盐城中学数学
2023-2024学年江苏省盐城中学高二下学期期中考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量,若,则x 的值为( )A. B. C. 1D. 22.在三棱锥中,,Q 是BC 的中点,且M 为PQ 2023-2024学年江苏省盐城中学高二下学期期中考试数学试题的中点,若,,,则( )A.B.C.D.3.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱。
2022年10月31日15:37分,我国将“梦天实验舱”成功送上太空,完成了最后一个关键部分的发射,“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接,成为“T ”字形架构,我国成功将中国空间站建设完毕。
2023年,中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等4名航天员都去开展实验,三舱中每个舱至少一人,且甲、乙两人不同舱,则不同的安排方法有( )A. 24种 B. 30种 C. 66种 D. 以上都不对4.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则( )A.B.C.D.5.在10件产品中,有8件合格品,2件不合格品,从这10件产品中不放回地抽取2次,每次抽取1件产品。
若已知有一次为合格品,则另一次也是合格品的概率为 ( )A.B.C.D.6.南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列。
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列。
若某个二阶等差数列的前4项为:1、4、9、16,则该数列的第20项为( )A. 399B. 400C. 401D. 4027.已知点F 为双曲线的右焦点,A ,B 两点在双曲线上,且关于原点对称,M 、N分别为的中点,当时,直线AB 的斜率为,则双曲线的离心率为( )A. 4B. C.D. 28.如图,矩形ABCD中,,E为边AB的中点,将沿直线DE翻折成,在翻折过程中,直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )A. B. C. D.二、多选题:本题共4小题,共20分。
江苏省盐城中学高中数学立体几何知识点总结
高一立体几何知识梳理盐城中学高一数学组一、空间几何体(一)空间几何体的类型多面体:由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体.其这条直线称为旋转体的轴.(二)几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义:由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.1.2 棱柱的分类图1-1棱柱①棱柱,械垂直于底面》直棱柱 底山是多形)正棱柱其他棱柱…底面是四边形 棱柱 底面是平行四边形 四棱柱平行六面体 侧棱垂直于底面直平行底面是矩形底面是正方形 六面体长方体 性质:棱长都相等 正四棱柱正方体I 、II 、m 、1.3 侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等;两底面是全等多边形且互相平行;平行于底面的截面和底面全等;棱柱的面积和体积公式s 二ch (c 是底周长,h 是高) 直棱柱侧S 直棱柱表面=C ・h+2S 底2.1(V 棱柱=S 底•h棱锥的结构特征棱锥的定义)棱锥:当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥.()正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底f斜棱柱面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.2.2正棱锥的结构特征I、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比;II、正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;III、两个特征三角形:()A POH(包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径);()A POB(包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径)正棱锥侧面积:S=1ch'(c为底周长,h,为斜高)P正棱椎2体积:V=1Sh(S为底面积,h为高)DC棱椎3OHAB正四面体:各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体2对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为—a的正方体问题.211正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1:3(=-/』舟3:/十6正方体体对角线2正方体体对角线3、棱台的结构特征3.1棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台.3.2正棱台的结构特征(1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形;(3)正棱台的对角面也是等腰梯形;(4)各侧棱的延长线交于一点.4、圆柱的结构特征4.1圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.4.2圆柱的性质(1)上、下底及平行于底面的截面都是等圆;(2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.4.3圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2n•r•h(r为底面半径,h为圆柱的高)V圆、=S h=nr2h5、圆锥的结构特征5.1圆锥的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥.5.2圆锥的结构特征(1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;(2)轴截面是等腰三角形;(3)母线的平方等于底面半径与高的平方和:l2=r2+h25.3圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形.6、圆台的结构特征6.1圆台的定义:用一个平行于底面的平面去截圆锥,我们把截面和底面之间的部分称为圆台.6.2圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;⑵圆台的截面是等腰梯形;⑶圆台经常补成圆锥,然后利用相似三角形进行研究.6.3圆台的面积和体积公式S圆台侧=n•(R+r)•l(r、R为上下底面半径)V1=1/3(n r2+n R2+n rR)h(h为圆台的高)7球的结构特征7.1球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体.7-2球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面;⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差:r2=R2-d2⑶注意圆与正方体的两个关系:球内接正方体,球直径等于正方体对角线;球外切正方体,球直径等于正方体的边长.7-3球的面积和体积公式S=4nR2(R为球半径);V=4/3nR3(三)空球面间几何体的表面积与体积球空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和圆柱的表面积:S=2兀rl+2兀r2圆锥的表面积:S=兀rl+兀丫2圆台的表面积:S=兀r1+兀丫*兀Rl+兀R2球的表面积:S=4兀R2空间几何体的体积柱体的体积:V=S L X h;锥体的体积:v=1S X h底,3底1.T74〜台体的体积:V=-(S+JSS+S)X h;球体的体积:V二万兀R33上%’上下下3斜二测画法:(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2)平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;二、点、直线、平面之间的关系(一)、立体几何网络图:1、线线平行的判断:(1)平行于同一直线的两直线平行.(3)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.(6)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(12)垂直于同一平面的两直线平行.2、线线垂直的判断:(7)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面7的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(8)三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平/:□力面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直.人二L如图,已知PO ±a ,斜线PA 在平面a 内的射影为OA ,a 是平面a 内一条直线. ①三垂线定理:若a ^OA ,则a ^PA .即垂直射影则垂直斜线.②三垂线定理逆定理:若a ^PA ,则a ^OA .即垂直斜线则垂直射影.(10)若一直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内所有直线.补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条.3、线面平行的判断:(2)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(5)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.判定定理:allb[线线平行n 线面平行)性质定理:aliauu/i〔线面平行n线线平行)CK H p-b★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法):/I a=0,则l〃a(用于判断);⑵利用判定定理:线线平行0线面平行(用于证明);⑶利用平面的平行:面面平行n线面平行(用于证明);⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).2线面斜交和线面角:/Aa=A2.1直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角0.2.2线面角的范围:0£[0°,90°]注意:当直线在平面内或者直线平行于平面时,0=0°;当直线垂直于平面时,0=90°4、线面垂直的判断:(9)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面.(11)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.(14)一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.(16)如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面.判定定理:。
2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。
1.若集合,,则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根,则( )A. , B. ,C. ,D. ,3.若,则( )A. B.C.D.4.已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值,则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设,是双曲线的两个焦点,O 为坐标原点,P 是C 的左支上一点,且,则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中,,,使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ,B ,C ,D ,其中,,,,,,,,则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题:本题共4小题,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知,则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为,则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中,各棱长均为2,设,则( )A. 当时,B. 的取值范围为C. 变大时,平行六面体的体积也越来越大D. 变化时,和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹,若在曲线C上,则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别,现从这8件产品中随机抽取3件,则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量,,满足,则的值为__________.15.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列,“0,1数列”是每一项均为0或1的数列,设C是一个“0,1数列”,定义数列为数列C中每个0都变为“1,0,1”,每个1都变为“0,1,0”所得到的新数列.例如数列,1,则数列,0,1,0,1,已知数列,1,0,1,0,记数列,,2,3,,则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中,,P为内部一动点含边界,在空间中,若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L,则几何体L的体积等于__________.四、解答题:本题共6小题,共70分。
【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷+答案解析
【新结构】江苏省盐城市盐城中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷❖一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是()A.B.C.D.2.已知随机事件A ,B 相互独立,且,则()A.B.C. D.3.已知向量,满足,,则()A.1B.C.2D.4.若从1至9的9个整数中随机取2个不同的数,则这2个数的和是3的倍数的概率为()A. B.C.D.5.已知为数列的前n 项和,则“”是“数列为单增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知,,,,则的值是()A.B.C.D.7.已知球O 与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为,且若球和圆台的体积分别为和,则的最大值为()A.B.C. D.8.已知函数的零点为,存在零点,使,则不能是()A. B.C.D.二、多选题:本题共3小题,共18分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知非零复数在复平面内对应的点分别为,O 为坐标原点,则A.当时,B.当时,C.若,则存在实数t,使得D.若,则10.定义平面斜坐标系xOy,记,,分别为x轴、y轴正方向上的单位向量,若平面上任意一点P的坐标满足:,则记向量的坐标为,给出下列四个命题,正确的选项是()A.若,,则B.若,,则C.若,,则D.若,以O为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为11.已知直四棱柱,,底面ABCD是边长为1的菱形,且,点E,F,G分别为,,BC的中点,点H是线段上的动点含端点以为球心作半径为R的球,下列说法正确的是()A.直线AH与直线BE所成角的正切值的最小值为B.存在点H,使得平面EFGC.当时,球与直四棱柱的四个侧面均有交线D.在直四棱柱内,球外放置一个小球,当小球体积最大时,球直径的最大值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
江苏省盐城中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷含解析
江苏省盐城中学2025届高三第二次诊断性检测数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数()(1)2z i i =++(i 是虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案种数是( ) A .18种B .36种C .54种D .72种3.曲线(2)xy ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+,则ab =( ) A .4-B .8-C .4D .84.若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切,则k =( ) A .3B .13C .2D .125.若θ是第二象限角且sin θ =1213,则tan()4πθ+= A .177-B .717- C .177D .7176.复数2(1)i i +的模为( ).A .12B .1C .2D .7.等比数列{}n a 中,11,28a q ==,则4a 与8a 的等比中项是( ) A .±4B .4C .14±D .148.设x ∈R ,则“327x <”是“||3x <”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为 A .96B .84C .120D .36010.已知{}1A x x =<,{}21xB x =<,则AB =( )A .()1,0-B .()0,1C .()1,-+∞D .(),1-∞11.已知数列满足,且 ,则数列的通项公式为( ) A .B .C .D .12.已知α满足1sin 3α=,则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭( ) A .718B .79C .718-D .79-二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
【数学】盐城中学2022-2023学年高三上学期开学质量检测数学试题含解析
江苏省盐城中学高三年级开学质量检测数学试卷2022.08一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.已知集合321xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,{}221B x a x a =-<<+,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是()A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎤⎥⎝⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知i 为虚数单位,则复数11i iz i i+=++等于()A.1322i -+ B.1322i - C.3122i - D.3122i -+3.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是()A.3πB.3π和2C.6π和D.6π和24.一条铁路有n 个车站,为适应客运需要,新增了m 个车站,且知1m >,客运车票增加了62种,则现在车站的个数为()A.15B.16C.17D.185.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=,n T 为数列{}n b 的前n项和,则使64n T >成立的最小正整数为()A.5B.6C.7D.86.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点,点M 是过原点O 且倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 的一个交点,且1212MF MF MF MF +=-,则椭圆C 的离心率为()A.12B.2C.1- D.27.已知函数())x x f x e e x -=-+,则不等式f (x )+f (2x -1)>0的解集是()A.(1,+∞)B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(-∞,1)8.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O (О为球心)的球面上,ABC 为等边三角形,2AB BD ==,AD =AC BD ⊥,则二面角A CD O --的正切值为()A.3B.6C.3D.6二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π,将()f x 的图象向左平移6π个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,则下列结论正确的是()A.()00g = B.()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C.()g x 的图象关于4x π=-对称 D.()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是110.若实数x ,y 满足1221x y ++=,m x y =+,111((22-=+x y n ,则()A.0x <且1y <-B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7D.22m n ⋅<11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为棱AD 上的动点,平面α过点E 且与平面11A DC 平行,则()A.11B E CD ⊥ B.三棱锥111E BCD -的体积为定值C.1D E 与平面11A DC 所成的角可以是3π D.平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为12.已知点F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点,直线l 过点()()0,0D m m >交抛物线C 于()11,A x y ,()22,B x y 两点,11FA y =+.设O 为坐标原点,12,2x x P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线,PA PB 与x 轴分别交于,M N 两点,则以下选项正确的是()A.2p =B.若1m =,则0OA OB ⋅=C.若m p =,则OAB 面积的最小值为 D.,,,M N P F 四点共圆三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()()526012611mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =,则m =___________;14.已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为___________.15.平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x -4)2+(y -8)2=1,圆C 2:(x -6)2+(y +6)2=9,若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周,则圆C 的方程是________.16.对任意100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,不等式2121e m mx x m m -+>-恒成立,则正实数m 的取值范围为______.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+,②()2222cos 2a b c a c B a+--=,③()sin cos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个,补充在下面问题中,并解答.已知ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且__________.(1)求B(2)若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D,且5BD =,求ABC 的面积.18.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n ==∈≥.(1)求证;数列是等差数列,并求{}na 的通项公式;(2)若[]x 表示不超过x 的最大整数,如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦,求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 的值.19.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形,AD ∥BC ,BC =2AD ,60ABC ∠=︒,E 是棱PB 的中点,F 是棱PC 上的点,且A 、D 、E 、F 四点共面.(1)求证:F 为PC 的中点;(2)若△PAD 为等边三角形,二面角P AD B --的大小为120︒,求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值.20.乒乓球被称为我国的国球,是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中,比赛规则如下:比赛以11分为一局,采取七局四胜制.在一局比赛中,先得11分的选手为胜方;如果比赛一旦出现10平,先连续多得2分的选手为胜方.(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中,若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平,求这局比赛甲以先得11分获胜的概率;(2)假设甲选手每局获胜的概率为34,在前三局甲获胜的前提下,记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数,求X 的分布列及数学期望.21.已知曲线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =,过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B .(1)求证:直线AB 与x 轴相交于定点N ;(2)试探究x 轴上是否存在定点M 满足ANM BNM S AMS BM= 恒成立.若存在,请求出M 点坐标;若不存在,请说明理由.22.已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个零点()123123,,x x x x x x <<.(1)求实数a 的取值范围;(2)求证:①123x x a +>-;②232e x x +>.(两者选择一个证明)江苏省盐城中学高三年级开学质量检测数学试卷2022.08一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合321x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,{}221B x a x a =-<<+,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是()A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先解分式不等式,化简集合A ,再由A B ⊆,即可列出不等式求出结果.【详解】因为{}3322220012111x x x x A x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭,又{}221B x a x a =-<<+,A B ⊆,所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩,解得112a <≤.故选:B.【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数,涉及分式不等式的解法,属于基础题型.2.已知i 为虚数单位,则复数11i iz i i+=++等于()A.1322i -+ B.1322i - C.3122i - D.3122i -+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算算出答案即可.【详解】()()()()21111311111222i i i i i i i z i i i i i i i -+++=+=+=+-=-++故选:C 3.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是()A.3π和 B.3π和2C.6πD.6π和2【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x ,结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题,()sincos sin co 3s 3323234x x x x f x x π=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭,所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==.故选:C .4.一条铁路有n 个车站,为适应客运需要,新增了m 个车站,且知1m >,客运车票增加了62种,则现在车站的个数为()A.15B.16C.17D.18【答案】C 【解析】【分析】由题意得22A A 62n mn +-=,化简计算可得3112m n m -=-,由于1m >,0n >,可得3112m m ->,从而可求出18m <≤,经验证可得答案【详解】原来n 个车站有2A n 种车票,新增了m 个车站,有2A n m+种车票,由题意得22AA 62n m n +-=,即()(1)(1)62m n m n n n ++---=,整理得2262mn m m +-=,∴3112m n m -=-,∵1m>,0n >,∴3112m m ->,∴2620m m --<,解得112m +<<,即18m <≤.当3,4,5,6,7,8m =时,n 均不为整数,只有当2m =时,15n =符合题意,∴17m n +=,故现在有17个车站.故选:C.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S,且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=,n T 为数列{}n b 的前n项和,则使64n T >成立的最小正整数为()A.5B.6C.7D.8【答案】C 【解析】【分析】根据,n n S a 之间的关系证明{}n a 为等比数列,然后再证明{}n b 也是等比数列,由此求解出nT .根据不等式结合指数函数单调性求解出n 的取值范围,从而确定出n 的最小整数值.【详解】解析:由)1n n S a -+=,可知)111n n S a +++=∴)()1110n n n n S S a a ++--+-=1n n a +=.1n =时,)111a a +=1a =,∴0n a ≠,∴12n n a a +=,∴数列{}n a 是以1为首项,以2为公比的等比数列.∴211221122n n n n n n n n b a a a b a a a +++++⎛==== ⎝⎭.又1122b a a ==,∴数列{}n b是以2为首项,以12为公比的等比数列.∴1122111212n nn T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎥⎪⎝⎭⎥⎣⎦-.又64nT >,∴1631264n⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即61112642n⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴6n>.又n *∈N ,∴n 的最小值为7.故选:C .6.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点,点M 是过原点O 且倾斜角为60︒的直线l 与椭圆C 的一个交点,且1212MF MF MF MF +=- ,则椭圆C 的离心率为()A.12B.2C.1- D.2【答案】C 【解析】【分析】由1212MF MF MF MF +=- 分析可得出△12MF F 为直角三角形,再结合条件及椭圆定义得到2,c a +=即得.【详解】不妨设M 在第一象限,由1212MF MF MF MF +=-,两边平方后化简得:12·0MF MF = ,所以12MF MF ⊥ .在Rt △12MF F 中,∵2260,,MOF OM c OF c ∠=== ,∴2160MFF ∠= ,21,,MF c MF ==由椭圆定义可知:212,MF MF c a +==所以离心率1c e a ==.故选:C.7.已知函数())x x f x e e x -=-+,则不等式f (x )+f (2x -1)>0的解集是()A.(1,+∞)B.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.(-∞,1)【答案】B 【解析】【分析】先分析出()f x 的奇偶性,再得出()f x 的单调性,由单调性结合奇偶性可解不等式.【详解】()f x 的定义域满足0x >x x >≥,0x ->在R 上恒成立.所以()f x 的定义域为R())x x f x e e x --=-+则()()))x x x x e e x f e e f x x x --⎡⎤⎡⎤-++-+⎣⎦-=⎣+⎦))ln10x x =++==所以()()f x f x =--,即()f x 为奇函数.设())g x x =,由上可知()g x 为奇函数.当0x ≥时,y =y x =均为增函数,则y x =在[)0,∞+上为增函数.所以())g x x =在[)0,∞+上为增函数.又()g x 为奇函数,则()g x 在(],0-∞上为增函数,且()00g =所以()g x 在R 上为增函数.又x y e =在R 上为增函数,x y e -=在R 上为减函数所以x x y e e -=-在R 上为增函数,故()f x 在R 上为增函数由不等式()()210f x f x +->,即()()()2112f x f x f x >--=-所以12x x >-,则13x >故选:B8.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O (О为球心)的球面上,ABC 为等边三角形,2AB BD ==,AD =且AC BD ⊥,则二面角A CD O --的正切值为()A.3 B.6C.3D.6【答案】A 【解析】【分析】若E 为AC 中点,连接,BE DE ,利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面ADC ⊥面ABC ,结合已知条件有△ADC 为等腰直角三角形,进而可确定四面体外接球球心的位置,若F 为DC 中点,连接,EF OF ,易知EFO ∠即为二面角A CD O --的平面角,即可求其正切值.【详解】若E 为AC 中点,连接,BE DE ,由ABC 为等边三角形,则BE AC ⊥,又AC BD ⊥,且BE BD B ⋂=,∴AC ⊥面BDE ,又DE ⊂面BDE ,即AC DE ⊥,由题设,BE =,1AE DE CE ===,而2BD =,∴222DE BE BD +=,即DE BE ⊥,又AC BE E ⋂=,,AC BE ⊂面ABC ,∴DE ⊥面ABC ,而DE ⊂面ADC ,则面ADC ⊥面ABC ,由上可得:DC =,则222DC AD AC =+,故△ADC 为等腰直角三角形,∴综上,四面体ABCD 的球心O 为△ABC 的中心,即BE 靠近E 的三等分点,若F 为DC 中点,连接,EF OF ,易知:EFO ∠即为二面角A CD O --的平面角,由上BE AC ⊥、DE BE ⊥且AC DE E = ,,AC DE ⊂面ADC ,可得BE ⊥面ADC ,又EF ⊂面ADC ,则BE EF ⊥,即OE EF⊥,∴tan OE EFO EF ∠=,而,332BE OE EF ===,∴tan 3EFO ∠=.故选:A.【点睛】关键点点睛:根据线线垂直、勾股定理,结合线面、面面垂直的判定证面ADC ⊥面ABC 且△ADC 为等腰直角三角形,即可确定四面体球心的位置,再由二面角的定义找到其平面角,最后由已知条件求其正切值即可.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π,将()f x 的图象向左平移6π个单位长度,再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,则下列结论正确的是()A.()00g = B.()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增C.()g x 的图象关于4x π=-对称 D.()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1【答案】AC 【解析】【分析】由周期求出ω,由图象变换求得()g x 的解析式并化简,然后由正弦函数的性质判断各选项.【详解】由题意222ππω=,2ω=,所以()cos(4)6f x x π=-,1()cos[4(]cos(4sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-,()sin 2=-g x x ,(0)0g =,A 正确;0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,sin 2y x =递增,()g x 递减,B 错;()sin(142g ππ-=--=是最大值,C 正确;,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时,22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦,sin 2y x =的最小值是12-,()g x 的最大值是12,D 错;故选:AC .10.若实数x ,y 满足1221xy ++=,m x y =+,111()(22-=+x y n ,则()A.0x <且1y <- B.m 的最大值为3-C.n 的最小值为7 D.22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A ,利用基本不等式判断B 、C ,根据指数幂的运算判断D ;【详解】解:因为1221xy ++=,若0x ≥,则21x ≥,又120y +>,显然不成立,即0x <,同理可得10y +<,所以1y <-,即0x <且1y <-,故A 正确;又1122x y +=+≥=1222x y ++-≤,所以3x y +≤-,当且仅当11222x y +==,即1x =-,2y =-时取等号,即m 的最大值为3-,故B 正确;又()111111112222222244x y x y x y x y n+-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭1145592222y x x y ++⋅=+≥++,当且仅当1142222y x x y ++⋅=,即2log 3x =-,22log 13y =-时取等号,故C 错误;对于D :()111112((22222222mx y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦,因为1221x y ++=,所以()12222x y ++=,即12222x y +++=,即12422x y ++⨯=,即122322x y y ++⨯=+,因为302y ⨯>,所以1222x y +<+,即22m n ⋅<,故D 正确;故选:ABD11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 为棱AD 上的动点,平面α过点E 且与平面11A DC 平行,则()A.11B E CD ⊥B.三棱锥111E B C D -的体积为定值C.1D E 与平面11A DC 所成的角可以是3πD.平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为【答案】AB 【解析】【分析】由11CD C D ⊥、111B C CD ⊥可证得1CD ⊥平面11AB C D ,由线面垂直的性质可证得A 正确;由线面平行的判定可知//AD 平面111B C D ,知点E 到平面111B C D 的距离为1,由棱锥体积公式可知B 正确;以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系,假设线面角为3π,利用线面角的向量求法可构造方程,由方程无解知C 错误;将底面ABCD 和侧面11CDD C 展开到同一平面,可得交线的轨迹,由平行关系可知EG AC ==D 错误.【详解】对于A , 四边形11CDD C 为正方形,11CD C D ∴⊥;11B C ⊥ 平面11CDD C ,1CD ⊂平面11CDD C ,111B C CD ∴⊥,又1111B C C D C =I ,111,B C C D ⊂平面11AB C D ,1CD ∴⊥平面11AB C D ;1B E ⊂ 平面11AB C D ,11B E CD ∴⊥,A 正确;对于B ,1111////AD A D B C ,AD ⊄平面111B C D ,11B C ⊂平面111B C D ,//AD ∴平面111B C D ,又E AD ∈,∴点E 到平面111B C D 的距离即为11AA =,111111111111113326E B C D B C D V S AA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯= ,B 正确;对于C ,以D 为坐标原点,1,,DA DC DD正方向为,,x y z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,则()11,0,1A ,()0,0,0D ,()10,1,1C ,()10,0,1D ,则()11,0,1DA = ,()10,1,1DC =,设平面11A DC 的法向量(),,n x y z = ,则110DA n x z DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1x =,解得:1y =,1z =-,()1,1,1n ∴=- ;设()(),0,001E λλ≤≤,则()1,0,1D E λ=-,111cos ,D E n D E n D E n ⋅∴<>==⋅ 若1D E 与平面11A DC 所成的角为3π,则11cos ,2D E n <>= ,方程无解,1D E ∴与平面11A DC 所成的角不能为3π,C 错误;对于D ,设平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线分别为,EF FG ,则//EF AC ,1//FG C D ,将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展开到同一平面,则,,E F G 三点共线且//EG AC,EG AC ∴==D 错误.故选:AB .12.已知点F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点,直线l 过点()()0,0D m m >交抛物线C 于()11,A x y ,()22,B x y 两点,11FA y =+.设O 为坐标原点,12,2x x P m +⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线,PA PB 与x 轴分别交于,M N 两点,则以下选项正确的是()A.2p =B.若1m=,则0OA OB⋅=C.若m p =,则OAB面积的最小值为D.,,,M N P F 四点共圆【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得2p =,知A 正确;设:l y kx m =+,与抛物线方程联立可得1212,x x y y ,由向量数量积的坐标运算可知B 错误;由1212OABSOD x x =⋅-≥ C 正确;表示出直线PA 方程后,可求得M 点坐标,进而得到1AP MF k k =-⋅,知AP MF ⊥,同理可得BP NF⊥,由此可知D 正确.【详解】对于A ,由抛物线焦半径公式得:1112pFA y y =+=+,解得:2p =,A 正确;对于B ,由题意知:直线l 斜率存在,设:l y kx m =+,由224x py y y kx m⎧==⎨=+⎩得:2440x kx m --=,124x x m ∴=-;由1m=得:124x x =-,则()21212116x x y y ==,12123OA OB x x y y ∴⋅=+=-,B 错误;对于C ,若2mp ==,则1280x x =-<,不妨设120x x <<,则()122111222OABSOD x x x x =⋅-=⨯⨯-≥= (当且仅当12x x -==时取等号),即OAB面积的最小值为,C 正确;对于D ,直线PA 的斜率为2112111212144222PAx x x y m x k x x x x x -+===+--,∴直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,令0y =得:()2111124x x y x x -=-=-,∴点M的横坐标为12M x x =,即1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则直线MF 的斜率1110202MF k x x -==--,1AP MF k k ∴=-⋅,AP MF ∴⊥,同理可得:BP NF ⊥,,,,M N P F ∴四点共圆,D 正确.故选:ACD .【点睛】思路点睛:本题考查直线与抛物线综合应用的问题,本题D 选项中,证明四点共圆的基本思路是能够通过说明两条直线斜率乘积为1-,得到两条直线互相垂直,进而得到四边形对角互补,得到四点共圆.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知()()526012611mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+.若25a =,则m =___________;【答案】1-【解析】【分析】求出()51x +展开式的通项,从而求得m ;【详解】因为5260126(1)(1)mx x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅+其中()51x +展开式的通项为15r r r TC x +=,令1r =,则11255TC x x ==,令2r =,则2223510T C x x ==,所以()()51+1mx x +展开式中2x 项为2210+55x mx x x ⋅=,故1m =-,故答案为:1-14.已知函数21,0,()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为___________.【答案】12【解析】【分析】利用分段函数,分类讨论,即可求出函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点,从而得解.【详解】解:0x 时,10x +=,1x =-,由()1f x =-,可得11+=-x 或2log 1x =-,2x ∴=-或12x =;0x >时,2log 0x =,1x =,由()1f x =,可得11x +=或2log 1x =,0x ∴=或2x =;∴函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点为2-,12,0,2,所以所有零点的和为1120222-+++=故答案为:12.15.平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 1:(x -4)2+(y -8)2=1,圆C 2:(x -6)2+(y +6)2=9,若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周,则圆C 的方程是________.【答案】2281x y +=【解析】【分析】由题知圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径,圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径,进而设圆C 的圆心为(,0)C a ,半径为r 得2222121,9r CC r CC =+=+,再结合距离公式解方程即可得答案.【详解】解:圆C 平分圆C 1等价于圆C 与圆1C 的公共弦是圆1C 的直径.同理圆C 与圆2C 的公共弦是圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)C a ,半径为r ,则()222x a y r -+=,所以2222121,9r CC r CC =+=+,即()()()222222481669a r a r⎧-+-+=⎪⎨-++=⎪⎩,解得20,81.a r =⎧⎨=⎩所以圆C 的方程为2281x y +=.故答案为:2281x y +=16.对任意100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,不等式2121e m mx x m m -+>-恒成立,则正实数m 的取值范围为______.【答案】103m <≤或3m ≥【解析】【分析】将不等式右边通分后再分类讨论,当10mx ->时,通过构造函数并研究其单调性来解决不等式问题.【详解】由2121em mx x m m-+>-,有212211em mx x mx m m m-+->-=.当10mx -≤时,不等式显然成立,又100,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1m x ≤,即310m ≤时不等式恒成立,又m 为正实数,所以3010m <≤;当10mx->时,令1mx t -=,则22e mtm t ->,即有2222ln ln ln ln m t t m m m t t ->-⇒+>+,令()ln f x x x =+,易知()f x 在(0,)+∞上单调递增,所以22ln ln m m t t +>+,即2()()f m f t >,所以2m t >,即211mx x mm m -⇒+>>,所以1103m m +≥,解得3m ≥或103m <≤(m 为正实数).综上可知:103m <≤或3m ≥.故答案为:103m <≤或3m ≥四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①()()()sin sin sin sin A C a b c B C -=-+,②()2222cos 2a b c a c B a+--=,③()sincos 6a B C B b π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭这三个条件中选一个,补充在下面问题中,并解答.已知ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且__________.(1)求B (2)若b =ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且5BD =,求ABC 的面积.【答案】(1)=3B π(2析】【分析】(1)若选条件①,先用正弦定理将角转化为边的关系,再利用余弦定理即可;若选条件②,先用余弦定理将边转化为角的关系,再利用正弦定理即可;若选条件③,先用三角形的内角之和为π,再利用正弦定理即可;(2)利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S =+△△△,结合余弦定理和三角形的面积公式即可【小问1详解】选择条件①:根据正弦定理,可得:()()()a c abc b c -=-+可得:222a cb ac +-=根据余弦定理,可得:2221cos 22a cb B ac +-==()0,,=3B B ππ∈∴选择条件②:根据余弦定理,可得:2cos (2)cos =cos 2ab Ca c Bb C a-=根据正弦定理,可得:(2sinsin )cos sin cos A C B B C-=整理可得:2sin cos sin()sin A B B C A=+=可得:1cos 2B=()0,,=3B B ππ∈∴选择条件③:易知:A B C π++=可得:sin cos()6a A Bb π=-根据正弦定理,可得:sin sin cos(sin 6A AB B π=-可得:1sin cos()62BB B Bπ=-=+整理可得:tan B =()0,,=3B B ππ∈∴【小问2详解】根据题意,可得:ABCABD BCDS S S =+△△△可得:111sin sin sin 23256256ac πππ=⨯+⨯整理可得:54ac ac +=根据余弦定理,可得:2222cos b a c ac ABC=+-∠可得:2213=a c ac +-,即2()313a c ac +-=可得:225()482080ac ac --=解得:4ac =或5225ac =-(舍)故1=sin 23ABCSac π=△18.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n项和为)*1,1,,2n n S a a n N n ==∈≥.(1)求证;数列是等差数列,并求{}n a 的通项公式;(2)若[]x 表示不超过x 的最大整数,如][1,22,2,12⎡⎤-=-=⎣⎦,求22212111n a a a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 的值.【答案】(1)证明见解析,21na n =-(2)1【解析】【分析】(1)用1n n S S --替换给定关系中的n a()12n -=≥,由此求出2,n S n =进而求出n a .(2)对21na 适当放大为2144n n-,再利用裂项相消法求其前n 项和,再确定这个和所在区间即可得解.【小问1详解】因为na=2n ≥时,1n n S S --=+,即=+,而0na >0>()12n -=≥所以数列1==为首项,公差为1的等差数列;()111n n =+-⨯=,则2,n S n =当2n ≥时,121n a n n n ==+-=-,又11a =满足上式,所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.【小问2详解】222111(21)441n a n n n ==--+,当2n ≥时,22111114441n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭,故22212111111111111151111412231444n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++=+-<+= ⎪-⎝⎭⎝⎭ ,当1n=时,211514a =<,所以对任意的*n ∈N ,都有2221211154n a a a +++< ,又222212111111n a a a a +++≥= ,所以22212111514n a a a ≤+++< .所以222121111n a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ .19.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形,AD ∥BC ,BC =2AD ,60ABC ∠=︒,E 是棱PB 的中点,F 是棱PC 上的点,且A 、D 、E 、F四点共面.(1)求证:F 为PC 的中点;(2)若△PAD 为等边三角形,二面角P AD B--的大小为120︒,求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)34【解析】【分析】(1)先由线面平行的判定定理证明AD ∥平面PBC ,再根据线面平行的性质定理即可证明EF ∥AD ,即可证明结论;(2)建立空间直角坐标系,求得相关各点坐标,求得平面ADFE 的法向量,根据向量的夹角公式即可求得答案.【小问1详解】证明:四棱锥P ﹣ABCD 中,AD ∥BC ,BC ⊂平面PBC ,∴AD ∥平面PBC .由题意A 、D 、E 、F 四点共面,平面ADFE平面PBC =EF ,∴AD ∥EF ,而AD ∥BC ,∴EF ∥BC ,∵E 是棱PB 的中点,∴F 为PC 中点.【小问2详解】如图,以BC 为x 轴,连接BC 中点O 和AD 中点G ,以OG 为y 轴,过点O 作垂直于平面ABCD 的直线作为z 轴,建立如图所示空间直角坐标系,因为AB =CD ,BC =2AD ,60ABC ∠=︒设AD =a ,则BC =2a ,AB CD a==,所以33,(,,0),(,0,0),(,,0),(,0,0)222223a a OG a A B a D a C a =--,33(,,0),(,0,0)22BD a a AD a == ,因为△PAD 为等边三角形,所以PG ⊥AD ,由题意知OG AD⊥,所以∠PGO 为二面角P AD B--的平面角,又二面角P AD B --的大小为120︒,所以120PGO∠=︒,因为PG ⊥AD ,GO ⊥AD ,,,PG GO G PG GO =⊂ 平面PGO,所以AD ⊥平面PGO ,过P 作PH 垂直于y 轴于点H ,因为PH ⊂平面PGO ,所以AD ⊥PH ,又PH ⊥GH ,,GH AD ⊂平面ABCD ,GH AD G= ,所以PH 垂直于平面ABCD ,且60PGH∠=,3,,22244PG a PH a a GH a ==⨯==,244OH OG GH a a a =+=+=,∴30,,44P a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,因为E ,F 分别为PB ,PC 的中点,所以33(,,),(,,),(0,,)288288388a a E a F a AE a a -=- ,设平面ADFE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n AE n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,所以30880ay az ax ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩,取z=1,n = ,设BD 与平面ADFE 所成角为θ,则3sin |cos ,|4a BD θ=〈〉= n ,即直线BD 与平面ADFE所成角的正弦值为4.20.乒乓球被称为我国的国球,是一种深受人们喜爱的球类体育项目.某次乒乓球比赛中,比赛规则如下:比赛以11分为一局,采取七局四胜制.在一局比赛中,先得11分的选手为胜方;如果比赛一旦出现10平,先连续多得2分的选手为胜方.(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为23.在一局比赛中,若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平,求这局比赛甲以先得11分获胜的概率;(2)假设甲选手每局获胜的概率为34,在前三局甲获胜的前提下,记X 表示到比赛结束时还需要比赛的局数,求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)1627(2)X 1234p34316364164数学期望为8564.【解析】【分析】(1)分析出两种情况,甲乙再打3个球,这三个均为甲赢和甲乙再打4个球,其中前三个球甲赢两个,最后一个球甲赢,分别求出概率,相加即为结果;(2)求出X 的可能取值为1,2,3,4,及对应的概率,写出分布列,求出期望值.【小问1详解】设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A ,则事件A 中包含事件B 和事件C ,事件B :甲乙再打3个球,甲先得11分获胜,事件C :甲乙再打4个球,甲先得11分获胜.事件B :甲乙再打3个球,这三个球均为甲赢,则()33328327p B C ⎛⎫== ⎪⎝⎭,事件C :甲乙再打4个球,则前三个球甲赢两个,最后一个球甲赢,则()223212833327p C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭;则()()()8816272727p A P B P C =+=+=【小问2详解】X 的可能取值为1,2,3,4.()314p X ==,()13324416p X ==⨯=,()1133344464p X ==⨯⨯=,()1111444464p X ==⨯⨯=,所以X 的分布列为:X 1234p34316364164其中()331851234416646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.即数学期望为8564.21.已知曲线2:2(0)Cy px p =>的焦点为F ,曲线C 上有一点()0,Q x p 满足2QF =,过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点,A B .(1)求证:直线AB 与x 轴相交于定点N;(2)试探究x 轴上是否存在定点M满足ANM BNM S AMS BM= 恒成立.若存在,请求出M 点坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在,()4,0M -【解析】【分析】(1)由焦半径公式代入求解p ,从而得抛物线方程;设直线方程:=+AB l x ty n ,联立方程组,通过OA OB ⊥可得n 的值,即可求出定点坐标;(2)由题意得出x 轴为AMB ∠的角平分线,将韦达定理代入所给条件求解即可.【小问1详解】解:()0,Q x p 在22y px =,即202p px =,解得02p x =,所以022p QF x p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭,故抛物线为24y x =,易知直线AB 的斜率不为0,故设:=+AB l x ty n ,11(,)A x y ,22(,)B x y ,联立224404x ty n y ty n y x=+⎧⇒--=⎨=⎩,故124y y t +=,124y y n =-,所以222121244y y x x n =⋅=,因为OA OB ⊥,则2121240OA OB x x y y n n ⋅=+=-= ,则4n =或0n =(舍),故(4,0)N .【小问2详解】解:假设存在设(),0M m ,其中4m ≠,因为ANM BNM S AM S BM = ,那么AM AN BM BN =,则x 轴为AMB ∠的角平分线,若1m x =,则AM 垂直于x 轴,x 轴平分AMB ∠,则BM 垂直于x 轴,则直线AB 的方程为4x =,此时4m n ==,而M ,N 相异,故1m x ≠,同理2m x ≠故AM与BM 的斜率互为相反数,即12122112120y y x y x y m x m x m y y ++=⇒=--+1221121212(4)(4)2324444ty y ty y ty y t m y y y y t +++-⇒==+==-++为定值.故当(4,0)M -时,ANM BNM S AM S BM = 恒成立.22.已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--恰有三个零点()123123,,x x x x x x <<.(1)求实数a 的取值范围;(2)求证:①123x x a +>-;②232e x x +>.(两者选择一个证明)【答案】(1)()111e e 1a <<+-(2)证明见解析【解析】【分析】(1)令ln x t x =转化为2(1)10(*)t a t a +-+-=在(-∞,1]e 上有两不等实根1t ,212()t t t <.从而得出参数a 的范围,(2)设函数ln ()x h x x =在1x =处的切线:1l y x =-,记切线l 与1y t =,2=t t 的交点的横坐标分别为1x ',2x ',又由ln 1x x x≤-可得1111ln 1x t x x =<-,从而可证明①;根据对数均值不等式可证明②.【小问1详解】()0f x =可以等效化简为ln ln 110x x a x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即令ln x t x =,由ln x t x =,则21ln x t x -'=,令21ln 00e x t x x -'=>⇒<<,21ln 0e x t x x -'=<⇒>,故ln x t x=在()0e ,单调递增,在(e,)+∞单调递减,当e x =时,1et =,所以ln 1e x t x =≤,且当1x >时,ln 0x t x =>,当01x <<时,ln 0x t x =<,ln x t x =的图像如下图所示,题意等价于()2110t a t a +-+-=(*),必有两个实根1t ,212()t t t <.判别式2(1)4(1)0a a ∆=--->,有3a <-或1a >,两根情况讨论如下:①当110,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,21e t =时,从而将21e t =代入(*)式,得211e ea =+-,又12211e et t a =-=--,有12e 10e e e 1t =-=-<--不符合题意,故舍去;②当10t ≤,210,et ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,令2()(1)1g t t a t a =+-+-,)i 当10t =时,有10a -=,得1a =,此时(*)式为20t =,不符合题意;)ii 当10t <时,则有2(0)10111(1)10e e e g a g a a =-<⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+-⋅+-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得111e(e-1)a <<+,综上知a 的取值范围为11,1e(e-1)⎛⎫+ ⎪⎝⎭,【小问2详解】选①由(1)知112a t --=,212a t -+=,考虑函数2()ln h x x x x =-+,故()()211()21=1x x h x x x x -+-'=-+,当1x >时,()0h x '<,当01x <<时,()0h x '>,故()h x 在(0,1)单调递增,在(1,)+∞单调递减,故()(1)0h x h ≤=,因此2ln 0x x x -+≤,故得:ln 1x x x-,记直线:l 1y x =-,l 与1y t =,2=t t 的交点的横坐标分别为1x ',2x ',则11x '=,21x '=,又11111ln 11x t x x x ='-=<-,则11x x '<,同理22x x '<,故12123x x x x a +>'+'=-.若选②先证:对任意的0a b >>,有ln ln 2a b a b a b->-+,记()()()()2221114()ln 21,()111x x p x x x p x x x x x x --'=->=-=+++,当1x >时,()0p x '>,故()p x 在()1+∞,上单调递增,因此()(1)0p x p ≥=,故1ln 201x x x -->+,不妨设0a b >>,取1a x b =>,代入1ln 201x x x -->+得:1ln 20ln 201a a a a b b a b b a b b--->⇒->++,则ln ln 2a b a b a b ->-+故对任意的0a b >>,有ln ln 2a b a b a b->-+,选②:32322232323232ln ln ln ln 22x x x x t x x x x x x x x t -===>⇒+>-+由于210,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故23222e x x t +>>【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题,考查复合方程的根的问题.解得本题的关键是先令ln x t x=,先研究出其性质大致图像,然后将问题转化为2(1)10(*)t a t a +-+-=在(]0-∞,和10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个实根1t ,212()t t t <,从而使得问题得以解决,证明不等式时,主要采用了放缩法以及利用对数不等式对任意的0a b >>,有ln ln 2a b a b a b -+<-进行证明,属于难题.。
2024年江苏省盐城中学中考数学二模试卷(含答案)
2024年江苏省盐城中学中考数学二模试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2024的倒数是( )A. 2024B. −2024C. 12024D. −120242.下列图形中,是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.某物体如图所示,它的俯视图是( )A. B. C. D.4.2024年,盐城市中考考生约75700人,数据75700用科学记数法表示为( )A. 0.757×105B. 7.57×103C. 7.57×104D. 7.57×1055.下列选项中计算结果为x7的是( )A. x3+x4B. x9−x2C. (−x3)4D. x3x46.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠B=108°,则∠D的大小为( )A. 36°B. 54°C. 62°D. 72°7.如图,矩形ABCD中,CD=2,∠DBC=30°,则矩形的对角线BD的长度为( )A. 22B. 4C. 23D. 438.已知点P(−5,m),Q(5,m),R(8,m+2)在同一个函数图象上,则这个函数图象可能是( )A. B. C. D.二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
9.一组数据:1,2,2,2,3,4的众数为______.10.若x−2有意义,则x的取值范围是.11.如图,l1//l2//l3,AB=6,DE=5,EF=15,则BC的长为______.12.如图,一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成,向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞镖每次都落在游戏板上),则击中黑色区域的概率是______.13.将一副三角尺按如图所示的方式叠放,则∠1的度数为______.14.重庆某工业园区今年四月份提供就业岗位1500个,并按计划逐月增长,预计六月份将提供岗位1800个,设五、六两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为______.15.如图1是某电路图,滑动变阻器的电阻为R,电功率为P,P关于R的反比例函数图象如图2所示.小明通过调节电阻,发现当R从10Ω增加到20Ω时,电功率P减少了20w,则当R=25Ω时,P=______W.16.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一动点,连接AC,点D在直径AB上,AD=AC,连接并延长CD交⊙O于点E,若AB=8,则AC+DE的最大值是______.三、解答题:本题共11小题,共102分。
2022-2023学年江苏省盐城中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省盐城中学高一(下)期中数学试卷一、单项选择题(每小题5分,共40分)1.已知集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={x |lnx >1},则A ∩B =( ) A .{1,2} B .{1,2,3,4}C .{3,4,5,6}D .{1,2,3,4,5,6}2.实数x ,y 满足x +y =﹣1,x >0,则x −yx 的最小值为( ) A .1B .2C .3D .43.已知cos(θ+π4)=14,则sin2θ=( ) A .±38B .78C .−78D .±784.1748年,瑞士数学家欧拉发现了欧拉公式:e i θ=cos θ+i sin θ(e 是自然对数的底,i 是虚数单位),这个公式被誉为复指数函数与三角函数的“天桥”,在复变函数中占有非常重要的地位,则复数e 5i 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.已知函数f(x)=sin2x −√3cos2x ,则( )A .f (x )在(0,π3)单调递增,且图象关于点(π3,0)中心对称 B .f (x )在(0,π3)单调递增,且图象关于点(π6,0)中心对称 C .f (x )在(0,π3)单调递减,且图象关于点(π6,0)中心对称 D .f (x )在(0,π3)单调递减,且图象关于点(π3,0)中心对称 6.函数y =sin xln (e x +e ﹣x )在区间[﹣π,π]上的图象大致为( )A .B .C .D .7.已知锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a 2=b 2+bc ,则tan A tan B 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .(1,√3)C .(0,1)D .(√3,+∞)8.已知实数a =cos0.52,b =sin0.5,c =716,则它们的大小关系为( ) A .a <b <cB .c <a <bC .c <b <aD .b <c <a二、多项选择题(每小题5分,共20分) 9.已知z 1,z 2∈C ,下列说法正确的是( ) A .|z 1|∈R B .|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2| C .|z 1z 2|=|z 1||z 2|D .|z 1|=|z 1|10.函数f (x )=tan (sin x +cos x ),则下列说法正确的是( ) A .f (x )的定义域为R B .f (x )是奇函数C .f (x )是周期函数D .f (x )既有最大值又有最小值11.给出下列四个关系式,其中正确的是( ) A .sinαsinβ=12[cos(α+β)−cos(α−β)] B .sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]C .cosαcosβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]D .cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]12.在△ABC 中,AC =3,AB =5,∠A =120°,点D 是BC 边上一点,且AD →=xAC →+yAB →,则下列说法正确的是( ) A .BC =7B .若x =y =0.5,则AD =√192C .若AD =√192,则x =y =0.5D .当AD 取得最小值时,x =5198三、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC 中,a =2,b =1,B =29°,则满足此条件的三角形有 个. 14.将x 2+2x +5在复数范围内因式分解为 .15.如图,某数学学习小组要测量地面上一棵大树AB 的高度(大树AB 垂直于地面),在与树底B 同一水平面内选取两个测量基点C 和D ,在C 点测得大树顶部A 的仰角是π6,在D 点测得大树顶部A 的仰角是π4,测得水平面上的∠BDC =π3,DC =20米,则大树的高度为 米.16.在△ABC 中,AB =1,AC =2,∠A =60°,若△ABC 的平面内有一点D 满足AD 2=AC →⋅AD →,则AD 2+BD 2的最小值为 . 四、解答题(共70分)17.(10分)已知平面向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=2,且a →与b →的夹角为π3.(1)求|a →+b →|;(2)若a →−b →与a →+kb →垂直,求实数k 的值.18.(12分)已知复数z =(1−i)2+3+3i 2−i+2i . (1)求复数z ;(2)记复数z 在复平面对的点为P ,已知角α的终边经过点P ,若tan (α+β)=﹣2,且β∈(0,π),求β的值.19.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若asinB =√3bcosA . (1)求A ;(2)若c =3,△ABC 的面积为3√32, (i )求a ;(ii )△ABC 边BC 上一点D ,记△ABD 面积为S 1,△ACD 面积为S 2,当1S 1+4S 2达到最小值时,求AD的长.20.(12分)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<2),有以下四个命题: 甲:该函数的最大值为√3;乙:该函数的周期与y =sin x 的周期相同; 丙:该函数有一个零点为2π3;丁:该函数图象可以由y =sin2x −√2cos2x 的图象左右平移得到: 以上四个命题中有且仅有一个命题是假命题.(1)请找出这个假命题,不需要说明理由,并求出f (x )的解析式;(2)设函数ℎ(x)=13f(x−π12)+sin2x,求函数h(x)的最小值.21.(12分)若函数f(x)满足:存在非零实数T,对任意定义域内的x,有f(Tx)=f(x)+T恒成立,则称f(x)为T函数.(1)求证:常数函数f(x)=c不是T函数;(2)若关于x的方程log a x﹣x=0(a>0且a≠1)有实根,求证:函数g(x)=log a x为T函数;(3)如果函数f(x)为T函数,那么f2(x)是否仍为T函数?请说明理由.22.(12分)在△ABC中,A,B均为锐角.(1)若sin2A+sin2B=sin2(A+B),求证:△ABC是直角三角形;(2)若sin2A+sin2B=sin(A+B),求证:△ABC是直角三角形;(3)若sin2A+sin2B=sin3(A+B),那么△ABC还一定是直角三角形吗?2022-2023学年江苏省盐城中学高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题(每小题5分,共40分)1.已知集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={x |lnx >1},则A ∩B =( ) A .{1,2} B .{1,2,3,4}C .{3,4,5,6}D .{1,2,3,4,5,6}解:集合A ={1,2,3,4,5,6},B ={x |lnx >1}={x |x >e }, 则A ∩B ={3,4,5,6}. 故选:C .2.实数x ,y 满足x +y =﹣1,x >0,则x −yx的最小值为( ) A .1B .2C .3D .4解:因为x +y =﹣1, 所以y =﹣1﹣x ,x >0, 所以x −y x =x +x+1x =x +1x+1≥2+1=3,当且仅当x =1时取等号. 故选:C .3.已知cos(θ+π4)=14,则sin2θ=( ) A .±38B .78C .−78D .±78解:因为cos(θ+π4)=14, 所以√22(cos θ﹣sin θ)=14,所以cos θ﹣sin θ=√24,两边同时平方得1﹣2sin θcos θ=18则sin2θ=78. 故选:B .4.1748年,瑞士数学家欧拉发现了欧拉公式:e i θ=cos θ+i sin θ(e 是自然对数的底,i 是虚数单位),这个公式被誉为复指数函数与三角函数的“天桥”,在复变函数中占有非常重要的地位,则复数e 5i 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解:由题意可得,e 5i =cos5+i sin5, ∵3π2<5<2π,∴cos5>0,sin5<0,则e 5i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第四象限. 故选:D .5.已知函数f(x)=sin2x −√3cos2x ,则( )A .f (x )在(0,π3)单调递增,且图象关于点(π3,0)中心对称 B .f (x )在(0,π3)单调递增,且图象关于点(π6,0)中心对称 C .f (x )在(0,π3)单调递减,且图象关于点(π6,0)中心对称 D .f (x )在(0,π3)单调递减,且图象关于点(π3,0)中心对称 解:f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin (2x −π3), ∵f (π6)=2sin0=0,f (π3)=2sinπ3=√3≠0,∴图象关于点(π6,0)中心对称,不关于点(π3,0)中心对称, ∵当x ∈(0,π3)时,2x −π3∈(−π3,π3),∴f (x )=2sin (2x −π3)在(0,π3)单调递增. 故选:B .6.函数y =sin xln (e x +e ﹣x )在区间[﹣π,π]上的图象大致为( )A .B .C .D .解:对于函数f (x )=sin xln (e x +e ﹣x ),∵f (x )+f (﹣x )=sin xln (e x +e ﹣x )+sin (﹣x )ln (e ﹣x +e x )=sin xln (e x +e ﹣x )﹣sin xln (e x +e ﹣x )=0,故f (x )为奇函数,图象关于原点对称,B 、D 错误;又∵f(π2)=sin π2ln(e π2+e −π2)=ln(e π2+e −π2),且e π2>e ,e −π2>0,故f(π2)=ln(e π2+e −π2)>ln(e +0)=1,C 错误;故选:A .7.已知锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,a 2=b 2+bc ,则tan A tan B 的取值范围为( ) A .(1,+∞)B .(1,√3)C .(0,1)D .(√3,+∞)解:∵a 2=b 2+bc ,a 2=c 2+b 2﹣2bc cos A , ∴c ﹣2b cos A =b , ∴sin C ﹣2sin B cos A =sin B , ∴sin (A +B )﹣2sin B cos A =sin B , ∴sin A cos B ﹣sin B cos A =sin B , ∴sin (A ﹣B )=sin B ,∵A ,B ∈(0,π),∴A ﹣B =B ,∴A =2B , ∴tan A =tan2B =2tanB1−tan 2B,即tan A tan B =2tan 2B 1−tan 2B =−2+21−tan 2B,∵锐角△ABC ,∴{ 0<2B <π20<B <π20<π−3B <π2,∴π6<B <π4,∴13<tan 2B <1,∴tan A tan B =﹣2+21−tan 2B>1,∴tan A tan B 的取值范围为(1,+∞). 故选:A . 8.已知实数a =cos0.52,b =sin0.5,c =716,则它们的大小关系为( ) A .a <b <c B .c <a <b C .c <b <a D .b <c <a解:根据泰勒公式:cos0.52=12−0.254+0.5448−0.56720+⋯> 0.44,sin0.5=0.5−0.536+0.55120−⋯,716≈0.44,sin0.5≈0.5−0.536>12−0.254≈cos0.52>0.44,∴c <a <b .故选:B.二、多项选择题(每小题5分,共20分)9.已知z1,z2∈C,下列说法正确的是()A.|z1|∈R B.|z1+z2|=|z1|+|z2|C.|z1z2|=|z1||z2|D.|z1|=|z1|解:对于A,|z1|≥0,则|z1|∈R,故A正确;对于B,z1=i,z2=﹣i,则|z1+z2|≠|z1|+|z2|,故B错误;对于C,设z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R),z1•z2=(a+bi)(c+di)=ac﹣bd+(ad+bc)i,|z1⋅z2|=√(ac−bd)2+(ad+bc)2=√a2c2+b2d2+a2d2+b2c2,|z1|=√a2+b2,|z2|=√c2+d2,故|z1•z2|=|z1|•|z2|,故C正确;对于D,设z1=x+yi(x,y∈R),则z1=x−yi,故|z1|=|z1|=√x2+y2,故D正确.故选:ACD.10.函数f(x)=tan(sin x+cos x),则下列说法正确的是()A.f(x)的定义域为R B.f(x)是奇函数C.f(x)是周期函数D.f(x)既有最大值又有最小值解:由于函数f(x)=tan(sin x+cos x),函数的定义域为R,故A正确;由于函数f(﹣x)≠±f(x),故该函数既不是奇函数也不是偶函数,故B错误;对于C:由于函数f(x)满足f(x+2π)=f(x),故函数f(x)的最小正周期为2π,故C正确;对于D:由于函数f(x)=tan t,t∈(−π2,π2),由sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2],故函数即有最大值又有最小值,故D正确.故选:ACD.11.给出下列四个关系式,其中正确的是()A.sinαsinβ=12[cos(α+β)−cos(α−β)]B.sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]C.cosαcosβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]D.cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]解:对于A,因为cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ,cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ,所以cos(α+β)﹣cos(α﹣β)=﹣2sinαsinβ,可得sinαsinβ=−12[cos(α+β)﹣cos(α﹣β)],故A错误;对于B ,因为sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin (α﹣β)=sin αcos β﹣cos αsin β, 所以sin (α+β)+sin (α﹣β)=2sin αcos β,可得sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α﹣β)],故B 正确;对于C ,因为cos (α+β)=cos αcos β﹣sin αsin β,cos (α﹣β)=cos αcos β+sin αsin β, 所以cos (α+β)+cos (α﹣β)=2cos αcos β,所以cos αcos β=12[cos (α+β)+cos (α﹣β)],故C 错误;对于D ,因为sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin (α﹣β)=sin αcos β﹣cos αsin β, 所以sin (α+β)﹣sin (α﹣β)=2cos αsin β,所以cos αsin β=12[sin (α+β)﹣sin (α﹣β)],故D 正确. 故选:BD .12.在△ABC 中,AC =3,AB =5,∠A =120°,点D 是BC 边上一点,且AD →=xAC →+yAB →,则下列说法正确的是( ) A .BC =7B .若x =y =0.5,则AD =√192C .若AD =√192,则x =y =0.5D .当AD 取得最小值时,x =5198解:在△ABC 中,AC =3,AB =5,∠A =120°,∴根据余弦定理,BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC •AB •cos120°=9+25−2×3×5×(−12)=49,∴BC =7,A 正确;x =y =0.5时,AD →=12AC →+12AB →,∴AD →2=14AC →2+14AB →2+12AB →⋅AC →=94+254−154=194,∴|AD →|=√192,B 正确;如图,AD ⊥BC 时,AD 最小,BC •AD =AB •AC •sin120°,即7AD =3×5×√32,解得AD =15√314,CD =3314,∴CD →=3398CB →=3398AB →−3398AC →,AD →=AC →+CD →=3398AB →+6598AC →,且AD →=xAC →+yAB →, ∴x =6598,D 错误; AD ⊥BC 时,AD =3314<√192,且√192<3,∴若AD =√192,点D 位于BC 的高线的左边或右边各一点,x ,y 有两组值,x =y =0.5只是其中一组,C 错误. 故选:AB .三、填空题(每小题5分,共20分)13.在△ABC 中,a =2,b =1,B =29°,则满足此条件的三角形有 2 个. 解:由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2ac •cos B , 得1=22+c 2﹣2×2c •cos29°, 即c 2﹣4c •cos29°+3=0, 其判别式Δ=16cos 229°﹣12,因为Δ=16cos 229°﹣12>16cos 230°﹣12=0, 设c 2﹣4c •cos29°+3=0的两根为c 1和c 2, 由韦达定理,得{c 1+c 2=4cos29°>0c 1⋅c 2=3>0,又因为Δ>0,所以方程c 2﹣4c •cos29°+3=0有两个不等的正根, 所以满足此条件的三角形有2个. 故答案为:2.14.将x 2+2x +5在复数范围内因式分解为 (x +1﹣2i )(x +1+2i ) . 解:令x 2+2x +5=0,即(x +1)2+4=0,解得x =﹣1±2i , 故x 2+2x +5=(x +1﹣2i )(x +1+2i ). 故答案为:(x +1﹣2i )(x +1+2i ).15.如图,某数学学习小组要测量地面上一棵大树AB 的高度(大树AB 垂直于地面),在与树底B 同一水平面内选取两个测量基点C 和D ,在C 点测得大树顶部A 的仰角是π6,在D 点测得大树顶部A 的仰角是π4,测得水平面上的∠BDC =π3,DC =20米,则大树的高度为 10 米.解:由已知可得,∠ABC =∠ABD =π2, 设AB =x ,在Rt △ABC 中,有tan ∠BCA =AB BC =√33,所以BC =√3x , 在Rt △ABD 中,有tan ∠BDA =ABBD =1,所以BD =x ,在△BDC 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+CD 2﹣2BD ×CD ×cos ∠BDC , 即3x 2=400+x 2﹣20x ,解得x =10或x =﹣20(舍去负值). 故答案为:10.16.在△ABC 中,AB =1,AC =2,∠A =60°,若△ABC 的平面内有一点D 满足AD 2=AC →⋅AD →,则AD 2+BD 2的最小值为 4﹣2√3 .解:∵AB =1,AC =2,∠A =60°,∴BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •BC cos A =1+4﹣2×1×2×12=3, ∴BC =√3,B =90°,以B 为原点,BA 所在直线为y 轴,BC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系如下,则B (0,0),A (0,1),C (√3,0),设D (x ,y ), AD →=(x ,y ﹣1),AC →=(√3,﹣1), ∵AD 2=AC →⋅AD →,∴x 2+(y ﹣1)2=√3x +1﹣y ,x 2+y 2=√3x +y 即(x −√32)2+(y −12)2=1,∵﹣1≤x −√32≤1,∴√32−1≤x ≤√32+1,则AD 2+BD 2=x 2+(y ﹣1)2+x 2+y 2=2√3x +1≥2√3(√32−1)+1=4﹣2√3,∴AD 2+BD 2的最小值为4﹣2√3. 故答案为:4﹣2√3. 四、解答题(共70分)17.(10分)已知平面向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=2,且a →与b →的夹角为π3.(1)求|a →+b →|;(2)若a →−b →与a →+kb →垂直,求实数k 的值.解:(1)|a →+b →|2=(a →+b →)2=a →2+2a →⋅b →+b →2=4+2|a →|⋅|b →|cos π3+4=12,所以|a →+b →|=2√3;(2)由题意得:(a →−b →)⋅(a →+kb →)=a →2+(k −1)|a →|⋅|b →|cos π3−kb →2=4+2(k −1)−4k =0,解得:k =1.18.(12分)已知复数z =(1−i)2+3+3i2−i+2i . (1)求复数z ;(2)记复数z 在复平面对的点为P ,已知角α的终边经过点P ,若tan (α+β)=﹣2,且β∈(0,π),求β的值.解:(1)z =(1−i)2+3+3i 2−i +2i =−2i+3+3i 2−i +2i =3+i 2−i +2i =(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)+2i =1+3i ; (2)复数z 在复平面对的点为P , 则P (1,3), 故tan α=31=3,tan (α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ,即﹣2=3+tanβ1−3tanβ,解得tan β=1, ∵0<β<π, ∴β=π4.19.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若asinB =√3bcosA . (1)求A ;(2)若c =3,△ABC 的面积为3√32,(i )求a ;(ii )△ABC 边BC 上一点D ,记△ABD 面积为S 1,△ACD 面积为S 2,当1S 1+4S 2达到最小值时,求AD的长.解:(1)若asinB =√3bcosA ,则sin A sin B =√3sin B cos A , 由于sin B >0,可得tan A =sinAcosA =√3,由于0<A <π,可得A =π3; (2)(i )由c =3,△ABC 的面积为3√32,可得12bc sin A =32b •√32=3√32,解得b =2,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bc cos A =4+9﹣2×2×3×12=7, 解得a =√7;(ii )由S 1+S 2=S △ABC =3√32, 可得1S 1+4S 2=2√39(S 1+S 2)(1S 1+4S 2)=2√39(5+S 2S 1+4S 1S 2)≥2√39×(5+2√4)=2√3,当且仅当S 2=2S 1时取得最小值. 由BD CD=S 1S 2=12,BD +CD =√7,解得BD =√73,由cos B =2×37=9+79−AD22×3×√73, 可得AD =2√133. 20.(12分)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<2),有以下四个命题: 甲:该函数的最大值为√3;乙:该函数的周期与y =sin x 的周期相同; 丙:该函数有一个零点为2π3;丁:该函数图象可以由y =sin2x −√2cos2x 的图象左右平移得到: 以上四个命题中有且仅有一个命题是假命题.(1)请找出这个假命题,不需要说明理由,并求出f (x )的解析式; (2)设函数ℎ(x)=13f(x −π12)+sin2x ,求函数h (x )的最小值. 解:假命题为丁,由甲得:A =√3,由乙得:ω=1,由丙得:f(2π3)=√3sin(2π3+φ)=0,整理得φ=k π−2π3,(k ∈Z ),由于0<φ<2, 故φ=π3,故f (x )=√3sin(x +π3).(2)由(1)得:ℎ(x)=13f(x −π12)+sin2x =√33sin(x +π4)+sin2x =√66(sinx +cosx)+2sinxcosx ,设t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2],故2sin x cos x=t2﹣1,所以ℎ(x)=√66t+t2−1,当t=−√612时,二次函数h(t)的最小值为−2524,即函数h(x)的最小值−2524.21.(12分)若函数f(x)满足:存在非零实数T,对任意定义域内的x,有f(Tx)=f(x)+T恒成立,则称f(x)为T函数.(1)求证:常数函数f(x)=c不是T函数;(2)若关于x的方程log a x﹣x=0(a>0且a≠1)有实根,求证:函数g(x)=log a x为T函数;(3)如果函数f(x)为T函数,那么f2(x)是否仍为T函数?请说明理由.解:(1)证明:由题意可知,f(Tx)=f(x)+T=c+T≠c,故常数函数f(x)=c不是T函数;(2)证明:因为g(Tx)=log a(Tx)=log a x+log a T=log a x+T,由题意得log a T=T存在解,所以,存在T,使得g(Tx)=log a x+log a T=log a x+T=g(x)+T,即函数g(x)=log a x是T函数;(3)由题意f(Tx)=f(x)+T,则f2(Tx)=[f(x)+T]2=f2(x)+2Tf(x)+T2,若f2(x)为T函数,则f2(Tx)=f2(x)+T,则应有2Tf(x)+T2=T,化简得f(x)=1−T2为常数函数.由(1)知,常数函数f(x)=1−T2不是T函数,这与已知矛盾,所以假设错误,所以f2(x)不为T函数.22.(12分)在△ABC中,A,B均为锐角.(1)若sin2A+sin2B=sin2(A+B),求证:△ABC是直角三角形;(2)若sin2A+sin2B=sin(A+B),求证:△ABC是直角三角形;(3)若sin2A+sin2B=sin3(A+B),那么△ABC还一定是直角三角形吗?解:(1)证明:因为sin2A+sin2B=sin2(A+B),可得sin2A+sin2B=sin2C,可得a2+b2=c2,所以cos C=0,可得C=π2,即△ABC为直角三角形,得证;(2)证明:sin2A+sin2B=sin(A+B),可得sin2A+sin2B=sin C,①A+B=π2时,sin2A+sin2B=sin2A+cos2A=l=sin C;②A+B>π2时,B>π2−A,可得sin B>sin(π2−A)=cos A,可得sin2A+sin2B>sin2A+cos2A=1>sin C,与已知矛盾;③A+B<π2时,B<π2−A,可得sin B<sin(π2−A)=cos A,所以sin2A+sin2B<sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B),与已知矛盾,综上所述,A+B=π2,即三角形ABC为直角三角形,得证;(3)由(2)有A+B<π2时,B<π2−A,可得sin B<sin(π2−A)=cos A,所以sin2A+sin2B<sin A cos B+sin B cos A=sin(A+B),即sin3(A+B)<sin(A+B),可得sin2(A+B)<1,此不等式有解,即存在非直角三角形ABC满足题意,所以△ABC不一定是直角三角形.。
江苏省盐城中学2025届数学七上期末经典试题含解析
江苏省盐城中学2025届数学七上期末经典试题请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010,则原数中“0”的个数为( ) A .4 B .6 C .7 D .102.将一张矩形的纸对折,然后用笔尖在上面扎出“B”,再把它铺平,你可见到( )A .B .C .D .3.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的,其中左视图与俯视图相同的是( )A .B .C .D .4.若1x =是方程210mx n -+-=的解,则20192n m +-的值为( )A .2018B .2019C .2020D .2019或20205.阿皮家有一台显示数字的电子钟,当阿皮将电子钟倒置时,钟面显示的数字是,那么此时的正确时间是( )A .1621:B .1651:C .1921:D .1951:6.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文 →明文(解密).已知加密规则为:明文a b c ,,对应的密文a+1,b+4,3c+1.例如明文1,2,3对应的密文2,8,2.如果接收方收到密文7,2,15,则解密得到的明文为( )A .4,5,6B .6,7,2C .2,6,7D .7,2,67. “a 的2倍与3的和”用式子表示是()A .23a -B .23a +C .2(3)a +D .32a +8.央视“舌尖上的浪费”报道,中国人每年在餐桌上浪费的粮食价值高达2000亿元,被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮,其中2000亿元可用科学记数法为( )A .2×103元B .2×108元C .2×1010元D .2×1011元9.下列计算错误的是( )A .- 3÷(-13)=9B .(56)+(-36)=13C .- (-2)3 =8D .︳-2-(-3)︳=510.已知15a -=,则a 的值为( )A .6B .-4C .6或-4D .-6或4 11.一个长方形的周长为,若它的宽为,则它的长为( ) A . B . C . D .12.若34x y -=,则13y x +-的值是( )A .3-B .5C .3D .5-二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若|a |=1,|b |=2,且a >b ,则a ﹣b =_____.14.如图是一个33⨯的正方形格子,要求横、竖、对角线上的三个数之和相等,请根据图中提供的信息求出m 等于_____.15.从12点整开始到1点,经过______分钟,钟表上时针和分针的夹角恰好为99°.16.弹簧挂上物体后会伸长,测得﹣弹簧的长度y (cm )与所挂重物的质量x (㎏)有下面的关系:那么弹簧总长y (cm )与所挂重物x (㎏)之间的函数关系式为______.17.若单项式x a +2y 3与14x 6y 3是同类项,则a 的值是_____. 三、解答题 (本大题共7小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.(5分)先化简,再求值:()()225214382a a a a +---+,其中a 是最大的负整数.19.(5分)如图,点C 在数轴上,且:1:5AC BC =,求点C 对应的数.20.(8分)甲、乙两车都从A 地出发,在路程为360千米的同一道路上驶向B 地.甲车先出发匀速驶向B 地.10分钟后乙车出发,乙车匀速行驶3小时后在途中的配货站装货耗时20分钟.由于满载货物,乙车速度较之前减少了40千米/时.乙车在整个途中共耗时133小时,结果与甲车同时到达B 地. (1)甲车的速度为 千米/时;(2)求乙车装货后行驶的速度;(3)乙车出发 小时与甲车相距10千米?21.(10分)如图,已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点,根据要求在网格中画图并标注相关字母.①画线段AB;②画射线CA、直线AD;③过点B画AD的平行线BE;④过点D画AC的垂线,垂足为F.22.(10分)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和其他用户进行运动量的PK或点赞.甲、乙两人开启了微信运动,沿湖边环形道上匀速跑步,已知乙的步距比甲的步距少0.4m(步距是指每一步的距离),两人各跑了3圈,跑3圈前后的时刻和步数如下:出发时刻出发时微信运动中显示的步数结束时刻结束时微信运动中显示的步数甲9:3021589:404158乙a13089:404308(1)求甲、乙的步距和环形道的周长;(2)若每2分钟甲比乙多跑25步,求表中a的值.23.(12分)快车以200km/h的速度由甲地开往乙地再返回甲地,慢车以75km/h的速度同时从乙地出发开往甲地,已知快车回到甲地时,慢车距离甲地还有225km,则(1)甲乙两地相距多少千米?(2)从出发开始,经过多长时间两车相遇?(3)几小时后两车相距100千米?参考答案一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、B【解析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得. 【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000, ∴原数中“0”的个数为6,故选B .【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数,科学记数法的表示的数a×10n 还成成原数时, n >0时,小数点就向右移动n 位得到原数;n<0时,小数点则向左移动|n|位得到原数.2、C【分析】认真观察图形,首先找出对称轴,根据轴对称图形的定义可知只有C 是符合要求的.【详解】解:观察选项可得:只有C 是轴对称图形.故选C .【点睛】本题考查轴对称图形的定义,如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴,仔细观察图形是正确解答本题的关键.3、C【解析】试题分析:从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图(正视图)——能反映物体的前面形状;从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状;从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状.选项C 左视图与俯视图都是,故选C.4、C【分析】由题意根据一元一次方程的解的定义,将1x =代入分析即可求出答案.【详解】解:∵1x =是方程210mx n -+-=的解,∴210m n -+-=即21n m -=,∴20192n m +-=201912020+=.故选:C.【点睛】本题考查一元一次方程,解题的关键是熟练运用方程的解的定义进行分析,本题属于基础题型,难度小.5、A【分析】将显示的结果旋转180°即可得到实际时间.【详解】将旋转180°得到,∴实际时间是16:1.故选:A.【点睛】本题考查了中心对称的知识.作出相应的对称图形是解答本题的关键.6、B【解析】解:根据题意得:a+1=4,解得:a=3.5b+4=5,解得:b=4.3c+1=15,解得:c=5.故解密得到的明文为3、4、5.故选B.7、Ba+.【分析】a的2倍就是2a,a的2倍与3的和就是23a+,【详解】解:“a的2倍与3的和”用式子表示是23故选B.【点睛】本题考查了列代数式,掌握和、差、倍、分的意义是解题关键.8、D【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】解:2000亿=2000 0000 0000=2×1011,故选:D.【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数.9、D【分析】根据有理数的运算法则逐项判断即可.【详解】A 、()133393⎛⎫-÷-=-⨯-= ⎪⎝⎭,计算正确; B 、53216663⎛⎫+-== ⎪⎝⎭,计算正确; C 、()()3288--=--=,计算正确;D 、()23231---=-+=,计算错误;故选:D .【点睛】本题考查有理数的运算,熟练掌握基本的运算法则是解题关键.10、C【分析】本题根据绝对值的定义,由已知15a -=,可得a-1= ±5,解这个关于a 的方程即可求得a 的值. 【详解】解:因为15a -=,当a-1大于0时,则a-1=5,则a=6,当a-1小于0时,则a-1= -5,则a= -4,故选C.【点睛】此题考查了绝对值的性质,特别注意:互为相反数的两个数的绝对值相等.11、A【解析】根据长方形的周长公式列出其边长的式子,再去括号,合并同类项即可.【详解】∵一个长方形的周长为6a-4b ,一边长为a-b ,∴它的另一边长为=(6a-4b)-(a-b)=3a-2b-a+b=2a-b .故选A.【点睛】本题考查的是整式的加减,熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键.12、A【分析】由已知可得3y x -的值,然后整体代入所求式子计算即可.【详解】解:因为34x y -=,所以34y x -=-,所以13143y x +-=-=-.故选:A.【点睛】本题考查了代数式求值,属于基本题型,熟练掌握整体的思想是解题的关键.二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)13、3或1.【分析】首先根据绝对值的概念可得a =±1,b =±2,再根据条件a >b ,可得①a =1,b =﹣2,②a =﹣1,b =2两种情况,再分别计算出a ﹣b 的值.【详解】解:∵|a |=1,|b |=2,∴a =±1,b =±2,∵a >b ,∴①a =1,b =﹣2,则a ﹣b =3,②a =﹣1,b =﹣2,则a ﹣b =1.故答案为:3或1.【点睛】此题主要考查了绝对值的性质,以及有理数的减法,关键是正确确定出a 、b 的值.14、4【分析】用不同字母填满表格,然后根据“横、竖、对角线上的三个数之和相等”列出等式,找出字母间的关系,列方程求解即可.【详解】设表格的数如下图.∵横、竖、对角线上的三个数之和相等,∴2+6+e =a +6+1,∴a =e +1.∵2+a +b =a +6+1,∴b =2.∵m +6+b =a +6+1,∴m =a +1-b =e +1+1-2=e -3.∵m +1+e =1+6+a ,∴e -3+1+e =1+6+e +1,∴e =10,∴m =e -3=10-3=4.故答案为:4..【点睛】本题考查了一元一次方程的应用.利用相等关系“横、竖、对角线上的三个数之和相等”列方程是解答本题的关键.15、18或52211【分析】先求解出时针和分针每分钟旋转的角度,再按照追击问题看待两个指针,求时间即可【详解】∵时针每60分钟走1大格,即30°∴时针的速度为:0.5°/min 同理,分针的速度为:6°/min 要使时针和分针夹角为99°,有两种情况:情况一:时针比分针多走99°设从12点整开始,时针和分针都走了x 分钟则:0.5x+99=6x解得:x=18情况二:时针比分针多走(360-99)°,即多走261°设从12点整开始,时针和分针都走了y 分针则:0.5y+261=6x解得:y=52211故答案为:18或52211 【点睛】本题是钟表问题和夹角结合考查的类型,解题关键是将时钟问题类比到追击问题中,根据追击问题的模型,求时间 16、0.512y x =+【分析】根据题意可知,弹簧总长度y (cm )与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系,可设y=kx+b (k≠0),在根据题目所给数据代入求解.【详解】根据题意可得弹簧的长度与所挂物体的重量为一次函数关系,设函数关系式为y=kx+b (k≠0),将(0,1),(1,1.5)代入函数解析式,得1212.5b k b =+=⎧⎨⎩, 解得0.512k b ==⎧⎨⎩, 因此函数关系式为:y=0.5x+1,所以,弹簧总长y (cm )与所挂物体质量x (kg )之间的函数关系式为y=0.5x+1.【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式,关键是根据弹簧总长度y 与所挂物体质量x 之间符合一次函数关系求解.17、4【分析】根据同类项的定义列出方程即可求出结论.【详解】解:∵x a+2y 3与14x 6y 3是同类项, ∴a+2=6,解得a =1,故答案为:1.【点睛】本题考查根据同类项求指数中的参数,掌握同类项的定义,会根据同类项定义构造方程是解题关键.三、解答题 (本大题共7小题,共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18、233413a a -+-;50-【分析】先去括号、合并同类项化简原式,再把a 的值代入化简后的式子计算即可.【详解】解:原式=2252112328a a a a +--+-=233413a a -+-;因为a 是最大的负整数,所以1a =-,当1a =-时,原式=()()2313411350-⨯-+⨯--=-.【点睛】本题考查了整式的加减混合运算和代数式求值,属于基本题型,熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键.19、-6或-16.【分析】根据题意,设点C 对应的数为x ,分两种情况讨论:①点C 在线段AB 上,②点C 在BA 的延长线上,分别列出关于x 的一元一次方程,即可求解.【详解】设点C 对应的数为x ,分两种情况讨论:①点C 在线段AB 上,∴AC=x-(-10)=x+10,BC=14-x ,∵:1:5AC BC =,∴5(x+10)=14-x ,解得:x=-6,②点C 在BA 的延长线上,∴AC= -10-x ,BC=14-x ,∵:1:5AC BC =,∴5(-10-x )=14-x ,解得:x=-16,综上所述:点C 对应的数为:-6或-16.【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离以及一元一次方程的应用,根据题意,设点C 对应的数为x ,分两种情况,分别列出关于x 的一元一次方程,是解题的关键.20、(1)80;(2)60千米/时;(3)16或76或236. 【分析】(1)设甲车的速度为x 千米/时,根据甲车时间比乙车时间多用10分钟,路程为360千米,列方程求解即可; (2)设乙车装货后的速度为x 千米/时,根据“满载货物后,乙车速度较之前减少了40千米/时.乙车在整个途中共耗时133小时”列方程,求解即可; (3)分两种情况讨论:①装货前,设乙车出发x 小时两车相距10千米,列方程求解即可;②乙车装货后,设乙车又行驶了x 小时与甲车相距10千米.列方程求出x 的值,再加上3小时20分钟即可.【详解】(1)设甲车的速度为x 千米/时,根据题意得: (1310360+)x =360 解得:x =80.答:甲车的速度为80千米/时.(2)设乙车装货后的速度为x 千米/时,根据题意得:13203(40)(3)360360x x ++--=解得:x =60.答:乙车装货后行驶的速度为60千米/时.(3)分两种情况讨论:①装货前,设乙车出发x 小时两车相距10千米,根据题意得: 1010080()1060x x -+= 解得:x =16或x =76. ②乙车装货后,设乙车又行驶了x 小时与甲车相距10千米.此时乙车在前,甲车在后. 乙车装货结束时,甲车行驶的路程=80×(3+3060)=280(千米),乙车行驶的路程=100×3=300(千米).根据题意得: 280+80x +10=300+60x解得:x =0.5乙车一共用了202330.5606++=(小时). 答:乙车出发16小时或76小时或236小时与甲车相距10千米. 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用.分类讨论是解答本题的关键.21、见解析;【解析】①连接AB 即可;②连接CA 并延长CA ,一个端点为C ;连接AD 并两面延长即可;③根据网格及平行线的性质画图即可;④根据网格上正方形的性质画图即可.【详解】如图:①连接AB ;线段AB 即为所求,②连接CA 并延长CA ,端点为C ;连接AD 并两面延长,射线CA 或直线AD 即为所求,③因为AD 在格线上,所以过B 沿格线画直线BE ,BE 即为所求,④因为AC 是网格正方形的对角线,所以连接D 点所在小网格对角线交AC 于F ,DF 即为所求,【点睛】本题考查简单的作图,注意:线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点,熟记直线、射线、线段的定义是解题关键,22、 (1)甲的步距为1.2m ,乙的步距为0.8m ,环形道的周长为800m ;(2)a 为9:24.【分析】(1)由于两人各跑3周后到达同一地点,可分别用甲和乙跑的总步数乘以各自的步距,列方程可得步距,从而求出环形道的周长;(2)先由甲跑的总步数除以甲所用的时间,得出甲每分钟跑的步数,再根据每2分钟甲比乙多跑25步,得出乙每2分钟乙跑多少步,从而用乙的总步数除以乙每2分钟乙跑的步数,再乘以2,即可得乙所用的时间,从而可知a 的值;【详解】(1)设乙的步距为xm ,由于乙的步距比甲的步距少0.4m , 则甲的步距为()0.4x m +,根据表格列方程得:()()()415821580.443081308x x -+=-,20008003000x x ∴+=,0.8,0.80.4 1.2x m ∴=+=,∴环形道的周长为:30000. 83800m ⨯÷=.故甲的步距为1.2m ,乙的步距为0.8m ,环形道的周长为800m .(2)由表格知,甲10分钟跑了步2000,则甲每分钟跑200步,每2分钟甲比乙多跑25步,∴每1分钟甲比乙多跑12.5步∴每1分钟乙跑20012.5187.5-=步,∴3000187.516÷=分钟,∴a 为9:24.【点睛】本题是环形跑道的行程问题,需根据速度乘以时间等于路程等基本关系来求解.23、(1)甲乙两地相距900千米.(2)出发3636115或小时后,两车相遇.(3)3211或4011或6.4或8或2103小时, 【解析】(1) 设甲乙两地相距x 千米根据题意列出方程222520075x x -=解出x 值即可; (2)分为两种情况:①快车到达乙地之前两车相遇,②快车到达乙地之后返回途中相遇,根据两种情况分别列出方程求出答案即可;(3)分类去讨论:①快车到达乙地之前,且两车相遇前,②快车到达乙地之前,且两车相遇后,③快车到达乙地之后,且返回途中两车相遇前,④快车到达乙地之后,且返回途中两车相遇后,⑤快车到达乙地停止后,并分别求出其时间即可.【详解】解:(1)设:甲乙两地相距x 千米.222520075x x -= 解得900x =答:甲乙两地相距900千米.(2)设:从出发开始,经过t 小时两车相遇.①快车到达乙地之前,两车相遇20075900t t += 解得3611t = ②快车到达乙地之后,返回途中两车相遇20075900t t -= 解得365t = 答:出发3611小时或365小时后两车相遇. (3)设:从出发开始,t 小时后两车相距100千米.①快车到达乙地之前,且两车相遇前,两车相距100千米20075900100t t +=- 解得3211t = ②快车到达乙地之前,且两车相遇后,两车相距100千米20075900+100t t += 解得4011t = ③快车到达乙地之后,且返回途中两车相遇前,两车相距100千米200-75900100t t =-解得 6.4t =④快车到达乙地之后,且返回途中两车相遇后,两车相距100千米200-75900+100t t =解得8t =⑤快车到达乙地停止后,两车相距100千米2(1800200)(225100)75=103÷+-÷答:出发3211或4011或6.4或8或2103小时后,两车相距100千米.【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用问题,解题关键在于分别去讨论所发生的情况去分别求解即可.。
江苏省盐城市盐城中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷含解析
江苏省盐城市盐城中学2024届毕业升学考试模拟卷数学卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若不等式组的整数解共有三个,则a的取值范围是()A.5<a<6 B.5<a≤6C.5≤a<6 D.5≤a≤62.如图,以O为圆心的圆与直线y x3=-+交于A、B两点,若△OAB恰为等边三角形,则弧AB的长度为()A.23πB.πC.23πD.13π3.如图,平行四边形ABCD中,E,F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,tan∠ABC=34,EF=,则AB的长为()A 533B536C.1 D1724.若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大,则m的取值范围是()A.m>﹣2 B.m<﹣2C.m>2 D.m<25.已知圆心在原点O,半径为5的⊙O,则点P(-3,4)与⊙O的位置关系是()A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定6.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为( )A.6 B.8 C.10 D.127.如图,是在直角坐标系中围棋子摆出的图案,若再摆放一黑一白两枚棋子,使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,则这两枚棋子的坐标是()A.黑(3,3),白(3,1)B.黑(3,1),白(3,3)C.黑(1,5),白(5,5)D.黑(3,2),白(3,3)8.在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边相等,一组对角相等C.一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线D.一组对边相等,一条对角线平分另一条对角线9.当a>0 时,下列关于幂的运算正确的是()A.a0=1 B.a﹣1=﹣a C.(﹣a)2=﹣a2D.(a2)3=a510.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,则sinA的值为()A.B.C.D.11.关于x的一元二次方程(a﹣1)x2+x+a2﹣1=0的一个根为0,则a值为()A.1 B.﹣1 C.±1 D.012.边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为()A.1∶3 B.2∶3 C.1∶6 D.16二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠,点C 的对应点为C',再将所折得的图形沿EF 折叠,使得点D 和点A 重合.若AB 3=,BC 4=,则折痕EF 的长为______.14.一个布袋里装有10个只有颜色不同的球,这10个球中有m 个红球,从布袋中摸出一个球,记下颜色后放回,搅匀,再摸出一个球,通过大量重复试验后发现,摸到红球的频率稳定在0.3左右,则m 的值约为__________.15.如图,点A 、B 、C 是⊙O 上的三点,且△AOB 是正三角形,则∠ACB 的度数是 。
江苏省盐城中学2022-2023学年高二上学期第一次月考调研数学试卷+答案解析(附后)
江苏省盐城中学2022-2023学年高二上学期第一次月考调研数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角等于( )A.B.C.D. 不存在2.已知空间向量,若,则实数m 的值为( )A. B.C. 1D. 23.已知,则“”是“直线与平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.方程表示的曲线是( )A. 两条直线B. 两条射线C. 两条线段D. 一条直线和一条射线5.如图,分别是双曲线的左、右焦点,过的直线l 与双曲线分别交于点,若为等边三角形,则双曲线的方程为( )A. B. C. D.6.如图,已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,AB 为圆锥底面圆的直径,C 是的中点,D 是母线SA的中点,则异面直线SC 与BD 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.7.求过两圆和的交点,且圆心在直线上的圆的方程( )A. B.C. D.8.已知P是椭圆上的动点,且与C的四个顶点不重合,,分别是椭圆的左、右焦点,若点M在的平分线上,且,则的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题:本题共4小题,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知双曲线的左、右焦点分别为,,且,A,P,B为双曲线上不同的三点,且A,B两点关于原点对称,直线PA与PB斜率的乘积为1,则( )A.B. 双曲线C的离心率为C. 直线AB倾斜角的取值范围为D. 若,则三角形的面积为210.如图,已知长方体中,四边形ABCD为正方形,,,E,F分别为AB,BC的中点,则( )A.B. 点、E、F、四点共面C.直线与平面所成角的正切值为D. 三棱锥的体积为11.以下四个命题表述正确的是( )A. 圆与圆恰有三条公切线B. 直线与圆一定相交C. 直线与曲线有两个不同交点,则实数k的取值范围是D. 已知圆,点P为直线上一动点,过点P向圆C引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB经过定点12.已知曲线E的方程为,则( )A. 曲线E关于直线对称B. 曲线E围成的图形面积为C. 若点在曲线E上,则D. 若圆能覆盖曲线E,则r的最小值为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2024-2025学年江苏省盐城市盐城中学高二(上)第一次质检数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省盐城中学高二(上)第一次质检数学试卷(10月份)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.直线x +3y +2=0的倾斜角是( )A. 5π6B. 2π3C. π3D. π62.已知空间三点A(0,1,2),B(1,3,5),C(2,5,4−k)在一条直线上,则实数k 的值是( )A. 2B. 4C. −4D. −23.一组数据按从小到大的顺序排列如下:11,12,15,x ,18,20,22,26,经计算,该组数据的中位数是17,则x 的值为( )A. 15B. 16C. 17D. 184.若点A(0,4)在圆x 2+y 2+2kx−4y +k 2−k−2=0外,则实数k 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−∞,−1)∪(2,+∞)C. (−6,−1)∪(2,+∞)D. (−6,+∞)5.在一个盒子中有3个红球和2个黑球,这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为( )A. 13B. 25C. 23D. 346.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知△ABC 的外接圆半径R =14,且满足sin 2A +sin 2B +sinAsinB =2csinC ,则边c 的大小为( )A.34B. 334C.3 D. 237.在正三棱锥P−ABC 中,O 是△ABC 的中心,PA =AB =2,则PO ⋅(PA +PB )等于( )A. 109B.2 63C.8 23D. 1638.已知A(0,4),B(0,−4),C(4,0),E(0,1),F(0,−1),一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后,再经AC 反射,落到线段AE 上(不含端点),则FD 斜率的取值范围是( )A. (−∞,−58)B. (−58,0)C. (−∞,−38)D. (−38,0)二、多选题:本题共3小题,共18分。
2024年江苏省盐城中学北校区中考数学一模试卷+答案解析
2024年江苏省盐城中学北校区中考数学一模试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2024的倒数是()A.2024B.C.D.2.2024年7月26日至8月11日第33届奥运会将在法国巴黎举行,下列是与奥运会有关部分图案,其中是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A. B.C. D.4.已知,则代数式的值是()A. B. C.1 D.55.如图①是由5个大小相同的小正方体组成的几何体,移走一个小正方体后,余下几何体的主视图如图②所示,则移走的小正方体是()A.①B.②C.③D.④6.如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为()A.4:9B.2:3C.3:2D.7.一技术人员用刻度尺单位:测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知,点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度为1、7,则()A. B.3cm C. D.6cm8.甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差如图所示,根据图中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择()A.甲B.乙C.丙D.丁二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分。
9.使二次根式有意义的x的取值范围是______.10.2024年五一节期间,盐城市A级旅游景区乡村旅游重点村共接待游客约5360000人次,将5360000这个数据用科学记数法表示为______.11.因式分解:__________.12.一个扇形的弧长是,圆心角是,则此扇形的半径是______13.如图,在中,D、E分别是BC,AC的中点,AD与BE相交于点G,若,则______.14.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按如图的方式铺地面:依上推测,第14个图形中黑色瓷砖的块数为______.15.如图,边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起,则______16.如图,已知菱形ABCD,,点E是边BC中点,则______.三、解答题:本题共11小题,共88分。
江苏省盐城中学2024-2025学年高三第一次阶段考试数学试卷
江苏省盐城中学2024-2025学年高三第一次阶段考试数学试卷一、单选题1.集合{}{2,,A y y x x B x y ==∈==R ,则A B =I ( )A .∅B .RC . 0,1D . −∞,12.已知条件:12p x -≤<,条件:q x a >,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围为( )A .{2}aa >∣ B .{2}a a ≥∣ C .{1}a a <-∣ D .{1}aa ≤-∣ 3.设函数()f x x x =,则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是( )A .1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭C .()0,27D .()27,+∞4.已知tan 2θ=,则πsin cos24πsin 4θθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭( ) A .15-B .73-C .15D .735.在ABC V 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且()cos 2cos a B c b A c +-=,则ABC V 的形状为( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形6.已知函数()f x 满足()()22f x f x --=-+,对任意(]12,,2x x ∈-∞-,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-成立,且()00f =,则()0f x >的解集是( )A .()(),22,∞∞--⋃+B .()2,2-C .()(),40,-∞-+∞UD .()4,0-7.函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点,则m 的取值范围是( )A .21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .21,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .210,2e ⎛⎫⎪⎝⎭8.在锐角三角形ABC 中,2A B ∠=∠,则2b cb+的范围是( )A .1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B .1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C .43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D .12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9.若函数()2101xy a b a a =-->≠且的图象过第一,三,四象限,则( )A .01a <<B .1a >C .0b >D .0b <10.下列说法正确的是( )A .函数()2f x 的定义域为()0,1,则函数()1f x -的定义域为()1,1-B .y =y x =表示同一个函数C .关于x 的不等式()()10ax a x -+>的解集为{},1A B xx =≥∣,若A B ⊆,则0a = D .若13,24a b a b -<+<<-<,则23a b +的取值范围为913,22⎛⎫- ⎪⎝⎭11.设1a >,0b >,且ln 2a b =-,则下列关系式可能成立的是( )A .a b =B .e b a -=C .2024a b =D .e ab ≤三、填空题 12.不等式312x ≥--的解集为. 13.化简:()()()()sin 180cos 180tan 90sin 270αααα︒-︒-︒-=︒+.14.在ABC V ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=︒,BD BC ⊥交AC 于点D ,且1BD =,则2a c +的最小值为.四、解答题15.(1)设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a <;命题q :实数x 满足23100x x +->,且q 是p 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.(2)已知不等式210ax bx -->的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭,求不等式20x bx a --≥的解集.16.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式; (2)将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位,再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,求()g x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值;17.已知函数()e xf x =与函数()lng x x =,函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D .(1)求()x ϕ的定义域和值域;(2)若存在x D ∈,使得(2)1()mf x f x ≥-成立,求m 的取值范围;(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数.利用上述结论,求函数()1ey f x =+的对称中心.18.设ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC ,AC 边上的两条中线AD ,BE 相交于点P .(1)求BAC ∠;(2)若AD =BE =2,cos DPE ∠=ABC V 的面积. 19.已知函数2()e 31x a f x ax ax -=+-+,a ∈R . (1)当1a =时,求曲线()y f x =在1x =处切线的方程;(2)当1a >时,试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数,并说明理由;f x≥恒成立,求a的取值范围.(3)当0x≥时,()0。
江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3U =---,{}1,0,1A =-,{}1,2B =,则()U A B ⋃=ð( ) A .{}2,3- B .{}3,2,3- C .{}3,2,3-- D .{}3,2,1,0,2,3---2.若复数z 满足1ii z-=,则z =( )AB .2C D .13.“213x -≥”是“201x x -≥+”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.在ABC V 中,2,CD DB AE ED ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则CE =u u u r( )A .1163AB AC -u u ur u u u rB .1263AB AC -u u ur u u u rC .1536AB AC -u u ur u u u rD .1133AB AC -u u ur u u u r5.在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音,这种现象叫做“混响”.用声强的大小来度量声音的强弱,假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ,则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=(τ为常数).把混响时间()R T 定义为声音的声强衰减到讲话之初的610-倍所需时间,则R T 约为( )(参考数据ln 20.7≈,ln5 1.6≈) A .4.2τB .9.6τC .13.8τD .23τ6.化简cos20sin30cos40sin40cos60-=o o oo o( )A .1BC .2D 7.已知数列{}n a 的各项均为正数,且11a =,对于任意的*n ∈N ,均有121n n a a +=+,()22log 11n n b a =+-.若在数列{}n b 中去掉{}n a 的项,余下的项组成数列{}n c ,则1220c c c +++=L ( )A .599B .569C .554D .5688.已知函数11()221xf x =-+,()f x '是()f x 的导函数,则下列结论正确的是( ) A .()()0f x f x --= B .()0f x '<C .若120x x <<,则()()1221x f x x f x >D .若120x x <<,则()()()1212f x f x f x x +>+二、多选题9.下列命题中,正确的是( )A .在ABC V 中,若cos cos a A bB =,则ABC V 必是等腰直角三角形 B .在锐角ABC V 中,不等式sin cos A B >恒成立 C .在ABC V 中,若A B >,则sin sin A B >D .在ABC V 中,若260,B b ac =︒=,则ABC V 必是等边三角形 10.已知0,0,2a b a b >>+=,则( )A .1≥abB .222a bb a +≥ C .145aa b+≥ D .224a b ab ++<11.已知函数()2ln 11f x x x =---,则下列结论正确的是( ) A .若0a b <<,则()()f a f b < B .()()20242025log 2025log 20240f f +=C .若()()()e 1,0,1,0,e 1b b f a b a b +=-∈∈+∞-,则e 1b a =D .若()1,2,a ∈则()()1f a f a ->三、填空题12.在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则sin C =. 13.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()f x '为()f x 的导函数,()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则正实数ω的取值范围为.14.已知函数32()f x x ax bx c =+++恰有两个零点12,x x 和一个极大值点()0102x x x x <<,且102,,x x x 成等比数列.若()0()f x f x >的解集为(5,)+∞,则0x =.四、解答题15.已知函数()ππsin 2cos cos 2cos 022f x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,对x ∀∈R ,有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间; (2)若()00π10,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦时,求0sin 2x .16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1112,34n n n a S S a ++=+=-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在n a 与1n a +之间插入n 个实数,使这n +2个数依次组成公差为dn 的等差数列,求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn17.在ABC V 中,AC =,且BC 边上的中线AD 长为1. (1)若5π6BAC ∠=,求BC 的长; (2)若2ABC DAC ∠=∠,求BC 的长. 18.设函数()e ,()ln x f x g x x ==.(1)已知e ln x kx x ≥≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立,求实数k 的取值范围; (2)已知直线l 与曲线(),()f x g x 分别切于点()()()()1122,,,x f x x g x ,其中1>0x . ①求证:212e e x --<<;②已知()21e 0xx x x λ-++≤对任意[)1,x x ∞∈+恒成立,求λ的最大值.19.若数列 a n 的各项均为正数,且对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,,都满足211t t t a a a -+≤,则称该数列为“对数性凸数列”,若对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,,都满足112t t t a a a -++≤则称该数列为“凸数列”.(1)已知正项数列{}n c 是一个“凸数列”,且e n c na =,(其中e 为自然常数,*N n ∈),证明:数列 a n 是一个“对数性凸数列”;(2)若关于x 的函数231423()f x b b x b x b x =+++有三个零点,其中0(1,2,3,4)i b i >=.证明:数列1234,,,b b b b 是一个“对数性凸数列”;(3)设正项数列01,,,n a a a L 是一个“对数性凸数列”证明:110101111111n n n n i j i j i j i j a a a a n n n n --====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.。
江苏盐城中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(原卷版)
江苏省盐城中学2023—2024学年度第一学期期末考试高二年级数学试题(2024.1)命题人:王颖 赵一 审题人:马岚 (本试卷满分150分,考试时间120分钟)第I 卷(选择题共60分)一、单项选择题:本题共8题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知空间向量()()1,,2,2,1,4a m b =−=− ,且a b ⊥ ,则m =( ) A. 10−B. 12−C.12D. 102. 已知函数()f x 的导函数为()f x ′,且0(1)(1)(1),lim 5(1)1x f x f f t t x ′∆→+∆−==−+∆−,则实数t =( )A. 2B. 5C. 52D.123. 已知数列{}n a 满足111n na a +=−,11a =−,则2024a =( ) A. 1−B. 12C. 2D. 14. 如图,在空间四边形OABC 中,OA a = ,OB b = ,OC c = ,且2OM MA =,BN NC =,则MN等于( )A. 221332a b c ++B. 111222a b c +−C. 211322a b c −++D.121232a b c −+5. 若点P 是曲线2ln 1y x x =−+上任意一点,则点P 到直线2y x =−的最小距离为( )A. 1B.C.D.6. 已知圆22:(1)(1)2C x y −+−=,点P 是直线:220l x y 上的动点,PA 是圆C 的切线,A 为切点,则PA PC ⋅的最小值为( )A. 3B.C. 5D.7. 已知点D 在ABC 确定的平面内,O 是平面ABC 外任意一点,若正实数,x y 满足2OD xOA yOB OC =+− ,则2x yxy+的最小值为( ) A.52B.92C. 2D. 48. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左右顶点分别为12,,A A P 为双曲线上一点,直线1A P 交C 的一条渐近线于点M ,直线22,A M A P 的斜率分别为12,k k ,若1230k k +=,且21A M A P ⊥,则双曲线C 的离心率为( )A.B.C.D.二、多项选择题:本题共4题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,请把答案填写在答题卡相应位置上.全选对得5分,部分选对得2分,不选或有选错得0分.9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,且101200,0a a a >+<,则( ) A. 10a < B. 110a <C. 100S <D. n S 的最大值为10S10. 已知曲线22:cos 1(0π)sin y M x θθθ+<<,则( )A. M 可能是两条平行的直线B. M 既不可能是拋物线,也不可能是圆C. M 不可能是焦点在y 轴上的双曲线D. 当π02θ<<时,M 是一个焦点在y 轴上的椭圆11. 空间直角坐标系O xyz −中,已知点()()()2,0,0,1,1,2,2,3,1A B C −,则( )AAC =B. 异面直线OB 与ACC. 5AB BC ⋅=−D. OB 在BC 上12. 已知函数()()ln ,exx xf xg x x ==,若存在()120,,R x x ∞∈+∈,使得()()12(0)f x g x k k ==<成立,则下列结论正确的是( ) A. 121x x +<B. 12ln x x =C. 221e k x x ⋅的最大值为21eD. 221e k x x ⋅的最大值为24e第II 卷(非选择题共90分)三、填空题:本题共4题,每小题5分,共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 设数列{}n a 前n 项和为2n S n =,则5a =__.14. 若实数,x y 满足221x y +=的最大值是__________.15. 已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ,上顶点为A ,且12AF F △是面积为的正三角形,若过1F 且垂直于2AF 的直线交椭圆M 于,B C 两点,则ABC 的周长为__________. 16. 已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ′,满足()()f x f x ′<且()3f x +为偶函数,()1f x +为奇函数,若()()892f f +=,则不等式()2e x f x <的解集为__________. 四、解答题:本题共6题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知直线l的倾斜角为,cos αα=,且这条直线经过点()1,2P . (1)求直线l 方程:在.的的的(2)若直线:10a mx y −+=恒过定点A ,求点A 到直线l 的距离.18. 已知函数()3f x ax bx =+在1x =处取得极大值2. (1)求()f x 的解析式;(2)求()f x 在[]3,4−上的最值.19. 已知公差不为0的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中,111a b ==,321a b +=−,533a b +=−. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)若n T 为数列11n n a a +的前n 项和,求使30nn T b +≤成立的n 的取值范围. 20. 在四棱锥P ABCD −中,底面ABCD 为正方形, 2PA AB ==,PA ⊥平面ABCD ,,E F 分别为,PA AB 的中点,直线AC 与DF 相交于O 点.(1)求B 到平面DEF 的距离;(2)求直线PC 与平面DEF 所成角的正弦值.21. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、,短轴上下端点分别为A B 、.若四边形12AF BF为正方形,且1AF =.(1)求椭圆的离心率;(2)若C D 、分别是椭圆长轴左右端点,动点M 满足2,MD MC MD P ⋅= 点在椭圆上,且满足22sin cos OP OC OM θθ=+ ,求OM OP ⋅ 的值(O 为坐标原点); (3)在(2)的条件下,试问在x 轴上是否存在异于C 点的定点N ,使PD MN ⊥,若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.22. 已知函数()()ln 1f x x a x =−−,其中R a ∈. (1)若1a =,求函数()f x 的增区间; (2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0. ①求a 的取值范围;②若()231f x kx ax ≤−+恒成立,求正整数k 的最小值.。
江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1.已知偶函数的定义域为,对,,且当时,,若函数在上恰有6个零点,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.2. 已知向量,则( )A .0B .1C .2D .33. 复数在复平面内对应的点为,则( )A.B.C.D.4. 以为圆心,经过原点的圆方程为A.B.C.D.5. 北京地处中国北部、华北平原北部,东与天津毗连,其余方向均与河北相邻,是世界著名古都,也是国务院批复确定的中国政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市,某学生决定在高考后游览北京,计划6天游览故宫、八达岭长城、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博物馆7个景点,如果每天至少游览一个景点,且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览,故宫和八达岭长城不在相邻两天游览,那么不同的游览顺序共有( )A .120种B .240种C .480种D .960种6. 已知复数和虚数单位满足.则( ).A.B.C .2D.7. 已知平面α和α外的一条直线l ,下列说法不正确的是( )A .若l 垂直于α内的两条平行线,则l ⊥αB .若l 平行于α内的一条直线,则l ∥αC .若l 垂直于α内的两条相交直线,则l ⊥αD .若l 平行于α内的无数条直线,则l ∥α8.复数的虚部为( )A.B.C.D.9. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成,如图所示,,,,,现将两块三角形板拼接在一起,得三棱锥,取中点与中点,则下列判断中正确的是()A .面B.与面所成的角为定值江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题(2)三、填空题四、解答题C .三棱锥体积为定值D .若平面平面,则三棱锥外接球体积为10.下列统计量中,能度量样本,,…,的离散程度的是( )A .样本,,…,的极差B.样本,,…,的中位数C .样本,,…,的标准差D .样本,,,…,的方差11.如图,在三棱柱中,平面,是棱上的一个动点,则()A .直线与直线是异面直线B .周长的最小值为C .存在点使得平面平面D.点到平面的最大距离为12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象,则( )A .在上是减函数B.C .是奇函数D .在上有4个零点13. 已知数列为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此规律类推.若其前n 项和,则称k为的一个理想数.将的理想数从小到大依次排成一列,则第二个理想数是______;当的项数时,其所有理想数的和为______.14. 已知,则__________,__________.15. 有9张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中任取3张,则抽出的3张卡片标有的数字至少有2个是相邻的概率是______.16. 已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程.17. 已知椭圆C :与椭圆的离心率相同,为椭圆C 上一点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,试问以AB 为直径的圆是否经过定点?若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由.18. 北京2022年冬奥会中,运动员休息区本着环保,舒适,温馨这一出发点,进行精心设计,如图,在四边形ABCD 休闲区域,四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动步道AC ,,且.(1)求氢能源环保电动步道AC的长:(2)若﹐求花卉种植区域总面积.19. 在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.在中,内角,,所对应的边分别为,,,且满足________.(1)求;(2)若,,为边上的一点,且,求.20. 已知函数().若是的极值点.(1)求,并求在上的最小值;(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的导函数,求的最大值.21. 已知数列的前n项和为,且,令.(1)求证:为等比数列;(2)求使取得最大值时的n的值.。
2022-2023学年江苏省盐城中学高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省盐城中学高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知椭圆C :221916x y +=,则椭圆C 的焦点坐标为( )A .()5,0,(5,0)-B .C .()0,3,(0,3)-D .()()0,5,0,5-【答案】B【分析】首先确定焦点位置是在x 轴还是在y 轴,再由标准方程求得,,a b c 即可求得焦点坐标. 【详解】因为椭圆方程是221916x y +=,所以2216,9a b ==,所以222c a b =-,即c =y 轴上,所以焦点坐标为.故选:B.2.已知3()f x x =,则0(1)(1)lim x f x f x∆→-+∆--=∆( )A .0B .3-C .2D .3【答案】D【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出 【详解】已知3()f x x =,得2()3f x x '=, 由导数的定义可得0(1)(1)lim (1)3x f x f f x∆→-+∆--'=-=∆.故选:D3.已知()2,0A 、()2,3B ,直线l 过定点()1,2P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A .21k -≤≤ B .112k -≤≤C .1k ≠D .2k ≤-或1k ≥【答案】A【分析】设直线l 与线段AB 交于点()2,Q y ,其中03≤≤y ,利用斜率公式可求得k 的取值范围. 【详解】设直线l 与线段AB 交于点()2,Q y ,其中03≤≤y , 所以,[]222,121y k y -==-∈--.故选:A.4.已知()()212023ln 2f x f x x x =-+',则()2023f '=( )A .0B .2023-C .1D .2023【答案】B【分析】求导直接求解即可. 【详解】解:求导得()()20231f f x x x=-'+',所以()()20232023202312023f f '-'=+,解得()20232023f =-'故选:B5.已知直线l 过点(),0A a ,且斜率为1-,若圆224x y +=上有4个点到l 的距离为1,则a 的取值范围为( )A .(1,1)-B .⎡⎢⎣⎦C .(D .【答案】C【分析】首先由点斜式求出直线方程,再确定圆心,由题意知圆心到直线的距离小于1,即可求出a 的取值范围.【详解】因为圆224x y +=上有4个点到l 的距离为1,所以圆心到直线的距离小于1,设圆224x y +=的圆心()0,0O 到直线的距离为d , 又因为过点(),0A a ,且斜率为1-的直线方程为y x a =-+,即0x y a +-=,所以1d <,解得a a <<.故选:C.6.已知圆22:(1)16C x y -+=,(1,0)F -为圆内一点,将圆折起使得圆周过点F (如图),然后将纸片展开,得到一条折痕l ,这样继续下去将会得到若干折痕,观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线,则该圆锥曲线的方程为 ( )A .22143x y +=B .2214x y +=C .22143x y -=D .22154x y +=【答案】A【分析】由图形可知PF PC PA PC AC +=+=结果为定值,进而根据椭图的定义推断出点P 的轨迹方程.【详解】(1,0)F -,(1,0)C ,点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上,折痕l 为线段AF 的垂直平分线,折痕l 与AC 相交于点P , 如图所示:则有PA PF =,可知42PF PC PA PC AC FC +=+==>=,所以点P 的轨迹是以,F C 为左、右焦点的椭圆,其中长轴24a =,焦距22c =,所以点P 的轨迹方程为22143x y +=,即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为22143x y +=. 故选:A7.若数列{}n a 满足1211n na a +=-+-,且13a =,则2023a =( ) A .2- B .13-C .12D .3【答案】B【分析】先根据题干中的递推公式进行逐项代入,即可判别出数列为周期数列,再根据周期数列的性质即可计算出2023a 的值. 【详解】数列{}n a 满足1211n na a +=-+-,且13a =,212121a a =-+=--, 3221113a a =-+=--,4321112a a =-+=-,5142131a a a =-+==-,则数列{}n a 是以4为最小正周期的周期数列,即4n n a a +=,∴202350543313a a a ⨯+===-.故选:B8.“中国剩余定理”一般指“孙子定理”,是中国古代求解一次同余式组的方法,是数论中一个重要定理,若将被3除余2且被5除余2的正整数从小到大排列,组成数列{}n c ,则23c 为( ) A .62 B .102C .302D .332【答案】D【分析】由条件确定数列{}n c 的通项公式,由此确定23c .【详解】被3除余数为2的正整数从小到大排列可得,2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,⋅⋅⋅, 被5除余数为2的正整数从小到大排列可得,2,7,12,17,22,27,32,⋅⋅⋅, 两个数列的公共项按从小到大排列可得,2,17,32,⋅⋅⋅, 所以{}n c 为首项为2,公差为15的等差数列, 所以2322215332c =+⨯=. 故选:D.二、多选题9.若曲线22:1x y C a b+=,且,a b 分别是1与9的等差中项与等比中项,则下列描述正确的是( )A .曲线C 可以表示焦点在x 轴的椭圆B .曲线C 可以表示焦距是 C .曲线C 可以表示离心率是25的椭圆D .曲线C 可以表示渐近线方程是35y x =±的双曲线【答案】AB【分析】先求出a ,b 的值,分类讨论即可求解. 【详解】由题知,,a b 分别是1与9的等差中项与等比中项,∴21910a =+=,2199b =⨯=,解得:5a =,3b =±; 当5a =,3b =时,此时曲线C 的方程为:22153x y +=,因此曲线C 为椭圆,焦点在x 轴上,离心率e ==,故选项A 正确,C 错误; 当5a =,3b =-时,此时曲线C 的方程为:22153x y -=,因此曲线C 为双曲线, 由222c a b =+得2538c =+=,解得:c =渐近线方程为:22053x y -=即y x =故选项B 正确,D 错误; 故选:AB.10.若数列{}n a 为等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列数列一定成等比的有( ) A .数列{}2n a B .数列{}1n n a a ++ C .232,,n n n n n S S S S S -- D .数列{}1n n a a +⋅【答案】AD【分析】设出等比数列{}n a 的公比,利用定义及通项并结合公比的取值情况逐项判断作答.【详解】令等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠,则11n n a a q -=,对于A ,1122n n a a q -=,122n na q a +=,数列{}2n a 是等比数列,A 是; 对于B ,当1q =-时,1111(1)(1)0n n n n a a a a -++=⋅-+⋅-=,此时数列{}1n n a a ++不是等比数列,B 不是;对于C ,当1q =-,且n 为正偶数时,0n S =,此时232,,n n n n n S S S S S --不成等比数列,C 不是; 对于D ,21221n n n n n na a a q a a a ++++⋅==⋅,则数列{}1n n a a +⋅是等比数列,D 是.故选:AD11.下列求导运算错误..的是( ) A .21(log (2))2ln 2x x '=B .1()e e x xx x +'=C .(3)3ln x x x '=D .(sin(2))sin(2)2cos(2)x x x x x '=+【答案】ABC【分析】利用导数运算法则,逐项计算、判断作答. 【详解】对于A ,2(2)1(log (2))2ln 2ln 2x x x x ''==,A 不正确; 对于B ,2e e 1()e (e )ex x x x x x x x--'==,B 不正确; 对于C ,(3)3ln 3x x '=,C 不正确;对于D ,(sin(2))sin(2)(sin(2))sin(2)2cos(2)sin(2)2cos(2)x x x x x x x x x x x ''=+=+⋅=+,D 正确. 故选:ABC12.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线(将线段一分为二,较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值称为“黄金分割比”),若黄金双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>> 的左右两顶点分别为12,A A ,虚轴上下两端点分别为12,B B ,左右焦点分别为12,F F ,EF 为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦,M 为EF 的中点.设双曲线C 的离心率为e ,则下列说法正确的有( ) A.e =B .EF OM k k e ⋅=-C .直线12F B 与双曲线C 的一条渐近线垂直D .2121212A A F F B B ⋅= 【答案】ACD【分析】对选项逐个分析判断:对于A 由黄金双曲线的定义即可求得离心率,对于B 由点差法即可得出EF OM k k ⋅的值,对于C 分别求出直线12F B 及渐近线的斜率,求得斜率之积是否为1-,对于D 将所给线段长度由,,a b c 代入,再由,,a b c 之间的关系化简即可判断. 【详解】对于A :若2222:1(0)x y C a b a b-=>>是黄金双曲线,则c e a===A 正确; 对于B :设()()1122,,,E x y F x y ,()00,M x y ,其中12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,又()()1122,,,E x y F x y 在双曲线上,即22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减得22221212220x x y y a b ---=, 即22220001212222212120002020x x x y y x x b b b b x x a y y a y a y a y --+=⋅=⋅=⋅=⋅-+- 则221EFOM b k a k =⋅得2221EF OM b k k e a⋅==-,故B 错误; 对于C :()1200F B b bk c c --==---,渐近线得斜率b k a=,则1222211F B b b b a c k k e c a ac ac e -⋅=-⋅=-==-=-, 即121F B k k ⋅=-,则直线12F B 与双曲线C 的一条渐近线垂直,故C 正确; 对于D :因为1212122,2,2A A a B B b F F c ===,c e a ==所以22,c b ==所以222212121244440F F B B ac b A A -=-=-⋅=, 即2121212A A F F B B ⋅=,故D 正确. 故选:ACD.三、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中,若F 是抛物线2yx 的焦点,()2,P m 是抛物线上的一点,则PF =________.【答案】174【分析】将点P 的坐标代入抛物线方程,求出m 的值,可得出点P 的坐标,再利用抛物线的定义可求得PF .【详解】将点P 的坐标代入抛物线方程可得224m ==,即点()2,4P ,易知点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭,由抛物线的定义可得117444PF =+=. 故答案为:174.14.若P 是直线10x y -+=上的一点,点Q 是曲线ln y x =上的一点,则PQ 的最小值为 ________.【分析】设(),ln ,0Q m m m >,利用点到直线的距离可得d =令()ln 1g x x x =-+,利用导数求出()()min 12g x g ==,即可得到答案【详解】因为点Q 是曲线ln y x =上的一点,故设(),ln ,0Q m m m >,所以Q 到直线10x y -+=的距离为d =令()ln 1g x x x =-+,则()111x g x x x-'=-= 当()()1,0,x g x g x '>>单调递增;当()()01,0,x g x g x '<<<单调递减; 所以()()min 12g x g ==,所以d ==≥=所以PQ15.对于数列{}n a ,若集合{}*,N n A x x a n ==∈为有限集,则称数列{}n a 为“好数列”.若“好数列”{}n a 满足2122n n n a a a +=-+,则1a =____________.【答案】1【分析】由题意可得()2111n n a a +-=-,分110a -=,110a ->和110a -<三种情况进行分类讨论,检验是否满足“好数列”即可【详解】由2122n n n a a a +=-+可得()2111n n a a +-=-,当110a -=即11a =时,所以210a -=,310a -=,,10n a -=,此时1n a =,满足{}{}*,N 1n A x x a n ==∈=,故此时数列{}n a 为“好数列”;当110a -≠即11a ≠,则210a ->,310a ->,,10n a ->,由()2111n n a a +-=-可得()()221ln 1ln 1ln 12ln 1n n n n a a a a +-=-=-=-, 当110a ->时,()()1ln 12ln 1n n a a +-=-,所以(){}ln 1n a -是以()1ln 1a -为首项,公比为2的等比数列,所以()()11ln 1ln 12n n a a --=-⨯,所以此时()ln 1n a -每项并不相同,由于ln y x =在定义域内是递增函数,故n a 每项并不相同,则集合{}*,N n A x x a n ==∈为无限集,故数列{}n a 不为“好数列”;当110a -<时,则()()()()211ln 12ln 1ln 12ln 1,2n n a a a a n +⎧-=-⎪⎨-=-≥⎪⎩,所以(){}ln 1n a -是从第二项起公比为2的等比数列, 所以()()()122ln 1,1ln 1ln 12,2n n a n a a n -⎧-=⎪-=⎨-⨯≥⎪⎩, 所以从第二项起,()ln 1n a -每项并不相同,由于ln y x =在定义域内是递增函数,故从第二项起,n a 每项并不相同,则集合{}*,N n A x x a n ==∈为无限集,故数列{}n a 不为“好数列”;综上所述,11a = 故答案为:1 16.已知,,A B C 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>上的三个点,O 为坐标原点,,A B 两点关于原点对称,AC 经过右焦点F ,若OA OF =且2AF CF =,则该椭圆的离心率是_____.【分析】方法一:设椭圆的左焦点为F ',由条件证明四边形AFBF '为矩形,设CF m =,结合椭圆的定义求AF ',CF ',利用勾股定理列方程可得,a c 关系由此可求离心率.方法二:设(),A s t ,(),C m n ,由OA OF =可得222s t c +=,由2AF CF =可得23,20m s c n t +=+=,结合点,A C 的坐标满足椭圆方程列方程,消元可得,a c 关系由此可求离心率. 【详解】方法一:设椭圆的半焦距为c ,左焦点为F ',则OF OF c '== 因为,A B 两点关于原点对称,所以OA OB =,又OA OF =,所以OA OB c ==,所以四边形AFBF '为矩形,设CF m =,因为2AF CF =,所以2AF m =,由椭圆的定义可得22AF a m '=-,2CF a m '=-,在Rt CAF ',3CA m =,2CF a m '=-,22AF a m '=-,所以()()2222922a m m a m -=+-, 所以3a m =,故23a AF =,43a AF '=, 在Rt FAF '中,2FF c '=,所以222416499a ac =+, 所以22950c a -=,所以离心率53c e a ==.方法二:设椭圆的半焦距为c ,点A 的坐标为(),s t ,点C 的坐标为(),m n ,则点B 的坐标为(),s t --,点F 的坐标为(),0c ,且2222+1s t a b =①,2222+1m n a b=②,②×4-①可得,()()()()222222+3m s m s n t n t a b +--+=,因为AC 经过右焦点F ,2AF CF =,所以2AF FC =,所以()(),2,c s t m c n --=-,故23,20m s c n t +=+=,所以22a m s c-=,又23m s c +=,所以22233222c a c a s c c -=-=, 因为OA OF =,所以222s t c +=,又2222+1s t a b=,所以()22222a cb sc -=,所以()()22222234c a a c b -=-,所以422491450c a c a -+=,即()()2222950c a c a --=,又0c a <<,所以22950c a -=,所以离心率5c e a ==. 5【点睛】方法点睛:椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法: ①求出a ,c ,代入公式c e a=; ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合222b a c =-转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).四、解答题17.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足3121,8,log n n a b a b ===,*n ∈N . (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ,记数列{}n c 的前n 项和为n S ,求50S .【答案】(1)n a n =,2nn b =,*n ∈N(2)1478【分析】(1)由题知33a =,进而得等差数列{}n a 的公差为1d =,进而根据等差数列通项公式和指对互化即可得答案;(2)由题知数列{}n c 的前50项是由数列{}n a 的前55项去掉数列{}n b 的前5项后构成的,进而根据等差数列,等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)解:因为等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足3121,8,log n n a b a b ===,*n ∈N , 所以3322log 83log a b ===, 所以等差数列{}n a 的公差为3131122a a d --===, 所以,n a n =,2log n nb =所以,n a n =,2nn b =,*n ∈N(2)解:由(1)222n n a nn b a ===,即n b 是数列{}n a 中的第2n 项.设数列{}n a 的前n 项和为n P ,数列{}n b 的前n 项和为n Q ,因为656432652,2b a b a ====所以数列{}n c 的前50项是由数列{}n a 的前55项去掉数列{}n b 的前5项后构成的,所以()505555212(155)551478212S P Q -+⨯=-=-=-.18.已知圆22:4640C x y x y +--+=.(1)若一直线被圆C 所截得的弦的中点为(3,2)M ,求该直线的方程;(2)设不过圆心C 的直线:l y x m =+与圆C 交于A ,B 两点,把CAB △的面积S 表示为m 的函数,并求S 的最大值. 【答案】(1)1y x =-;(2)S ,()(11,1m ∈-⋃+;92.【分析】(1)根据给定条件,求出圆心坐标,再利用圆的性质求解作答.(2)利用点到直线的距离公式,求出CAB △边AB 上的高,再求出弦AB 长即可求解作答. 【详解】(1)圆22:(2)(3)9C x y -+-=圆心(2,3)C ,半径3r =,显然点(3,2)M 在圆C 内, 由圆的性质知,当(3,2)M 为圆C 弦的中点时,该弦所在直线垂直于直线CM , 直线CM 的斜率23132CM k -==--,则有所求直线斜率为1,方程为:23y x -=-,即1y x =-, 所以该直线的方程为1y x =-.(2)直线:0l x y m -+=与圆C 相交时,圆心C 到直线l 的距离3d <,解得11m -<+又直线l 不过圆心(2,3)C ,即1m ≠,因此11m -<+1m ≠,||AB ==,CAB △的面积1||2S AB d =⋅=,因为11m -<<+1m ≠,则20(1)18m <-<,当2(1)9m -=,即2m =-或4m =时,max 92S =,所以S ,()(11,1m ∈-⋃+,当2m =-或4m =时,max 92S =.19.设函数()()()21ln 221f x a x x =+-+(a 为非零常数) (1)若曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线经过点()1,ln 2,求实数a 的值; (2)讨论函数()y f x =的单调性. 【答案】(1)1;(2)分类讨论,答案见解析.【分析】(1)利用导数的几何意义,求出曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程,再代入计算作答.(2)求出函数定义域,利用导数结合分类讨论求解单调区间作答. 【详解】(1)函数()()()21ln 221f x a x x =+-+,求导得:()2af x x x '=++,则有(0)2a f '=,而1(0)ln 22f a =-,因此曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1(ln 2)22ay a x --=,则有1ln 2(ln 2)22a a --=,即11(ln 2)ln 222a +=+,而1ln 202+>,则1a =,所以实数a 的值为1.(2)函数()()()21ln 221f x a x x =+-+的定义域为(2,)-+∞,222(1)1()22x x a x a f x x x ++++-'==++, 当1a ≥时,恒有()0f x '≥,当且仅当=1x -且1a =取等号,则函数()f x 在(2,)-+∞上单调递增,当1a <时,由220x x a ++=解得11x =-21x =-当112x =->-,即01a <<时,当12x x -<<或2x x >时,()0f x '>,当12x x x <<时,()0f x '<,因此函数()f x 在(2,1--,(1)-+∞上单调递增,在(11---+上单调递减,当0a ≤,即12-≤-时,当22x x -<<时,()0f x '<,当2x x >时,()0f x '>,因此函数()f x 在(2,1--上单调递减,在(1)-+∞上单调递增,所以当0a ≤时,()f x 递减区间是(2,1--,递增区间是(1)-+∞;当01a <<时,()f x 递增区间是(2,1--,(1)-+∞,递减区间是(11--+;当1a ≥时,()f x 递增区间是(2,)-+∞.20.已知数列{}n a 各项均不为0,且113a =,n Q 为数列{}n a 的前n 项的积,n S 为数列{}n Q 的前n 项的和,若()*130N ,2n n n Q S S n n -+=∈≥.(1)求证:数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式. 【答案】(1)证明见解析;(2)1,131,222,3n n a n n n n ⎧=⎪⎪⎪=-=⎨⎪-⎪≥⎪⎩,N n *∈.【分析】(1)根据给定的递推公式,结合前n 项和与第n 项的关系,列式推理作答. (2)利用(1)的结论求出n Q ,再利用前n 项积的意义求出通项作答.【详解】(1)n S 为数列{}n Q 的前n 项的和,当*N ,2n n ∈≥时,130n n n Q S S -+=,又1n n n Q S S -=-,则有113n n n n S S S S ---=,依题意,N ,0n n S *∈≠,因此1113n n S S --=, 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11113S a ==为首项,3为公差的等差数列. (2)由(1)知,133(1)3n n n S =+-=,即13n S n=,当*N ,2n n ∈≥时,11133(1)3(1)n Q n n n n =-=---,而1113Q a ==不满足上式, 因为n Q 为数列{}n a 的前n 项的积,则当3n ≥时,1123(1)13(1)(2)n n n Q n n n a Q n n n ----===---,而221116123Q a Q -===-,113a =均不满足上式,所以{}n a 的通项公式是1,131,222,3n n a n n n n ⎧=⎪⎪⎪=-=⎨⎪-⎪≥⎪⎩,N n *∈.21.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知椭圆γ:22221(>>0x y a b a b +=),椭圆γ上的点与点()10P ,的最大距离为1. (1)求椭圆γ的标准方程 ;(2)设椭圆γ的上、下顶点分别为A B 、,过点P 的直线与椭圆γ交于点C D 、(异于点A B 、),与y 轴交于点M ,直线AD 与直线BC 交于点N ,试探究:OM ON ⋅是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.【答案】(1)椭圆γ的标准方程为22184x y +=;(2)4OM ON ⋅=,理由见解析.【分析】(1)表示椭圆上的点到点P 的距离,求其最大值,解方程求a ,根据离心率及,,a b c 关系可求,b c ,由此可得椭圆方程;(2)由条件知可设直线CD 的方程为()1y k x =-,联立直线CD 的方程和椭圆方程可得,C D 的坐标关系,求点N 的纵坐标并化简,由此证明OM ON ⋅为定值.【详解】(1)设椭圆的半焦距为c ,设点(),T m n 为椭圆上一点,则22221m na b+=,a m a -≤≤,因为()10P ,,所以TP = 所以当m a =-时,TP 取最大值,最大值为1a +,由已知11a =+, 所以a =γc e a ==,所以2c =,故2224b a c =-=,所以椭圆γ的标准方程为22184x y +=; (2)若直线CD 的斜率不存在,则//CD AB ,与已知矛盾,故设直线CD 的方程为()1y k x =-,令0x =可得y k =-,故点M 的坐标为()0,k -,联立22184x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消y 可得,()2222214280k x k x k +-+-=, 方程()2222214280k x k x k +-+-=的判别式()()42216421280k k k ∆=-+->,设()()1122,,,C x y D x y ,则21221222428,2121x x x k k k x k -==+++,因为AB 、为椭圆γ的上、下顶点,所以()()0,2,0,2A B -, 所以直线AD 的方程为2222y y x x -=+,直线BC 的方程为1122y y x x +=-,设()33,N x y ,联立直线AD 和直线BC 的方程可得,点N 的纵坐标为()()()()12213124422422kx x k x k x y k x k x +--+=++-, 又212212284x x k x x k -=+,即()21212284k kx x x x k-=+,所以()()()()()()2221221312284224422kx x k k x k k x y kk k x k x -++--+==-++-⎡⎤⎣⎦,所以()304OM ON k y ⋅=+-⨯=,【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x (或y )建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.22.我们知道,如果1nn k k S a ==∑,那么11,1,2Nk k k S k a S S k k *-=⎧=⎨-≥∈⎩且,反之,如果11,1,2N k kk S k a S S k k *-=⎧=⎨-≥∈⎩且,那么()1112n nkk k n k k a S S S S -===+-=∑∑.后者常称为求数列前n 项和的“差分法”(或裂项法).(1)请你用差分法证明:2311nn k k k k ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑,其中()112nk n n k =+=∑;(2)证明:()1111ln 11nnk k n k k==<+<+∑∑ 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析.【分析】(1)利用裂项法求出21n k k =∑,再利用裂项法求出31nk k =∑即可推理作答.(2)构造函数()ln(1)f x x x =+-,利用导数探讨论单调性,证明111ln 1k k k k+<<+,再求和即可作答.【详解】(1)N k *∈,332(1)331k k k k -=-+-,则有23311[(1)](31)33k k k k =--+-,因此2333311111112(31)[(1)](31)(0)33332nn n k k k n k k k k n n ===+-=--+-=-+⋅⋅∑∑∑1(1)(21)6n n n =++, 又N k *∈,4432(1)4641k k k k k -=-+-+,则3442131[(1)](41)424k k k k k =--+--,因此34421111131[(1)](41)424nn n n k k k k k k k k k =====--+--∑∑∑∑4413113(41)(0)(1)(21)42642n n n n n n +-=-+⋅++-⋅⋅ 4422111111(1)(21)(21)(21)[(1)]444442n n n n n n n n n n n =+++-+=++=+,而()112nk n n k =+=∑,所以2311nn k k k k ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.(2)令()ln(1)f x x x =+-,求导得1()111xf x x x '=-=-++,当10x -<<时,()0f x '>,当0x >时,()0f x '<,因此函数()f x 在(1,0)-上单调递增,在(0,)+∞上单调递减, (1,0)x ∀∈-,()(0)0f x f <=,即ln(1)x x +<,N k *∈,取11x k =-+, 11ln 111k k ⎛⎫-+<- ⎪++⎝⎭,即有1ln 11k k k <-++,即11ln 1k k k +>+,(0,)∀∈+∞x ,()(0)0f x f <=,即ln(1)x x +<,N k *∈,取1xk, 11ln 1k k⎛⎫+< ⎪⎝⎭,即11ln k k k +<,则111ln 1k k k k +<<+, 于是N k *∀∈,11ln(1)ln 1k k k k <+-<+,有11111[ln(1)ln ]1n n nk k k k k k k===<+-<+∑∑∑, 即1111ln(1)ln11nnk k n k k ==<+-<+∑∑, 所以()1111ln 11nnk k n k k==<+<+∑∑. 【点睛】易错点睛:裂项法求和,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.。
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盐城市高三数学试卷第页(共6页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分,考试时间120分钟)2010.4一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1. 已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),若a∥b,则x=__________.2. 已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=____________.3. 设复数z1=1-i,z2=-4-3i,则z1·z2在复平面内对应的点位于第__________象限.4. 为了解高三女生的身高情况,从高三女生中选取容量为60的样本(60名女生身高,单位:cm),分组情况如下:分组 [151.5,158.5) [158.5,165.5) [165.5,172.5) [172.5,179.5) 频数6 21 频率a0.1 5. 若a 、b 是两条不重合的直线,α、β是两个不重合的平面,则α∥β的充分而不必要条件是__________.(将正确的序号全部填上)① a ⊂α,b ⊂α,a ∥β,且b ∥β; ② a ⊂α,b ⊂β,且a ∥b ;③ a ⊥α,b ⊥β,且a ∥b ; ④ a ∥α,b ∥β,且a ∥b .6. 与直线y =x -2平行且与曲线y =x 2-ln x 相切的直线方程为________________.7. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≤0,-x +2,x >0,则不等式f (x )≥x 2的解集为____________. 8. 设sin(α+β)=35,cos(α-β)=310,则(sin α-cos α)(sin β-cos β)的值为____________.(第9题)9. 如果执行右面的程序框图,那么输出的S =____________. 10. 设P 是直线l :y =2x 且在第一象限上的一点,点Q (2,2),则直线PQ 与直线l 及x 轴在第一象限围成的三角形面积最小值为____________.11. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2,若椭圆上存在点P ,使得|PF 1→+PF 2→|=|F 1F 2→|成立,则离心率的取值范围为____________.12. 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +a n -1=(12)n (n ≥2),S n =a 1·2+a 2·22+…+a n ·2n ,类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法,可求得3S n -a n ·2n +1=____________.13. 对于任意实数x ,符号[x ]表示x 的整数部分,即[x ]是不超过x 的最大整数.这个函数[x ]叫做“取整函数”,那么[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3243]=____________.14. 连续两次掷骰子得到的点数依次为m 、n ,则以点(0,0)、(1,-1)、(m ,n )为顶点能构成直角三角形的概率为______________.二、 解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =2,AA 1=1,D 是BC 的中点,点P 在平面BCC 1B 1内,PB 1=PC 1= 2.(1) 求证:P A 1⊥BC ;(2) 求证:PB 1∥平面AC 1D .16. (本小题满分14分)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a 2-c 2=3ab -b 2,S △ABC =2.(1) 求CA →·CB →的值;(2) 设函数y =sin(ωx +φ)(其中φ∈[0,π2],ω>0),最小正周期为π,当x 等于角C 时函数取到最大值,求使该函数取最小值时的x 的集合.游泳池中相邻的两条泳道A1B1和A2B2(看成两条互相平行的线段)分别长90 m,甲在泳道A1B1上从A1处出发,以3 m/s的速度到达B1后以同样的速度返回A1处,然后重复上述过程;乙在泳道A2B2上从B2处出发,以2 m/s的速度到达A2后以同样的速度游回B2处,然后重复上述过程.(不考虑每次折返时的减速和转向时间).两人同时开始运动.(1) 设甲离开池边B1B2处的距离为y m,当时间t∈[0,60](单位:s)时,写出y关于t的函数解析式;(2) 请判断从开始运动起到3 min为止,甲乙的相遇次数.已知圆C1:x2+y2-2x-4y+m=0,直线x+2y-4=0与圆C1相交于M、N两点,以MN为直径作圆C2.(1) 求圆C2的方程;(2) 过原点O的直线l与圆C1、圆C2都相切,求直线l的方程.已知无穷数列{a n}中,a1,a2,…,a m是首项为10,公差为-2的等差数列;a m+1,a m+2,…,a2m是首项为12,公比为12的等比数列(m≥3,m∈N*),并对任意n∈N*,均有an+2m=a n成立.(1) 当m=12时,求a2 010;(2) 若a52=1128,试求m的值;(3) 判断是否存在m,使S128m+3≥2 010成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.已知关于x的函数f(x)=x2+2ax+b(其中a、b∈R).(1) 求函数|f(x)|的单调区间;(2) 令t=a2-b.若存在实数m,使得|f(m)|≤14与|f(m+1)|≤14同时成立,求t的最大值.盐城市高三数学附加题试卷 第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)一、 选做题:在四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1. (选修4-1:几何证明选讲)自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ,M 为P A 中点,过M 引割线交圆于B 、C 两点.求证:∠MCP =∠MPB .2. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1-1 2,B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1,记C =AB. (1) 求C -1;(2) 若矩阵B 把直线l :x +y +2=0变为直线l ′,求直线l ′的方程.3. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知A 是曲线ρ=12sin θ上的动点,B 是曲线ρ=12cos(θ-π6)上的动点,试求AB 的最大值.4. (选修4-5:不等式选讲)设P 是△ABC 内的一点,x 、y 、z 是P 到三边a 、b 、c 的距离,R 是△ABC 外接圆的半径,证明x +y +z ≤12Ra 2+b 2+c 2.二、 必做题:每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.5. 一袋中有x (x ∈N *)个红球,3个黑球和2个白球,现从中任取2个球.(1) 当x =3时,求取出的2个球颜色都相同的事件的概率;(2) 当x =3时,设ξ表示取出的2个球中红球的个数,求ξ的概率分布及数学期望;(3) 如果取出的2个球颜色不相同的事件概率小于23,求x 的最小值.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点F 、T 、M 、P 满足OF →=(1,0),OT →=(-1,t ),FM →=MT →,PM →⊥FT →,PT →∥OF →.(1) 当t 变化时,求点P 的轨迹C 的方程;(2) 若过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两点,求证:直线TA 、TF 、TB 的斜率依次成等差数列.盐城市高三数学参考答案第页(共3页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. -92. (2,3)3. 二4. 0.455. ③6. x-y=07. [-1,1]8. -3109. 16210. 411. [22,1)12. n+113. 85714.81515. 证明:(1) 连结PD交B1C1于H,连结BH.(1分)∵BC⊥AD,BC⊥AA1,AD∩AA1=A,∴BC⊥平面ADP A1.(3分)∵P A1⊂平面ADP A1.∴BC⊥P A1.(6分)(2) ∵PH∥BB1,且PH=BB1,∴四边形B1PHB为平行四边形.(8分)∴PB1∥BH.而BH∥C1D,∴PB1∥DC1.(10分)又∵PB1⊄平面AC1D,C1D⊂平面AC1D,∴PB1∥平面AC1D.(14分)16. 解:(1) cos C=a2+b2-c22ab=32,(2分)∵0<C<π,∴C=π6.(3分)∵S△ABC=2,∴12ab sin30°=2,∴ab=8,(5分)∴CA→·CB→=ab cos30°=8×32=4 3.(7分)(2) ω=2.(8分)当且仅当2x+φ=π2+2kπ,即π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),(9分)此时φ=π6+2kπ.又∵φ∈[0,π2],∴φ=π6.(10分)∴当2x+π6=-π2+2kπ时函数取最小值.(12分)即函数取最小值时的x的集合为{x|x=-π3+kπ,k∈Z}.(14分)17. 解:(1) y=⎩⎪⎨⎪⎧90-3t,t∈[0,30],3t-90,t∈(30,60].(8分)(2) 如下图.(说明:若写出乙的函数解析式,则给予相应的得分)五次90(15分)18. 解:(1) 设圆C2的圆心坐标为(x,y),(1分)过圆心C1(1,2)且与直线x+2y-4=0垂直的直线方程为y=2x,(3分)∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y -4=0,y =2x ,解得⎩⎨⎧ x =45,y =85.(5分)又因为圆C 2的半径为r =(45)2+(85)2=455,(6分) ∴ 圆C 2的方程为(x -45)2+(y -85)2=165.(8分) (2) 设直线l 的方程为y =kx ,圆C 1的半径为r 1,圆C 2的半径为r 2.(9分)C 1到直线y =kx 的距离为d 1,C 2到y =kx 的距离为d 2.则d 1=r 1,d 2=r 2.由图形知,r 21=r 22+(C 1C 2)2,∴ d 21=d 22+15. ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|k -2|k 2+12=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4k 5-85|k 2+12+15,解得k =9±522.(13分) ∴ 直线l 的方程为y =9±522x .(15分) 19. 解:(1) a n +24=a n ,所以a 2 010=a 18.(2分)a 18是以12为首项,以12为公比的等比数列的第6项,所以a 2 010=164.(4分) (2) 1128=(12)7,所以m ≥7.(5分) 因为a 52=1128,所以2km +m +7=(2k +1)m +7=52,其中m ≥7,m ∈N *,k ∈N *,(6分) 即(2k +1)m =45,当k =0时,m =45,成立;当k =1时,m =15,成立;当k =2时,m =9成立;(9分)当k ≥3时,m ≤457<7.所以m 可取9、15、45.(10分) (3) S 128m +3=64S 2m +a 1+a 2+a 3=64⎩⎨⎧⎭⎬⎫10m +m (m -1)2(-2)+12⎣⎡⎦⎤1-(12)m 1-12+10+8+6 =704m -64m 2+88-64(12)m ≥2 010,(12分) 704m -64m 2≥2 010-88+64(12)m =1 922+64(12)m , 设f (m )=704m -64m 2,g (m )=1 922+64(12)m ,(14分) g (m )>1 922;f (m )=-64(m 2-11m ),对称轴m =112∉N *,所以f (m )在m =5或6时取最大值f (x )max =f (5)=f (6)=1 920.因为1 922>1 920,所以不存在这样的m .(16分)20. 解:(1) ① 当a 2-b ≤0时,单调区间为(-∞,-a )减,[-a ,+∞)增;(2分) ② 当a 2-b >0时,单调区间为(-∞,-a -a 2-b )减,(-a -a 2-b ,-a )增,(-a ,-a +a 2-b )减,(-a +a 2-b ,+∞)增.(5分)(2) ① 当-14≤a 2-b ≤0时,由方程x 2+2ax +b =14,解得x 1,2=-a ±a 2-b +14, 此时|x 2-x 1|=2a 2-b +14≤1,不满足.(8分) ② 当14>a 2-b >0时,由方程x 2+2ax +b =14,解得x 1,2=-a ±a 2-b +14.此时|x 2-x 1|=2a 2-b +14∈(1,2),满足题意.(11分) ③ 当a 2-b ≥14时,由方程x 2+2ax +b =14和方程x 2+2ax +b =-14,解得x 1,2=-a ±a 2-b +14,x 3,4=-a ±a 2-b -14, 此时由于|x 2-x 1|=2a 2-b +14∈[2,+∞), |x 3-x 1|=a 2-b +14-a 2-b -14=12a 2-b +14+a 2-b -14≤24<1, 所以只要|x 3-x 4|=2a 2-b -14≤1即可,此时a 2-b ≤12,综上所述t 的最大值为12.(16分)盐城市高三数学附加题参考答案 第页(共2页)盐城中学2010届高三年级第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准1. (选修4-1:几何证明选讲)证明:∵ P A 与圆相切于A ,∴ MA 2=MB ·MC .(1分)∵ M 为P A 中点,∴ PM =MA ,∴ PM 2=MB ·MC ,(3分)∴ PM MC =MB PM.(5分) ∵ ∠BMP =∠PMC ,∴ △BMP ∽△PMC ,∴ ∠MCP =∠MPB .(10分)2. (选修4-2:矩阵与变换)解:(1) C =AB =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 4,(2分) C -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 -3-1 4.(5分) (2) 任取直线l 上一点P (x ,y )经矩阵B 变换后为点P ′(x ′,y ′),(6分)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′=⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 -20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y =⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -2y y ,(7分) ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ′=x -2y ,y ′=y ,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x =x ′+2y ′,y =y ′,(8分) 代入x +y +2=0,得x ′+2y ′+y ′+2=0,∴ x ′+3y ′+2=0,(9分)∴ 直线l ′的方程为x +3y +2=0.(10分)3. (选修4-4:坐标系与参数方程)解:两圆的普通方程为x 2+(y -6)2=36和(x -33)2+(y -3)2=36,(5分) 所以AB 的最大值为(0-33)2+(6-3)2+12=18.(10分)4. (选修4-5:不等式选讲)证明:由柯西不等式得,x +y +z =ax 1a +by 1b +cz 1c ≤ax +by +cz ·1a +1b +1c,(3分) 记S 为△ABC 的面积,则ax +by +cz =2S =2·abc 4R =abc 2R,(6分) x +y +z ≤abc 2R ab +bc +ca abc =12R ab +bc +ca ≤12Ra 2+b 2+c 2,(9分) 故不等式成立.(10分)5. 解:(1) 当x =3时,设“取出的2个球颜色都相同”为事件A ,P (A )=C 23+C 23+C 22C 28=14.(2分) 答:取出的2球颜色都相同的事件概率为14.(3分) (2) 当x =3时,ξ可取0、1、2, ∵ P (ξ=0)=C 25C 28=514,P (ξ=1)=C 13C 15C 28=1528,P (ξ=2)=C 23C 28=328, ∴ ξ的概率分布为(5分)ξ的数学期望为Eξ=0×514+1×1528+2×328=34.(7分) (3) 设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B ,则P (B )=C 1x C 13+C 1x C 12+C 13C 12C 2x +5<23, ∴ x 2-6x +2>0,∴ x >3+7或x <3-7,∴ x 的最小值为6.(10分)6. (1) 解:设点P 的坐标为(x ,y ),由FM →=MT →,得点M 是线段FT 的中点,则M (0,t 2),PM →=(-x ,t 2-y ). 又FT →=OT →-OF →=(-2,t ),PT →=(-1-x ,t -y ),由PM →⊥FT →,得2x +t (t 2-y )=0, ① 由PT →∥OF →,得(-1-x )×0+(t -y )×1=0,∴ t =y .②(3分)由①②消去t ,得y 2=4x 即为所求点P 的轨迹C 的方程.(5分)(2) 证明:设直线TA ,TF ,TB 的斜率依次为k 1,k ,k 2,并记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则k =-t 2.(6分) 设直线AB 方程为x =my +1,⎩⎪⎨⎪⎧ y 2=4x x =my +1,得y 2-4my -4=0,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ y 1+y 2=4m ,y 1·y 2=-4, ∴ y 21+y 22=(y 1+y 2)2-2y 1y 2=16m 2+8,(7分)∴ k 1+k 2=y 1-t x 1+1+y 2-t x 2+1=(y 1-t )(y 224+1)+(y 2-t )(y 214+1)(y 214+1)(y 224+1) =4y 1y 2(y 1+y 2)-4t (y 21+y 22)+16(y 1+y 2)-32t y 21y 22+4(y 21+y 22)+16=-t =2k .(9分)∴ k 1,k ,k 2成等差数列.(10分)。