2.3g 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型

0 ... ... ... 1 ... - a1 ...
0 ... B= 0 b
微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方 上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵 与微分方 中的系数a 之间,输入矩阵 与方程(2-6)中 输入矩阵B与方程 程(2-6)中的系数 1, a2,…, an之间 输入矩阵 与方程 中的系数 中 系数b之间的对应关系 之间的对应关系。 系数 之间的对应关系。 通常将上述取输出y和 的各阶导数为状态变量称为相 通常将上述取输出 和 y的各阶导数为状态变量称为相 变量。 变量。 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式 该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前 行为 行为1 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系 前n-1行为 维的零向量与(n-1)×(n-1)的单位矩阵。 的单位矩阵。 个n-1维的零向量与 维的零向量与 × 的单位矩阵 该类矩阵称为友矩阵。 该类矩阵称为友矩阵 。 友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中 空间分析方法中是一类重要的矩阵 这在后面的章节中 可以看到。 可以看到。
微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1
例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+6y”+11y’+6y=6u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此,当选择输出y及其 阶与2阶导数等相变量为状态变量时 及其1阶与 阶导数等相变量为状态变量时,由 因此,当选择输出 及其 阶与 阶导数等相变量为状态变量时 由 式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下 和 可得状态空间模型如下
微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)
将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下 将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程 有如下 状态方程 & x1 = x2 ...... & xn−1 = xn & xn = −a1xn −... − an x1 + bu 和输出方程 y=x1
微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)
将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
1 0 0 0 0 1 & x= M M M 0 0 0 −an − an −1` − an − 2 y = [1 0 L 0 0] x L L O 0 0 0 x + M u 0 b L − a1 0 0 M 1
& & x1 = x2 ... xn−1 = xn xn = −a1xn −... − an x1 + b0u(n) + ... + bnu &
根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为 分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连 续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量。
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
本节问题的关键是如何选择状态变量。
Hale Waihona Puke 微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)
由微分方程理论知,若初始时刻 的初值y(t 由微分方程理论知 若初始时刻t0的初值 0),y’(t0),…,y(n若初始时刻 1)(t )已知 则对给定的输入 已知,则对给定的输入 微分方程(2-6)有唯一解 也即 有唯一解,也即 微分方程 有唯一解 0 已知 则对给定的输入u(t),微分方程 系统在t≥ 的任何瞬时的动态都被唯一确定。 系统在 ≥t0的任何瞬时的动态都被唯一确定。 因此,选择状态变量为如下 因此 选择状态变量为如下相变量 选择状态变量为如下 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性。 可完全刻划系统的动态特性。 取输出y和 的各阶导数 也称相变量)为状态变量 的各阶导数(也称相变量 为状态变量,物理 取输出 和y的各阶导数 也称相变量 为状态变量 物理 意义明确,易于接受 易于接受。 意义明确 易于接受。
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型( 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2)
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空 间模型
本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶 常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立 常微分方程与传递函数 通过选择适当的状态变量分别建立 系统的状态空间模型。 系统的状态空间模型。 这样的问题称为系统的实现问题。 这样的问题称为系统的实现问题。 这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择 应保 这种变换过程的原则是 不管状态变量如何选择,应保 不管状态变量如何选择 持系统输入输出间的动态和静态关系不变。 持系统输入输出间的动态和静态关系不变。
微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为 不包含 有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入 为系统的阶次。 其中 和 分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。 分别为系统的输出和输入 为系统的阶次 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型 统的如下状态空间数学模型 状态空间模型
微分方程中包含输入量的导数项(4/11)
根据上述原则, 根据上述原则,选择状态变量如下
x1 = y − β 0u x2 = y − β1u − β 0u & & & && y x3 = && − β 2u − β1u − β 0u M & xn = y ( n−1) − β n−1u − β n−2u − L − β 0u ( n−1)
微分方程中包含输入量的导数项(7/11)
则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的 状态空间模型
1 0 L 0 0 β1 0 β 0 1 L 0 2 & x= M M M O M x + M u 0 0 0 1 0 β n −1 −an −an −1` −an − 2 L −a1 βn y = [1 0 L 0 0] x + β 0 u
微分方程中包含输入量的导数项(3/11)
为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常 为避免状态方程中显示地出现输入的导数 通常, 通常 可利用输出y和输入 以及其各阶导数的线性组合来组 可利用输出 和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 和输入 成状态变量,其原则是 其原则是: 成状态变量 其原则是 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 使状态方程中不显含输出 的各阶导数。 的各阶导数 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一 基于这种思路选择状态变量的方法很多 下面先介绍一 其他的方法将在后续章节中陆续介绍。 种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。 其他的方法将在后续章节中陆续介绍
0 & x= 0 −6 y = [1 0 1 0 0 0 1 x + 0 u 6 −11 −6 0]x
微分方程中包含输入量的导数项(1/11)
2. 微分方程中包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为 y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
其中β 为待定系数。 其中βi(i=0,1,…,n)为待定系数。 为待定系数
微分方程中包含输入量的导数项(5/11)
因此,有 因此 有
& & & x1 = y − β 0 u = x2 + β1u & & && x2 = && − β1u − β 0 u = x3 + β 2 u y M & & && xn −1 = y ( n −1) − β n − 2 u − β n −3u − L − β 0 u ( n −1) = xn + β n −1u & & && xn = y ( n ) − β n −1u − β n − 2 u − L − β 0 u ( n ) = −a1 y ( n −1) − L − an y + b0 u ( n ) + b1u ( n −1) + L & && + bn u − β n −1u − β n − 2 u − L − β 0u ( n )
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系 统的状态空间模型,分别讨论 统的状态空间模型 分别讨论 由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。 微分方程建立状态空间模型。 关键喔! 本节关键问题: 本节关键问题 如何选择状态变量 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型( 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
本节的内容为： 本节的内容为： 由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型 多输入多输出线性系统
由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1) 由高阶常微分方程建立状态空间模型
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
其 x = [x1 x2 ... xn ]τ , u = [u]和 = [ y]。 中 y
微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2
例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有 因此, β0=b0=0 β1=b1-a1β0=2 β2=b2-a1β1-a2β0 =4 β3=b3-a1β2-a2β1-a3β0 =-12
& x = Ax + Bu y = Cx + Du
建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?
微分方程中包含输入量的导数项(2/11)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量, 若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程
其 x = [x1 x2 ... xn ]τ , u = [u]和 = [ y]。 中 y
微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)
该状态空间模型可简记为: 该状态空间模型可简记为:
& x = Ax + Bu y = Cx
其中
1 0 ... ... A= 0 0 - an - an−1 C = [1 0 ... 0]
微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2
因此,当选择状态变量如下时 因此 当选择状态变量如下时
微分方程中包含输入量的导数项(6/11)
若待定系数βi(i=0,1,…,n)满足如下关系式 β0=b0 β1=b1-a1β0 β2=b2-a1β1-a2β0 …… βn =bn-a1βn-1-…-anβ0 即βi(i=0,1,…,n)满足如下方程组
1 a 1 a2 M an 0 1 a1 M an−1 0 0 1 M an−2 L 0 β 0 b0 L 0 β1 b1 L 0 β 2 = b2 O M M M L 1 β n bn