2021年高考数学专题复习：空间向量及其运算

2021年高考数学专题复习：空间向量及其运算一、单选题1．若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ） A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--2．在平行六面体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，向量1D A －1D C －11AC 是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量D ．不共面向量3．已知空间直角坐标系O xyz -中，)3,2,1(=，)2,1,2(=，)2,1,1(=，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭4．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）．A ．2B ．4C ．D ．5．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =--B ．111532OM OA OB OC =++ C ．0MA MB MC ++= D ．0OM OA OB OC +++=6．对于空间向量()1,2,3a =，(),4,6b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知 AB a =， AD b =， 1AA c =，则用向量a ， b ，c 可表示向量 1BD 等于A ．a b c ++B ．a b c -+C ．a b c +-D ．a b c -++ 8．在空间直角坐标系中，()()2,2,0,1,,1,OA a b OB c d O ==-为坐标原点，满足22221,4a b c d +=+=，则下列结论中不正确的是（ ）A ．·OA OB 的最小值为-6 B ．·OA OB 的最大值为10C ．ABD ．AB 最小值为1二、填空题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下向量表达式：①111()A D A A AB --； ②111()BC BB DC +-；③1()2AD AB DD --； ④1111()B D A A DD ++. 其中能够化简为向量1BD 的是______________（填序号）.10．已知向量()1,2,3a =,()2,2,b x x y y =+-,并且a ､b 共线且方向相同,则x y +=______.11．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．12．已知球O 是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PN PM *的取值范围是_____． 三、解答题13.如图，四棱锥 P −ABCD 的底面为直角梯形， BC//AD ， ∠BAD =90° ， AD =PD =2AB =2BC =2 ，M 为 PA 的中点．（Ⅰ）求证： BM// 平面 PCD（Ⅱ）若平面 ABCD ⊥ 平面 PAD ，异面直线 BC 与 PD 所成角为60°，且 △PAD 是钝角三角形，求二面角 B −PC −D 的正弦值14.如图①：在平行四边形 ABCD 中, BD ⊥CD , BE ⊥AD ,将 ΔABD 沿对角线 BD 折起,使 AB ⊥BC ,连结 AC,EC ,得到如图②所示三棱锥 A −BCD .（1）证明： BE ⊥ 平面 ADC ；（2）若 ED =1 ,二面角 C −BE −D 的平面角的正切值为 √6 ,求直线 BD 与平面 ADC所成角的正弦值.15.已知在直角梯形ABC′D中，∠A=∠B=90°，AD=AB=1,BC′=2，将ΔC′BD沿BD折起至ΔCBD，使二面角C−BD−A为直角.（1）求证：平面ADC⊥平面ABC；（2）若点M满足AM=λAC , λ∈[0，1]，当二面角M−BD−C为45°时，求λ的值.16.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：（1）E,C,D1,F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点.参考答案9．①②10．4 1112．[0,]313.【答案】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点N，连接CN,MN，AD，因为M为PA的中点，则MN//AD，且MN=12AD，所以MN//BC，MN=BC，又BC//AD，且BC=12所以四边形BMNC为平行四边形，所以BM//CN，CN⊂平面PCD，BM⊄平面PCD，所以BM//平面PCD（Ⅱ）由题意可知BC//AD，所以∠ADP或其补角为异面直线BC与PD所成角，又AD=PD，△PAD为钝角三角形，所以∠ADP=120°，又平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，以A为坐标原点，AD,AB所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) ， B(0,0,1) ， D(0,2,0) ， C(0,1,1) ， P(√3,3,0) ， 向量 PC⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−2,1) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−3,1) ， 设平面 PBC 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) 由 {n ⋅PC =0n ⋅PB =0 得 {z −√3x =0y =0 ，令 x =1 ，得平面 PBC 的一个法向量为 n ⃗ =(1,0,√3) ，同理可得平面 PCD 的一个法向量为 m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,−√3) 设二面角 B −PC −D 的平面角为 θ ， 则 |cos θ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√7=√77则 sin θ=√1−cos 2θ=√427【解析】（Ⅰ）取 PD 的中点N ，连接 CN,MN ，证明四边形 BMNC 为平行四边形，得到 BM//CN 即可（Ⅱ）由条件得出 ∠ADP =120° ，然后证明 AB ⊥ 平面 PAD ，然后以A 为坐标原点， AD,AB 所在直线为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 PBC 和平面 PCD 的法向量即可. 14.【答案】 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中, BD ⊥CD , 则 AB ⊥BD .在三棱锥 A −BCD 中,因为 AB ⊥BC , BC ∩BD =B . 所以 AB ⊥ 平面 BCD ,所以 AB ⊥CD .又 BD ⊥CD , AB ∩BD =B ,所以 CD ⊥ 平面 ABD . 又 BE ⊂ 平面 ABD ,所以 CD ⊥BE .因为 BE ⊥AD , AD ∩CD =D ,所以 BE ⊥ 平面 ADC （2）解：由（1）知 BE ⊥ 平面 ADC , 因为 BC ⊂ 平面 ADC ,所以 BE ⊥EC ,又 BE ⊥ED ,所以 ∠DEC 即为二面角 C −BE −D 的平面角,即 tan ∠DEC=√6 . 因为 CD ⊥ 平面 ABD , AD ⊂ 平面 ABD . 所以 CD ⊥AD ,故 tan ∠DEC=CDED =√6 , 又 ED =1 .所以 AB =CD =√6 .在平行四边形 ABCD , ∠ADB =∠DBC , ∠BED =∠BDC =90° , 所以 ΔDEB 与 ΔBDC 为相似三角形,则 EDBD =BDBC , 故 BD =m （ m >0 ）,解得 BC =√m 2+6 , 故 1m =√m 2+6 ,解得 m =√3 , 所以 BD =√3 , BC =3 .过点 D 作 DF//AB ,以 D 为坐标原点, DB ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则 D(0,0,0) , A(√3,0,√6) , C(0,√6,0) , B(√3,0,0) . 所以 DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√6) , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,0) , DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,0) . 设平面 ADC 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z) , 则 {n ⋅DA =√3x +√6z =0n ⋅DC =√6y =0令 z =−√6 ,得 n ⃗ =(2√3,0,−√6) . 设直线 BD 与平面 ADC 所成角为 θ , sin θ=|cos〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=√3⋅√18=√63即直线 BD 与平面 ADC 所成角为 √63.【解析】（1）证明 AB ⊥BD ,从而证明 AB ⊥ 平面 BCD ,进而得出 AB ⊥CD ,即可证 CD ⊥ 平面 ABD .最后证得 BE ⊥ 平面 ADC .（2）若 ED =1 ,二面角 C −BE −D 的平面角的正切值为 √6 ,由（1）知 BE ⊥ 平面 ADC ,因为 BC ⊂ 平面 ADC ,所以 BE ⊥EC ,又 BE ⊥ED ,所以 ∠DEC 即为二面角 C −BE −D 的平面角,得 tan ∠DEC=CDED =√6 ,从而求出 BD =√3 , BC =3 ,建立空间直角坐标系,求平面 ADC 的法向量为 n⃗ =(x,y,z) , 最后根据公式 sin θ=|cos〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉| ,即得直线 BD 与平面 ADC 所成角大小15.【答案】 （1）解：梯形 ABC ′D 中，∵ AD =AB =1,∠DAB =90°， ∴ BD =√2 .又∵ ∠DBC ′=45°，BC ′=2 ,∴ C ′D =√2 ,∴ ∠BDC ′=90° .∴ ∠BDC =90° .折起后，∵二面角 C −BD −A 为直角，∴平面 CBD ⊥ 平面 ABD . 又平面 CBD ∩ 平面 ABD =BD,CD ⊥BD ,∴ CD ⊥ 平面 ABD . 又 AB ⊂ 平面 ABD ，∴ AB ⊥CD .又∵ AB ⊥AD,AD ∩CD =D ,∴ AB ⊥ 平面 CAD . 又∵ AB ⊂ 平面 ABC ，∴平面 ADC ⊥ 平面 ABC .（2）解：由(1)知， DC ⊥ 平面 ABD,AB ⊥AD ，∴以 D 为原点， DA,AB,DC 方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz .则 B(1,1,0),C(0,0,√2),A(1,0,0) , 设 M(x,y,z) ，由 AM =λAC ,得 {x −1=−λy =0z =√2λ ，得 M(1−λ,0√2λ) .取线段 BD 的中点 E ，连结 AE ，则 E(12,12,0) , ∵ AD =AB ,∴ AE ⊥BD .又∵ CD ⊥AE,CD ∩BD =D ,∴ AE ⊥ 平面 BDC .∴平面 BDC 的一个法向量为 AE =(−12,12,0) . 设平面 MDB 的一个法向量为 m =(a,b,c) ， 则 {m ⋅DM =0m ⋅DB =0⇒{(1−λ)a +√2λc =0,a +b =0,取 c =1−λ ，则 m =(−√2λ,√2λ,1−λ) .∴ |cosm,AE|=√22 ，即 √22λ+√22λ√22⋅22=√22⇒λ=13 或 −1 .∵ λ>0 ，∴ λ=13.【解析】(1)根据题意利用折叠图形的特点结合面面垂直的性质定理得出线面垂直，再由线面垂直得出线线垂直然后由已知条件利用面面垂直的判定定理即可得证。