分部积分方法及例题

∫ ∴ x arctan x d x 1 + x2 = 1 + x2 arctan x − ln( x + 1 + x2 ) + C .
例5 I = ∫ e x cos x dx = ∫ cos x d e x
dv
= e x cos x− ∫ e x dcos x
vdu
= e x cos x+ ∫ sin xe x dx
2
∫ ∫ x cos x d x = x2 cos x + x2 sin x d x 更不易积分
2
2
显然，u 选择不当，积分更难进行.
解 （1）I1 = ∫ xcos x dx = ∫ x d sin x
u dv
dv
= x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C
x arctan x d x. 1+ x2 A
解Q
( 1 + x2 )′ =
x, 1+ x2
选 L 对数函数
u I 反三角函数 的 优 A 代数函数 先 T 三角函数 顺 序 E 指数函数
∫ ∫ ∴ x arctan x d x = arctan x d 1 + x2
1 + x2
u
∫ = 1 + x2 arctan x − 1 + x2 d(arctan x)
∫ 注 1° 设 f ( x )d x, 其中 f ( x ) = ϕ ( x )ψ ( x ).
选 u 的一般原则：
(1) d v = ψ ( x ) d x
∫ψ ( x)d x 易积分 , v 易求 ;
(2) ∫ v d u 比 ∫ u d v 易积分 .
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
∫ ∫ = 1 e x d x 2 = 1 ( x 2e x − x 2 d e x )
2
2
∫ = 1 ( x 2e x − x 2e x d x ) 更不易积分 2
推广
（2）I2 = ∫ x2ex d x = −∫ x2 d e x = − x 2e x+ ∫ e x dx2
dv
dv
vdu
= − x2e x + 2∫ e x xdx
∫ = 1 + x2 arctan x −
1
+
x2
⋅
1
1 + x2
d
x
∫ = 1 + x2 arctan x −
1 d x 令 x = tan t
1 + x2
∫ ∫ ∫ 1 d x =
1 sec2 t d t = sec t d t
1 + x2
1 + tan2 t
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x2 ) + C
x
ln x dx u
=
∫
lnHale Waihona Puke Baidu
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
x
dx=
∫
a rc tan
x d(
x2 2
)
udv
=
1 2
x2
arctan
x−
1 2
∫
∫ ud v = uv − ∫ v d u —— 分部积分公式
二、典型例题
例1 （1）I1 = ∫ x e x dx
= ∫ x dex u dv
= xe x − ∫ e x dx
uv v d u = xe x − e x + C
简化
问： 能否取 u = e x ? 不行.
∫ ∫ xe x d x = 1 e x ⋅ 2 x d x 2 u dv
设 u = ln x （例3(1)）
∫ (3) xn arcsinxd x 设 u = arcsin x
（例3(2)）
dv = xnd x
3° 选 u 的优先原则： “对反代三指” 法
( 或称为“ LIATE ” 法).
选
L 对数函数
u 的
I
反三角函数
优
A
代数函数
先 顺
T
三角函数
序
E
指数函数
I
∫ 例4 求积分
第4章
第三节 不定积分的分布积分法
一、分部积分公式
二、典型例题
∫ ∫ 引例
e
xdx 令
x=t 2
t et dt
（换元法无法解决）
一、分部积分公式
由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′
积分得 uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx
公式的作用： 改变被积函数
I1 = − x2e x + 2（xe x − e x）+ C
简化
In
= ∫ xne x d x
dv
令u =
xn xne x
− n∫ xn−1e x d x
In = x ne x − nIn−1
例2 （1）I1 = ∫ xcos x dx
分析 取 uu？==co?s x, x d x = 1 d x2 = d v
∫ = e x sin x + e x dcos x u
两次所选u的 函数类型不
∫ = e x sin x + e x cos x −
e
x
cos
x
d
变！
x
= e x sin x + e x cos x − I
∴ I = e x (sin x − cos x) + C .
2
注 4º 选谁作为 u 并不是绝对的. 事实上， LIATE法适用于大多数情形, 但对于 一些情形也可例外.
1
x2 + x2
dx
=
1 2
x
2
arctan
x
−
1 2
∫
(1
−
1
1 +x
2
)
dx
简化
= 1 x2 arctan x − 1 ( x − arctan x) + C
2
2
注 2° 分部积分小结(1)
∫ (1) xneαx d x 设u = xn （例1，例2） ∫ xn sin x d x
∫ (2) xn ln x d x
难度相当
= e x cos x + e x sin x− ∫ e x cos x dx 注意循环形式
= e x cos x + e x sin x − I
I = 1 e x (sin x + cos x) + C 2
问: 选 u = e x 行吗？ 行.
∫ ∫ I = e x d(sin x ) = e x sin x − sin x d e x u ∫ = e x sin x − sin x ⋅ e x d x (第二次分部积分)
uv
v du
简化
（2）I2 = ∫ x2 sin x d x= −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x+ 2( x sin x + cos x) + C
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn