有限元基本知识

有限元的基本概念
计算等效节点力 单元特性分析的另一个重要内容是建立单元的外部 "载荷" (包括单元之间的内部 "载荷") 与单元节点物理 量之间的关系。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力可以作用 在单元的任意区域或位置 (体积力、分布面力、集中力 等)，也可以在一个单元与相邻单元的公共边 (线、面) 之间进行传递。因而，这种作用在单元上的表面力、体 积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
{u} - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数： {u} = {u (x,y,z)} [P] - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关 {ue} - 单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转 角或其对坐标的导数。 常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。
有限元分析的基本过程
结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在单元坐标系中) 杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。 在单元坐标系中： 节点自由度为 Tx 和 Rx，其中 x 为杆的轴线。 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。 梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂 直于轴线方向的弯曲 在单元坐标系中： 节点自由度为 Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中 x 为梁的 轴线，Y,z 为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。
有限元分析的基本过程
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单元形状函数举例 (未必是实际使用的单元)：
(1) 一维单元
a. 杆单元 轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为 Tx，Rx 对 2 节点单元 (线性单元)： Tx = a0 + a1 * x Rx = b0 + b1 * x 各有 2 个未知数，可以由 2 个节点的位移值确定； 对 3 节点单元 (二次单元)： Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2 Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2 各有 3 个未知数，可以法的发展 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广 到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有 效的数值分析方法。 (1) 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、 渗流和声场等问题的求解计算，目前又发展到求解几个交叉学科的 问题。 例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过 来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限 元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。 (2) 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：航空航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力， 要考虑材料的非线性 (弹塑性) 问题；诸如塑料、橡胶和复合材料 等各种新材料的出现，也只有采用非线性有限元算法才能解决。
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(3) 单元组集 即由单元的有限元特性组装整个结构的相关方程。 包括施加载荷和各种约束条件等。 以结构位移法为例，即是利用节点处力的平衡条件 和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形 成以整个结构的节点物理量为未知数的有限元代数方程 (4) 求解未知节点位移 可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。 (5) 计算其它物理量 在求得整个结构的位移之后，可以根据相应单元所 依据的的力学理论计算其它物理量，例如，一般弹性体 的应力和应变、梁的截面内力 (剪力、轴力、弯矩和扭 矩)、约束反力等。
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平面单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。 节点自由度为 T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。 轴对称单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。 节点自由度为 T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。 板壳元：三角形或四边形，变形包括两个面内位移，法向位移 及两个转角 (一般缺少绕法线转角)。 在单元坐标系中： 三个位移和二个转角 (Tx,Ty,Tz,Rx,Ry) 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3) 三维实体：四面体～六面体，三个方向的位移，无转角。 节点自由度为三个位移 (T1,T2,T3)，单元坐标系与总 体坐标系一致。
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结构分析时一些特殊单元 为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象，多数 CAE 软 件中都引入了一些特殊的单元，例如： 弹簧单元 - 模拟拉压或弯扭弹簧连接 阻尼单元 - 模拟阻尼器等结构件 质量单元 - 用于处理集中质量 接触单元 - 用于处理接触非线性问题 间隙单元 - 用于处理接触非线性问题 拉索单元 - 用于模拟只受拉不受压的线结构 各种连接单元 - 用于模拟结构件之间的不同连接方式，如 铰接、刚性连接等 刚体单元 - 将结构的某一部分处理为刚体，可减小计算模 型的规模 等
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有限元软件 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量 的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其 中最为著名的是由美国国家宇航局（NASA）在1965年委 托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN 有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个 版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析 系统之一。 此外，世界各地的研究机构和大学先后发展了一批专 用或通用有限元分析软件，几经组合、变幻，目前较著 名的有德国的 ASKA、英国的 PAFEC、法国的 SYSTUS、 美国的 ABAQUS、ANSYS、COSMOS、和 I-deas 等产品。
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(3) 增强可视化的前、后处理功能 随着数值分析方法的逐步完善和计算机运算速度的飞速 发展，用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和结果的 处理问题却日益突出。 在现在的工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元 模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时 有 80% 以上的精力都花在数据准备和结果分析上。 因此，强大的前、后处理功能既是广大用户对通用有限 元软件的需要，也是衡量有限元软件水平的重要标志。 目前几乎所有的商业化有限元软件系统都有功能很强的 前、后处理模块，使用户能以可视图形方式直观快速地进行 几何建模、网格自动划分，生成有限元分析所需数据，并按 要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图或相关 曲线，便于极值搜索和所需数据的列表输出。
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(1) 结构离散化 将连续体划分为若干小 “单元” 的集合。在相邻单 元的边界上应满足一定的连续条件。 单元内部的物理量可以用单元 “节点” 处的相关物 理量来表示。节点处的这些物理量统称为 "自由度"，其所 代表的实际物理量如：节点位移、转角、温度、热流、电 压、电流、磁通量、流速、流量等。单元节点的设置、自 由度性质、数目等应视问题的性质，所描述物理量的变化 形态的需要和计算精度而定。 然后，将各单元的节点物理量按一定方式组合到一起 以代表整个结构。这样处理后，整个结构上的微分方程可 以用以有限个节点上的物理量为未知数的代数方程来表示。 用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划 分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情 况相符合。
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(2) 二维单元
a. 平面单元 (平面问题，轴对称问题) ，以 Tx 为例 三节点三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y 三个未知数可以由三个节点的 Tx 表示； 6 节点三角元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 6 个未知数可以由 6 个节点的 Tx 表示； 4 节点四边形元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy 4 个未知数可以由 4 个节点的 Tx 表示； 8 节点四边形元： Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2 + a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3) 8 个未知数可以由 8 个节点的 Tx 表示；
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2006 年 2 月 第 1 页
有限元的基本概念
一 概述 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的 一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域 飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析 方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体 力学等连续性问题。 有限元法分析计算的基本思想 (以结构位移法为例) (1) 结构离散化 (2) 单元特性分析 选择位移模式 分析单元的力学性质 计算等效节点力 (3) 单元组集 (4) 求解未知节点位移 (5) 计算其它物理量 (结果恢复)
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(2) 单元特性分析 单元特性包括：单元中节点的个数及位置， 相关物理量在单元中的分布函数等。 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点 数目、位置及其含义等，找出单元节点自由度 和单元内部物理量变化的关系式，这是单元分 析中的关键一步。 此时需要应用相关的力学理论的几何和物 理方程来建立相应的方程式，从而导出所需的 单元矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。对 于结构分析，主要是应变-位移关系、应力-应 变关系、应变能方程等。
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(4) 与CAD软件的无缝集成 当今有限元软件系统的另一个特点是与通用CAD软件的 集成使用， 即：在用CAD软件完成部件和零件的几何造型 设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结 果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止， 从而极大地提高了设计水平和效率。 当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的CAD 软件 (例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、 SolidWorks、I-DEAS、Bentley 和 AutoCAD等) 的接口。 (5) 与其它计算方法的结合 最典型的就是与差分方法结合的 (时间) 瞬态分析， 即时间采用差分，其它用有限元。 此外，新近出现的将有限元方法与边界元方法、能量 统计方法等结合处理振动噪声问题 (法国 T-System 公司) 等。这也是今后多学科交叉分析的发展方向之一。