数学分析第八章 不定积分
数学分析第八章《不定积分》试卷
数学分析第八章《不定积分》试卷
出卷人：张安 张红磊 彭江东 夏孟 段义友
学号： 班级： 姓名： 得分： 总分：100分
一⋅选择题 (每题5分 总分25分)
1）. 设3
()ln sin 44
f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
A. cot 4x
B. cot 4x -
C. 3cos 4x
D. 3cot 4x
2）. ln x
dx x =⎰（ ）。 A. 2
1ln 2x x C + B. 21ln 2x C +
C.
ln x C x + D. 221ln x
C x x
-+ 3). 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。
A. ()()f x dx f x '
⎡⎤=⎣⎦
⎰
B. ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦
⎰
C.
()()f x dx f x '=⎰ D. ()()df x f x =⎰
4). 下列凑微分式中（ ）是正确的。
A. 2sin 2(sin )xdx d x =
d = C. 1ln ()x dx d x
= D. 2
1arctan ()1xdx d x =+ 5). 若
2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A. 222(1)x C ++
B. 222(1)x C --+
C.
221(1)2x C ++ D. 221
(1)2
x C --+
二⋅判断题 (每题5分 总分5分)
1）. 设函数I x x f x F ∈='),()(，则有dx x f dx x f d
)()(=
⎰。 （ ）
三⋅填空题 (每题5分 总分20分)
1）. 如果x
《数学分析》第八章_不定积分
12 x 3 312 x 1 3 C .
12
12
.
例10 求1c1osxdx.
解 1c1osxdx1c1oxcs1o xcsoxsdx
11ccoo2sxsxdx1sicn2oxsxdx s1 i2n xd xs1 i2n xd(sx i)n
coxt 1 C. sin x
.
例11 求 si2nxco5x s d.x
解决方法 改变中间变量的设置方法.
过程 令 xsitn d xco td ,st
x5 1x2dx (st)i5n 1si2tn co tdst
si5ntco2tsd t （应用“凑微分”即可求出结果） .
定理2 设 x (t)是 单 调 的 、 可 导 的 函 数 ，
并且(t)0，又 设 f[(t) ](t)具 有 原 函 数 ，
解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .
.
例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (32x),
32x 232x
3
1 dx 2x
1 2312x(32x)dx
1 2
1du u
1lnuC 2
1ln3(2x)C. 2
一般地 f(axb)dxa1[f(u)du ]uaxb
则有换元公式
第八章不定积分《数学分析》教案.doc
第八章 不定积分
微分学中所研究问题的做法是从已知函数
()
f x 出发求其导数
()
f x '，即所谓的微分运
算。微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从已知的某一函数的导数
()
f x '出发求其本身
()
f x ，这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面
定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。最后研究几类初等函数的积分法。
§8.1 不定积分概念与基本积分公式
教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式
教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义． 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式． 教学建议：
(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表． (2) 适当扩充基本积分公式表． 教学过程：
一、原函数与不定积分 (一) 原函数
定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。若
)()(x f x F ='， I x ∈，
则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
如：331x 是2x 在R 上的一个原函数；x 2cos 21-， 12cos 2
1
+x ，
x 2sin ，x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。
问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？
问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。
数学分析第八章 不定积分
4)
4 (ex )' ex
5)
a
xdx
1 ln a
a
x
C
a 0, a 1
5 (ax )' ln a ax a 0, a 1
6) cos xdx sin x C
6 (sin x)' cos x
7) sin xdx cos x C 7 (cos x)' sin x
n
n
ki fi (x)dx ki fi (x)dx (6)
i 1
i 1
精品文档
例1. 设p(x) a0xn a1xn1 an1x an ,求 p(x)dx
解: p(x)dx
a0 xndx a1 xn1dx an1 xdx an dx
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a0 n 1
x n 1
a1 n
xn
an1 2
x2
an x C
精品文档
例2. 求
x4 1 1 x2 dx
解:
x4 1
x
1
2
dx
x
4
1
1 x2
2
dx
(x2
1)( x2 1 x2
1)
2
dx
(
x2
1
1
2 x
2
)dx
1 x3 x 2arctanx C 3
数学分析第八章不定积分
分曲线上横坐标相同的点处作切线 , 则这些切线
互相平行 .
在求原函数的具体问题中 , 往往先求出全体 原函数 , 然后 从 中 确 定一 个 满 足 条 件 F ( x0 ) =
图 8 -1
y0 ( 称为 初始条件 , 它由具体问题所规定 ) 的原函数 , 它就是积分曲线族中通过点 ( x0 , y0 ) 的那一条积分曲线 .例如 , 质点作匀加速直线运动时 , a( t ) = v′( t) = a , 则
∫ 10 . csc2 x d x = - cot x + C .
∫ 11 . sec x· tan x d x = sec x + C .
∫ 12 . csc x·cot x d x = - csc x + C .
∫ 13 .
dx 1 - x2 = arc sin x + C = - arccos x + C1 .
习题
1 . 验证下列等式 , 并与 ( 3) 、( 4 ) 两式相比照 :
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—
182
第八章 不 定 积 分
∫ ( 1 ) f′( x ) d x = f ( x ) + C;
∫ ( 2) d f ( x) = f ( x) + C .
2 . 求一曲线 y = f ( x ) , 使 得 在 曲 线 上 每 一 点 ( x , y ) 处 的 切 线 斜 率 为 2 x , 且 通 过 点
《数学分析》第八章 不定积分
d v F Asin t dt m m
( A cos t C) Asin t
m
m
得 v A cos t C ， 其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 m
v(0) 0
从而 得
0 v(0) A cos 0 C m
v A cos t A
m
m
C A， m
我们称这类由 f (x) 求 f (x) 的运算为积分法
运算那样，知道了 f (x) 导数反过来就能求出 f (x) ？比如知道了物体
的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？
例 1 一个静止的物体，其质量为 m 在力 F Asin t 的作用下沿
直线运动，求物体的运动速度。
解 由牛顿第二定理 a F Asin t 即 m
这就归结为已知 dv 求 v ， 由求导运算 dt
1 x2
1
1 x
2
dx
arctgx
C
这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。 2. 不定积分的基本性质: 以下设 f (x) 和 g (x) 有原函数.
⑴ f (x)dx f (x), d f (x)dx f (x)dx . (先积后导,
形式不变).
⑵ f (x)dx f (x) c, df (x) f (x) c . (先导后积, 多
第八章 不定积分
《数学分析》第8章 不定积分ppt课件
任意常数, 则 k1 f k2g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
例1 p( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an , 则
p( x)dx
a0 n
1
x n1
a1 n
xn
a n1 2
1 (102 x 102 x ) 2 x C. 2 ln10
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法
三、分部积分法
一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
s (t ) v0 dt v0 t C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t) v0(t t0) s0 .
四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C.
2. 1dx dx x C.
3.
xdx
x 1
1
C
(
1,
x
0).
4. 1xdx ln | x | C.
x)
dx
d(sec x tan x sec x tan x
)
数学分析教案(华东师大版)第八章不定积分
第八章不定积分
教学要求：
1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；
教学时数：18学时
§ 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点：深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算.
二、讲授新课：
（一）不定积分的定义:
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
(10)∫ dx=∫ dx=∫(csc2x-sec2x)dx=-cotx-tanx+C.
(11)∫10x·32xdx=∫90xdx= +C.
(12)∫ dx=∫ dx= +C.
(13)∫( + )dx=∫ dx=2arcsinx +C.
(14)∫(cosx+sinx)2dx=∫(1+sin2x)dx=∫dx+∫sin2xdx=x- cos2x+C.
例5：∫(10x-10-x)2dx=∫(100x+100-x-2)dx=∫100xdx+∫100-xdx-∫2dx
= + -2x+C= -2x+C.
习题
1、验证下列等式：
(1)∫f’(x)dx=f(x)+C；(2)∫df(x)=f(x)+C.
数学分析(第81节不定积分概念与基本积分公式)
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
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(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
5、若 f ( x)在某区间上______，则在该区间上 f ( x)的
原函数一定存在；
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6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
1 x2
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1
应该注意到： 尽管象 1 x2 这种形式简单的函数, 要求出它们的原函数也不是一件容易的事.因此, 如下问题要关注：
（1）满足何种条件的函数必定存在原函数? 如 果存在原函数,它是否惟一? （2）若已知某个函数的原函数存在,如何把它求 出来?
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定理1 (原函数存在性定理)若函数f ( x)在区间I上连续， 则在I上存在原函数，即存在可导函数F ( x)，使
数学分析第三版8-1不定积分的概念.pps
不定积分的定义
不定积分
不定积分是微分的逆运算，即求一个函数的原函数的过程。
举例
∫(x^2)dx=(1/3)x^3+C，其中C是积分常数。
不定积分的性质
线性性质
∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
积分常数性质
∫[k*f(x)]dx=k*∫f(x)dx，其中k是常数。
积分区间可加性
公式法
利用分部积分公式，将不定积分转化为两个 函数的乘积的不定积分。
部分分式法
将函数分解为若干部分，然后分别求不定积 分。
03
不定积分的几何意义
平面曲线的面积
总结词
不定积分表示平面曲线下的面积。
详细描述
不定积分是微积分中的一个基本概念，它表示平面曲线下的面积。对于给定的 函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx，它表示函数图像与x轴之间的面积。
在波动现象中，如声波、光波的传播，不定积分用于描述 波动方程，进而研究波的传播规律。
经济中的不定积分
成本收益分析
01
在经济学中，成本和收益往往与时间相关，不定积分用于计算
不同时间段内的总成本或总收益。
供需关系分析
02
通过不定积分，可以分析商品价格与供需量之间的动态关系，
预测市场变化趋势。
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数学分析 不定积分概念与基本积分公式
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
例 1 因为(sinx)cosx，所以 cos xdx sin x C 。
例 2 因为(x3) 3x2，所以 3x 2 dx x3 C 。
例 3 求函数 f (x) 1 的不定积分。 x
24
2
1 (cos4x cos2x) c 8
例5
(10x 10x )2 dx (102x 102x 2)dx
[(102 )x (102 )x 2]dx
1 (102x 102x ) 22 c 2 ln 10
例例 4
5
1
x (x 2 5)dx (x 2 5x 2 )dx
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx;
数学分析8.3有理函数可化为有理函数的不定积分
第八章 不定积分
3 有理函数可化为有理函数的不定积分
一、有理函数的不定积分
有理函数：由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为：
R(x)=)(Q )P(x x =n
1
-m 1m 0n
1-n 1n 0βx βx βαx αx α+⋯+++⋯++, 其中n,m 为非负整数，α0,α1,…αn 与β0,β1,…βn 都是常数，且α0β0≠0. 若m>n ，则称它为真分式；若m ≤n ，则称它为假分式.
注：1、假分式可化为整式与真分式的和；
2、真分式可表示为若干个部分分式之和(称为部分分式分解)；
3、分解部分分式的一般步骤：
第一步：对分母Q(x)在实系数内作标准分解：(分解前先化β0=1) Q(x)=(x-a 1)1
λ…(x-a s )s
λ(x 2+p 1+q 1)1
μ…(x 2+p t +q t )t
μ，其中
λi ,μj (i=1,2,…,s ；j=1,2,…,t)均为自然数，而且
∑=s
1
i i
λ
+2∑=t
1
j j μ=m ；p j 2-4q j <0, j=1,2,…,t.
第二步：根据分母各因式分别写出与之相应的部分分式。 对于每个形如(x-a)k 的因式，它所对应的部分分式是：
a -x A 1
+2
2a)-(x A +…+k k a)-(x A ；
对于每个形如(x 2+px+q)k 的因式，它所对应的部分分式是：
q px x C x B 211++++2222q)px (x C x B ++++…+k
2k
k q)
px (x C x B +++.
第三步：确定待定系数。将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，分子与原分子P(x)恒等。根据同幂项系数相等，可得一组关于待定系数的线性方程，方程组的解就是需要确定的系数。
数学分析8不定积分总练习题
第八章 不定积分
总练习题
求下列不定积分： (1)∫4
3x
1
x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫
x
1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ；
(5)∫x
e dx ；(6)∫1
x x dx
2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x
-x dx ； (9)∫
x cos dx 4；(10)∫sin 4
xdx ；(11)∫4
x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100
2
x)
-(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x -1x 1dx ；(18)∫x
sinx cos dx 7；(19)∫e x 2
2x 1x -1⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx ； (20)I n =∫
u
v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解.
解：(1)∫
4
3x 1
x 2x --dx=∫41x dx-2∫12
1x dx-∫4
1x
-
dx =5445x -13241213x -3
4
∫43
x +C.
(2)∫xarcsinxdx=-2
1
∫arcsinxd(1-x 2)=-2
1(1-x 2)arcsinx+2
1
∫(1-x 2)darcsinx
=-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21
∫t sin -12dsint
数学分析(华东师大版)上第八章
不定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的不定积分，可以分别对每个函数进行不定积分后再求 和或求差；不定积分也具有可加性，即对于函数f(x)在两个区间上的不定积分，其和等于函数在整体区间 上的不定积分；此外，不定积分还具有可乘性，即对于任意常数k，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
积分的方法
极限的性质
01
02
03
唯一性
若函数f(x)在某点或无穷 处的极限存在，则该极限 值是唯一的。
保号性
若函数f(x)在某点的极限 存在且该点的函数值大于 0，则该点的极限值也大 于0。
无穷小性质
若函数f(x)在某点的极限 为0，则在该点附近，f(x) 的值可以表示为无穷小量。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
转化为更容易处理的不定积分形式。
06
定积分
定积分的定义
积分下限
定积分是积分下限在积 分区间内的一个常数。
积分上限
定积分是积分上限在积 分区间内的一个常数。
被积函数
几何意义
定积分是被积函数在积 分区间内与积分上下限
围成的面积。
定积分的值等于由曲线、 直线和轴所围成的平面
图形面积。
定积分的性质
线性性质
03
导数与微分
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
不定积分
第八章 不定积分
微分学中所研究问题的做法是从已知函数
()
f x 出发求其导数
()
f x '，即所谓的微分运
算。微分运算的重要意义已经通过列举许多应用给予说明。但是我们也应该看到，许多实际问题不是要寻找某一函数的导数，而是恰恰相反，从已知的某一函数的导数
()
f x '出发求其本身
()
f x ，这便是所谓的积分运算。显然，积分运算是微分运算的逆运算。另外积分运算也为后面
定积分的运算奠定了基础。在这一章里将引入不定积分的概念，讨论换元积分法和分部积分法。最后研究几类初等函数的积分法。
§8.1 不定积分概念与基本积分公式
教学目标：掌握原函数的概念和基本积分公式
教学内容：原函数的概念；基本积分公式；不定积分的几何意义． 基本要求：熟练掌握原函数的概念和基本积分公式． 教学建议：
(1) 不定积分是以后各种积分计算的基础，要求熟记基本积分公式表． (2) 适当扩充基本积分公式表． 教学过程：
一、原函数与不定积分 (一) 原函数
定义1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义。若
)()(x f x F ='， I x ∈，
则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
如：331x 是2x 在R 上的一个原函数；x 2cos 21-， 12cos 2
1
+x ，
x 2sin ，x 2cos -等都有是x 2sin 在R 上的原函数——若函数)(x f 存在原函数，则其原函数不是唯一的。
问题1 )(x f 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？
问题2 若函数)(x f 的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。
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dt
mm
这归结为已知dv 求v, dt
由求导运算
( A cost c)' Asin t
m
m
得 v(t) A cost c m
c由初始时刻是静止的 (v(0) 0)确定
•一 原函数与不定积分 • (一)原函数概念
1 定义1 设函数 f与F在区间 I 上有定义,若
F (x)f(x), x I
f (x)dx F(x) C
其中C为任意常数
y y = F(x)+C1
y = F(x)+C2
y = F(x)+C3 y = F(x)+C4
0
x0
x
2. 不定积分的性质：
(1) ( f (x)dx)' f (x),先积后导正好还原 或d[ f (x)dx] f (x)dx,
(2) f '(x)dx f (x) C,先导后积需加上一个任常数
4) exdx ex C
5)
aBaidu Nhomakorabea
xdx
1 ln a
a
x
C
a 0, a 1
4 (ex )' ex
5 (ax )' ln a ax a 0, a 1
6) cos xdx sin x C
6 (sin x)' cos x
7) sin xdx cos x C 7 (cos x)' sin x
则称函数 F为函数 f 在区间 I 上的一个原函数。
如: (1 x3)' x2, x (,) 3
F(x) 1 x3是x2在(,)上一个原函数 3
再如 : x (,)时
( 1 cos 2x)' ( 1 cos 2x 1)' (sin 2 x)' sin 2x,
2
2
F (x) 1 cos 2x, 1 cos 2x 1,sin2 x是
2
2
sin 2x在(,)上一个原函数
问题： f在什么条件下存在原函数？存在时其个数? 若f存在原函数,如何求?
2 原函数存在定理
定理8.1若函数f 在区间I上连续,则f 在I上 存在原函数F,即 F '(x) f (x), x I.
•注1:初等函数在其定义域存在原函数. •注2:连续是原函数存在的充分而非必要条件
i 1
i 1
例1. 设p(x) a0xn a1xn1 an1x an ,求 p(x)dx
解: p(x)dx
a0 xndx a1 xn1dx an1 xdx an dx
a0 n 1
x n 1
a1 n
xn
an1 2
x2
an x C
例2. 求
x4 1 1 x2 dx
解:
为初等函数， f 的表达式能求出.
我们现在来研究第五章求导问题的逆问题。
问题：在已知 f 的表达式时，f 的表达式是
什么形式呢？
例1 一静止的物体,其质量为m,在力F Asin t
的作用下沿直线运动, 求物体的运动速度。
解:由牛顿第二定理a F Asin t , mm
即
dv a F Asin t
(二) 不定积分
1. 定义2：函数f (x)在区间I上的全体原函数, 称 为f 在I上的不定积分，记作
f (x)dx
(3)
积分号 被积函数 积分变量
注1. 符号 f (x)dx 是一个整体记号.
注2. 不定积分与原函数是总体与个体的关系。
设F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，习惯写成
2 线性运算法则
定理8.3 若函数f与g在区间I上存在原函数, k1, k2为 两个任意常数,则k1 f k2g在I上也存在原函数,且
[k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k2 g(x)dx (5)
注 线性运算法则的一般形式为
n
n
ki fi (x)dx ki fi (x)dx (6)
8) sec2 xdx tanx C
8 (tanx)' sec2 x
9) csc2 xdx cotx C 9 (cotx)' csc2 x
10)
dx arcsin x C 1 x2
10 (arcsin x)'
1 1 x2
11)
dx 1 x2
arctanx C
11
1 (arctanx)' 1 x2
3 原函数之间的关系 定理8.2 如果F是 f 在I上的一个原函数 ，则 (1) FC 也是 f 在I上的原函数，其中 C 是任意常数。 (2) f 在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数
结论: 若函数F为f 在区间I上的一个原函数,则 {F(x) c | c R}为f 在I上的原函数全体.
数学分析第八章 不定积分
第八章 不定积分
§1不定积分的概念与基本积分公式
在第五章我们研究了已知 f，如何求 f 的导数
f 的表达式，得到了一些计算法则，例如：
(f + g) = f + g ,
(f g) = f g + f g ,
(f []) = f []
这些计算方法加上基本初等函数的导数公式， 我们可以解决初等函数的求导问题，即是，若 f
或 df (x) f (x) C.
3 不定积分的几何意义
函数f(x)的原函数的图 形称为f(x)的积分曲线。
函数f(x)的积分曲线有 无限多条。函数f(x)的不定 积分表示f(x)的一簇积分曲 线，而f(x)正是积分曲线的 斜率。
2xdx x2 C
y
y=x2+C1 y=x2
C1 -1 O 1
x4 1
x
1
2
dx
x
4
1
1 x2
2
dx
(x2
1)( x2 1 x2
1)
2
dx
(
x2
1
1
2 x
2
)dx
1 x3 x 2arctanx C 3
例3. 求 (10x 10-x )2 dx
解: (10x 10-x )2 dx (102x 10-2x - 2)dx [(102 )x (10-2)x - 2]dx
1 (102x 102x ) 2x c 2 ln 10
例4. 求
c os2
1 x sin2
x
dx
解:
1 dx cos2 x sin2 x
y=x2+C2 y=x2+xC3
C2
C3
二. 基本积分公式
1 基本积分表 积分公式
导数公式
1) kdx kx C (k为常数)
1 (kx c)' k
2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
2 (x1)' ( 1)x
1
3) xdx ln | x | C
3 (ln x)' 1 x 0 x
(ln(x))' 1 x 0 x