中考数学中的存在性问题

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2024年九年级数学中考专题：二次函数等腰三角形存在性问题两圆一线课件

C
二、两圆一线画法
尺规作图
二、两圆一线画法（尺规作图）
1、探究实验：以线段AB为边做一个等腰三角形？ 2、作图：如图，在平面直角坐标系找一点P，使得ΔABP为
等腰三角形，则满足要求的点P 有几个？
三、例题解析
二次函数等腰三角形存在性问题 -----两圆一线
三、例题解析
如图,抛物线与x轴交于A. B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=−0.5 (1)求抛物线的解析式； (2)M是坐标轴上任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M圆一线
目录
CONTENTS
一、等腰三角形二、两圆一线画法三、例题解析四、方法归纳
一、等腰三角形
一、等腰三角形
等腰三角形定义：
有两条边相等的三角形为等腰三角形，相等的两条边叫做腰
如图：ΔABC,AB=AC, 则ΔABC为等腰三角形
A
B
做题技巧
1、做题工具：圆规，直尺
2、做题方法：两圆一线
3、做题思想：数形结合，分类讨论
谢谢
轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标
2.如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
四、方法归纳
四、方法归纳
2、分类讨论
4、写结果
1、先作图
3、计算点的坐标
五、学以致用
五、学以致用
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，4.5）（1）求抛物线的函数关系式；（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称

中考数学专题：直角三角形存在性问题

坐标为
3 2
,
0
．
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~
【小结】几何法：（1）“两线一圆”作出点；
（2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数．
代数法：（1）表示点 A、B 、C 坐标；（2）表示线段 AB 、AC、BC；（3）分类讨论 ①AB²+AC²=BC²、②AB ²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；（4）代入列方程，求解．
垂线，长度必为 1，故 P 的纵坐标为±1．如下图，不难求出 P 点坐标．
设
P
点坐标为
m,
1 2
m2
m
3 2
，
可得： 1 m2 m 3 1 ．
2
2
解得： m1 1 2 ， m2 1 2 ， m3 1 6 ， m4 1 6 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 1 2,1 、 1 2, 1 、 1 6,1 ．
2
2
若
1 2
m2
m
3 2
m
1 ，解得： m1
5 ， m2 5 （舍）．
若
1 2
m2
m
3 2
m
1 ，解得：
m1
2
5 ， m2 2
5 （舍）．
如下图，对应 P 点坐标分别为 5,1 5 、 2 5,1 5 ．
y
D AO
C
M Bx
P
y
D O
A
P
Q
C Bx
Q
N
对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目！也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键．其实只要再明确一点，构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可．

存在性问题的解答技巧

存在性问题的解答技巧
存在性问题是指判断满足某种条件的事物或事件是否存在的问题，此类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。

按照历年中考数学试题来看，存在性问题一般可以分为两类：肯定型和否定型。

解决存在性问题一般套路：假设存在→推理论证→得出结论。

简单地说就是若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

具体来说，我们可以归纳出三种解决存在性问题的解题策略:
1、直接求解法
就是直接从已知条件入手,逐步试探,求出满足条件的对象,使问题得到解决的解法。

2、假设求解法
先假设结论存在,再从已知条件和定义,定理,公理出发,进行演绎推理,若得到和题意相容的结论,则假设成立,结论也存在;否则,假设不成立,结论不存在。

3、反证法
反证法是证明否定型存在性问题的主要方法,特别是在无限个候选对象中,证明某种数学对象不存在时,逐一淘汰的方法几乎不能实行,更需要使用反证法。

一定要记住一点：解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题。

存在性问题本质上是指判断满足某种条件的事物或事件是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高。

不同的存在性问题解法不同，如按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)等。

202X年中考数学复习存在性问题系列菱形的存在性问题专题探究

千里之行，始于足下。

202X年中考数学复习存在性问题系列菱形的存在性问题专题探究202X年中考数学复习存在性问题系列——菱形的存在性问题专题探究一、引言菱形是中学数学中常见的一种图形，是四边形的一种特殊状况。

在几何学中，我们通常将具有相等对角线长度的四边形称为菱形。

然而，在菱形的定义和性质方面，中同学往往存在一些常见的错误和迷思。

本文将通过对菱形的存在性问题进行专题探究，分析常见的错误观念，并提出正确的解决方法，以挂念同学正确生疏菱形的存在性问题。

二、错误观念分析1. 菱形必需是正方形这是一个常见的错误观念。

很多同学认为只有四边形的四个内角都是直角时，才能称之为菱形。

然而，这种理解是不正确的。

事实上，菱形只需要满足对角线相等即可，对角线之间的夹角并没有限制。

2. 任意平行四边形都可以称为菱形这也是一个常见的错误观念。

很多同学认为只要四边形的对边平行且对角线相等，就可以称其为菱形。

然而，这种理解也是不正确的。

事实上，菱形是一种特殊的四边形，除了要满足对角线相等外，还必需满足两对相邻边相等。

三、正确解决方法第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

1. 基本定义菱形的定义是：两对对角线相等的四边形称为菱形。

这是菱形存在的基本条件，也是区分菱形和其他四边形的关键特征。

2. 避开混淆同学在解决菱形存在性问题时，需要避开将菱形和其他外形混淆。

例如，正方形和菱形是两个不同的概念，虽然正方形也是一种菱形，但并不是全部的菱形都必需是正方形。

3. 留意推断在推断一个四边形是否为菱形时，可以通过测量四条边的长度和对角线的长度来进行推断。

假如对角线的长度相等，并且两对相邻边的长度也相等，那么这个四边形就是一个菱形。

否则，它就不是菱形。

四、进一步探究1. 菱形的性质菱形具有一些特殊的性质，同学可以通过进一步的探究来加深对菱形的生疏。

例如，菱形的内角和为360度，对角线的交点可以将菱形划分为四个全等的三角形等等。

2. 利用菱形解决问题千里之行，始于足下。

2023年中考数学总复习专题09二次函数与正方形存在性问题(学生版)

（全国通用）专题09二次函数与正方形存在性问题二次函数与正方形存在性问题1.作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．2.对于二次函数与正方形的存在性问题，常见的处理思路有：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．3.示例：在平面直角坐标系中，已知A、B的坐标，在平面中求C、D使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．【例1】（2022•齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【例2】．（2022•扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．【例3】（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y 轴上时，请直接写出点G的坐标．【例4】（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．1．（2020•乐平市一模）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．（1）当抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则a＝；当抛物线y＝+k是美丽抛物线时，则k ＝；（2）若抛物线y＝ax2+k是美丽抛物线时，则请直接写出a，k的数量关系；（3）若y＝a（x﹣h）2+k是美丽抛物线时，（2）a，k的数量关系成立吗？为什么？（4）系列美丽抛物线y n＝a n（x﹣n）2+k n（n为小于7的正整数）顶点在直线y＝x上，且它们中恰有两条美丽抛物线内接正方形面积比为1：16．求它们二次项系数之和．2．（2016秋•西城区校级期中）我们规定：在正方形ABCD中，以正方形的一个顶点A为顶点，且过对角顶点C的抛物线，称为这个正方形的以A为顶点的对角抛物线．（1）在平面直角坐标系xOy中，点在轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．①如图1，正方形OABC的边长为2，求以O为顶点的对角抛物线；②如图2，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为a，其以O为顶点的对角抛物线的解析式为y＝x2，求a的值；（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，且点A的坐标为（3，2），正方形的四条对角抛物线在正方形ABCD内分别交于点M、P、N、Q，直接写出四边形MPNQ的形状和四边形MPNQ的对角线的交点坐标．3．（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．4．（2022•临潼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（1，﹣）两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．5．（2022•松阳县一模）如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，D，C三点，已知点A（4，0），点C（0，4）．若该抛物线与正方形OABC交于点G且CG：GB＝3：1．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）若线段OA，OC上分别存在点E，F，使EF⊥FG．已知OE＝m，OF＝t①当t为何值时，m有最大值？最大值是多少？②若点E与点R关于直线FG对称，点R与点Q关于直线OB对称．问是否存在t，使点Q恰好落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．6．（2022•香坊区校级开学）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，四边形OABC是正方形，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，OA＝18．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D是OA的中点，经过点D的直线交AB于点E、交y轴于点F，连接BD，若∠EDA＝2∠ABD，求直线DE的解析式；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在OD上，连接GC、GE，点P在AB右侧的抛物线上，点Q为BP中点，连接DQ，过点B作BH⊥BP，交直线DP于点H，连接CH、GH，若GC＝GE，DQ＝PQ，求△CGH的周长．7．（2021•咸丰县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求抛物线的解析式；（2）当点Q与点M重合时，求m的值；（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．8．（2021•云南模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，且经过点D（5，6）．（1）求抛物线的解析式及点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在点P，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AD下方，作正方形ADEF，并将沿对称轴平移|t|个单位长度（规定向上平移时t为正，向下平移时t为负，不平移时t为0），若平移后的抛物线与正方形ADEF（包括正方形的内部和边）有公共点，求t的取值范围．9．（2019秋•温州校级月考）如图1所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB为邻边建立正方形OACB，抛物线y ＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，假设A、B两点运动的时间为t秒．（1）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使得S△BCD＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP＝，CP＝，∠OP A ＝135°，直接写出此时AP的长度．10．（2021•峨眉山市模拟）如图，已知直线y＝与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另一个交点为E．（1）求抛物线的解析式；（2）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止，设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．11．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE＝S△MAE，求点D的坐标；（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为，当m＝时，有最小值．12．（2021•社旗县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过（1，0），（3，0），（0，6）三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．（1）求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，①当点C首次落在抛物线上，求h的值．②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．13．（2021•越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+，以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分．请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围．14．（2020秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．15．（2020•雁塔区校级一模）如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．16．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．17．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．（1）求A、B两点的坐标；（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．18．（2021•龙马潭区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）和B（4，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P为直线BC下方抛物线上一动点（不与点B、C重合），PM⊥BC于点M，PD⊥AB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？（3）点P在第四象限的抛物线上移动，以PC为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标．19．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点P，Q的相关矩形“．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（2，5），求点A，B的“相关矩形”的周长；②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线y＝x2+mx+n经过点A和点C，求抛物线y＝x2+mx+n与y轴的交点D的坐标；（2）⊙O的半径为4，点E是直线y＝3上的从左向右的一个动点．若在⊙O上存在一点F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左侧），在线段AB上取两点M、N（点M不与点A重合），点M、N关于这条抛物线的对称轴对称，点M在点N的左侧，分别过点M、N作x轴的垂线交抛物线于点P、Q，我们称这样的四边形MPQN为这条抛物线的“抛物线矩形．”（1）若抛物线y＝2（x+1）（x﹣3）的抛物线矩形MPQN的顶点M的坐标为（0，0），则点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为．（2）当抛物线y＝﹣x2+bx的抛物线矩形MPQN为正方形时，若点M的坐标为（﹣2，0），求b的值．（3）设抛物线y＝x2+4x﹣6的抛物线矩形MPQN的周长为C．点M的横坐标为m，求C与m之间的函数关系式．（4）将抛物线y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的抛物线矩形MPQN绕点P顺时针或逆时针旋转90°后，边MN恰好落在y轴上，若MN＝2，直接写出a的值．21．（2022•抚顺县一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于点A （1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；（2）求△BCD的面积；（3）点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022•新化县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．23．（2022•宜兴市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+c（b＞0，c＞0）图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C．点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形．（1）如图2，若CD∥x轴．①求证：b2＝4c；②若▱ABOD是矩形，求二次函数的解析式；（2）当b＝2时，▱ABOD能否成为正方形，请通过计算说明理由．24．（2022•于洪区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象交y轴于点D，直线AB与之相交，且A（1，﹣）是抛物线y＝x2+bx+c的顶点．（1）b＝，c＝；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足BP∥AD，抛物线交x轴于点C，连接PC．①求直线PB的解析式；②求PC的长；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．。

中考数学专题复习——存在性问题

（）如图（），当点自向，点自向移动时，连接与，请你写出与的位置关系，并说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图（），当、分别移动到边、的延长线上时，连接与，（）中的结论还成立吗？（直接回答“是” 或“否”，不需要证明）
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图当、分别在、的延长线上移动时，连接与，（）中的结论还成立吗？请你说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图，当、分别在边、上移动时，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动，请你画出点的运动路径草图.若，试求出线段的最小值.
小结
说说看：你有哪些收获？
.动态问题通常要设想整个运动过程，找到并记下每一个特殊的位置；
.注意考察图形运动经过的某些特殊点，图形变化而成的特殊形状；
A'
活动一：我自信，我能行
.如图，矩形中，点在边上，将矩形沿直线翻折，点恰好落在边上的点处. 若，，则的长为.
A
D
E
BF
C
活动一：我自信，我能行
、如图，正方形的边长为，点在边上
且超越自我
正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在直线、上运动.
.把整个运动过程分解成若干个小过程，逐一考察，最后再综合考虑。
我们一直在努力，我们会一直努力！
活动一：我自信，我能行
．如图，将周长为的△沿平移一个单位得到△，则四边形的周长为( )
．
A
D
B
E
C
F
活动一：我自信，我能行
如图，一块含有角的直角三角形，在水平桌面上饶点按顺时针方向旋转到’’’的位置.若的长为，那么丁点从开始到结束经过的路径长为( )

二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题

考向3.9 二次函数-存在性问题例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数333y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数233y x bx c =++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于33y x =：当x =0时，3y = 当y =0时，3303x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-23y bx c ++得： 33+3+=03b c c ⎧⎪⎨=-⎪⎩解得，233b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：23233y =-（2）抛物线的对称轴为直线23312323b x a -=-=-=⨯故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上，当x =1时，232343113=333y =⨯-⨯--∴Q （1，433-）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴，∴令3y =23233=3y解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)；若点Q 在点P 的左侧，如图，同理可得，Q （-1，0）综上所述，Q 点坐标为（1，433-）或(3，0)或（-1，0）1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论；2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等；3、本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．同时注意用分类讨论思想解决问题。

存在性问题

存在性问题是探索型问题中的一种典型性问题．存在性
问题探索的方向是明确的．探索的结果有两种：一种是存在：另一种是不存在．直接求解法就是直接从已知条件入手，逐步试探，求出满足条件的对象，使问题得到解决的解法。
2、假设求解法先假设结论存在，再从已知条件和定义，定理，公理出
存在性问题
存在性问题是试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类问题大多以函数图象为载体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽象，涉及面较广，技巧性和综合性也较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力、灵活运用能力和分析问题的能力要求又高，所以一直是各地中考数学试题的压轴型题目常见题型。
（3）讨论型存在性问题将问题看成求解题，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决讨论型存在性问题的主要方法。另外，先猜出对象可能存在或不存在，从而将讨论型存在性问题转化为肯定型或否定型处理，是解决讨论型存在性问题的又一重要方法。
2、定量分类
（1）数值存在性问题（2）定值存在性问题（3）极值存在性问题（4）点存在性问题（5）直线存在性问题（6）三角形存在性问题（7）平行四边形存在性问题（8）圆存在性问题（9）时间存在性问题（10）位置存在性问题（11）变化存在性问题（12）关联存在性问题
一、存在性问题的内涵
所谓存在性问题是指根据题目所给的条件，探究是否存在符合要求的结论．存在性问题可抽象为“已知事项M，是否存在具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若要说明Q不存在，可先假设存在Q，然后由此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q的存在。此类问题的叙述一般是“是否存在……，如果存在，请求出……（或请证明）；如果不存在，请说明理由．”

中考数学存在性问题

存在性问题1.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．4.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC 的面积等于27，试求m的值.的图象交于点A，且与x轴交于点B．如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=x3（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．5.答案：1. （1）由题意，可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点，∴2(02)10a -+=， 14a =-． ∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+214x x =-+．（2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOBAOB S S =△△且，∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2134x x -=-+，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-． ∴满足条件的点有两个：1(63)M -，，2(23)M --，．（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO AB =，AOB ABO ∠=∠．如图，若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，． ∴直线ON 的解析式为12y x =-．由21124x x x -=-+，得10x =，26x =∴ (63)N -，．过N 作NE x ⊥轴，垂足为E ．在Rt BEN△中，2BE =，3NE=，∴NB ==．又OB =4，∴NB OB ≠，BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似．2. 解答：解：（1）∵OB=OC=3，∴B （3，0），C （0，3）∴⎩⎨⎧=++-=c cb 3390，解得⎩⎨⎧==32c b ∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；（2）∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴M （1，4）设直线MB 的解析式为y=kx+n ，则有⎩⎨⎧+=+=n k nk 304解得⎩⎨⎧=-=62c k ∴直线MB 的解析式为y=-2x+6∵PD ⊥x 轴，OD=m ，∴点P 的坐标为（m ，-2m+6） S 三角形PCD =21×（-2m+6）•m=-m 2+3m （1≤m≤3）；（3）∵若∠PDC 是直角，则点C 在x 轴上，由函数图象可知点C 在y 轴的正半轴上，∴∠PDC≠90°，在△PCD 中，当∠DPC=90°时，当CP ∥AB 时，∵PD ⊥AB ，∴CP ⊥PD ，∴PD=OC=3，∴P 点纵坐标为：3，代入y=-2x+6，∴x=23，此时P （23，3）．∴线段BM 上存在点P （23，3）使 △PCD 为直角三角形．当∠P′CD′=90°时，△COD′∽△D′CP′，此时CD′2=CO•P′D′，即9+m 2=3（-2m+6），∴m 2+6m-9=0，（1） 3. 解：分别把A （1，0）、B （3，0）两点坐标代入y=x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，解之得：b=-4，c=3，∴抛物线的对称轴为：直线x=2；4. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝=∴m 2－4m ＋3=0 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 .∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m ∴解得m=－7 .。

2024年九年级中考数学专题课件- ：二次函数平行四边形存在性问题

3.如图,抛物线
与x轴交于点A、
B 两点，抛物线的对称轴为直线x=1,
(1)求m的值及抛物线的解析式；
(2)过A的直线与抛物线的另一交点C的横坐标为2. 直线AC的解析式；
3.如图,抛物线
与x轴交于点A、
B 两点，抛物线的对称轴为直线x=1,
(3)点Q是抛物线上的一个动点, 在x轴上是否存在点F ,使得以点A、C、F、Q为顶点四
四、方法归纳
四、方法归纳二次函数平行四边形存在性问题做题技巧
0 1 写坐标：写出已知坐标，设未知坐标 0 2 通用方法：对角线分类讨论
中点坐标公式：
0 3 若平行四边形一边在坐标轴上或平行于坐标轴，分两种情况：1、AB为边 2、AB为对角线
0 4 写坐标
五、学以致用
五、学以致用
1.如图,抛物线
与x轴相交于A、B两点，顶点为P.
(1)求点A、B的坐标；
(2)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边
形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标。
2.已知抛物线L：y=-x2+bx+c经过点O(0,0)、A(4,0)，L关于 x轴对称的抛物线为L′，点B的坐标为（0,8）. （1）求抛物线L和L′的函数表达式。（2）点M在抛物线L的对称轴上，点P在抛物线L′上，是否存在这样的点M与点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
中考专题：二次函数平行四边形存在性问题
五
三
一
学四例二平
目
以致用
方法归
题解析
纳
中点坐标公式
行四边形性质

中考数学各类计算题型：二次函数存在性问题(平行四边形)

中考数学| 各类计算题型二次函数存在性问题：平行四边形【一】已知抛物线y=−mx2+4x+2m与x轴交于点A,B 与y轴交点C(0,2).(1)抛物线的解析式。

(2)抛物线的对称轴为l，顶点为D，点C关于直线l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小?若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。

(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D. E. P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标。

【二】如图，抛物线y= -x2+2x+n经过点M（-1，0）顶点为C.（1）求点C的坐标；（2）设直线y=2x与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧）.①在抛物线的对称轴上是否存在点G，使∠AGC=∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；②点P在直线y=2x上，点Q在抛物线上，当以O、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.【三】已知抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）经过点A （-3，-7），B（3.5），顶点为E，抛物线的对称轴与直线AB交于C。

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式（2）在抛物线上两点AE之间的部分（不包含A，E 两点），是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCE？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标。

【四】如图,直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A. B两点,抛物线y=1/3x2+bx+c经过A. B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)点M在抛物线上,连接MB,当∠MBA+∠CBO=45∘时，求点M的坐标；(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C. D. P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由。

中考数学复习考点知识讲解与练习27 二次函数-存在性问题

中考数学复习考点知识讲解与练习专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。

存在性的问题有点、面、线段、图形的存在等等。

解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。

1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．2．如图,二次函数 2 2y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ．()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在23ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0，4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．（1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）．（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；11．如图，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO平分∠BAC；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P使得AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；（2）（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式；（2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出AB 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点．（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数22y x 2mx m 1=-+-.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．24．如图，二次函数214y x bx c =-++的图象经过点()4,0A ，()4,4B --，且与y 轴交于点C ．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．25．如图，二次函数24y ax x c =-+的图象经过坐标原点，与x 轴交于点()4,0A -．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P ，满足6AOP S =，试求出点P 的坐标．26．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()2,0且与直线334y x =-+相交于B 、C 两点，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上．()1求二次函数的解析式．()2如果(),P x y 是线段BC 上的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． ()3是否存在这样的点P ，使PO AO =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知二次函数y ＝﹣x 2+x +m ．（1）如图，二次函数的图象过点A （3，0），与y 轴交于点B ，求直线AB 和二次函数图象的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与A ，B 两点重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点D ，是否存在一点P 使线段PD 的长有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29．下图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．()1求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；()2在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； ()3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．30．如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B ．(1)求m 的值与一次函数的解析式；(2)抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．31．二次函数2y ax bx c =++过()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴正半轴交于C ，OC OB =（1）求二次函数解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在点D ，使得三角形ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出D 坐标，若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上有点P ，作PQ BC ⊥于点Q ，求PQ 最大值．32．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.33．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．34．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)，(1)求该函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由．。

中考数学一轮复习一次函数专题复习---一次函数存在性问题之—次函数存在性之等腰三角形(无答案)

鲁教版2023-2024一次函数专题复习---一次函数存在性问题之—次函数存在性之等腰三角形知识点精讲1．存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果. 2．存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解.④结果验证．3．不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．两个定点一动点构成等腰三角形的策略方法一①首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点．（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况），先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（标横表纵），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程．解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意)．方法二①(两圆一线）或（两圆一垂）当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点，若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在，②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在，用以上方法即可找出所有符合条件的点．特殊①y＝x＋b与x轴所夹的锐角为45°；②y＝±3x＋b与x轴所夹的锐角为60°；③y＝±33x＋b与x轴所夹的锐角为30°.注意：函数与坐标轴夹角为特殊角要进行简单的过程书写，不可以直接用．函数是一个工具，将几何与函数有机的结合，特殊三角形角的边长关系：30°，60°，90°的直角三角形比例为1：2：3．120°的等腰三角形比例为1：1：3．45°，45°，90°比例为1：1：2．1. 如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB=3, BC=5．点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．(1)求折痕AE所在直线的函数解析式；(2)若把翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m个单位，连结OF，若△OAF是等腰三角形，求m的值2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90°得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上时，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．（1）求证：BOC ≌CED ；（2）求经过 A 、B 两点的一次函数表达式及点D 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标．（不用写过程）ABQ ABP S S =时，求出发，以每秒1个单位的速度沿直线于点N ．在运动过程中，使得AMN 为等腰三角形？4如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B．与直线y＝x相交于点A．（1）求A点坐标；（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数12y x 的图象交于点A．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若动点M在线段AC上运动，当OMC的面积是OAC的面积的12时，求出此时点M的坐标．（3）在y轴上是否存在点N，使NAC为等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．6．如图1，平面直角坐标系中，过A（，3）作AC∥x轴，交y轴于C，交直线OB于点B，已知∠BOC＝30°．（1）求直线OB解析式；（2）F为线段OC上一动点，连接AF，求AF+FO的最小值及此时F点坐标；（3）如图2，在（2）条件下，当AF+FO取得最小值时，将△CF A绕C顺时针旋转60°得到△CF'A'，过点F′作CF′的垂线与直线AC交于点Q，此时有一点D（2，4），请问在y轴上是否存在点S，使得以D，S，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出S的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为2，点P为y轴上的一个动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）连接CP，当△ACP与△AOB的面积相等时，求点P的坐标；（3）连接BP，是否存在点P使得△P AB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）直接写出点C的坐标，并求出直线AC的函数关系式；（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，直接写出△AOP的面积；（4）若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点C，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标．9综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，AC平分∠OAB．（1）求点A、B的坐标；（2）求线段BC的长；（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得△ABD是以AB为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．10.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．（1）求直线CD的解析式；（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成2：1的两部分，请求点G的坐标；（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P 的坐标．。

中考数学存在性问题的解题策略

中考数学存在性问题的解题策略摘要：现今不仅是高考对考生很重要，更多的家长认为走进一所好的高中就有一只脚踏进了名牌大学的校门。

“存在性”问题是中考试题中最容易丢分的题型，本文简要分析中考数学存在性问题的解题策略。

关键词：存在性问题解题分析一、“存在性”问题“存在性”问题是指判断满足某种条件的某种事物是否存在的问题。

应对这种问题要求学生的知识覆盖面广，综合分析能力强，对整个知识的结构体系熟悉，解题的方法要灵活。

常见的解此类题的思路为：假设其存在→根据存在性推理论证→得出结论→是否与假设相符合→结论存在（看是否违背公理和定理），根据此思路具体做出判断，我们知道“存在性”问题的结论有两种可能，所以开放性强，我们需要假设存在后对其进行推理或者计算，所以对学生的基本能力要求较高，并且具备较强的探索性。

二、举例分析现在我们就以举例的方式来解析。

（2）首先分析其与x轴有两个交点，x1，x2的倒数和为2/3，根据这个可以得出一个式子。

那么我们知道此二次函数与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根。

那么此题就很容易得出答案了。

例2：已知x1、x2是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的两个实数根，且x1/x2=m/n（m≠0，n≠0）（1）试用m和n表示b²/ac的式子；（2）是否存在实数m和n，满足x1/x2=m/n，使b²/ac=6/5成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，说明理由。

分析：这个题目存在两个可能性：即存在和不存在。

那么对于此类问题我们一般假设其存在（当然你也可以假设不存在，这样假设不好证明），然后根据已知的条件和有关的性质推理，求解；最后根据推理的过程得出结论。

若其与已知条件相符合，那么就说明假设存在，结论成立。

若地已知条件不相符合就说明结论不成立。

此题通过韦达定理得a、b、c、m、n的关系式，然后在假设已知的条件成立，写出关于m、n为根的一元二次方程。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。

1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。

1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。

已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。

过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。

1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。

若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。

1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。

中考数学第二轮专题复习第41课存在性问题、定值问题(含答案)

∴MC的解析式为：y＝－x－3，令y＝0，则x＝－3，
∴E点坐标为(－3，0)，
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，
∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，设P(x，－x－3)，
(1)证明：如图1中， ∵AE∥DF，AD∥EF，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABOC是正方形， ∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°， ∵E，D分别是OC，OB的中点， ∴CE＝BD， ∴△CAE≌△ABD(SAS)， ∴AE＝AD， ∴四边形AEFD是菱形．
(2)解：如图1中，连接DE. ∵S△SE△ODA＝DB＝12 S×△4A×CE＝4＝12 8×，8×4＝16， ∴S△AED＝S正方形ABOC－2S△ABD－S△EOD＝64－2×16－8＝24， ∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48.
y y
2x 2 2x2 8x
6
，
解得：
x1 y1
10，
x2 y2
4 6
，
∴S△ABD＝
1 2
×2×6＝6，
设点E(m，2m－2)，
∵直线BE将△ABD的面积分为1∶2两部分，
∴ ∴S1△×ABE2＝×(132mS△－AB2D)＝＝22或或S1△×ABE2＝×23(2mS△－AB2D)＝＝44，，
(2)∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，
∴顶点M的坐标为(2，－2)，
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N(2，2)，
设直线AN解析式为：y＝kx＋b，
由题意可得
0 2
k b 2k b
，解得：bk
2 2
，
∴直线AN解析式为：y＝2x－2，
联立方程组得：点D(4，6)，

2024年中考数学二次函数压轴题专题12菱形的存在性问题(学生版)

专题12菱形的存在性问题_、知识导航作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)四边都相等的四边形是菱形.坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直"或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCQ是菱形，则其4个点坐标需满足：工人++X D<Zi+%=%+为W a-乌尸+(为-％尸=j(Xc-乌尸+(%-无尸考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.即才艮据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：(1)2个定点+1个半动点+1个全动点(2)1个定点+3个半动点解决问题的方法也可有如下两种：思路1:先平四，再菱形设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+O8+Q”(AC、BQ为对角线)，再结合一组邻边相等，得到方程组.思路2:先等腰，再菱形在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.1.看个例子：如图，在坐标系中，A点坐标（1,1）,B点坐标为（5,4）,点。

在尤轴上，点。

在平面中，求。

点坐标，使得以A、B、C＞。

为顶点的四边形是菱形.2BA思路1：先平四，再菱形设。

点坐标为（秫，0）,。

点坐标为（p,q）.（1）当AB为对角线时，由题意得：（AB和CQ互相平分及AC=BC）l+5=m+p<1+4=0+q,解得: (m-1)2+(0-1)2=(m-5)2+(0-4)239 m=一89 p=-8 g=5（2）当AC对角线时，由题意得：（AC和BD互相平分及BA=BC）1+秫=5+p m=2fm=8l+0=4+g,解得：<Q=-2或<p=4(1-5)2+(1—4)2=(秫—5)2+(0—4)2q=—3q=—3（3）当AD为对角线时，由题意得：1+p=5+m m=1+2^/^m=1-2^6 l+q=4+0,解得：L=5+2#<L=5-2^ (1-5)2+(1—4)2=(1—弑+(1—0)2q=3q—3思路2:先等腰，再菱形先求点G点C满足由A、B、。