不定积分的常用求法(定稿)[1]

郑州大学毕业论文

题目：不定积分的常用求法

指导老师：任国彪职称：讲师

学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向）

院系：数学系

完成时间：2012年5月25日

2012年5月25日

摘要

微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。

关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。

Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis.

A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral.

Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions

目录：

一，前言。------------------------------------------------------4 二，不定积分基本原理--------------------------------------------6 （一）原函数与不定积分-----------------------------------------6 （二）不定积分的基本性质----------------------------------------6 （三）基本积分公式----------------------------------------------6 三、不定积分求法的具体运用--------------------------------------7 （一）利用不定积分的定义来求不定积分。--------------------------7 （二）直接积分法求不定积分。------------------------------------7 （三）第一类换元积分法（凑微分法）------------------------------8 （四）第二类换元积分法------------------------------------------9 1，三角代换-------------------------------------------------10 2，倒代法---------------------------------------------------10 3，去根号法-------------------------------------------------11 （五），分部积分法-----------------------------------------------12

四、总结--------------------------------------------------------13

五、致谢--------------------------------------------------------14

六、参考文献----------------------------------------------------15

一、前言

微积分是高等数学的一个主要内容，不定积分是微积分的重要部分，首先向大家阐述微积分的时代背景及其创立原因。

1.1、微积分的时代背景

微积分是微分学和积分学的简称。微积分的创立是数学史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希腊的求积术，但直接原因是17世纪的科技问题。下面是当时有关微积分创作的研究项目。

（1）运动问题。已知物体移动的位置关于时间的函数关系式，求物体在任意时刻的速度或加速度；反之，已知物体的加速度关于时间的函数关系式，求任意时刻的速度与距离。因运动物体的速度与加速度时刻都在变化，瞬时速度的求法超出了常规数学的范围。抛射体＆行星的运动都属于此列。

（2）切线问题。17世纪许多数学家参与了透镜的设计。要研究光线通过透镜后的通道，必须知道射线射入透镜的角度，以便应用光的反射定律，这就需要求出光线在入射点的法线或切线。同时，运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向都是轨迹的切线方向。在当时，切线的定义与求法也都没有出现，对于复杂曲线求切线更是无从下手。

（3）极值问题。即求函数的最大值与最小值。例如求炮弹能获得最大射程的发射角，求行星离开太阳的最远距离等。17世纪初已有一些实际推测，但缺乏理论上严谨的证明。

（4）求积问题。包括求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心等，这些问题的研究都对科技的发展有重要的意义。穷竭法只对一些简单的面积和体积有效，但它却是微积分的萌芽，给了数学家创作微积分的灵感。

1.2、微积分的早期工作

在数学史上，积分概念先于微分概念产生，积分是与某些面积、体积和弧长相联系的求和过程中发展起来的。后来数学家们对曲线作切线问题和函数的极大值、极小值问题的研究产生了微分。再往后人们才注意到：积分和微分彼此为逆运算而相互关联。

（1）极限概念。它是整个微积分学的基础。芝诺悖论就涉及极限的问题，例如二分说，追龟论等，穷竭法也使用了极限概念。

（2）穷竭法。最早，古希腊人在研究化圆为方时，提出一种将圆内接正多边形边数不断加倍逼近圆周的方法，后人认为这是穷竭法的最早形式。当多边形的边数不断加倍时，圆内接正多边形与圆周之间存在着空隙逐渐被“穷竭”了。