第2章复习指导2010

第2章 初等积分法

1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法．

常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。

常微分方程类型有：

变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、一阶隐式微分方程、可降阶的高阶方程等

2．了解变量可分离方程的类型，熟练掌握变量可分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x

y

= ； 当0≠g 时，通过积分

⎰⎰+=C x x f y g y

d )()(d 求出通解。

（2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=；

当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ⎰⎰+=C x x M x M y y N y N d )

()

(d )()(2112求出通解。

3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法．

第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x

y

g x y = ； 令x

y u =

，代入方程得x u

u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得⎰=-u

u g u

x C )(d 1e

，即)

(e

u C x ϕ=，用x

y

u =回代，得通解)(e x y

C x ϕ=.

4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为：

0)(d d =+y x p x

y

通解为：⎰=-x

x p C y d )(e 。

（2）一阶线性非齐次微分方程为：

)()(d d x f y x p x

y

=+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：⎰⎰+⎰=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x

x p x x p 。

（3）伯努利方程为：

)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y

n ， 两端除以n

y ，得 )()(d d 1x f y x p x

y y

n n =+--；令n y z -=1，代入后得到以z 为未知函数的线性方程

)()(d d 11x f z x p x

z

n =+-，在求通解。 5．了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程解法及简单积分因子的求法．

（1）全微分方程（或恰当方程）为：0d ),(d ),(=+y y x N x y x M ；

若二元函数),(y x U 满足：y y x N x y x M y x U d ),(d ),(),(d +=，则上式的原函数为：

),(y x U .

（2）如果存在连续可微函数0),(≠y x μ，使方程+x y x M y x d ),(),(μ

0d ),(),(=y y x N y x μ成为全微分方程，则称),(y x μ积分因子.

6．了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方程类型I 、II 的参数解法． 隐式方程0),,(='y y x F ，若能把y '解出，得一个或几个显式方程 ),,2,1()

,(n i y x f y i =='

如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，那么就得到原方程的解。

如果不能解出y '时，则用“参数法”求解：

类型Ⅰ )0),((,

0),(='='y y F y x F

若参数形式⎩⎨⎧='=)()(t y t x ψϕ，则参数形式通解为：⎪⎩

⎪⎨⎧+==⎰C t t t y t x d )()()

(ϕψϕ ；

或参数形式⎩⎨⎧='=)()(t y t y ψϕ，则参数形式通解为：⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=⎰)

(d )()(t y C t t t x ϕψϕ 类型Ⅱ )),((),,(y y f x y x f y '='=

若参数形式⎪⎩⎪

⎨⎧=='=)

,(p x f y p y x

x ，则参数形式解为：⎩⎨⎧==),(0),,(p x f y C p x G

或参数形式⎪⎩

⎪

⎨⎧=='=)

,(p y f x p y y

y ，则参数形式解为：⎩⎨⎧==Φ),(0),,(p y f x C p y

7．了解可降阶的高阶方程的可积类型，掌握高阶方程的三种降阶法．

第一种可降阶的高阶方程 )1(.0),,,,()()1()

(>=+k y y y x F n k k ；

第二种可降阶的高阶方程 0),,,(='n

y y y F ；

假如方程0),,,,()(='n y y y x F 的左端恰为某一函数),,,,()

1(-'Φn y y y x 对x 的导

数，则称该方程为恰当导数方程.

8．学会对应用问题建立常微分方程的一般步骤．

本章重点：五种基本初等积分法——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法。

例1 填空题

（1）方程0d )1(1)d (2

2

=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．

应该填写：1,1±=±=x y

（2）方程

y x x

y

sin d d 2=的所有常数解是 ． 应该填写：πk y =， ,2,1,0±±=k

（3）方程y x x

y

tan d d 2=的所有常数解是 ． 应该填写：πk y =， ,2,1,0±±=k