课时作业6

课时作业(六) 函数的奇偶性及周期性
A 级
1．(2012·广东卷)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x
D ．y ＝ln x 2＋1
2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－5
2＝( ) A ．－1
2
B ．－1
4
C.14
D.12
3．(2012·南昌模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数 B ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数
C ．对于任意的a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
D ．对于任意的a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
4．(2011·湖北卷)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )
A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )
C.12(e －x －e x )
D.12
(e x －e －x ) 5．(2011·陕西卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )
6．若函数f (x )＝
x
(2x ＋1)(x －a )
为奇函数，则a ＝________.
7．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧ 2x －3，
f (x )，
(x >0)(x <0)
是奇函数，则f (x )＝______.
8．定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图像如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．
9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (－1)<－1，f (2 014)＝2a －3
a ＋1，则实
数a 的取值范围是________．
10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．
11．已知函数f (x )＝x 2＋a
x (x ≠0)．
(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．
B 级
1．f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝( )
A ．－b ＋4
B ．－b ＋2
C ．b －4
D ．b ＋2
2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x
，则
①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.
其中所有正确命题的序号是________．
3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求f (0)的值；
(2)证明：函数f (x )是周期函数；
(3)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－1,1]时，函数f (x )的解析式． 详解答案
课时作业(六) A 级
1．D 由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数，C 项为非奇非偶函数，D 项为偶函数． 2．A 由题意得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫1
2 ＝－⎣⎡⎦⎤2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12
. 3．A 依次判断各选项，易知A 中当a ＝0时，函数为偶函数，故命题为真，而无论a 取何值，函数不可能是奇函数，故B 错，只有当a ≥0时函数在(0，＋∞)上为增函数，当a ＝1时，1∈R ，f (x )在(0，＋∞)上不是减函数，故C ，D 选项是错误的，故选A.
4．D ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，
∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －
x .
又∵f (x )＋g (x )＝e x
，∴g (x )＝e x －e －
x
2
.
5．B 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.
6．解析： (特值法)∵f (x )＝x
(2x ＋1)(x －a )
是奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)，
∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1
(2＋1)(1－a ). ∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.
答案： 1
2
7．解析： 令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3， ∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案： 2x ＋3
8．解析： 依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图像，如图所示，注意到y ＝f (x )的图像与直线y ＝x 的交点坐标是⎝⎛⎭⎫23，23和⎝⎛⎭⎫－23
，－2
3，结合图像可得
答案： ⎣
⎡⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫0，2
3 9．解析： f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数， f (－1)<－1⇔f (1)>1，f (2 014)＝f (1)＝2a －3
a ＋1，
∴2a －3a ＋1>1，解得a >4或a <－1. 答案： (－∞，－1)∪(4，＋∞) 10．解析： ∵f (x )的定义域为[－2,2]，
∴有⎩
⎪⎨⎪⎧
－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2
≤2， 解得－1≤m ≤ 3.①
又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，
∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②
综合①②可知，－1≤m <1.
11．解析： (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a
x (x ≠0，常数a ∈R )，
取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0； f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， ∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x .
任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1
x 1x 2，
所以f (x 1)<f (x 2)，
故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．
B 级
1．A ∵函数f (x )，g (x )均为奇函数， ∴f (a )＋f (－a )＝0，g (a )＋g (－a )＝0，
∴F (a )＋F (－a )＝3f (a )＋5g (a )＋2＋3f (－a )＋5g (－a )＋2＝4， ∴F (－a )＝4－F (a )＝4－b .
2．解析： 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )， 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1， f (x )＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫121＋x
，
函数y ＝f (x )的图像 如图所示：
当3<x <4时，－1<x －4<0，
f (x )＝f (x －4)＝⎝⎛⎭⎫12x －3
，因此②④正确． ③不正确． 答案： ①②④
3．解析： (1)由f (x )是定义在R 上的奇函数知f (－0)＝－f (0)， 即f (0)＝0.
(2)证明：由已知条件对于任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，且f (2－x )＝f (x )， f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝－f (－x )＝f (x )， 因此函数f (x )为周期函数，周期为4.
(3)当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x ，又f (0)＝0， 则当－1≤x ≤1时，f (x )＝x .。