用,2αβαβ++表示出3αβ+，然后利用不等式的性质结合题意确定其取值范围即可.【解析】设()()()()322.αβλαβυαβλυαλυβ+=+++=+++ 比较,αβ的系数，得1,23,λυλυ+=⎧⎨+=⎩从而解得1,2,λυ=-⎧⎨=⎩ 即()()322αβαβαβ+=-+++， 由题得()()11,226αβαβ-++≤-≤≤2≤，两式相加，得137αβ≤+≤. 故选A.【点睛】本题主要考查不等式的性质，函数与方程的思想，待定系数法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多选题13．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -c B ．若a >b ，c >d 则ac >bd C ．若ab >0，bc -ad >0，则c da b >D ．若a >b ，c >d >0，则a b d c> 【答案】AC【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案. 【解析】解：由不等式性质逐项分析：A 选项：由c d >，故c d -<-，根据不等式同向相加的原则a d b c ->-，故A 正确B 选项：若0a b >>，0c d >>则ac bd <，故B 错误；C 选项：0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，化简得0c d a b->，故C 正确； D 选项：1a =-，2b =-，2c =，1d =则1a bd c==-，故D 错误. 故选：AC14．下列命题正确的是（ ）A ．2,,2(1)0a b R a b ∃∈-++≤B ．a ∀∈R ，x R ∃∈，使得ax ＞2C ．ab =0是220a b +=的充要条件D ．a ≥b ＞－1，则11a b a b ≥++【答案】AD【分析】举出一例判断存在命题是否正确，判断A ，举反例判断BC ，由不等式的性质判断D ．【解析】对A ，2,1a b ==-时，22(2)(1)0a b -++=，A 正确； 对B ，0a =时，对任意x ∈R ，0ax =，2>ax 不成立，B 错； 对C ，1,0a b ==时满足0ab =，但此时2210a b +=≠，C 错； 对D ，1a b >-≥，则110a b +≥+>，(1)(1)a b a ab b ab b a +=+≥+=+，则11a b a b≥++，D 正确．故选：AD ．15．设a 、b 为正实数下列命题正确的是（ ） A ．若221a b -=，则1a b -< B ．若111ba-=，则1a b -<C 1=，则1a b -<D ．若1a ≤，1b ≤，则1a b ab -≤-E ．若a b >，则a c b c > 【答案】AD【解析】利用不等式的性质以及反证法证明1a b -<成立即可判断A 选项； 取5a =，56b =判断B 选项； 取4a =，1b =判断C 选项；利用不等式的性质以及作差法判断D 选项； 取0c =，判断E 选项；【解析】对于A ，若a ，b 为正实数，则221100a b a b a b a b a b-=⇒-=⇒->⇒>>+，故0a b a b +>->，若1a b -≥，则111a b a b≥⇒+≤+，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 正确；对于B ，取5a =，56b =，则111b a -=，但5516a b -=->，所以B 不正确；对于C ，取4a =，1b =1=，但31a b -=<不成立，所以C 不正确；对于D ，()()()()2222222211110a b ab a b a b a b ---=+--=--≤，即1a b ab -≤-，所以D 正确；对于E ，取0c =，则a c b c =，所以E 不正确.故选AD.【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题. 16．已知ABC 的角,,A B C 所对边长分别为()(),,,,0,40a b c A B a b c b b c bc >--<+-=，则（ ） A ．a c >B ．59a << C ．5b >D ．5c > 【答案】AC【分析】利用大角对大边及符号法则可得c b a <<，结合条件利用特值法及不等式的性质即得.【解析】在ABC 中，A B >，a b ∴>，又()()0a b c b --<， ∴c b a <<，故A 正确；40b c bc +-=，即411b c+=， 当8b =时，2c =，此时810a <<，故B 错误；又414141411,1b b b c c c b c+<+=+>+=，5,5b c ∴><，故C 正确，D 错误. 故选：AC.17．甲、乙两个项目组完成一项工程，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率u 工作，后一半用速率v 工作；乙项目组在完成工程量的前一半中用速率u 工作，在后一半用速率v 工作，则（ ）A ．如果u v =，则两个项目组同时完工B ．如果u v =，则甲项目组先完工C ．如果u v ≠，则甲项目组先完工D ．如果u v ≠，则乙项目组先完工【答案】AC【分析】设总工程量为1，计算出甲、乙两个项目组做工程的时间，利用作差法可得出结论.【解析】设总工程量为1，甲项目组在做工程的前一半时间内用速率u 工作，后一半用速率v 工作，122t t u v ∴⋅+⋅=甲甲，2t u v ∴=+甲， 乙项目组在完成工程量的前一半中用速率u 工作，在后一半用速率v 工作，11222u v t u v uv+∴=+=乙， 当u v =时，212t u u ==甲，2212u t u u ==乙，t t ∴=乙甲，即甲、乙项目组同时完工； 当u v ≠时， 2t u v =+甲，2u v t uv+=乙， ()()()()22 4202uv u v u v u v v t t u v uv u u v uv u v -+--+∴-==<+-=++甲乙，t t ∴<甲乙，即甲项目组先完工，故选：AC.【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商.18．已知a ，b ，R c ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是（ ）A ．1a b c ++=B ．1ab bc ca ++<C ．c 的最大值为1D ．a 的最小值为-1【答案】ABC【解析】由题可得1ab bc ca a b c ++=++-，设a b c x ++=，则可得22(1)1x x --=，即可解出1a b c ++=，0ab bc ca ++=，判断AB 正确；将条件转化为22(1)0b a b a a +-+-=，利用判别式可求出a 的范围，同理求出c 的范围.【解析】由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=，1ab bc ca a b c ∴++=++-，设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-.2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，22(1)1x x ∴--=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=，故AB 正确；()0ab a b c ∴++=，即()(1)0ab a b a b ++--=.220a b ab a b ∴++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=.由a ，b R ∈知，()()22140a a a ∆=---≥. ∴23210a a --?，解得113a -≤≤，同理可得113c -≤≤，故C 正确，D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题考查根据已知等量关系求范围，解题的关键是根据条件令a b c x ++=，转化出22(1)1x x --=，即可求出1a b c ++=，进一步利用判别式可求出,a c 范围.三、填空题19．用“>”或“<”填空：（1）5x +________2x +；（2）3a b a <⇒_____3b ；（3）5a b a <⇒-______5b -；（4）当c _______0时，a b ac bc >⇒<；（5）1a b a >⇒-______2b -；（6）0,0a b c d ac >><<⇒_______bd .【答案】 > < > < > <【解析】由不等式的性质及推论逐一判断即可得解.【解析】解：（1）∵52>，∴52x x +>+；（2）∵,30a b <>， ∴33a b <；（3）∵,50a b <-<，∴55a b ->-；（4）当0c <时，a b ac bc >⇒<；（5）∵,12a b >->-，∴12a b ->-；（6）∵0,0a b c d >><<，∴0c d ->->，则ac bd ->-，即ac bd <.故答案为：（1）>（2）<（3）>（4）<（5）>（6）<.【点睛】本题考查了不等式的性质及推论，属基础题.20．“a c b d +<+”是“a b <且c d <”的______条件．【答案】必要非充分【分析】根据不等式的性质可知若“a b <且c d <”，则必有“a c b d +<+”成立，通过反例可以说明前者的逆命题不成立.【解析】若“a b <且c d <”，则a c b c b d +<+<+，故“a c b d +<+”成立；若10,100,20,60a c b d ==-=-=-，则9080a c b d +=-<+=-，但,a b c d ><，所以“a c b d +<+”是“a b <且c d <”成立的必要不充分条件.故填必要非充分.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.21．已知|a |<1，则11a +与1－a 的大小关系为________. 【答案】111a a≥-+ 【分析】利用不等式的基本性质求解.【解析】由|a |<1，得－1<a <1，∴1＋a >0,1－a >0，∴0<1－a 2≤1， ∴2111a ≥-， 111∴≥-+a a， 故答案为：111a a ≥-+ 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.22．若,,x a b R ∈，下列4个命题：①232x x +>；②553223a b a b a b +>+；③()2221a b a b +≥+-；④2b a a b+≥，其中正确的序号是_____ 【答案】①③【分析】利用作差、配方可判断①、②、③；根据基本不等式适用的条件可判断④.【解析】对于①，作差可得()2232120x x x +-=-+>，即232x x +>，正确；对于②作差并因式分解()()5532232233a b a b a b a b a b +--=-- ()()()222a b a b a ab b =-+-+，因,a b 符号而变，错误； 对于③，作差配方可得()()()222221110a b a b a b +-+-=-+-≥，正确；对于④，由于符号不定，显然当,a b 小于0不成立.故答案为：①③23．若实数,αβ满足11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，则3αβ+的取值范围为________．【答案】[]1,7【分析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=，再由不等式的性质即可求解.【解析】设()3(2)αβλαβμαβ+++=+，解得1λ=-，2μ=所以()(322)αβαβαβ++-+=+．又11αβ-≤+≤，123αβ≤+≤，()11αβ∴-≤-+≤，()2226αβ≤+≤所以137αβ≤+≤.故答案为：[]1,7．【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形()(322)αβαβαβ++-+=+是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 24．已知a +b +c ＝0，a ＞b ＞c ，则ca的取值范围是_______.【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】首先将a +b +c ＝0变形为b ＝﹣a ﹣c .再将b ＝﹣a ﹣c 代入不等式a ＞b ，b ＞c ，解这两个不等式，即可求得a 与c 的比值关系，联立求得c a 的取值范围.【解析】解：∵a +b +c ＝0，∴a ＞0，c ＜0 ①∴b ＝﹣a ﹣c ，且a ＞0，c ＜0∵a ＞b ＞c∴﹣a ﹣c ＜a ，即2a ＞﹣c ② 解得2c a >-，将b ＝﹣a ﹣c 代入b ＞c ，得﹣a ﹣c ＞c ，即a ＜﹣2c ③ 解得12c a <-， ∴122c a -<<-. 故答案为：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查不等式性质的应用.解决本题的关键是将a +b +c ＝0变形为b ＝﹣a ﹣c ，代入后消去b ，进而求得a 、c 的关系.四、解答题25．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c a c b ->-，那么a b <；(2)若ab c >，0b >，则ca b>；(3)若ac bc >，则a b >；(4)若a b >，c d >，则a c b d ->-．【答案】(1)成立，理由见解析；(2)成立，理由见解析；(3)不成立，理由见解析；(4)不成立，理由见解析；【分析】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.(1)c a c b ->-，a b ∴->-，a b ∴<，故成立.(2)ab c >，0b >,11ab c b b ⋅>⋅∴, 即ca b >.(3)取1,2,1a b c ===-时，满足ac bc >，但是a b >不成立.(4)取1,0,3,1a b c d ====-，满足a b >，c d >，但是a c b d ->-不成立.26．（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<；（3）已知0,0a b c d >><<，求证：ab c d >. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据c d <不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 c d ->-, 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得10ab>,再用同向同正可乘性得出结果. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>,再用同向同正可乘性得出结果. 【解析】证明：（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-.（2）因为0ab >，所以10ab >. 又因为a b >，所以1a b ab ab1⋅>⋅， 即11b a >，因此11a b<.（3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d >>. 又因为0a b >>，则 11a b c d ⋅>⋅， 即ab c d >. 【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.27．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积为2m a ，地板面积为2m b ，(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为2330m ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，设增加的面积为2m t ，则公寓的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由．【答案】(1)30平方米(2)变好了【分析】（1）根据题意列出关于,a b 的等量关系和不等量关系，化简求解即可（2）分式的分子分母同时增加t ，通过作差法比较新的分式与原来分式的大小，从而判断采光效果变好了还是变坏了(1) 根据题意可得：33010%a b a b+=⎧⎪⎨≥⎪⎩ ，则330b a =-，所以10%330a a ≥-，解得：30a ≥，所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米(2) 同时增加窗户面积和地板面积后，比值为a t b t++，则()()()t b a a t a ab tb ab at b t b b b t b b t -++---==+++，因为0,0,b t b a >>>，所以()()0t b a a t a b t b b b t -+-=>++，所以a t a b t b +>+，所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后，公寓的采光效果变好了28．1.已知m n ≠，43x m m n =-，34y n m n =-，比较x 与y 的大小．【答案】x y >【分析】运用作差法，进而分解因式，讨论每个因式的符号，最后得到答案.【解析】()()()()()()43343333x y m m n n m n m m n n m n m n m n -=---=---=--()()222m n m mn n =-++． 因为m n ≠，所以()20m n ->，22223024n n m mn n m ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭， 所以()()2220m n m mn n -++>，所以0x y ->，所以x y >． 29．比较下列各题中两个代数式值的大小：(1))21与)21；(2)()()2211x x ++与()()2211x x x x ++-+．【答案】(1)221)1)≤(2)()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+【分析】利用作差法得出大小关系. (1)))()()221111m m -=--+=-因为0m ≥，所以221)1)0-≤，当且仅当0m =时，取等号.即221)1)≤ (2)()()2211x x ++()()2211x x x x -++-+ ()()2222222121x x x x x ⎡⎤⎡⎤=+--+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为0x ≥，所以()()2222221210x x x x ⎡⎤⎡⎤+--+-≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当0x =时，取等号.故()()2211x x ++()()2211x x x x ≤++-+.30．（1）设0xy <，试比较()22()x y x y +-与()22()x y x y -+的大小；（2）已知13a b <+<，22a b -<-<，求23a b +的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）3172322a b <+<. 【分析】（1）通过作差化简原式等价于()2xy x y --，通过分为 x y >和x y <两种情形得结果；（2）将23a b +用a b +，-a b 线性表示，结合不等式的性质即可得结果.【解析】（1）()()2222()()x y x y x y x y +---+222()()x y x y x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦2()xy x y =--．∵0xy <，∴当 x y >时，0x y ->，2()0xy x y -->，得()()2222()()x y x y x y x y +->-+；当x y <时，0x y -<，2()0xy x y --<，得()()2222()()x y x y x y x y +-<-+．（2）设23()()a b m a b n a b +=++-，则2,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得52m =，12n =-． 则5123()()22a b a b a b +=+--．∵13a b <+<，22a b -<-<， ∴5515()222a b <+<，11()12a b -<--<． ∴35117()()2222a b a b <+--<． 即3172322a b <+<． 31．若实数x ，y ，m 满足||||x m y m ->-，则称x 比y 远离m .(1)若x 比12远离1，求实数x 的取值范围；(2)若1m £，2x y +=，试问：x 与22x y +哪一个更远离m ，并说明理由.【答案】(1)13(,)(,)22-∞+∞； (2)22x y +比x 更远离m ，理由见解析.【分析】（1）由绝对值的几何意义可得112x ->，即可求x 的取值范围；（2）只需比较22||,||x y m x m +--的大小，讨论x m <、x m ≥分别判断代数式的大小关系，即知x 与22x y +哪一个更远离m . (1)由x 比12远离1，则1112x ->-，即112x ->. ∴112x ->或112x -<-，得：12x <或32x >.∴x 的取值范围是13(,)(,)22-∞+∞. (2)因为222()22x y x y m ++=≥≥，有2222||x y m x y m +-=+-，因为2x y +=，所以222244x x y x =-++．从而222||||244||x y m x m x x m x m +---=-+---，①当x m ≥时，22||||x y m x m +---2425x x -+=2572()048x =-+>2244()x x m x m =-+---，即22||||x y m x m +->-；②当x m <时，22||||x y m x m +---2244()x x m x m =-+-+-23242x m x =-+-23232()248x m =-+-， 又1m £，则23208m ->． ∴23232()2048x m -+->，即22||||x y m x m +->-． 综上，22||||x y m x m +->-，即22x y +比x 更远离m ．32．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ac b d>，那么称点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，同时点（c ，d ）是点（a ，b ）的“下位点”(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，判断是否一定存在点P ，满足既是点（c ，d ）的“上位点，又是点（a ，b ）的“下位点”，若存在，写出一个点P 坐标，并证明；若不存在，则说明理由；【答案】(1)点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4）和一个“下位点”坐标是（3，6）（答案不唯一）；(2)存在，证明详见解析.【分析】（1）利用“上位点”和一个“下位点”的定义求解；（2）利用“上位点”和一个“下位点”的定义证明；(1)解：因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义： 若ac b d>，那么称点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，同时点（c ，d ）是点（a ，b ）的“下位点”，所以点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4）和一个“下位点”坐标是（3，6）；(2)因为点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”，所以一定存在点P （a +c ，b +d ）满足既是点（c ，d ）的“上位点，又是点（a ，b ）的“下位点”，证明如下：因为点（a ，b ）是点（c ，d ）的“上位点”， 所以ac b d>，即ad >bc ， 所以220a c c ad cd bc dc ad bc b d dbd d bd d ++----==>+++， 即 a c c b c d +>+，所以点P （a +c ，b +d ）是点（c ，d ）的“上位点， 所以220a c a ab cb ab ad bc ad b d b bd b bd d ++----==<+++， 即 a c a b d b+<+，所以点P （a +c ，b +d ）是点（a ，b ）的“下位点， 综上：点P （a +c ，b +d ）满足既是点（c ，d ）的“上位点，又是点（a ，b ）的“下位点”.。
高一数学复习考点题型专题讲解7 基本不等式
高一数学复习考点题型专题讲解第7讲 基本不等式一、单选题1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-．a b +≤【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A 不正确；由2222()0a b ab a b ++=+≥，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；【解析】由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；由222a b ab +≥-，可得2220a b ab ++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； 当1,1a b =-=-时，不等式不成立，故C 不正确； 当0,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.2．已知0x >，则2x x+的最小值为（ ） A．2C ．．4 【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【解析】因为0x >，则2x x +≥2x x=，即x =“=”， 所以2xx+的最小值为故选：C3．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则下列各式中正确的是（ ）A ．1114ab+…B ．111a b +…C 2D ．11ab…【答案】B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可 【解析】解：因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，所以111112(22)1444a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，A 错误；由基本不等式可知ab 22a b +⎛⎫⎪⎝⎭…＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，2,C 错误；114ab …，D 错误． 故选：B ．4．0ab >是2ba ab+>的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【解析】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a ab+=，2b a ab+>不成立，故0ab >是2b aa b+>的不充分条件； 当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b a a b+>不成立，故0ab >是2b a a b+>的必要条件；综上，0ab >是2b a ab+>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a ab>>，2b a ab+≥=，当且仅当a b =时取等号，所以0ab >是2ba a b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b a a b+>的必要不充分条件. 故选：B.5．已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（ ）A．．4C ．6D ．8 【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得x y的最大值【解析】因为48x y =+≥2，从而4x y ≤．当且仅当44,1x x y y=⇒==时等号成立. 故选：B6．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +2a b +C2a b +D 2a b + 【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【解析】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B7．已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．4D ．6 【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【解析】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4． 故选：C ．8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）．A．)0,02a b a b +>>B ．()22200a b ab a b +≥>>， C()20,011a b a b≥>>+D()002a ba b +>>，【答案】B【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论 【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）故选：B9．下列结论正确的是（ ）A ．当0x >，0y >且21x y +=时，11x y+≤B ．当0x >4≥ C ．当2x ≥时，2x x+的最小值是D ．当0a >时，11a a ++的最小值为1 【答案】B【分析】根据1122x y x yx y x y+++=+结合基本不等式，即可判断A ；直接利用基本不等式即可判断BC ，注意取等号的条件； 根据111111a a a a +=++-++结合基本不等式，即可判断D. 【解析】解：因为0x >，0y >且21x y +=，所以112221233x y x y y x xyx y x y +++=+=+++≥+=+当且仅当2y x x y =，21x y +=，即1x ，1y =113x y +≥+A 错误：当0x >4≥=4x =时等号成立，故B 正确；当0x >时，2x x +≥当且仅当2x x=．即x 但已知条件中2x ≥，故C 错误；当10a +>时，1111121111a a a a +=++-≥=-=++，当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立，但已知条件中0a >，故D 错误．故选：B.10．已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立， 所以41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等 所以9m ≤． 故选：D ．11．若x >1，则22222x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值-1D ．最大值-1 【答案】A【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【解析】因x >1，则()()()2211221*********x x x x x x x -+-+⎡⎤=⋅=-+≥⎢⎥---⎣⎦1，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号. 所以22222x x x -+-有最小值为1.故选：A12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（ ）A ．8B ．．．【答案】B【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【解析】解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44++…当且仅当a b =，c d =，3ab cd=，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、多选题13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（ ）A．x ＋1x ≥2B 2．2212x x +≥D ．2－3x －4x ≥2【答案】AD【分析】取0x <可判断A ；2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D.【解析】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确； 对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误． 故选：AD.14．已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．114ab+B ．11()()4a b ab++≥C 22a b≥+D ．2≥+aba b 【答案】ABC【分析】对A ，利用基本不等式a b +≥B ，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C ，利用()2222a b a b ++≥以及a b +≥D ，利用特殊值即可判断.【解析】解：对A ，114a b ++≥， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故A 正确；对B ，11()224baa b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当“a b =”时“=”成立，故B 正确；对C ()2222a b a b a b a b ++≥≥=++， 当且仅当“a b =”时“=”成立，故C 正确；对D ，当1,2a b ==时，2224123ab a b ⨯==++=2≥+aba b 不成立，故D 错误； 故选：ABC.15．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（ ） A ．当40x =时，y 取得最小值 B ．当45x =时，y 取得最小值 C ．min 320y = D ．min 360y = 【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和80084y x x=⨯+的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x=⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥=，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立， 所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =. 故选：AC .16．设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是（ ） A ．221a b a b ++>+BC．211ab≤+．114a b a b+≤+ 【答案】ABC【解析】利用做差法可判断A ；讨论,a b ，平方作差可判断B ；利用基本不等式可判断C 、D.【解析】对于A ，()222222111110222a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫++-+=-+-+=-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221a b a b ++>+，故A 正确；对于B ，当a b <当a b ≥时，2a b b a b b a =-+=-+≥，a b =时取等号，故B 正确；对于C ，0,0a b >>，2211ab a b ab=≤=++ 当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，0,0a b >>，()11224b a a b ab ab⎛⎫∴++=++≥+ ⎪⎝⎭，114a b a b∴+≥+，当且仅当a b =时取等号，故D 错误. 故选：ABC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．下列不等式正确的是（ ）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥ C ．若x ∈R ，则2111x <+D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 【答案】ABD【解析】利用基本不等式可判断ABD 选项的正误；取0x =可判断C 选项的正误.【解析】对于A 选项，当0x <时，0x ->，则()()112x x xx ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，x R ∈Q ，则222x ≥+，22212x ++==≥，时，即221x +=，显然不成立，等号不成立，22>，B 选项正确；对于C 选项，取0x =，可得2111x =+，C 选项错误；对于D 选项，0x >，()1111224x x x x⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的可能取值为（ ） A．2C．1 【答案】AD【分析】由题设可得()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x 的范围.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立. ∵()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥=+++a b =.∴x ≤A ，D. 故选：AD.三、填空题19．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b 2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a 4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴xy ＋yx ＝－x y y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤－ 2.其中正确的推导过程为________. 【答案】①③【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；③x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.【解析】①∵a ，b 为正实数，∴ba ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得xy ，y x均为负数，∴x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．若0a b <<，且1a b +=，则实数12、b 、2ab 、22a b +中最大的一个是______． 【答案】b【分析】由0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，再结合222a b ab +>，则可判断22122a ab a b b <<<+<，得解.【解析】因为0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，222ab a b <+，因为22222a b a b +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2212a b +>，又()222221a b a a b a b b b b b b +=⋅+<⋅+=-+=，所以2212a b b <+<，又212222a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，1222ab a a >⨯=， 所以122a ab <<.所以22122a ab a b b <<<+<. 故答案为：b .21．若a 、b 、x 、y ∈R ，221x y +=，221a b +=，则ax by +的最大值是______． 【答案】1【分析】利用基本不等式得最大值． 【解析】因为221x y +=，221a b +=，所以22222222222222222()2()()1ax by a x abxy b y a x a y b x b y a b x y +=++≤+++=++=， 当且仅当ay bx =即a xb y =时等号成立．故答案为：1．22．设0,0a b >>，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于___________. 【答案】4-【分析】先分离出参数k ，得11()()k a b a b -++…，然后利用基本不等式求得11()()a b a b -++的最大值即可．【解析】解：由110ka b a b +++…，得11()()k a b a b-++…，11()()(2)(24b a a b a b a b -++=-++-+=-…， 当且仅当a b =时取等号，4k ∴-…，即实数k 的最小值等于4-.故答案为：4-.23．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设()12p a b c =++，则该三角形的面积S =这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，2AB =，则该三角形面积的最大值为___________. 【答案】【分析】计算得到4p =，2c =，6a b +=，根据均值不等式得到9ab ≤，代入计算得到答案.【解析】()142p a b c =++=，2c =，6a b +=，6a b +=≥9ab ≤， 当3a b ==时等号成立.S ==故答案为：24．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-. 【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.四、解答题25．已知实数a 和b ，判断下列不等式中哪些是正确的． (1)222a b ab +≥； (2)222a b ab +≥-(3)2a b+≥ (4)2b a a b+≥； (5)12a a +≥； (6)2b aa b+≥； (7)()()2222a b a b +≥+． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确【分析】（1）由()20a b -≥判断不等式成立. （2）由()20a b +≥判断不等式成立. （3）利用特殊值判断不等式错误. （4）利用特殊值判断不等式错误. （5）利用特殊值判断不等式错误. （6）结合基本不等式判断不等式成立. （7）利用差比较法判断不等式成立. (1)由于()20a b -≥，222220,2a ab b a b ab -+≥+≥，所以不等式正确. (2)由于()20a b +≥，222220,2a ab b a b ab ++≥+≥-，所以不等式正确. (3)当,a b 为负数时，不等式2a b+≥. (4)当,b a a b 为负数时，不等式2b a a b+≥不成立，所以不等式错误. (5)当a 为负数时，不等式12a a +≥不成立，所以不等式错误. (6)依题意,a b 不为零，,b a a b同号，2b a b a a b a b +=+≥，当且仅当1b a =±时等号成立，所以不等式正确.()()()222220a b a b a b +-+=-≥，所以()()2222a b a b +≥+，所以不等式正确.26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2； (3)若0ab <，则2b a ab+≤-． 【答案】(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. (1)取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ (2)0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. (3)0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若0a >，则322a a a +≥； (2)若4ab =，则228a b +≥；(3)若11x -≤≤12； (4)若0ab ≠，则2b aa b+≥； (5)对任意实数a 和b ，2222431a b a b ++≥++．【答案】(1)证明见解析，当且仅当1a =时等号成立； (2)证明见解析，当且仅当2a b ==±时，等号成立．(3)证明见解析，当且仅当x = (4)证明见解析，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明见解析，当且仅当221a b +=时等号成立．【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果． （2）利用基本不等式的应用求出结果．（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果． （4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果． （5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果． (1)证明：由于3232222()()(1)a a a a a a a a a -+=---=-，当0a >时，2(1)0a -≥，所以20(1)a a -≥，即3202a a a -+≥，所以322a a a +≥，当且仅当1a =时，等号成立．(2)证明：因为4ab =，所以2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立． (3)证明：因为11x -≤≤，所以201x ≤≤，210x -≥22(1)122x x +-=，当且仅当221x x =-，即x = (4)证明：因为0ab ≠，当0ab >时，2ba b a a b a b +=+…，当且仅当0a b =≠时，等号成立．当0ab <时，()()2b a b a a b a b +=-+-…，当且仅当0a b =-≠时，等号成立． 综上可得0ab ≠，则2b aa b+≥，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明：对任意实数a 和b ，2211a b ++≥所以222222224411141311a b a b a b a b ++=+++-=-=++++．当且仅当221a b +=时等号成立．28．已知0a >，0b >，21a b +=，求23ab+的最小值．下面是某同学的解答过程：请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案. 【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的， 原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：23a b +≥23a b =，即32a b =时，等号成立，2a b +≥2a b =时，等号成立，显然，32a b =和2a b =不可能同时成立． 正确的解答如下：因为0a >，0b >，21a b +=，所以()2323432888baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++⎪≥+ ⎝⎭当且仅当43b aa b=时，等号成立，即2b =，代入21a b +=，得a =，从而b =因此23ab+的最小值为8+a =，b =29．已知1y x x=+.（1）已知x ＞0，求y 的最小值； （2）已知x ＜0，求y 的最大值． 【答案】（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可【解析】（1）因为x ＞0，所以12y x x=+≥，当且仅当1x x=，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题. 30．已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1运用基本不等式：a b +≥a b =时取得等号），即可求证；()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.【解析】解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x xy+≥（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）.【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.31．已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证： （1）()()()8a b b c a c +++≥；（2111a b c≤++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可.【解析】证明：（1）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以a b +≥b c +≥a c +≥ 三式相乘，得()()()88a b b c a c abc +++≥=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立． （2）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以11ab+≥=11b c +≥=11a c +≥=三式相加，得11122a b c⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，111a b c≤++，当且仅当1a b c ===时，等号成立．32．已知0a >，0b >，且(1a b +．(1)求3311a b +的最小值；(2)是否存在实数,a b ，使得1123a b +？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1a b=+≥12≤ab ，再根据3311a b +≥=求解即可.（2）首先根据基本不等式得到1123a b +≥>，即可判断不存在实数,a b ，使得1123a b +． (1)因为0a >，0b >，(1a b +，a b=+≥a b == 所以12≤ab ．因为3311a b +≥=≥a b == 所以3311a b +的最小值为 (2)因为0a >，0b >，又由（1）知12≤ab ，所以1123a b +≥=≥， 当且仅当23a b =时取等号．因为当且仅当a b ==12ab =，所以1123a b +><,a b ，使得1123a b +． 33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为(m)x ，总造价为y （元）.（1）将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）8000040018400,050y x xx=++<<；（2）当x =为18400.【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得y 表示为关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求何时取何最值.【解析】（1）因为矩形区域的面积为2200m ，故矩形的宽为200x， 绿化的面积为20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+-⎪⎝⎭，中间区域硬化地面的面积为()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，故8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到8000040018400y x x=++， 由4020040x x->⎧⎪⎨->⎪⎩可得050x <<，故8000040018400,050y x x x=++<<. （2）由基本不等式可得80000400184004001840018400x x++≥⨯=，当且仅当x =故当x =18400.【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取. 34．（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？ （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？ （3）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？ 【答案】（1）23；（2）1；（3）2【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. （3）2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.。
高一数学(必修一详细答案)
高一数学（必修一）总复习题集锦一、选择题（70题）1．已知集合M ＝{y |y ＝ax ＋b ，a ≠0，x ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，a ≠0，x ∈R}，下列关于它们的关系结论正确的是( )A ．M PB ．P MC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅[答案] D[解析] 前者表示的是一个一次函数的值的集合，其中的元素是一元实数y ，而后者则是一个以一次函数的图象上的点(x ，y )为元素的集合，因此也就不具有包含、相等关系了，故选D.2．设集合A ＝{x |x ∈Z 且－10≤x ≤－1}，B ＝{x |x ∈Z 且|x |≤5}，则A ∪B 中元素的个数是( )A ．11B ．10C ．16D ．15[答案] C[解析] B ＝{x |－5≤x ≤5，x ∈Z}，A ∪B ＝{x |－10≤x ≤5，x ∈Z}中共有16个元素．3．奇函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且在(－∞，0)上递减，若ab <0，且a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )与0的大小关系是( )A ．f (a )＋f (b )<0B ．f (a )＋f (b )≤0C ．f (a )＋f (b )>0D ．f (a )＋f (b )≥0[答案] B[解析] ∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．∵ab <0. 不妨设b <0∴a >0，又a ＋b ≥0∴a ≥－b >0∴f (a )≤f (－b )又f (－b )＝－f (b )∴f (a )＋f (b )≤0. 4．设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23 C.112D.512[答案] C[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0n ≤1∴13≤n ≤1，同理0≤m ≤14.借助数轴可知M ∩N 的长度在n ＝1，m ＝0时，有最小“长度”值为34－23＝112.5．若f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，则f (2x －1)的定义域为( ) A ．[0，52]B ．[－1,4]C ．[－5,5]D ．[－3,7][答案] A[解析] ∵－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4， ∴f (x )的定义域为[－1,4]．∴要使f (2x －1)有意义，须满足－1≤2x －1≤4， ∴0≤x ≤52.6．(09·四川文)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52[答案] A[解析] 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )得 －12f ⎝⎛⎭⎫12＝12f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴－f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝0， 又12f ⎝⎛⎭⎫32＝32f ⎝⎛⎭⎫12，32f ⎝⎛⎭⎫52＝52f ⎝⎛⎭⎫32， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝0，f ⎝⎛⎭⎫52＝0，故选A.8．如果m x >n x 对于一切x >0都成立，则正数m 、n 的大小关系为( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝n D ．无法确定 [答案] A[解析] 在同一坐标系中，作出y ＝m x 与y ＝n x 的图象，可见有m >n >1或1>m >n >0或m >1>n >0.故选A.9．(2010·全国Ⅰ理，8)设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝5－12，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a [答案] C[解析] a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln2＝1log 2e，而log 23>log 2e >1，所以a <b ，c ＝5－12＝15，而5>2＝log 24>log 23，所以c <a ，综上c <a <b .10．函数y ＝a x －(b ＋1) (a >0且a ≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( ) A ．0<a <1，b >0 B ．0<a <1，b <0 C ．a >1，b <1 D ．a >1，b >0 [答案] D[解析] 由题意及图象可知a >1，x ＝0时，y ＝－b <0即b >0.11．a 13>a 12，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．[0,1)[答案] A[解析] 解法1：a 12有意义∴a ≥0又满足上述不等式 ∴a ≠0两边6次乘方得：a 2>a 3 ∴a 2(a －1)<0∴a <1∴0<a <1.解法2：∵y ＝a x ，当a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数，又13<12且a 13>a 12，∴0<a <1.12．函数y ＝log 13(x 2－6x ＋10)在区间[1,2]上的最大值是( )A ．0B ．log 135C ．log 132D ．1[答案] C[解析] ∵1≤x ≤2时，u ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1为减函数且2≤u ≤5，又y ＝log 13u为减函数，∴y max ＝log 132.13．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c[答案] C[解析] 作差：a －b ＝16(ln8－ln9)<0，a －c ＝110(ln32－ln25)>0，∴c <a <b .点评：本题用数形结合法常因作图不规范造成错解．14．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)>f (a ＋1)C ．f (b －2)<f (a ＋1)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由于f (x )为偶函数 ∴b ＝0当x >0时，f (x )＝log a x ，∵在(0，＋∞)上递减，∴0<a <1 ∴f (b －2)＝f (－2)＝f (2)，又0<a ＋1<2， ∴f (a ＋1)>f (2)，即f (a ＋1)>f (b －2)，故选C.15．(09·湖南理)若log 2a <0，⎝⎛⎭⎫12b>1，则( ) A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0 [答案] D[解析] 由log 2a <0得0<a <1， 由⎝⎛⎭⎫12b >1＝⎝⎛⎭⎫120知b <0. 16．方程x －1＝lg x 必有一个根的区间是( )A ．(0.1,0.2)B ．(0.2,0.3)C ．(0.3,0.4)D ．(0.4,0.5)[答案] A[解析] 设f (x )＝x －1－lg x ，f (0.1)＝0.1>0， f (0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0 ∴f (0.1)f (0.2)<0，故选A.17．实数a 、b 、c 是图象连续不断的函数y ＝f (x )定义域中的三个数，且满足a <b <c ，f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，c )上的零点个数为( )A ．2B ．奇数C ．偶数D ．至少是2[答案] D[解析] 由f (a )f (b )<0 知y ＝f (x )在(a ，b )上至少有一实根，由f (b )f (c )<0知y ＝f (x )在(b ，c )上至少有一实根，故y ＝f (x )在(a ，c )上至少有2实根．18．已知函数f (x )＝e x －x 2＋8x ，则在下列区间中f (x )必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)[答案] B.20．(09·福建文)下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x[答案] A [解析] 函数y ＝1x的定义域为(0，＋∞)，故选A. 21．(09·宁夏 海南文)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值 设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C[解析] 由题意，可画下图：f (x )的最大值在A 点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2y ＝10－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝6，∴f (x )的最大值为6. 22．对任意实数x ＞－1，f (x )是2x ，log 12(x ＋1)和1－x 中的最大者，则f (x )的最小值( )A ．在(0,1)内B ．等于1C ．在(1,2)内D ．等于2[答案] B[解析] 在同一坐标系中，作出函数y ＝2x ，y ＝log 12(x ＋1)，y ＝1－x 的图象，由条件知f (x )的图象是图中实线部分，显见f (x )的最小值在y ＝2x 与y ＝1－x 交点(0,1)处取得．∴最小值为f(0)＝1.23．(江门一中2009～2010高一期末)设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝()A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]由条件知，f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0满足，∴a＝2，故选B.24．(杭州夏衍中学2009年高一期末)下列正确的有几个()①0∈∅②1⊆{1,2,3}③{1}∈{1,2,3}④∅⊆{0}A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]只有④正确．25．满足条件{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案] D[解析]A中一定含有5，由1、3是否属于A可知集合A的个数为22＝4个．即A可能为{5}，{5,1}，{5,3}，{5,1,3}．26．(2010·全国Ⅰ文，2)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁M)()UA．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}[答案] C[解析]∁U M＝{2,3,5}，∴N∩(∁U M)＝{3,5}，∴选C.27．集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁R M≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是()A ．{a |a ≤3}B ．{a |a >－2}C ．{a |a ≥－2}D ．{a |－2≤a ≤2} [答案] C[解析] ∁R M ＝{x |－2≤x <3}．结合数轴可知．a ≥－2时，N ∩∁R M ≠∅.28．(胶州三中2010年模拟)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x <3}，N ＝{x |－1≤x ≤4}，则N ∩∁U M ＝( )A ．{x |－4≤x ≤－2}B ．{x |－1≤x ≤3}C ．{x |3≤x ≤4}D ．{x |3<x ≤4} [答案] C[解析] ∁U M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ∩∁U M ＝{x |3≤x ≤4}．29．(09·全国Ⅱ文)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( )A ．{5,7}B ．{2,4}C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7}[答案] C[解析] ∵M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}．30．(09·北京文)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1≤x <2}B ．A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤1 C ．{x |x <2} D ．{x |1≤x <2} [答案] A[解析] A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <2，B ＝{x |－1≤x ≤1} A ∪B ＝{x |－1≤x <2}，∴选A.31．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C．5D．6[答案] D[解析]S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.32．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，|a－5|}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则a的值为() A．2或－8 B．－8或－2C．－2或8 D．2或8[答案] D[解析]由∁U M＝{5,7}得，M＝{1,3}，所以|a－5|＝3，即a＝2或a＝8.33．已知集合M满足M {a1，a2，a3，a4，a5}，且M∪{a1，a2}＝{a1，a2，a4，a5}，则满足条件的集合M的个数为()A．2 B．3C．4 D．5[答案] C[解析]由条件知，集合M中一定含有a4，a5，一定不含a3，又M {a1，a2，a3，a4，a5}，∴M中可能含有a1，a2，故M＝{a4，a5}或M＝{a1，a4，a5}或M＝{a2，a4，a5}或M＝{a1，a2，a4，a5}．34．已知函数f(x)＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．[－1,3] D．[0,3][答案] A[解析]f(0)＝0，f(1)＝－1，f(2)＝0，f(3)＝3.35．下列函数中，在(－∞，0)上单调递减的函数为()A．y＝xx－1B．y＝3－x2C．y＝2x＋3 D．y＝x2＋2x[答案] A[解析]y＝3－x2，y＝2x＋3在(－∞，0)上为增函数，y＝x2＋2x在(－∞，0)上不单调，故选A.36．函数f(x)＝2x2－mx＋3，在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，则f(1)＝()A．－3 B．7C．13 D．不能确定[答案] C[解析] 对称轴x ＝m4，即x ＝－2.∴m ＝－8，∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3， ∴f (1)＝13.37．函数y ＝x －2x (1≤x ≤2)的最大值与最小值的和为( )A ．0B ．－52C ．－1D ．1[答案] A[解析] y ＝x －2x 在[1,2]上为增函数，当x ＝1时y min ＝－1，当x ＝2时，y max ＝1.故选．40．已知f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝(1－x )x ，则x <0时，f (x )＝( ) A ．－x (1＋x ) B ．x (1＋x ) C ．－x (1－x )D ．x (1－x )[答案] B[解析] 当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(1＋x )·(－x )，∵f (x )为奇函数∴－f (x )＝－x (1＋x )， ∴f (x )＝x (1＋x )，选B.41．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过第一、二、四象限，则直线y ＝ax ＋b 不经过第______象限．( )A ．一B ．二C ．三D ．四[答案] B[解析] ∵抛物线经过一、二、四象限， ∴a >0，－b2a >0，∴a >0，b <0，∴直线y ＝ax ＋b 不经过第二象限．42．(2010·湖南理，8)已知min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.43．(2010·四川文，5)函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1[答案] A[解析] 由题意知，－m2＝1，m ＝－2.44．函数f (x )＝(x －5)0＋(x －2)－12的定义域是( ) A ．{x |x ∈R ，且x ≠5，x ≠2} B ．{x |x >2} C ．{x |x >5}D ．{x |2<x <5或x >5} [答案] D[解析] 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －5≠0x －2>0，∴x >2且x ≠5.45．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f (12)的值是( )A.33B. 3 C ．－ 3D ．9[答案] C[解析] f (12)＝－f (－12)＝－(13)－12＝－ 3.46．函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)满足f (2)＝81，则f (－12)的值为( )A ．±13B ．±3 C.13D ．3[答案] C[解析] f (2)＝a 2＝81 ∵a >0，∴a ＝9，∴答案为C47．若2x ＋2－x ＝5，则4x ＋4－x 的值是( )A ．29B ．27C ．25D ．23[答案] D[解析] 4x ＋4－x ＝(2x ＋2－x )2－2＝23.48．下列函数中，值域为R ＋的是( )A ．y ＝413－x B ．y ＝(14)1－2xC ．y ＝(14)x －1D ．y ＝1－4x[答案] B[解析] y ＝413－x 的值域为{y |y >0且y ≠1} y ＝(14)x －1的值域为{y |y ≥0} y ＝1－4x 的值域为{y |0≤y <1}，故选B.49．当0<a <1时，函数y ＝a x 和y ＝(a －1)x 2的图象只能是下图中的( )[答案] D[解析] 0<a <1，a x 单调递减排除A ，C ，又a －1<0开口向下，∴排除B ，∴选D. 50．定义域为R 的函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1，则f (x )＝( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －13C ．2x －1D ．－2x ＋13[答案] D[解析] ∵f (x )＋2f (－x )＝2x ＋1 (x ∈R ) ∴f (－x )＋2f (x )＝－2x ＋1， 消去f (－x )得，f (x )＝－2x ＋13.51．12log 612－log 62等于( )A ．22B ．12 2C.12D ．3[答案] C[解析] 12log 612－log 62＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12，故选C. 52．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( ) A ．y ＝－log 12(－x )B ．y ＝2＋x1－xC ．y ＝x 2－1D ．y ＝－(x ＋1)2[答案] B[解析] y ＝－log 12(－x )＝log 2(－x )在(－∞，0)上为减函数，否定A ；y ＝x 2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C ；y ＝－(x ＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D ，故选B.53．(09·陕西文)设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0][答案] A[解析] 由题意知M ＝{x |0≤x ≤1}，N ＝{x |－1<x <1}，∴M ∩N ＝[0,1)，故选A. 54．f (x )＝a x ，g (x )＝－log b x 且lg a ＋lg b ＝0，a ≠1，b ≠1，则y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象( )A ．关于直线x ＋y ＝0对称B ．关于直线x －y ＝0对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称 [答案] B[解析] ∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1， f (x )＝a x ，g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x∴f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线x －y ＝0对称．55．(2010·安徽理，2)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪log 12x ≥12，则∁R A ＝( ) A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫22＋∞ D.⎣⎡⎭⎫22，＋∞[答案] A[解析] log 12x ≥12，∴0<x ≤22，∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)，故选A. 56．(2010年延边州质检)函数y ＝xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是( )[答案] C[解析] ∵y ＝xa x|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >0)－⎝⎛⎭⎫1a x (x <0)，∵a >1，∴当x >0时，y ＝a x 单增，排除B 、D ；当x <0时，y ＝－⎝⎛⎭⎫1a x单减，排除A ，故选C.57．若x ∈(e－1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a[答案] C [解析] ∵x ∈(e－1,1)，y ＝ln x 是增函数，∴－1<ln x <0，∵ln 3x －ln x ＝ln x (ln 2x －1)>0，∴c >a ，∵ln x －2ln x ＝－ln x >0，∴a >b ，∴c >a >b .58．设A ＝{x ∈Z|2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R||log 2x |>1}，则A ∩(∁R B )中元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由2≤22－x <8得，－1<x ≤1，∵x ∈Z ，∴x ＝0,1，∴A ＝{0,1}； 由|log 2x |>1，得x >2或0<x <12，∴∁R B ＝{x |x ≤0或12≤x ≤2}，∴A ∩(∁R B )＝{0,1}．59．(09·全国Ⅰ)已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x >0)，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4[答案] C[解析] ∵g (1)＝1，f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，∴f (1)＋g (1)＝2.60．对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b ，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的大致图象如右图所示的实线部分，∴f (x )的值域为(－∞，0]．61．若函数y ＝log a (x ＋b )(a >0，a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则( ) A ．a ＝2，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝2 C ．a ＝2，b ＝1D ．a ＝2，b ＝ 2[答案] A[解析] 将两点(－1,0)和(0,1)代入y ＝log a (x ＋b )得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， 则b －1＝1且a ＝b ，所以a ＝b ＝2.62．(湖南醴陵二校2009～2010高一期末)已知偶函数f (x )在[0,2]上单调递减，若a ＝f (－1)，b ＝f (log 1214)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a >c >bD ．b >c >a[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，∴a ＝f (－1)＝f (1)，b ＝f (log 1214)＝f (2)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫32， ∵1<32<2，f (x )在[0,2]上单调递减，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，∴a >c >b ，故选C.63．下列各函数中在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝log 12(x ＋1)B ．y ＝log 2x 2－1C ．y ＝log 31xD ．y ＝log 13(x 2－4x ＋5)[答案] D64．(09·天津文)设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝⎛⎭⎫120.3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c[答案] B[解析] ∵a ＝log 132＝－log 32∈(－1,0)，b ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，c ＝(12)0.3∈(0,1)，∴b ＞c ＞a .故选B.68．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[35，3)D ．(1,3)[答案] D[解析] 由y ＝(3－a )x －4a 在(－∞，1)上单调递增知，3－a >0，∴a <3； 由y ＝log a x 在[1，＋∞)上递增知a >1，∴1<a <3，排除A 、B 、C ，选D. 69．1．当a >1时，函数y ＝a x ＋1a x －1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数[答案] A[解析] 由a x －1≠0得x ≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又∵f (－x )＝a －x＋1a －x －1＝1a x ＋11a x－1＝1＋a x1－a x＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数．二、填空题（30题）1．U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________. [答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4， ∴p ＋q ＝0.5．若函数f (x )的图象关于原点对称，且在(0，＋∞)上是增函数，f (－3)＝0，不等式xf (x )<0的解集为__________．[答案] (－3,0)∪(0,3) [解析] 画出示意图如图．f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又f (x )的图象关于原点对称．故在(－∞，0)上也是增函数．∵f (－3)＝0，∴f (3)＝0∴xf (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．也可根据题意构造特殊函数解决，例如令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3 (x >0)x ＋3 (x <0).6．函数y ＝3－2x －x 2的增区间为________． [答案] [－3，－1][解析] 函数y ＝3－2x －x 2的定义域为[－3,1]，因此增区间为[－3，－1]． 7．已知二次函数f (x )的图象顶点为A (2,3)，且经过点B (3,1)，则解析式为________． [答案] f (x )＝－2x 2＋8x －5[解析] 设f (x )＝a (x －2)2＋3，∵过点B (3,1)， ∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3， 即f (x )＝－2x 2＋8x －5.8．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－2)＝f (4)，则比较f (1)、f (－1)与c 的大小结果为(用“<”连接起来)______．[答案] f (1)<c <f (－1) [解析] ∵f (－2)＝f (4)，∴对称轴为x ＝－2＋42＝1，又开口向上，∴最小值为f (1)， 又f (0)＝c ，在(－∞，1)上f (x )单调减， ∴f (－1)>f (0)，∴f (1)<c <f (－1)．9．下图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈{22，12，3，π}，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.[答案]22、12、π、 3 [解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数<C 1的底数<C 4的底数<C 3的底数．10．如果x ＝3，y ＝384 ，那么 ＝______.[答案] 3×2n －3[解析] 原式＝＝3×2n －3.11．若函数y ＝f (x )的定义域是(1,3)，则f (3－x )的定义域是________．[答案] (－1,0)[解析] 因为函数y ＝f (x )定义域是(1,3)，所以要使函数y ＝f (3－x )有意义，应有1<3－x <3，即1<(13)x <3，又因为指数函数y ＝(13)x 在R 上单调递减，且(13)0＝1，(13)－1＝3，所以－1<x <0.12．如果x >y >0，比较x y y x 与x x y y 的大小结果为________． [答案] x y y x <x x y y[解析] x y y x x x y y ＝x y y x y －y x －x ＝x y －x y x －y ＝⎝⎛⎭⎫x y y －x .∵x >y >0，∴y －x <0，xy >1，∴0<⎝⎛⎭⎫x y y －x <1， ∴x y y x <x x y y .13．若正整数m 满足10m －1<2512<10m ，则m ＝______.(其中lg2＝0.3010)[答案] 155[解析] 将已知不等式两边取常用对数，则m －1<512lg2<m ， ∵lg2＝0.3010，m ∈Z ＋，∴m ＝155.14．若a ＝log 3π、b ＝log 76、c ＝log 20.8，则a 、b 、c 按从小到大顺序用“<”连接起来为________．[答案] c <b <a[解析] a ＝log 3π>log 33＝1，b ＝log 76<log 77＝1， log 76>log 71＝0，c ＝log 20.8<log 21＝0 ∴c <b <a 15．函数f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)的定义域为________．[答案] [3，＋∞)[解析] 要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|－1≥0x －1>0x －1≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3或x ≤1x >1x ≠2，∴x ≥3. 16．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是__________．[答案] 0<a <12或a >1[解析] 当a >1时，log a 12<0成立，当0<a <1时，log a 12<log a a ，∴12>a >0.17．(lg5)2＋lg2·lg50＝________. [答案] 1[解析] 原式＝(lg5)2＋(1－lg5)(1＋lg5) ＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.18．已知a >b >0，ab ＝105，a lg b ＝106，则ab ＝________.[答案] 10[解析] ∵ab ＝105∴lg a ＋lg b ＝5∵a lg b ＝106∴lg a ·lg b ＝6，又a >b ∴lg a ＝3，lg b ＝2 ∴lg a b ＝lg a －lg b ＝1，∴ab＝10.19．lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6＝________.[答案] 1[解析] 原式＝(1－lg2)(3＋3lg2)＋3lg 22＋lg6－2－lg6 ＝3＋3lg2－3lg2－3lg 22＋3lg 22＋lg6－2－lg6＝1.20．(09·北京理)若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1][解析] f (x )的图像如图．|f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝⎛⎭⎫13x ≥13或1x ≤－13 ∴0≤x ≤1或－3≤x <0 ∴解集为{x |－3≤x ≤1}．21．(09·江苏文)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[答案] 4[解析] 由log 2x ≤2得0<x ≤4，A ＝(0,4]； 由A ⊆B 知a >4，∴c ＝4.22．若log 0.2x >0，则x 的取值范围是________；若log x 3<0，则x 的取值范围是________． [答案] (0,1)，(0,1)23．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上最大值与最小值之差为12，则a ＝________.[答案] 4[解析] 由题意知，log a (2a )－log a a ＝12，∴a ＝4.24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )[答案] 2[解析] 令x 2＋2x －3＝0，∴x ＝－3或1 ∵x ≤0，∴x ＝－3；令－2＋ln x ＝0，∴ln x ＝2 ∴x ＝e 2>0，故函数f (x )有两个零点．25．(湖南省醴陵二校2009～2010高一期末)有下列四个结论：①函数f (x )＝lg(x ＋1)＋lg(x －1)的定义域是(1，＋∞) ②若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，则该函数为偶函数 ③函数y ＝5|x |的值域是(0，＋∞)④函数f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)有且只有一个零点． 其中正确结论的个数为( ) [答案] 3[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0，得x >1，故①正确；∵f (x )＝x α过(2,4)，∴2α＝4，∴α＝2，∴f (x )＝x 2为偶函数，故②正确；∵|x |≥0，∴y ＝5|x |≥1，∴函数y ＝5|x |的值域是[1，＋∞)，故③错；∵f (－1)＝－1＋2－1＝－12<0，f (0)＝0＋20＝1>0，∴f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内至少有一个零点，又f (x )＝x ＋2x 为增函数，∴f (x )＝x ＋2x 在(－1,0)内有且只有一个零点，∴④正确，故正确结论的个数为3.26．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2,3)时，f (x )<0，且f (－6)＝36，则二次函数的解析式为（ ）．[解析] 由条件知f (x )＝a (x ＋2)(x －3)且a >0 ∵f (－6)＝36，∴a ＝1 ∴f (x )＝(x ＋2)(x －3) 满足条件－2<x <3时，f (x )<0. ∴f (x )＝x 2－x －6.27．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )[答案] 10,6[解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10， 当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8. ∴f (x )min ＝f (－1)＝6， f (x )max ＝f (2)＝10.28．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )[答案] (0,1][解析] ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，∴a ≤1，又∵g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，∴a>0，∴0<a≤1.29．(08·重庆理)已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为()[答案]2 2[解析]∵y≥0，∴y＝1－x＋x＋3 ＝4＋2(x＋3)(1－x)(－3≤x≤1)，∴当x＝－3或1时，y min＝2，当x＝－1时，y max＝22，即m＝2，M＝22，∴mM＝2 2.30．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为[m，n]，值域为[－3,1]，则|m－n|的最小值为________．[答案] 2[解析]∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当m≤x≤n时，－3≤y≤1，∴1∈[m，n]，又令－x2＋2x＝－3得，x＝－1或x＝3，∴－1∈[m，n]或3∈[m，n]，要使|m－n|最小，应取[m，n]为[－1,1]或[1,3]，此时|m－n|＝2.三、解答题（30题）1．设全集U＝R，集合A＝{x∈R|－1＜x≤5，或x＝6}，B＝{x∈R|2≤x＜5}；求∁U A、∁U B及A∩(∁U B)．[解析]∁U A＝{x|x≤－1，或5＜x＜6，或x＞6}，∁U B＝{x|x＜2，或x≥5}，A∩(∁U B)＝{x|－1＜x＜2，或x＝5，或x＝6}．2．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a2＋1,2a－1}，若A∩B＝{－3}，求实数a的值．[解析]∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B，∴当a－3＝－3，即a＝0时，A∩B＝{－3,1}，与题设条件A∩B＝{－3}矛盾，舍去；当2a－1＝－3，即a＝－1时，A＝{1,0，－3}，B＝{－4,2，－3}，满足A∩B＝{－3}，综上可知a＝－1.3．已知集合M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}且M＝N.求a、b的值．[解析] 解法1：由M ＝N 及集合元素的互异性得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b2b ＝2a解上面的方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12再根据集合中元素的互异性得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12解法2：∵M ＝N ，∴M 、N 中元素分别对应相同，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2a ＋b 2a ·b ＝2a ·b 2即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0 ①ab (2b －1)＝0 ②∵集合中元素互异，∴a ，b 不能同时为0. 当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍)； 当b ＝12时，由①得a ＝14.∴a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14b ＝124．某班有50名学生，先有32名同学参加学校电脑绘画比赛，后有24名同学参加电脑排版比赛．如果有3名学生这两项比赛都没参加，问这个班有多少同学同时参加了两项比赛？[解析] 设同时参加两项比赛的学生有x 名，则只参加电脑绘画比赛的学生有32－x 名，只参加电脑排版比赛的学生有24－x 名，由条件知，(32－x )＋(24－x )＋x ＋3＝50，∴x ＝9.答：有9名同学同时参加了两项比赛．5．已知y ＋5与3x ＋4成正比例，当x ＝1时，y ＝2. (1)求y 与x 的函数关系式； (2)求当x ＝－1时的函数值；(3)如果y 的取值范围是[0,5]，求相应的x 的取值范围． [解析] (1)设y ＋5＝k (3x ＋4)，∵x ＝1时，y ＝2， ∴2＋5＝k (3＋4)，∴k ＝1. ∴所求函数关系式为y ＝3x －1. (2)当x ＝－1时，y ＝3×(－1)－1＝－4.(3)令0≤3x －1≤5得，13≤x ≤2，∴所求x 的取值范围是[13，2]．6．已知函数f (x )＝x 2－4x －4.①若函数定义域为[3,4]，求函数值域． ②若函数定义域为[－3,4]，求函数值域． ③当x ∈[a －1，a ]时，y 的取值范围是[1,8]，求a .[解析] ①f (x )＝(x －2)2－8开口向上，对称轴x ＝2，∴当x ∈[3,4]时，f (x )为增函数，最小值f (3)＝－7，最大值f (4)＝－4.∴值域为[－7，－4]．②f (x )＝(x －2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，∴最小值为f (2)＝－8， 又f (－3)＝17，f (4)＝－4.(也可以通过比较－3和4哪一个与对称轴x ＝2的距离远则哪一个对应函数值较大，开口向下时同样可得出．)∴最大值为17，值域为[－8,17]．③∵f (x )＝(x －2)2－8，当x ∈[a －1，a ]时y 的取值范围是[1,8]，∴2∉[a －1，a ]．当a <2时，函数f (x )在[a －1，a ]上是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (a －1)＝8f (a )＝1∴a ＝－1； 当a －1>2即a >3时，f (x )在[a －1，a ]上是增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧f (a －1)＝1f (a )＝8∴a ＝6.综上得a ＝－1或a ＝6. 7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，当x ＝2时，函数取得最大值2，其图象在x 轴上截得线段长为2，求其解析式．[解析] 解法1：由条件知a <0，且顶点为(2,2)， 设f (x )＝a (x －2)2＋2，即y ＝ax 2－4ax ＋4a ＋2， 设它与x 轴两交点为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则 x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4＋2a，由条件知，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝16－4(4＋2a)＝－8a＝2，∴a ＝－2， ∴解析式为f (x )＝－2x 2＋8x －6.解法2：由条件知f (x )的对称轴为x ＝2，设它与x 轴两交点为A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 1<x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 1＝2x 1＋x 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝3，故可设f (x )＝a (x －1)(x －3)， ∵过(2,2)点，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2x 2＋8x －6. 8．根据已知条件求值：(1)已知x ＋1x ＝4，求x 3＋x －3的值．(2)已知a 2x＝2－1，求a 3x －a －3xa x －a －x的值．[解析] (1)∵x ＋1x ＝4两边平方得x 2＋1x 2＝14∴x 3＋1x 3＝(x ＋1x )(x 2＋1x 2－1)＝4(14－1)＝52.(2)a 3x －a －3x a x －a －x ＝a 2x ＋1＋a －2x＝(2－1)＋1＋12－1＝22＋1.9．求使不等式(1a )x 2－8>a －2x成立的x 的集合(其中a >0且a ≠1)．[解析] 原不等式等价于a－x 2＋8>a－2x.(1)当a >1时，上面的不等式等价于－x 2＋8>－2x ，即x 2－2x －8<0，解得－2<x <4. (2)当0<a <1时，上面的不等式等价于 －x 2＋8<－2x ，即x 2－2x －8>0， 解得x <－2或x >4.∴原不等式的解集为：当a >1时为{x |－2<x <4}；当0<a <1时为{x |x <－2或x >4}． 10．某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格p 的函数，且Q 1＝288(12)p ＋12，Q 2＝6×2p ，日成本C 关于日产量Q 2的关系为C ＝10＋13Q 2.(1)当Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求均衡价格p ； (2)当Q 1＝Q 2时日利润y 最大，求y .[解析] (1)当Q 1＝Q 2时，即288(12) p ＋12＝6×2p ，令2p ＝t ，代入得288·1t ＋12＝6×t ，所以t 2－2t －48＝0，解得t ＝8或t ＝－6，因为t ＝2p >0，所以t ＝8，所以2p ＝8，所以p ＝3.(2)日利润y ＝p ·Q 2－C ＝p ·Q 2－(10＋13Q 2)＝(p －13)Q 2－10，所以y ＝(p －13)×6×2p －10.当Q 1＝Q 2时，p ＝3，代入得y ＝118.答：当Q 1＝Q 2时，均衡价格为3，此时日利润为118.11．函数f (x )＝2x (ax 2＋bx ＋c )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ·x 2(x ∈R )，求常数a 、b 、c 的值． [解析] 由题设ax 2＋(4a ＋b )x ＋2a ＋2b ＋c ＝x 2由待定系数法⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14a ＋b ＝02a ＋2b ＋c ＝0，∴a ＝1，b ＝－4，c ＝6.12．设A ＝{x ∈R|2≤x ≤π}，定义在集合A 上的函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的最大值比最小值大1，求a 的值．[解析] a >1时，y ＝log a x 是增函数，log a π－log a 2＝1，即log a π2＝1，得a ＝π2.0<a <1时，y ＝log a x 是减函数，log a 2－log a π＝1，即log a 2π＝1，得a ＝2π.综上可知a 的值为π2或2π.13．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域； (2)判断y ＝f (x )的奇偶性； (3)求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)依题意有1＋x1－x >0，即(1＋x )(1－x )>0，所以－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为函数的定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝log a (1＋x 1－x )－1＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，因此y ＝f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0得，log a 1＋x1－x >0(a >0，a ≠1)，①当0<a <1时，由①可得0<1＋x1－x <1，②解得－1<x <0；当a >1时，由①知1＋x1－x >1，③ 解此不等式得0<x <1.14．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，判断△ABC 的形状．[解析] ∵方程有等根∴Δ＝4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝4－4lg 10(c 2－b 2)a 2＝0，∴lg 10(c 2－b 2)a 2＝1，∴10(c 2－b 2)a 2＝10∴c 2－b 2＝a 2即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形． 15．(1)计算：lg 23－lg9＋lg10(lg 27＋lg8－lg 1000)(lg0.3)(lg1.2)(2)设a 、b 满足条件a >b >1,3log a b ＋3log b a ＝10，求式子log a b －log b a 的值．[分析] (1)因9＝32,27＝33,8＝23,12＝22·3，故需将式中的项设法化为与lg2，lg3相关的项求解；(2)题设条件与待求式均为x ＋y ＝c 1，x －y ＝c 2的形式，注意到x ·y ＝log a b ·log b a ＝1，可从x ·y 入手构造方程求解．[解析] (1)lg0.3＝lg 310＝lg3－lg10＝lg3－1，lg1.2＝lg 1210＝lg12－1＝lg(22·3)－1＝2lg2＋lg3－1.lg 23－lg9＋lg10＝lg 23－2lg3＋1＝1－lg3， lg 27＋lg8－lg 1000＝32(lg3＋2lg2－1)，原式＝32·(1－lg3)·(lg3＋2lg2－1)(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)＝－32.(2)解法1：∵log b a ·log a b ＝lg a lg b ·lg b lg a ＝1，∴log b a ＝1log a b.由log a b ＋log b a ＝103，得：log a b ＋1log a b ＝103.令t ＝log a b ，∴t ＋1t ＝103，化简得3t 2－10t ＋3＝0，由a >b >1，知0<t <1，∴t ＝13.∴log a b －log b a ＝log a b －1log a b ＝13－3＝－83.解法2：log a b ·log b a ＝lg b lg a ·lg alg b＝1，∵3log a b ＋3log b a ＝10，∴9(log a b ＋log b a )2＝100，∴log 2a b ＋log 2b a ＝1009－2＝829∴(log a b －log b a )2＝log 2a b ＋log 2b a －2＝649.∵a >b >1，∴log a b －log b a <0，∴log a b －log b a ＝－83.16．求函数f (x )＝log a (x 2－2x )(a >0且a ≠1)的定义域和单调增区间． [解析] 由x 2－2x >0得，x <0或x >2，∴定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． ∵函数u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的对称轴为x ＝1，∴函数u ＝x 2－2x 在(－∞，0)上单调减，在(2，＋∞)上单调增， ∴当a >1时，函数f (x )的单调增区间为(2，＋∞)， 当0<a <1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，0)．17．已知幂函数f (x )＝x α的图象过(8，14)点，试指出该函数的定义域．26．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1) (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性； (3)x 为何值时，函数值大于1.[解析] (1)f (x )＝log a (a x －1)有意义，应满足a x －1>0即a x >1 当a >1时，x >0，当0<a <1时，x <0因此，当a >1时，函数f (x )的定义域为{x |x >0}；0<a <1时，函数f (x )的定义域为{x |x <0}． (2)当a >1时y ＝a x －1为增函数，因此y ＝log a (a x －1)为增函数；当0<a <1时y ＝a x －1为减函数，因此y ＝log a (a x －1)为增函数综上所述，y ＝log a (a x －1)为增函数． (3)a >1时f (x )>1即a x －1>a ∴a x >a ＋1∴x >log a (a ＋1) 0<a <1时，f (x )>1即0<a x －1<a ∴1<a x <a ＋1∴log a (a ＋1)<x <0.。
高一数学章节复习习题(全)第一章 集合与逻辑用语1.1 集合的概念
第一章集合与逻辑用语1.1 集合的概念知识梳理】一、集合的概念我们把所研究的对象叫做，把一些元素组成的总体叫做．二、集合中元素的特性（1）：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的；（2）：集合中的元素一定是不同的；（3）：集合中的元素没有固定的顺序．三、集合的表示（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……（2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c……四、常用数集自然数集：_____；正整数集：_____；整数集：_____；有理数集：_____；实数集： ． 五、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a _____A ，记作a ____A ； （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a _____A ，记作a _____A ． 六、集合分类（根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类） （1）把不含任何元素的集合叫做 记作 ； （2）含有有限个元素的集合叫做 ； （3）含有无穷个元素的集合叫做 ． 七、集合的表示方法（1）列举法：把集合的元素 出来，写在大括号内；（2）描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的 及取值(或变化)范围，再画上竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所具有的 ．八、识别集合含义的方法（1）看代表元素：例如{})(|x p x 表示数集，{})(|)(x p y x ，表示点集；（2）看条件：例如{}1|2+=x y x ，{}1|2+=x y y ，{}1|)(2+=x y y x ，是不同的集合．考点分类精讲】考点1 集合的含义【考题1】下列给出的对象中，能表示集合的是（ ） A ．一切很大的数 B ．无限接近零的数 C ．聪明的人D ．方程22-=x 的实数根【举一反三】1．下列语句能确定是一个集合的是（ ） A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．下列各组对象不能组成集合的是( ) A ．大于6的所有整数B ．高中数学的所有难题C ．被3除余2的所有整数D ．函数1-=x y 图象上所有的点3．下列条件能形成集合的是（ ） A ．充分小的负数全体 B ．爱好足球的人 C ．中国的富翁D ．公司的全体员工考点2 集合中元素的三个特征及其应用【考题2】已知集合M 中的元素a ，b ，c 是ABC △的三边，则ABC △一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等腰三角形【举一反三】1．由实数x ，x -，x ，2x 及33x -所组成的集合，最多含有元素的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．42．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝（ ） A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点3 元素与集合关系的判断【考题3】用符号“∈”或“∉”填空。
高一数学期末复习题三(试题和答案)
高一数学期末复习题(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k ≤0},若M ∩N ≠∅,则k 的取值范围是（ ） A.k ≤2 B.k ≥-1 C.k>-1 D.-1≤k ≤2 解析：由图形可知k ≥-1.答案：B2．设f 是从集合A 到集合B 的映射，下列四个说法，其中正确的是（ ）①集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应 ②集合B 中的每一个元素在集合A 中也都有元素与之对应 ③集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素也不同 ④集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素也不同A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④思路解析：根据映射的定义，从集合A 到集合B 的映射f ，只要求集合A 的每一个元素在集合B 中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，也没有要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素.解：①符合映射的定义，∴正确；映射的定义不要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素，∴②不正确；集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，∴③不正确；④正确.∵如果集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，①和④正确，因此，选D. 答案：D3．函数y=(21)x -(21)-x是（ ） A.奇函数,在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数,在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,在(0,+∞)上是增函数D.偶函数,在(0,+∞)上是增函数解析：利用奇偶性定义可知为奇函数，再取特殊点验证知在（0，+∞）上单调递减. 答案：A4．若函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，则( )A.1052πθθ+=k ，k ∈Z B.552ππθ+=k ，k ∈Z C.552πθθ+=k ，k ∈Z D.55ππθ+=k ，k ∈Z 思路分析:∵函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，∴当x=0时，有5θ=kπ+2π，k ∈Z ，∴θ=105ππ+k ，k ∈Z .故B 正确. 答案:B5．下列各等式中，正确的是（ ）A.44a =|a|B.3622)2(-=-C.a 0=1 D.21105)12()12(-=-思路解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不相等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则.解：44a =|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；∵62)2(-＞0，32-＜0,∴62)2(-≠32-.因此B 不正确；如果 a=0，则a 0没有意义，因此C 也不正确；∵2＞1,∴105)12(-=21105)12()12(-=-.∴D 正确.因此，选D. 答案：D6．已知0＜α＜2π＜β＜π，又sinα=53，cos(α+β)=54-，则sinβ等于( )A.0B.0或2524C.2524D.±2524思路分析:∵0＜α＜2π＜β＜π，∴2π＜α+β＜23π.∵sinα=53.∴cosα=54.由cos(α+β)=-54＜0,得sin(α+β)=±53.∴sinβ=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα053)54(5453=∙--∙±=或2524. 又∵2π＜β＜π，∴sinβ=2524.答案:C7．函数y=122+x x的值域是（ ）A.{x|0<x<1}B.{x|0<x ≤1}C.{x|x>0}D.{x|x ≥0} 思路解析：求值域要在定义域中求，本题中函数的定义域为R ，∴要求值域就要对函数解析式进行变形，由于分子和分母的“次数”相同，因此想到部分分式法.或者根据指数函数y= 2x 的值域为正，即2x ＞0来求解. 解法一：因此y=122+x x=1-121+x. 又∵2x +1＞1,∴0＜121+x ＜1,∴0＜y ＜1. 因此，选A. 解法二：由2x =yy-1＞0， 得0＜y ＜1.因此，选A. 答案：A8．对于函数f(x)=2sin(2x+3π),给出下列结论: ①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线x=12π成轴对称;③图象可由函数y=2sin2x 的图象向左平移3π个单位得到;④图象向左平移12π个单位,即得到函数y=2cos2x 的图象.其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:∵f(x)是非奇非偶函数,∴①错误. ∵f(x)是由y=2sin2x 向左平移6π得到的, ∴③错误. 把x=12π代入f(x)中使函数取到最值, ∴②正确.f(x)=2sin(2x+3π)−−−−→−个单位左移12πf(x)=2sin ［2(x+12π)+3π］=2cos2x, ∴④正确.答案:C9．偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,下列结论中正确的是（ ） A.f(-x 1)<f(-x 2) B.f(-x 1)>f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.f(-x 1)和f(-x 2)的大小关系不能确定 解析：由条件知-x 2＜x 1，∴f(-x 2)＜f(x 1),又f(x)是偶函数， ∴f(-x 1)=f(x 1)，∴f(-x 2)＜f(-x 1). 答案：B10．设函数f(x)=sin3x+|sin3x|,则f(x)为( )A.周期函数,最小正周期为3πB.周期函数,最小正周期为32πC.周期函数,最小正周期为2πD.非周期函数 解析:f(x)=sin3x+|sin3x|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++≤≤.3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x∴B 正确. 答案:B11．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴．洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水．当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ） A. 3人洗浴 B. 4人洗浴 C. 5人洗浴 D. 6人洗浴思路解析：设经过时间t 时水箱中的水量为y,可知y=2t 2-34t+200,当t=434=217时,y 取得最小值,此时放水为172,易求出至多可供四人洗浴.12．已知函数f(x)=asin(x-φ)(a≠0,x ∈R ）在x=4π处取得最小值，则函数y=f(43π-x)是（ ）A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(23π,0)对称C.奇函数且它的图象关于点(23π,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称思路解析：f(x)=asin(x-φ)的周期为2π，函数在x=4π处取得最小值，不妨设f(x)=sin(x-43π)，则函数y=f(43π-x)=sin(43π-x-43π)=sinx ， 所以y=f(43π-x)是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)13．如果函数y=x 2+2x+m+3至多有一个零点，则m 的取值范围是_________________. 解析：Δ=4-4(m+3)≤0，解得m ≥-2. 答案：［-2，+∞） .14．在△ABC 中，若sinB·sinC=2cos 2A，则此三角形为_______.思路分析:∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C).又∵sinB·sinC=cos 22A ，∴21［cos(B-C)-cos(B+C)］=21 (1+cosA),即cos(B-C)-cos(B+C)=1+cosA.又∵cos(B+C)=-cosA ，∴cos(B-C)=1. 又∵-π＜B-C ＜π，∴B-C=0，即B=C. ∴△ABC 是等腰三角形. 答案:等腰三角形 .15．①已知函数y=21log (x 2-2x+a)定义域为R ，则a 的取值范围是_____________，②已知函数y=21log (x 2-2x+a)值域为R ，则a 的取值范围是________________.思路解析：两题乍一看似乎一样，但若仔细分析，其设问角度不同，解题方法也有区别.①对x ∈R ,x 2-2x+a ＞0恒成立，②由于当t ∈(0,+∞)时,21log t ∈R 故要求x 2-2x+a 取遍每一个正实数,换言之,若x 2-2x+a 的取值范围为D,则(0,+∞)∈D.①x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要a-1＞0则x ∈R 时,x 2-2x+a ＞0恒成立.因此，填a ＞1；②x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故x 2-2x+a 的取值范围为［a-1, +∞］，要求(0,+∞) ⊆［a-1, +∞)只要a-1≤0.因此，填a ≤1.答案：a ＞1 a ≤116．函数y=1gsinx+216x -的定义域是________________.思路解析：要使函数有意义，x 应满足下列不等式组⎩⎨⎧≥->.016.0sin 2x x 解得⎩⎨⎧≤≤-∈+<<.44),(22x Z k k x k πππ当k=0时，不等式组的解为0＜x ＜π； 当k=-1时，不等式组的解为-4≤x ＜-π； 当k 取其他整数时，无解.所以定义域为{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}. 答案：{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)17．已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|)1(22+--a x ax <0}. （1）当a=2时，求A ∩B;（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5),∴A ∩B=(4,5).（2）∵B=(2a,a 2+1) 当a<13时,A=(3a+1,2) , 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧≤++≥212132a a a ,此时a=-1；当a=31时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在； 当a>31时，A ＝（2，3a ＋1）,要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧+≤+≥131222a a a ,此时1≤a ≤3.综上,可知使B ⊆A 的实数a 的取值范围为［1，3］∪{－1}.18．（1）.求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的最大值.思路分析：sinx+cosx 与sinxcosx 有相互转化的关系，若将sinx+cosx 看成整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围.解：设sinx+cosx=t ，t ∈［2,2-］，则(sinx+cosx)2=t 2，即1+2sinxcosx=t 2，sinxcosx=212-t .1)1(2121)2(2121222-+=-+=-+=t t t t t y ，当t=2时，y max =212+（2）.已知tanα-4sinβ=3，3tanα+4sinβ=1，且α是第三象限角，β是第四象限角，求α、β.思路分析：由已知利用方程组求出tanα和sinβ，再依据α和β所在的象限，确定其具体值，注意要写出所有的角.解：由⎩⎨⎧=+=-,1sin 4tan 3,3sin 4tan βαβα得⎪⎩⎪⎨⎧-==.21sin ,1tan βα由tanα=1，α是第三象限角，∴α=2kπ+45π，k ∈Z . 由sinβ=21-且β是第四象限角，∴β=2kπ-6π，k ∈Z .19．已知函数2221()(xx a f x a+=-为常数). (1)证明:函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数; (2)若f(x)为奇函数,求a 的值.解:(1)在()-∞,+∞上任取两个值12x x ,且12x x <,12122212222121()()()()xxx x a a f x f x ++-=--- 2121211222222121(21)(21)x x x xx x x x -++++=-=, ∵2>1且12x x <,∴21220x x->.又12(21)(21)0x x++>,∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >. ∴函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数. (2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即0022210a +-=.∴a=1.20．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Aco sωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 解析:由表中数据,知周期T=12.∴ω=1222ππ=T =6π.① 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.② 由t=3,y=1.0,得b=1.0.由①②得A=0.5,b=1.0,∴振幅为21. ∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知,当y ＞1时才可对冲浪者开放.∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2kπ-2π＜6πt ＜2kπ+2π,即12k-3＜t ＜12k+3.③故可令③中k 分别为0,1,2,得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定的时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00. 21．已知函数f(x)=log 11(xa x +-其中a>0且1)a ≠.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;(3)若12[0]x ∈,时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a 的值.解:(1)由条件知110x x +->,解得-1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数f(x)为奇函数.证明:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=log 11x a x -+=-log 11()xa x f x +-=-.因此f(x)是奇函数.(3)f(x)=log 11x a x +-=log 121x a x -+- =log 1211()x a x x ---+=log 21(1)a x ---,记21()1x g x -=--,则21()1x g x -=--在12[0],上单调递增,因此当a>1时,f(x)在12[0],上单调递增, 由12()1f =,得a=3;当0<a<1时,f(x)在12[0],上单调递减, 由f(0)=1得出矛盾a ,∈;综上可知a=3。
高一数学复习考点题型专题讲解1 集合的概念
高一数学复习考点题型专题讲解第1讲集合的概念一、单选题1．设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（）A．A，B都是有限集B．A，B都是无限集C．A是无限集，B是有限集D．A是有限集，B是无限集【答案】D【解析】【分析】先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案.集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个．所以为有限集．集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集．故选：D．2．下列说法：①地球周围的行星能构成一个集合；②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合；③{1，2，3}与{1，3，2}是不同的集合．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】【分析】根据集合中元素具有的特征：互异性，无序性和确定性即可判断.“周围”是一个模糊的概念，不满足确定性，所以①错误.实数中不是有理数的所有数,元素是确定的，所以能构成一个集合，②正确.{1，2，3}与{1，3，2}两个集合中的元素是一样的，所以是相同的集合，故③错误. 故选：B3．下列命题中正确的是（ ） ①φ与{}0表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1 ③方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2④集合{45}xx <<∣可以用列举法表示 A ．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{}0”表示含0元素的集合，而φ不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选：C.4．已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【解析】 【分析】根据元素与集合的关系判断． 集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B5．下列关于集合的说法正确的有（ ） ①很小的整数可以构成集合；②集合{}221y y x =+与集合(){}2,21x y y x =+是同一个集合；③1，2，12-，0.5，12这些数组成的集合有5个元素． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的定义判断．很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．集合{}{}2211y y x y y =+=≥表示y 的取值范围，而(){}2,21x y y x =+表示的集合为函数221y x =+图象上的点，所以不是同一集合，故②错误． 1，2，12-，0.5，12这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误． 故选：A ．6．已知集合{1M =，2m +，24}m +，且5M ∈，则m 的值为（ ） A ．1或1-B ．1或3C ．1-或3D ．1，1-或3 【答案】B 【解析】根据元素与集合的关系，得到25m +=或245m +=，从而求得m 值，并验证是否符合集合互异性即可.解：5{1∈，2m +，24}m +，25m ∴+=或245m +=，即3m =或1m =±.当3m =时，{1M =，5，13}； 当1m =时，{1M =，3，5}；当1m =-时，{1M =，1，5}不满足互异性， m ∴的取值集合为{1，3}.故选：B .7．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（ ） A ．{x |-3<x <11，x ∈Z } B ．{x |-3<x <11} C ．{x |-3<x <11，x =2k } D ．{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z } 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析各个选项，用不等式表示题中描述的内容，在利用描述法即可得出答案. 解：大于-3且小于11的偶数，可表示为-3<x <11，x =2k ，k ∈Z ，所以由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是{x |-3<x <11，x =2k ，k ∈Z }，故D 符合题意； 对于A ，集合表示的是大于-3且小于11的整数，不符题意； 对于B ，集合表示的是大于-3且小于11的数，不符题意；对于C ，集合表示的是大于-3且小于11的数，，但不一定是整数，不符题意. 故选：D.8．由实数,,x x x - ） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】 【分析】从集合中元素的互异性出发，按照0x =、0x >、0x <分类，即可得解.x ，x =-，因此当0x =时，这几个实数均为0，集合含有1个元素； 当0x >时，它们分别是,,,,x x x x x --，集合有2个元素； 当0x <时，它们分别是,,,,x x x x x ----，集合有2个元素； 所以集合中最多含有元素的个数为2. 故选：A.9．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴集合．其中12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．31 【答案】B 【解析】 【分析】根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴集合，12,1,0,,2,32M ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，12,1,0,,2,32M ⎧⎫∴=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有12,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}1-，11,2,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．12,1,0,,2,32M ⎧⎫∴=--⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是3．故选:B10．已知集合{}{}{}|2,,|21,,|41,P x x k k Z Q x x k k Z M x x k k Z ==∈==+∈==+∈，且,a Pb Q 挝，则（ ） A ．a b P +?B ．a b Q +?C ．a b M +?D ．a b +不属于,,P Q M 中的任意一个 【答案】B 【解析】 【分析】设出,a b 的值，相加再判断得解.11,2,.a P a k k Z ∈∴=∈ 22,21,.b Q b k k Z ∈∴=+∈122()121a b k k k Q ∴+=++=+∈12(,,)k k k Z ∈.故选：B11．已知x ，y 都是非零实数，x y xyz x y xy=++可能的取值组成集合A ，则（ ） A ．2∈A B ．3∉A C ．－1∈A D ．1∈A 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，再对照四个选项一一验证. ①当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3； ②当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； ③当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； ④当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1，∴集合A ＝{－1，3}．∴－1∈A . 故选：C12．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆； ②根据42c n =+，证明42n M +?，即c M ∉； ③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈． 解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈， 对于①，21b n =+，n Z ∈， 则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈，若42n M +?，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n -=+，42()()n x y x y ∴+=+-，又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =-- 222212121221()()()()x x y y x y x y =+-- 2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选D ． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 二、多选题13．(多选题)下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ） A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R } 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ； 选项C 中，解出集合M 和P.选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合.选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R }=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合．故选ABD ．14．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是（ ）A ．P 是由元素1π构成的集合，Q 是由元素π，1，构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2，3构成的集合，Q 是由有序数对(2，3)构成的集合D ．P 是由满足不等式-1≤x ≤1的整数构成的集合，Q 是由方程x ()()1-1x x +=0的解构成的集合 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意分析即可.由于A ，D 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合， 而B ，C 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合. 故选：AD.15．(多选)设集合M ＝{x |x ＝2m ＋1，m ∈Z }，P ＝{y |y ＝2m ，m ∈Z }，若x 0∈M ，y 0∈P ，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则（ ）A ．a ∈MB ．a ∈PC ．b ∈MD ．b ∈P 【答案】AD 【解析】 【分析】利用整数的运算性质，根据集合M ,N 中元素的性质判定a ,b 的性质，进而判定a,b 与M,N 的关系，即可作出判定.设x 0＝2m ＋1，y 0＝2n ，m ，n ∈Z ， 则a =x 0＋y 0＝2m ＋1＋2n ＝2(m ＋n )＋1,∵m +n ∈Z ,∴a ∈M ，b=x 0y 0＝2n (2m ＋1)＝2(2mn ＋n ),∵2mn +n ∈Z ,∴b ∈P ， 即a ∈M ，b ∈P ， 故选：AD.16．当一个非空数集F 满足条件“若a ，b F ∈，则a b +，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，a F b∈”时，称F 为一个数域，以下说法正确的是（ ） A ．0是任何数域的元素B ．若数域F 有非零元素，则2021F ∈C ．集合{|3,}P x x k k Z ==∈为数域D ．有理数集为数域 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据新定义，依次分析各选项即可得答案.解：对于A ，若a F ∈，则0a a F -=∈，故A 正确； 对于B ，若a F ∈且0a ≠，则1aF a=∈，211F =+∈，312F =+∈，依此类推，可得2021F ∈，故B 正确；对于C ，{|3,}P x x k k Z ==∈，3P ∈，6P ∈，但36P ∉，故P 不是数域，C 错误；对于D ，若a ，b 是两个有理数，则a b +，-a b ，ab ，()0ab b≠都是有理数，所以有理数集是数域，D 正确． 故选：ABD ．17．已知集合{},,A x x m m n Z ==∈，则下列说法中正确的是（ ）A ．0A ∈但2(1A -∉B．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x x A ±∈C．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x x A ⋅∈D．若111222,x m x m ==，其中1122,,,m n m n Z ∈，则12x A x ∈ 【答案】BC【解析】【分析】A 选项，求出13m =，4n =-，故2(1A -∈；BC 选项，通过计算可以得到12x x A ±∈，12x x A ⋅∈；D选项，2220x m ==时，不符合要求，D 错误. (2113-=-13m =，4n =-，所以2(1A -∈，A 错误；()())1211221212x x m m m m n n ==±±±±，其中12m Z m ±∈，12n Z n ±∈，故12x x A ±∈，B 正确；()()(212112212122113x x m m m m n n m n m n +++⋅=⋅=12123m m n n Z +∈，2121m n m n Z +∈，故12x x A ⋅∈，C 正确；因为0A ∈，若2220x m ==，此时12x x 无意义，故12x A x ∉，D 错误. 故选：BC18．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-?Z ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n +【答案】ABD【解析】【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +?.∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +?.∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +?.若42n M +?，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M +?. 故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题19．用符号“∈”和“∉”填空：（1）12______N ； （2）1______Z -； （3）2-______R ；（4）π______Q +； （5）23______N ； （6）0______∅．【答案】 ∉ ∉ ∈ ∉ ∈ ∉【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断.由,,,,N Z R Q -+∅所表示的集合，由元素与集合的关系可判断（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.故答案为：（1）∉（2）∉（3）∈（4）∉（5）∈（6）∉.20．设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______． 【答案】{(1,2),(2,1)}【解析】【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标． ∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．21．若{}231,3,1m m m ∈--，则实数m =_______.【答案】4或2±【解析】【分析】分三种情况讨论即得.∵{}231,3,1m m m ∈--，∴13m -=，即4m =，此时2312,115m m =-=符合题意；33m =，即1m =，此时210,10m m -=-=，不满足元素的互异性，故舍去；213m -=，即2m =±，经检验符合题意；综上，4m =或2±.故答案为：4或2±.22．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a +b ∈A ，且a ﹣b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下四个结论：①集合A ＝{0}为闭集合；②集合A ＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；③集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；④若集合A 1、A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中所有正确结论的序号是__．【答案】①③【解析】【分析】根据新定义和集合知识综合的问题，分别判断a+b∈A，且a﹣b∈A是否满足即可得到结论．①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正确；②当a＝﹣4，b＝﹣2时，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6∉A，故不是闭集合，∴②错误；③由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，∴③正确；④假设A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5∉A1∪A2，则A1∪A2不是闭集合，∴④错误．正确结论的序号是①③．故答案为：①③.四、解答题23．用列举法表示下列集合：(1){x|x是14的正约数}；(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.【答案】(1){1, 2, 7, 14}(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}(3)82 (,) 33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(4){－1, 1}(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)} 【解析】【分析】根据集合的列举法的概念即得.(1){x |x 是14的正约数}={1, 2, 7, 14}.(2){(x, y )|x ∈{1, 2}, y ∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.(3){(x, y )|x ＋y ＝2, x －2y ＝4}=82(,)33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.(4){x |x ＝(－1)n, n ∈N }={－1, 1}.(5){(x, y )|3x ＋2y ＝16, x ∈N, y ∈N }={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.24．把下列集合用适当方法表示出来：（1）{2,4,6,8,10}；（2）{|37}x N x ∈<<；（3）{}2|9A x x ==；（4）{}|12B x N x =∈≤≤；（5）{}2|320C x x x =-+=.【答案】（1）{|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}；（2）{4,5,6}；（3）{}3,3-；（4）{}1,2；（5）{}1,2.【解析】【分析】根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出．（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10}={|2,x x k k Z =∈且15k ≤≤}．（2）{|37}x N x ∈<<={4,5,6}.（3）由29x =得3x =±，因此{}{}2|93,3A x x ===-. （4）由x ∈N ，且12x ≤≤，得1x =或2x =，因此{}{}|121,2B x N x =∈≤≤=.（5）由2320x x -+=得1x =或2x =，.因此{}{}2|3201,2C x x x =-+==. 25．判断下列集合是有限集还是无限集：（1）{}10,A x x x Z =<∈； （2）,1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭； （3）{|}S P AP PB AB =+=（A ，B 为平面上两个不同的定点，P 为动点）.【答案】（1）有限集；（2）无限集；（3）无限集.【解析】【分析】（1）由已知得{}|1010,,A x x x Z =-<<∈可得出集合A 中的元素，由此可得结论；（2）由已知得该集合的元素有120,,,23，由此可得结论；（3）由{|}S P AP PB AB =+=表示线段AB 上的点组成的集合可得结论.解：（1）因为{}{}10,|1010,,A x x x Z x x x Z =<∈=-<<∈所以集合A 中的元素为9,8,7,6,5,4,3,2,1,0±±±±±±±±±，所以集合A 是有限集； （2）因为,1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭中的元素有120,,,23无限个元素，所以集合,1n x x n N n ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭是无限集； （3）因为{|}S P AP PB AB =+=表示线段AB 上的点组成的集合，线段AB 上有无数个点，所以集合{|}S P AP PB AB =+=为无限集.26．（1）已知集合123A x N y Z x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，试用列举法表示集合A ； （2）已知集合12,3B y Z y x N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，试用列举法表示集合B ．【答案】（1）{}0,1,3,9；（2）{}1,2,3,4.【解析】【分析】（1）由x ∈N ，123y Z x =∈+，可列举出3x +的值，得出x 的值，即可写出集合A ； （2）由123y Z x =∈+且x ∈N ，可列举出x 的值，得出相应的y 的值，即可写出集合B ． 解：（1）由x ∈N ，123y Z x =∈+，知3x +可为3，4，6，12，即x 为0，1，3，9， 所以集合A 用列举法表示为{}0,1,3,9；（2）因为123y Z x =∈+且x ∈N ，所以0,1,3,9x =，则相应y 的值为4，3，2，1， 所以集合B 用列举法表示为{}1,2,3,4．27．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈，若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值集合. 【答案】}{1a a ≤.【解析】【分析】分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.集合A 中至少有一个元素，即A 中只有一个元素，或A 中有两个元素.当A 中有一个元素时，0a =，或0,440,a a ≠⎧⎨∆=-=⎩即1a =； 当A 中有两个元素时，由0,440,a a ≠⎧⎨∆=->⎩解得1a <，且0a ≠. 综上，得1a ≤.即实数a 的取值集合为}{1a a ≤.28．已知集合{}2310,A x ax x a =∈-+=∈R R ． (1)若1A ∈，求实数a 的值；(2)若集合A 中仅含有一个元素，求实数a 的值；(3)若集合A 中仅含有两个元素，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2a =(2)0a =或94a = (3)904a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭, 【解析】【分析】（1）将1x =代入方程求解即可；（2）分0a =、0a ≠两种情况求解即可；（3）由条件可得0a ≠，且2(3)40a ∆=-->，解出即可.(1)∵1A ∈，∴213110a ⨯-⨯+=，∴2a =；(2)当0a =时，13x =，符合题意； 当0a ≠时，2(3)40a ∆=--=，∴94a =． 综上，0a =或94a =； (3) 集合A 中含有两个元素，即关于x 的方程2310ax x -+=有两个不相等的实数解， ∴0a ≠，且2(3)40a ∆=-->， 解得94a <且0a ≠， ∴实数a 的取值范围为904a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭,．29．已知集合{A x x m ==+}2231,,m n m n Z -=∈．（1）判断2是否为A 中元素（2）设c A ÎA （3）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数；【答案】（1）2不 是集合A 中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据集合元素的属性判断；（2）根据c A Î（3）根据x A ∈，由1m x x =++化简判断.（1）因为28=+此时：8,4m n ==，不满足2231m n -=，所以2不是集合A 中元素.（2）因为c A Î(m =+，(23)(2m n n m =-+-因为23,m n -2n m -都是整数，A . （3）因为x A ∈，所以1m x x =++，2m m=+=，因为m R∈，所以2m为偶数即1xx+为偶数.30．已知由实数构成的集合A满足：若x A∈，且1x≠±、0，则11xAx+∈-．（1）求证：当2A∈时，A中还有3个元素；（2）设±1、0均不属于A，问：非空集合A中至少有几个元素？【答案】（1）A中还有3个元素是：113,,23--.证明见解析；（2）至少有4个.【解析】【分析】（1）令2x=，代入11xx+-中计算，再根据x A∈，则11xAx+∈-进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；（2）当1x≠±、0时，由x A∈，则11xAx+∈-，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的. （1）若令2x A=∈，则1123112xAx++==-∈--，此时即有3x A=-∈，则()()13111132xAx+-+==-∈---，即12x A=-∈，则1111211312xAx⎛⎫+-⎪+⎝⎭==∈-⎛⎫--⎪⎝⎭，即13x A=∈，则111321113xAx++==∈--（出现重复元素2，停止计算），综上，当2A∈时，A中还有3个元素是：113,,23--.（2）当1x≠±、0时，由x A∈，所以11xAx+∈-，所以1111=111xx Ax xx++--∈+--，所以111111xxAxx⎛⎫+-⎪-⎝⎭=∈+⎛⎫--⎪⎝⎭，所以111111xx x Axx-++=∈--+（出现重复元素x，停止计算），所以，非空集合A中至少有4个元素. 【点睛】本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把11xx+-的计算结果也看成是x.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算.21 / 21。
高一数学 必修一复习题
高一数学必修一复习题一．选择题（共12小题）1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）A．B．C．D．2．已知函数f（x）＝，则f（f（2））＝（）A．﹣4B．﹣C．D．﹣83．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．（1，+∞）4．“x≤3”是“x2﹣7x+12≥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x B．y＝﹣x2C．y＝|x|D．6．已知函数f（x）是定义在[1﹣2m，m]上的偶函数，∀x1，x2∈[0，m]，当x1≠x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＜0，则不等式f（x﹣1）≤f（2x）的解集是（）A．[﹣1，]B．[﹣，]C．[0，]D．[0，]7．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞08．已知R是实数集，集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{{x|0＜x＜}，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）9．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为增函数，且f（3）＝0那么不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，0）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（0，3）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）10．已知集合A＝{x|≤2}，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（]C．[]D．[，1）11．已知，则f（x）的解析式为（）A．，且x≠1）B．，且x≠1）C．，且x≠1）D．，且x≠1）12．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，则实数k的值是（）A．﹣2B．﹣1或2C．﹣1或±2D．﹣1或﹣2二．多选题（共4小题）13．“关于x的不等式x2﹣2ax+a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（）A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a D．a≥014．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P （除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题中正确的是（）A．数域必含有0，1两个数B．整数集是数域C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域D．数域必为无限集15．函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，以下选项正确的有（）A．f（x）＝2x+1关于中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，﹣2）中心对称C．函数y＝f（x）的图象关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数16．对任意两个实数a，b，定义，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x2﹣2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（）A．函数F（x）是奇函数B．方程F（x）＝0有两个解C．函数F（x）有4个单调区间D．函数F（x）有最大值为0，无最小值三．填空题（共4小题）17．若∀x∈R，mx2+mx+1＞0，则实数m的取值范围为．18．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为．19．若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是．20．设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为四．解答题（共5小题）21．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x﹣1≤2}．（1）求A∩B，（∁U A）∪（∁U B）；（2）若集合M＝{x|k﹣1≤x≤2k﹣1}且M∩A＝M，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．（1）若关于x的不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞0．23．（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，比较与的大小；（2）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，求的取值范围；24．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示：（1）求函数f（x）（x∈R）的解析式，并在图中补充完整函数f（x）（x∈R）的图象；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2，当x∈[1，2]时，求函数g（x）的最小值．25．已知函数f（x）＝．（1）证明：函数f（x）在[1，+∞）上单调递减；（2）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0；（3）求函数f（x）的值域．高一数学必修一复习题参考答案一．选择题（共12小题）CDBAC，CABCB，CC二．多选题（共4小题）13. BD．14. AD．15.BC 16.BCD三．填空题（共4小题）17. [0，4）．18.{0，，2}．19.（，] 20. 12．二．解答题（共5小题）21．解：（1）因为全集U＝R，集合A＝{x|x＜﹣4，或x＞1}，B＝{x|﹣3≤x ﹣1≤2}＝{x|﹣2≤x≤3}，所以A∩B＝{x|1＜x≤3}；（∁U A）∪（∁U B）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1，或x＞3}；（2）由M∩A＝M，得M⊆A，①当M＝∅时，k﹣1＞2k﹣1，k＜0．②当M≠∅时，有k﹣1≤2k﹣1，即k≥0，此时只需2k﹣1＜﹣4或k﹣1＞1，解得k＞2．综上：k＜0或k＞2．22．解：（1）函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），不等式f（x）≥b化为ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，由该不等式的解集为{x|1≤x≤2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的两根，所以，解得a＝﹣1，b＝6；（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①当a＝0时，不等式为﹣x+4＞0，解得x＜4；②当a＜0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＜0，此时＜4，解得＜x＜4；③当a＞0时，不等式为（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，则＞4，解得x＜4或x＞；若a＝，则＝4，不等式为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；若a＞，则＜4，解得x＜或x＞4；综上知，a＝0时，不等式的解集为{x|x＜4}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜4}；0＜a＜时，不等式的解集为{x|x＜4或x＞}；a＝时，不等式的解集为{x|x≠4}；a＞时，不等式的解集为{x|x＜或x＞4}．23.解：（1）﹣＝＝e•，∵a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，∴a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，c﹣d＜0，又e＜0，∴﹣＞0，∴＞．（2）∵2x+y＝1，x＞0，y＞0，∴+＝（+）（2x+y）＝3++≥3+2，当且仅当＝，即x＝1﹣，y＝﹣1时等号成立，故的取值范围是[3+2，+∞）．24．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2×（﹣x）＝x2﹣2x（x＞0），即﹣f（x）＝x2﹣2x，得f（x）＝﹣x2+2x．∴．图象如图：；（2）要使函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，由函数图象可知，解得1＜a≤3．故实数的取值范围是（1，3]；（3）g（x）＝﹣f（x）﹣2ax+2＝x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴方程为x＝a+1，当a+1≤1，即a≤0时，g（1）＝1﹣2a为最小值；当1＜a+1≤2，即0＜a≤1时，g（a+1）＝﹣a2﹣2a+1为最小值；当a+1＞2，即a＞1时，g（2）＝2﹣4a为最小值．综上，．25.解：（1）解法一：∵函数f（x）＝，∴f′（x）＝，故在[1，+∞）上，∴f′（x）＝≤0，当且仅当x＝1时，f′（x）＝0，故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．解法二：设x2＞x1≥1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，由题设可得，x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在[1，+∞）上单调递减．（2）由于f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）为奇函数，不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，即不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x ﹣4）＝f（x2﹣2x+4）．∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4＞1，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1+2x2 ＜x2﹣2x+4，求得﹣3＜x＜1，故原不等式的解集为（﹣3，1）．（3）当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，f（x）＝≤，即f（x）∈（0，]．根据f（x）为奇函数，可得当x＜0时，f（x）∈[﹣，0）．综上可得，f（x）的值域为[﹣，]．。
高一数学必修一分章节复习题及答案
必修一章节训练第一章 集合一、选择题1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。
A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或03．若集合{}{}22(,)0,(,)0,,M x y x y N x y x y x R y R =+==+=∈∈，则有（ ）A ．M N M =UB ． M N N =UC ． M N M =ID ．M N =∅I4．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-。
5．下列式子中，正确的是（ ）A ．R R ∈+B ．{}Z x x x Z∈≤⊇-,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}φφ∈ 二、填空题1．已知{}R x x x y y M ∈+-==,34|2，{}R x x x y y N ∈++-==,82|2则__________=N M I 。
2．用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}101= 。
3．若{}|1,I x x x Z =≥-∈，则N C I = 。
4．设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===则A B =I U （）C 。
5．设全集{}(,),U x y x y R =∈,集合2(,)12y M x y x ⎧+⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)4N x y y x =≠-, 那么()()U U C M C N I 等于________________。
高一数学-高一数学复习参考题 精品
（3）回归系数说明平均每年身高增长估计为6.3 cm.
（4）年平均增长数约为6.323 cm.
（5）两相关变量的线性相关较好时，回归系数是年平均增长数的近似值.
正确理解回归系数反映增长率的数学意义.
7.答案：（1）中位数是 =182.5，平均数是 =217.
（2）由于S=99.25较大，数据离散程度大，故选择中位数更合适.
区分中位数和平均值应从它们的数学意义和性质去理解.
8.答案：（1）如图1.
图1
（2）意味着平均每年增长0.42%，增速最慢.
（3）城市增长最快.（4）略.
可用几何画板来作图.
B组
1.答案：作频率分布图和频率直方图.
（1）求极差
在上述数据中，极差是25.14－12.34=12.8.
（2）确定组距与组数
如果将组距定为1.60，那么由12.8÷1.60=8，组数为8.
（3）决定分点
根据数据的特点，第1小组的起点可取为12.34，第1小组的终点可取为13.94，所得到的分组是
［12.34，13.94），［13.94，15.54），…，［23.54，25.14）.
2
0.04
合计
50
1.00
频率分布图虽不能体现原始数据，但它能使我们了解数据的具体分布情况及在各组的频率.
（5）平均数 =18.30，结合频率分布表可知指标可定在［15.54，21.94］.
2.答案：（1）将表中的数据制成散点图如图2.
图2
（2）利用计算机Excel软件求出回归直线方程如图3.
高一数学大题试题及答案
高一数学大题试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. \( y = x^2 \)B. \( y = |x| \)C. \( y = x^3 \)D. \( y = \frac{1}{x} \)答案：C2. 已知函数 \( f(x) = 2x + 3 \)，那么 \( f(-1) \) 的值为（）A. -1B. 1C. 5D. -5答案：A3. 若 \( a \) 和 \( b \) 是方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的两个根，则 \( a + b \) 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 函数 \( y = \log_2 (x - 1) \) 的定义域是（）A. \( x > 1 \)B. \( x < 1 \)C. \( x \geq 1 \)D. \( x \leq 1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知 \( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且 \( \theta \) 为锐角，则 \( \cos \theta \) 的值为 _______。
答案：\( \frac{4}{5} \)6. 计算 \( \int (3x^2 - 2x + 1) dx \) 的结果为 _______。
答案：\( x^3 - x^2 + x + C \)7. 若 \( \log_2 8 = 3 \)，则 \( 2^3 \) 的值为 _______。
答案：88. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线斜率为 _______。
答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知 \( a \) 和 \( b \) 是方程 \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) 的两个根，求 \( a^2 + b^2 \) 的值。
答案：首先，根据韦达定理，\( a + b = 6 \) 和 \( ab = 8 \)。
数学 必修一 复习题 含答案
高一数学综合复习题（一）一、选择题（每小题5分，共60分）1、设全集S={a 、b 、c 、d 、e}，M={a 、c 、d}，N={b 、d 、e}，那么（C S M ）∩(C S N)= A 、Φ B 、{d} C 、{a 、c} D 、{b 、e}2、给出下列四个对应，其中构成映射的是：A 、(1)、（2）B 、（1）、（4）C 、（1）、（3）、（4）D 、(3) 、(4) 3、下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是： A 、y=2x 2－x+3B 、y=x)31(C 、y=32x D 、xy 21log=4、下列函数中是偶函数的是： A 、y=－x 3B 、y=x 2+2 x ∈(－3，3]C 、y=x －2D 、y=|log 2x| 5、已知函数f(x)=ax 3+bx －2，且f(－2)=10，则f(x)= A 、－14 B 、－12 C 、－10 D 、106、函数y=2－|x|的示意图是：A 、B 、C 、D 、7、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b| a ∈P ，b ∈Q}，若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是A 、9B 、8C 、7D 、6 8、若函数21)(Xx f -=的定义域为是： A 、(-∞ ,0)B 、[0，+∞])C 、(-∞ ,0]D 、(-∞，+∞)9、f(log 2x)=x ，则f(21)= A 、21B 、41C 、1D 、210、定义运算a b *，a a b b⎧*=⎨⎩()()a b a b ≤>，例如121*=，则函数12x y =*的值域为A 、(0，1)B 、(-∞，1)C 、[1，)+∞D 、(0，1]11、下列根式，分数指数幂互化中正确的是：A 、)0()(21>-=-x x xB 、3162y y=(y ＜0) C 、4343)1(xx=-(x ≠0)D 、331xx-=-(x ≠0)12、在xy )21(=，y=log 2x ，y=x 2，32xy=四个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使)2(21x x f +＞2)()(21x f x f +恒成立的函数个数是：A 、0B 、1C 、2D 、3二、填空题（每小题4分，共24分）13、函数y=)35(log 21-x 的定义域为_____________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学复习题一、选择题1．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是 ( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°2．海上有A 、B 两个小岛相距10 nmile ，从A 岛望B 岛和C 岛成60°的视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°角的视角，则B 、C 间的距离是 （ ） A.5 2 nmile B.10 3 nmile C. 1036nmile D.5 6 nmile 3．等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （ ）A. 12B. 24C. 36D. 484．某工厂的年产值第二年比第一年的增长率为p 1,第三年比第二年的增长率是p 2，而这两年中的年平均增长率为p ，在p 1+p 2为定值的情况下，p 的最大值是 （ ）A.21p pB.221p p +C.221p pD.)1)(1(21p p ++5．已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是（ ）A 32x x <->-或B 12x <-或13x >- C 1123x -<<- D 32x -<<- 6．直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2q 的值为 （ ）A ．2 B.215- C.215+ D.215± 7．如果点p （5,b ）在平行直线6810x y -+=和 3450x y -+= 之间，则 b 应取值的整数值为 （ ）A. 5B. -5C. 4 D . -48．变量x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x 则x y 的取值范围为 （ ） A ．[6,59] B ．),6[]59,(+∞-∞ C ．[3，6]D ．),6[]3,(+∞-∞ 9．正项等比数列｛a n ｝的首项a 1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为 ( )A.6B.7C.9D.1110．设点⎩⎨⎧-+≤+≥≥),(20,0),(b a b a y x y x b a 内，则点在区域所在的区域的面积为 （ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、8二、填空题11．ΔABC 中，若C A C B A sin sin sin sin sin 222=+-那么角B=___________12．不等式1-x ax ＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2},那么a 的值为__________. 13．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = . 14．已知直线l 经过点(12，2)，其横截距与纵截距分别为a 、b (a 、b 均为正数)，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围为________．15. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是________． ①AC ⊥BE②EF ∥平面ABCD③三棱锥A －BEF 的体积为定值④异面直线AE ，BF 所成的角为定值三、解答题（共6道大题） 16．已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)求123101111S S S S ++++ 的值．17．已知方程2(cos )cos 0x b B x a A -+=的两根之积等于两根之和，其中a 、b 为ABC ∆的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状。
18如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.C （1）设AD ＝x （x≥0），ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？请予证明19．解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)20．央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？21．已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求102030a a a ++的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案：一、选择题1、 C2．D 提示：由题意A=600,B=750,C=450,由正弦定理0060sin 45sin 10BC =，∴BC=5 6 . 3、B4、B 提示：设第一年产值为a ,则第三年产值为a (1+p 1)(1+p 2)=a (1+p )2.∴1+p =)1)(1(21p p ++≤2)1()1(21p p +++=1+221p p +。
∴p ≤221p p +。
5、C6、D7．C 提示：由图像知直线3450x y -+=在直线6810x y -+=左上方，要使点p （5,b ）在平行直线6810x y -+=和 3450x y -+= 之间，需点p （5,b ）同时满足6810x y -+<和3450x y -+>，解得3158b <<，故整数值为4。
8．A9．A 提示： (a 111·q 1+2+…+10)111=25⇒q 55=2110⇒q =4.抽取一项后，(a 101·q x )101=25⇒q x =2100⇒x =50。
抽出的项的q的指数为5，故是第6项。
10.二、填空题11、3π12、21 提示：原不等式等价于［(a －1)x +1］(x －1)＜0，所以x =2是方程(a －1)x +1=0的根. 13、6 提示：88a b =15151511518822T S b b a a b a =++==6. 14、(－∞，92]设直线方程为x a ＋y b ＝1，∴12a ＋2b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b )·(12a ＋2b )＝52＋b 2a ＋2a b ≥92，故c ≤92. 15、④三、解答题16、解：（1）由题意知：1232312a a a a ++== ，24a =，212d a a =-=数列{}n a 的通项公式为：1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=数列{}n a 的前n 项和为：1()(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+。
（2）1111(1)1n S n n n n ==-++ ∴123101111S S S S ++++ 1111111(1)()()()223341011=-+-+-++- =1-111=101117、解： 法一(化边) 由题意得：x 1+x 2= bcosB, x 1．x 2=a cosA,∴bcosB=a cosA,由余弦定理得：b ac b c a 2222-+=a bca cb 2222-+, ∴2a c 2-4a -b 2c 2+b 4=0⇒c 2(2a -b 2)=( 2a +b 2)( 2a -b 2), ∴(2a -b 2)（c 2-2a - b 2）=0⇒2a -b 2=0或c 2-2a - b 2=0, ∴a =b 或2a +b 2=c 2。
所以ABC ∆为等腰三角形或直角三角形。
法二(化角) 由题意得：x 1+x 2= bcosB, x 1．x 2=a cosA,∴bcosB=a cosA,由正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA,∴sin2B=sin2A,即2A=2B 或2A=π-2B,∴A=B 或A+B=2π,∴ ABC ∆为等腰三角形或直角三角形。
18．【解】（1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x·AE·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2－x·AE,① 又S △ADE ＝21 S △ABC ＝23a 2＝21x·AE·sin60°⇒x·AE ＝2.② ②代入①得y 2＝x 2＋22()x －2（y ＞0）, ∴y1≤x≤2）。
.6分（2）如果DE 是水管y=当且仅当x 2＝24x ，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2. 如果DE 是参观线路，记f （x ）＝x 2＋24x，可知 函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，故f （x ） max ＝f （1）＝f （2）＝5. ∴y max=即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.19．解 原不等式可化为 ：2)2()1(--+-x a x a ＞0， ①当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解 由于2111211a a a -=-<<-- ∴原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞) ②当a ＜1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2) ＜0同解 由于21111a a a -=---, 若a ＜0，211211a a a -=-<--,解集为(12--a a ，2)； 若a =0时，211211a a a -=-=--，解集为∅； 若0＜a ＜1，211211a a a -=->--,解集为(2，12--a a ) 综上所述 当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2） 20、解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ 目标函数为30002000z x y =+．二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，． ∴点M 的坐标为(100200)，． max 30002000700000z x y ∴=+=（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．21、解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a .（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ,()22210203010202010103210[2(1)]a a a a a a d d d d ++=+++=++=++当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)10203020,a a a ++∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列.研究的问题可以是：试写出102010(1)n a a a ++++ 关于d 的关系式，并求102010(1)n a a a ++++ 的取值范围. 研究的结论可以是：由()32310203040102030301010432a a a a a a a a d d d d +++=++++=+++，依次类推可得12102010(1)1(1)10[],1,10(1)1(1)5(1)(2), 1.n n n n d d d a a a n nd d d d n n d ++⎧+--≠⎪⎡⎤+++=++++=--⎨⎣⎦⎪++=⎩ 因为1102010(1)10(1)n n n S a a a n nd d ++⎡⎤=+++=++++⎣⎦ ，21110(1)n n dS n d nd d ++⎡⎤=++++⎣⎦当1d ≠时，211(1)10(1)()n n d S n d d d ++⎡⎤-=+-+++⎣⎦11(1)(1)10(1)1n n d d d S n d ++⎡⎤--=+-⎢⎥-⎣⎦，即1121(1)10[],11(1)n n n d d S d d d +++-=-≠--； 当1d ≠时，[]1(1)(2)10(1)1105(1)(2)2n n n S n n n n +++=++++=⋅=++ . 当0>d 时，102010(1)n a a a ++++ 的取值范围为(1010,)n ++∞.。