《数学分析》第八章不定积分(1)

解
x x e x (1 2 sin cos ) 2 2 dx 原式 2 x 2 cos 2 1 x x x (e e tan )dx x 2 2 cos 2 2 x x x x x x [(e d (tan ) tan de ] d (e tan ) 2 2 2
I 内连续，那 原函数存在定理 如果函数 f ( x ) 在区间 么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ，使 x I ，都有
F ( x ) f ( x ) .
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x ) 在区间I 内的不定积分，记 为 f ( x )dx ．
cos xdx sin x C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
( 20)
(14) (15)
(16) (17)
(18)
shxdx chx C ch xdx shx C
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
1 arctan x[(`1 x 2 ) ln(1 x 2 ) x 2 3] 2 x x 2 ln(1 x ) C . 2 2
例7
求
dx . 10 x( 2 x )
解 原式
1 d ( x 10 ) x 9 dx 10 10 10 10 10 x ( 2 x ) x (2 x )
其中m 、n 都是非负整数； a 0 , a1 , , a n 及
b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a 0 0 ，b0 0 .
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
Adx A Adx C; 1. A ln x a C ; 2. n n 1 ( x a) (1 n)( x a ) xa Mx N M 3. 2 dx ln x 2 px q x px q 2
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
2 2u 1 u sin x cos x 2 1 u 1 u2
x 令 u tan 2
x 2 arctan u
2 dx du 2 1 u
2
2u 1 u 2 R(sin x , cos x )dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du
3 2 [ln( x 1 x 2 ) 5]2 C . 3
例4 求
x1 dx. 2 2 x x 1
1 解 令x , (倒代换) t 1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
1 1 2 2 2 (1 x ) ln(1 x ) x C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 arctan xd[ (`1 x ) ln(1 x ) x ] 2 2 1 [(`1 x 2 ) ln(1 x 2 ) x 2 ] arctan x 2 2 1 x [ln(1 x 2 ) ]dx 2 2 1 x
( k 是常数)
(7)
sin xdx cos x C
1 dx x 2 ( 8 ) sec xdx tan x C ( 2) x dx C ( 1) 2 cos x 1 dx dx ( 3) ln x C (9) 2 csc2 xdx cot x C x sin x
sec xdx ln(sec x tan x ) C
1 1 x dx arctan C a2 x 2 a a
1 1 xa ( 21) 2 dx ln C 2 x a 2a x a 1 1 a x ( 22) 2 dx ln C 2 a x 2a a x
f ( x )dx F ( x ) C
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
d dx
f ( x )dx f ( x )
d[ f ( x )dx] f ( x )dx
F ( x )dx F ( x ) C
(3) 不定积分的性质
dF ( x ) F ( x ) C
10 20
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx （k 是常数，k 0)
3、基本积分表
(1)
kdx kx C
1 ( 4) dx arctan x C 2 1 x
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx
x x e dx e C
( 5)

1 dx arcsin x C 2 1 x
csc x C
( 6)

N Mp 2 q
p2 4
arctan
x q
p
2 4
p2
C;
Mx N M ( 2 x p )dx N Mp 2 4. 2 dx 2 dx n 2 n n ( x px q ) 2 ( x px q ) ( x px q )
此两积分都可积,后者有递推公式
5. f (sin x ) cos xdx;
f ( x) 2. dx; x 1 f( ) x dx; 4. 2 x
6. f (a x )a x dx;
f (arctan x ) 8. dx; 2 1 x
7. f (tan x ) sec xdx;
2
6、第二类换元法
定理 设 x ( t ) 是单调的、可导的函数，并
( t ) 具有原函数， 且 ( t ) 0 ，又设 f [ ( t )]
则有换元公式
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
t ( x )
第二类换元公式 其中 ( x ) 是 x ( t ) 的反函数.
常用代换:
1. x (at b) , R.
x e tan C . 2
x
例3 求
ln( x 1 x 2 ) 5 dx. 2 1 x
2 解 [ln( x 1 x ) 5]
1 1 2x , (1 ) 2 2 2 1 x x 1 x 2 1 x
原式 ln( x 1 x 2 ) 5 d [ln( x 1 x 2 ) 5]
2.三角函数代换 如f ( x ) a 2 x 2 , 令x a sin t . 3.双曲函数代换 如f ( x ) a 2 x 2 , 令x asht .
4.倒置代换
1 令x . t
7、分部积分法
uvdx uv uvdx udv uv vdu
x x 3 x 3 ln(1 e ) ln(1 e 3 ) 3 arctan e 6 C . 2 x 6
例6
求 x arctan x ln(1 x 2 )dx .
2
解 x ln(1 x 2 )dx 1 ln(1 x 2 )d (1 x 2 )
6 A B Ct D 设 2 t (1 t )(1 t ) t t 1 1 t 2
6 A(1 t )(1 t 2 ) Bt (1 t 2 ) (Ct D)t (t 1)
解得 A 6,
B 3, C 3,
D 3.
6 3 3t 3 原式 ( )dt 2 t 1 t 1 t 3 6 ln t 3 ln(1 t ) ln(1 t 2 ) 3 arctan t C 2
5、第一类换元法
定理 1 设 f ( u) 具有原函数，u ( x ) 可导， 则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( x
n 1
) x dx;
n
f (ln x ) 3. dx; x
1 t 1 1 1 ln C ( )dt 3 t 1 t 1 2(ln 3 ln 2) t 1 2 ln 2 1 3x 2x ln x C. x 2(ln 3 ln 2) 3 2
1
x e ( 1 sin x ) 例2 求 1 cos x dx.
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数； 分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n a1 x n1 an1 x an Q( x ) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R( x, ax b )
n
ax b R( x , ) cx e
n
解决方法：作代换去掉根号．
令t ax b;
n
ax b 令t ; cx e
n
二、典型例题
x x 2 3 例1 求 9 x 4 x dx.
解
3 x 3 x 3 x d ( ) 令( ) t 1 ( ) dt 2 1 2 2 原式 dx 3 t2 1 3 2x 3 3 2x ln ( ) 1 ln ( ) 1 2 2 2 2
( 23)
( 24)

1 x dx arcsin C 2 2 a a x
1 dx 2 2 x a
(19)
csc xdx ln(csc x cot x ) C

ln( x x 2 a 2 ) C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
x2 1 1 arcsin C . x x
例5
求
x 6
dx 1 e e e
x 2 x 3 x 6
.
解 令 e t,
6 x 6 ln t , dx dt , t
1 6 6 原式 dt dt 3 2 2 1 t t t t t (1 t )(1 t )
第八章 不定积分习题课
一、主要内容
原
选 择ห้องสมุดไป่ตู้u 有 效 方 法
函
数
不 定 积 分
直接 积分法
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
基 本 积 分 表
1、原函数
定义 如果在区间 I 内，可导函数F ( x ) 的导函数为
f ( x ) ， 即 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数F ( x ) 就称为 f ( x ) 或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.