分部积分方法及例题
不定积分分部积分公式
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
4.3分部积分法-习题
第 4 章 不定积分分部积分法 习题解1．求以下不定积分： ⑴xsin xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得x sin xdxxd( cosx) ---- sin xdx cos x cxcosxcos xdx---- udv uvvduxcosx sin x c ----cosxdx sin x c⑵ arcsin xdx ； 【解】被积函数已经拥有udv 的构造，能够考虑直接套用分部积分公式，得arcsinxdx xarcsin xxd arcsin x----udv uvvdux arcsin x 1 dx---- 整理x1 x 2x arcsin x 11 d (1 x2 ) ---- d (1 x 2) 2xdx21 x 2x arcsin x 1 x 2 c⑶xln( x 1)dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln( x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得x ln( x 1)dxln( x 1)d 1 x 2----xdx 1 x 2 c221 x 2ln( x 1)1x 2d ln( x 1) ----udv uvvdu221 x2 ln( x 1) 1 x 2 1 dx---- 整理22 x 11 x2 ln( x 1) 1 ( x 1 1 )dx ---- 化假分式为多项式 +真分式 2 2 x 1 1x 2 ln( x 1) 1 ( 1 x 2 x ln x 1) c2 2 21 (x2 1)ln( x 1) 1x 2 1 x c 2 4 2⑷xe x dx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，应将乘积中的 e x作为先积分部份，得xe x dx xd ( e x ) ---- e x dx e x cxe x e x dx ---- udv uv vduxe x e x c ---- e x dx e x c( x 1)e x c⑸ e x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的 e x作为先积分部份，得e x cosxdx cosxd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx e x d cosx ---- udv uv vdue x cosx e x sin xdx ---- d cos x sin xdxe x cosx sin xd( e x ) ---- e x dx e x ce x cosx [ e x sin x e x d sin x] ---- udv uv vdue x (sin x cos x) e x cosxdx ---- d sin x cosxdx即有e x cosex(sin x cos x) excosxdx xdx移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx) C1整理得积分结果 e x cosxdx 1 e x (sin x cosx) c2【解法二】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得e x cosxdx e x d sin x ---- cosxdx sin x ce x sin x sin xde x ---- udv uv vdue x sin x ( e x )sin xdx ---- de x e x dxe x sin x e x d ( cosx)----sin xdxcosx c e x sin x e x ( cosx) ( cosx)de x ----udv uv vdue x (sin x cos x) (cosx)( e x )dx---- dexe x dxe x (sin x cos x)e x cosxdx----整理xcos xx即有exdx e (sin x cos x)ecosxdx将右侧的积分项移到左侧，整理得2 e x cos xdx e x (sin x cos x) 最后得积分结果e x cosxdx1 e x (sin x cosx) c2⑹x 2arctanxdx；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得x 2arctan xdx arctan xd 1x 3----x 2 dx 1 x 3 c33 1x 3arctanx 1x 3 d arctanx----udv uvvdu3 31 x 3 arctanx 1 x 3 1 12 dx---- d arctan x1 12 dx33 xx1x 3 arctanx 1 ( x1 x2 ) dx ---- 化假分式为多项式 +真分式3 3 x1x 3 arctanx 1 ( 1 x 21 x dx)----分别积分3 3 2x 21x 3 arctanx 1 [ 1 x 2 1 1 2 d (1 x 2 )]---- d (1 x 2) 2 xdx3 3 2 2 1 x1x 3arctanx 1 [ 1 x 2 1ln(1 x 2)] c ---- 1du ln uc 3 3 2 2u1x 3arctanx 1 x 2 1ln(1 x 2 ) c----整理3 6 6⑺ x cos xdx ；2【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 cos x作为先积分部份，得2cos x dx 2 cos x dx2sinxx cos xdxxd 2sinx----c2222 22x 2 x----udv uvvdu2x sin sin dx2 2x 2( 2cos xc ----xdxx x2cosx 2x sin) sin 2 sin dc2 222 222x sinx4cosxc---- 整理22⑻ln xdx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得ln xdxx ln xxd ln x---- udv uvvdux ln xx 1----d ln x1dxdxxxx ln x dx---- 整理xln x x c----dx x cx(ln x 1) c⑼ xsin x cosxdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，【解法一】将乘积中的cos x 作为先积分部份，得x sin x cosxdxx sin xd sin x----cos xdx sin x cxd 1 sin 2 x---- 仍为两不一样种类函数的乘积-- xuduxd 1 u 2221xsin 2x 1sin 2 xdx----udv uvvdu221xsin 2 x1 1 cos2x dx---- sin 2x1 cos2x2 2 22 1xsin 2x 1( x cos2xdx)---- 分别积分241 xsin2 x 1 ( x 1 cos2xd2x)----d 2x 2dx2 4 21 xsin2 x 1 ( x 1 sin2 x) c ----cosudu sin u c2 4 21xsin 2x 1 x 1sin 2x c ----整理2 4 8【此题解答案与课本后答案能够互化：1x sin 2x 1 x1sin2x c 1 x 1 cos2x 1 x 1sin 2x c1 1 x cos2x 1 1 c11xx sin 2xx cos2xsin 2 x c 】444 848【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的sin x cos x 化简为1sin 2x ，并将其作为先积2分部份，得x sin x cosxdx1 x sin 2xdx---- sin x cos x1sin 2x221 xd ( 1cos2x)----sin 2xdx1cos2 x c2 221 [ 1xcos2x ( 1cos2 x) dx]----udv uvvdu2 221x cos2x 1 cos2xdx ---- 整理4 41x cos2x 1cos2 xd2x ----d2x 2dx4 81x cos2x 1sin 2x c----cosudu sin uc4 8⑽x tan 2xdx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，为便于积分，先将乘积中的tan 2 x 化为易于积分的 sec 2 x 1 ，得x tan 2 xdx x(sec 2 x 1)dx---- tan 2 x sec 2x 1( xsec 2 x x)dx---- 整理1 x2 xsec 2 xdx----分别积分21 x2 xd tan x----sec 2 xdx tan x c21 x2 x tan xtan xdx----udv uvvdu21 x2 x tan x sin x dx ---- tan xsin x 2cosxcos x1 x2 x tan x 1 d cos x ---- d cos xsin xdx2cosx1 x2 x tan x ln cosx c----1 du ln u c2uln 3 x ⑾ x 2 dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，乘积中有不行独立积分的ln 3 x ，则应将另一部份1作为先积分部份，得x23 xdxln 3 xd 1 12 dxln 2 ---- 1 c x x x xln 3 x 1d ln 3 x ---- udv uv vdux xln 3 x 1 3ln 2 x dx ---- d ln 3 x 3ln 2 x 1dxx x x xln 3 x 3 ln 2 x dx ---- 整理，并再次应用上边的方法x x2ln 3 x3ln 2 1----1 1cx xdx2 dxx xln 3 x 3ln 2 x 1 d3ln 2 x ---- udv uv vdu x x xln 3 x 3ln 2 x 1 6ln x 1dx ---- d 3ln 2 x 3 2ln x1dxx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x---- 整理，并再次应用上边的方法x x x 2 dxln 3 x 3ln 2 x 6ln xd 1 ---- 12 dx 1 cx x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 1d 6ln x ---- udv uv vdu x x x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x6 1---- d 6ln x6x x x2 dx dx x xln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6 c ---- 12 dx 1 cx x x x x x1(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---- 整理x⑿(arcsin x)2 dx ；【解】积分式已经拥有udv 的形式，能够直接套用分部积分公式，得(arcsin x) 2 dx x(arcsin x)2 xd(arcsin x)2 ---- udv uv vdu x(arcsin x)2 x 2arcsin x dx---- d (arcsin x) 2 2arcsin x 1 dx1 x2 1 x2x(arcsin x)2 arcsin x 2x dx ---- 整理1 x2x(arcsin x)2 arcsin xd( 2 1 x2 )---- 2x dx 1x2 d (1 x2 ) 2 1 x2 c1 x2 1x(arcsin x)2 [ 2 1 x2 arcsin x ( 2 1 x2 )d arcsin x] ---- udv uv vdux(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 1 x2 1 dx1 x2---- d arcsin x1dx 1 x2x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 dx ---- 整理x(arcsin x)2 2 1 x2 arcsin x 2 x c⒀x2 e x dx ；【解】被积函数为两不一样种类函数的乘积，能够考虑套用分部积分公式，将乘积中的 e x作为先积分部份，得x2 e x dx x2d ( e x ) ---- e x dx e x cx2e x ( e x )dx2 ---- udv uv vdux2e x e x 2xdx ---- 整理x2e x 2xd( e x ) ---- e x dx e x cx2e x 2xe x ( e x )d 2x ---- udv uv vdux2e x 2xe x 2 e x dx ---- 整理x 2e x 2xe x 2e x c ----e x dx e x ce x ( x 2 2x 2) c----整理3⒁ e x dx ；【解】 被积函数中含根式， 且根指数与根号内多项式的次数不等，可应用第二换元积分法中的直接变换法，去掉根号后，再用分部积分法求解。
高数求解积分技巧例题
高数求解积分技巧例题积分是高等数学中的重要内容，有时我们需要运用一些技巧来解决复杂的积分问题。
本文将介绍几个常见的积分技巧，并通过例题来说明。
1. 分部积分法分部积分法是求解含有两个函数相乘的积分的方法。
其公式为：∫uvdx = ∫udv + ∫vdu其中，u和v是原函数。
例题：求解∫x*sin(x)dx解：选择 u = x， dv = sin(x)dx，则 du = dx，v = -cos(x)根据分部积分法的公式，可以得到：∫x*sin(x)dx = ∫udv + ∫vdu= x*(-cos(x)) - ∫(-cos(x))dx= -x*cos(x) + ∫cos(x)dx= -x*cos(x) + sin(x) + C其中，C为常数。
因此，∫x*sin(x)dx = -x*cos(x) + sin(x) + C2. 换元积分法换元积分法是将积分中的变量进行替换，从而简化积分问题的方法。
其公式为：∫f(g(x))*g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u = g(x)，du = g'(x)dx。
例题：求解∫x*e^(x^2)dx解：选择 u = x^2，du = 2xdx。
则原积分可以化简为：∫x*e^(x^2)dx = (1/2)∫e^udu= (1/2) ∫e^udu= (1/2) e^u + C= (1/2) e^(x^2) + C其中，C为常数。
因此，∫x*e^(x^2)dx = (1/2) e^(x^2) + C3. 三角函数积分三角函数积分是指对于包含三角函数的积分问题的解决方法。
a. ∫sin^n(x)dx 或∫cos^n(x)dx（n为正整数）当 n 为奇数时，可以利用递推关系进行求解。
即，∫sin^n(x)dx = -1/n*sin^(n-1)(x)*cos(x) + (n-1)/n*∫sin^(n-2)(x)dx当 n 为偶数时，可以利用换元积分法进行求解。
分部积分法
一、分部积分公式 二、例题
一、分部积分公式
设函数 u( x)与v( x)在区间[a,b] 上具有连续的导数，
则 abuvdx [uv]ba abuvdx,或 abudv [uv]ba abvdu.
推导
(uv) uv uv,
b (uv)dx uvb ,
a
a
b
b
[uv]b uvdx uvdx,
I
2
dx
,
0
0
2
I 2 sin xdx 1,
1
0
于是
2m 1 2m 3 5 3 1
I
,
2m 2m 2m 2 6 4 2 2
2m 2m 2 6 4 2
I
.
2m1 2m 1 2m 1 7 5 3
思考题 设 f ( x)在0,1上连续，且 f (0) 1，
f
(2)
证明 设 u sinn1 x, dv sin xdx, du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
I n
sinn1 x cos x
2
0
(n 1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
I (n 1) 2 sinn2 xdx (n 1) 2 sinn xdx
a
a
a
b uvdx uvb
b uvdx ,或
b udv uvb
b
vdu.
a
a
a
a
a
a
二、例题
例1
计算积分
1
2arcsin
0
xdx.
解 令 u arcsin x, dv dx, 则
分部积分法求不定积分(口诀 例题)
用分部积分法求不定积分
重点：
① ⎰⎰-=vdu uv udv
② 对反幂三指
用分部积分法计算的不定积分：
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。
其它两种计算不定积分的方法是凑微分法和第二类换元法。
通常可适用于变形后为“udv ”的不定积分，根据公式(⎰-=vdu uv udv )很容易求解。
证明：由
或
对上式两边求不定积分，即得分部积分公式，也将其简写为
如果将
和
用微分形式写出，则亦可得出
口诀：
“对反幂三指”，分别对应对数函数、反函数、幂函数、三角函数、指数函数。
越往前则可认定在不定积分中充当着u ，越往后则为v 。
例题及答案：
∫（2x+1)e x dx ∫(x2+x)e x dx
∫(2x+1)cosxdx ∫x∙cos2xdx
(2x+1)e x-2e x+c
(x2-x+1)e x+c (2x+1)sinx+2cosx+c 2
1xsin2x+
4
1cos2x+c。
(完整版)定积分的分部积分法
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
分部积分法
ln x 1 1 ln x x − ln +C . = − ∫( + ) dx = 1− x 1− x 1− x x 1− x
(3) ∫ x cos x dx = ( x 2 − 2) sin x + 2 x cos x + C .
2
10
分部积分法与换元法结合: 分部积分法与换元法结合: 例 解
求
2 x x x
= ( x 2 − 2 x + 2)e x + C .
6
例
∫ lnux dx = x ln x − ∫ x dlnx v
1 = x ln x − ∫ x ⋅ dx = x ln x − ∫ dx x = x ln x − x + C .
例
∫ arcsin x dx
= x arcsin x − ∫ xdarcsinx
例
sec3 xdx ∫
sec3 xdx = ∫ sec x ⋅ sec 2 xdx = sec xd tan x 解 ∫ ∫
= sec x tan x − ∫ tan 2 x sec xdx
= sec x tan x − ∫ (sec 2 x − 1) sec xdx
= sec x tan x + ∫ sec xdx − ∫ sec xdx
arctan ex 1.∫ dx x e
2.∫ sin x dx
14
1 1 1 1 d(1 + u 2 ) = − arctan u + ∫ du − ∫ u u 2 1 + u2 1 1 = − arctan u + ln u − ln(1 + u 2 ) + C u 2 1 x −x = −e arctan e + x − ln(1 + e 2 x ) + C 2 arctan e x 解二 ∫ e x dx 彻底换元 令 t = arctanex 则 e x = tan t, x = ln tan t 1 ⇒ dx = ⋅ sec 2 tdt t 1 tan t ∴原式= ∫ ⋅ ⋅ sec2 tdt tan t tan t 1 = ∫ t ⋅ 2 dt = − td cot t ∫ 15 sin t
高等数学4.5分部积分法
例7 使用两种方法计算
1 dx 1 2x
解1
1 dx
1 2x
1 2 x t
tdt t
dt
t C
12xC
例7 使用两种方法计算
1 dx 1 2x
解2
1 dx 1 2x
12
1 d(12x) 12x
12xC
练习 求 ① x10 lnxdx
② x2ex dx ③使用两种方法计算
1 dx
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
4.5 分部积分法
本讲概要 ➢分部积分公式 ➢典型例题讲解
引入
求 xcos xdx x ln xdx
arctanxdx
一.分部积分公式
定理 设函数u=u(x) 及v=v(x) 具有连续导数，
由乘积的微分法则和dv选取的关键：
d(uv) = vdu +udv
ln xdx x ln x
x
1 dx x
xlnxdx
xlnx x C
被积函数是单一的对数函数或反三角函数，可看做
被积表达式已经自然分成u和dv的形式，直接用公式。
例5 求 x2 sinxdx
解 x2 sinxdx x 2 d(cosx)
x2 cosx
x co s x 2 x dx 降
x2cosx2xdsinx 幂 x
x 2c o sx 2 x s in x 2 s in x d x降
x 2 c o s x 2 x s in x 2 c o s x C 幂
注意： 分部积分法可以连续使用。
例6 求 ex cos dx
此积分要使用两次分部积分法：
第一次使用分部积分法时，哪个函数为u均可； 第二次使用分部积分法时，u的选取必须与第一次 的选取方法一致。
分部积分方法及例题
分部积分方法及例题分部积分法是微积分中的一种重要方法，可以用于求解复杂的积分问题。
它通过将复杂的函数进行分部拆分，再进行逐步求导或求积的过程，最终得到原函数的积分表达式。
在本篇文章中，将介绍分部积分法的基本原理及应用，并给出一些例题进行演示。
一、基本原理分部积分法是基于积分的乘法法则：∫(u*v)dx = ∫u*dv + ∫v*du。
其中，u和v分别是待求函数的两个因子。
通过选择合适的u和dv，可以将原函数的积分改写为更易求解的形式。
具体的步骤如下：1. 选择u：选择一个函数作为u，通常选择原函数中具有较高次幂、三角函数或指数函数等。
2. 求du：对选定的u求导得到du，即du = u' dx。
3. 选择dv：选择原函数中的另一个因子作为dv，即dv = v dx。
4. 求v：对dv进行不定积分得到v。
5. 应用分部积分公式：将待求积分写成∫u dv = ∫v du + ∫v du + C，其中C是常数。
6. 化简并解出原函数：通过代数运算，将得到的方程化简，并解出原函数。
二、应用示例以下是几个分部积分法的应用示例：例题1：计算∫x sin(x) dx。
解：选择u = x，dv = sin(x) dx。
由此，du = dx，v = -cos(x)。
根据分部积分公式，可得∫x sin(x) dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x)) dx。
对于∫(-cos(x)) dx，再次应用分部积分法，选择u = -cos(x)，dv = dx，可得到 du = sin(x) dx，v = x。
将结果代入方程，得到∫x sin(x) dx = -x cos(x) + ∫x dx = -x cos(x) +(1/2)x^2 + C，其中C是常数。
例题2：计算∫e^x cos(x) dx。
解：选择u = e^x，dv = cos(x) dx。
由此，du = e^x dx，v = sin(x)。
高等数学4-3-分部积分法
2
分部积分法
udv uv vdu 分部积分公式
难求
易求
此公式并没有告诉我们求不定积 分的直接方法，而只是将求一个不定 积分转化为求另外一个不定积分，这 就要求后者积分要比前者更容易求， 否则使用此公式就没有意义了。
3
分部积分法
二、例 题
udv uv vdu
例 求 x cos xdx .
ln
xd
x4 4
1 ln xdx4 1 ( x4 ln x x4d ln x)
4u v 4
1 ( x4 ln x 4
x 3dx)
1 4
x
4
ln
x
1 16
x4
C
.
结论3 若被积函数是幂函数( x )与对数函
数相乘, 将幂函数移入微分号内凑成 v 。
8
例5 求积分 ln xdx. 解 ln xdx
第三节 分部积分法
分部积分公式 例题 小结 作业
1Hale Waihona Puke 第四章 不定积分分部积分法
一、分部积分公式
ln xdx
xexdx
设函数u u( x)及v v( x) 都可导.
(uv) uv uv
uv (uv) uv 两边积分
uvdx uv uvdx
udv uv vdu 分部积分公式
函数相乘, 将幂函数移入微分号内凑成 v 。
10
练习： arctan xdx.
解 arctan xdx
u
v
x arctan x xd arctan x
x
x arctan x 1 x2 dx
x arctan x 1
2
1
1 x2
d(
定积分的分部积分法
例4 证明定积分公式
I n 02 sin n xdx 02 cos n xdx
n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 ,n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda
二、例题
例1 计算
解
1
0 xe dx .
x x 1
1
x xe dx x de 0 0
xe
x 1 0
e dx
1 x 0
e e
x 1 0
1
预科部：melinda
例2 计算 4 sin xdx .
0
2
解
0
2
4
sin xdx
t x , dx 2tdt x 0, t 0; x
b b a b
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求 差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算.
到0或1为止.于是
I 2m
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I 2 m1 ... I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I 0 sin xdx , I1 02 sin xdx 1 2
高数——分部积分法
3
定理5.2 (分部积分法) 设u u(x), v v(x)有连续的到函数,则有如下的分部积分公式
u(x)v '(x)dx u(x)v(x) v(x)u '(x)dx 或 udv uv vdu
例 1 求下列不定积分
(1) xexdx (3) ln xdx (5) xsin xdx
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex ex sin x ex cos x exd cos x ex sin x ex cos x ex sin xdx 这是一个关于的 ex sin xdx方程，解之可得
2 ex sin xdx ex sin x ex cos x C1
x arcsin xdx
1 2
arcsin xdx2
1 2
x2
arcsin
x
1 2
x2
d
arcsin x
1 x2 arcsin x 1 1 x2 1 dx
2
2 1 x2
12
1 x2 arcsin x 1 1 x2 dx 1 dx
2
2
2 1 x2
1 2
x2
arcsin
x
1 2
1 2
1 t4 arctan t 1
2
2
t
4 1 1 t2
1dt
1 t4 arctan t 1 t2 1 1 dt
2
2
1 t2
1 t4 arctan t 1 t3 1 t 1 arctan t C
2
6 22
1 x2 arctan
x
1
3
x2
x 1 arctan
第三节 分部积分法
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【总结】分部积分的使用原则
⑴被积函数是两类不同性质函数的乘积； ⑵按“反、对、幂、指、三”顺序选择u 和v.
【例5】求积分 sin(ln x)dx.
【解】 sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
x
sin(ln
x3
ln
xdx
ln
xd
x4 4
特例
ln x d x
uv
1 4
x4
ln
x
1 4
x
3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
【结论2】形 如 x ln xdx, x arcsin xdx, x arctan xdx,选
v x或 者 说 选ln x,arcsin x,arctan x为u
1
第三节 分部积分法
一、基本内容 二、例题分析 三、小结 思考题
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2
一、基本内容 ⑴【问题】 xe xdx ?
⑵【解决思路】利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
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11
或直接套公式
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2
分部积分方法及例题
1
x2 + x2
dx
=
1 2
x
2
arctan
x
−
1 2
∫
(1
−
1
1 +x
2
)
dx
简化
= 1 x2 arctan x − 1 ( x − arctan x) + C
2
2
注 2° 分部积分小结(1)
∫ (1) xneαx d x 设u = xn （例1，例2） ∫ xn sin x d x
∫ (2) xn ln x d x
In = ∫ sinn x d x = − cos x sinn−1 x J n = ∫ cos n x d x
+ (n − 1)∫ sinn−2 x d x − (n − 1)∫ sinn x d x
= − cos x sinn−1 x +（n − 1）In−2 −（n − 1）In （n ≥ 2, n ∈ N）
故
In
=
−
1 cos n
x sinn−1
x+
n− n
1
In−2
同理
Jn
=
1 sin n
x cosn−1
x
+
n− n
1 Jn−2
例8
=
∫
(x2
d +
x a
2
)
n
，试导出递推关系.
udv
分析 欲将In表示成 In−1或In+1的表示式.
解
In=
(
x2
x + a2 )n
+
2n∫
(x2
x2 + a2
高数分部积分法
3 8a4
x2
x
a2
3 8a5
arctan
x a
C
17
例10. 证明递推公式
证: In tann2 x (sec2 x 1) dx
tann2 x d(tan x) In2
tann1 x n 1
In2
注:
或
18
说明: 分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
26
2. 求
提示:
cos(ax b) a sin(ax b) a2 cos(ax b)
ek x
1 ek x k
1 k2
ek
x
对比 P370 公式(128) , (129)
t
sec2
t
d
t
e t cos t d t
e t sin t e t sin t d t
e t sin t e t cost e t cos t d t
故 I 1 (sin t cost)e t C
2
1 2
x 1 x2
1 1
x2
e
arctan
x
C
1 x2 x
t 1
20
解法2 用分部积分法
13
例. 求 sec3 xdx
14
例11. 求
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t , v et 2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
分部积分常见题型
分部积分常见题型
分部积分法是求不定积分和定积分的一个重要的方法，这个方法在求不定积分和定积分中运用的很广，可以说想要掌握不定积分和定积分这个方法是必须要会的。
分部积分法常见的题型包括：
1. 两个函数乘积的积分，其中一个函数求导会变简单，另一个函数积分后难度变化不大。
做法思路：通过分部积分，对求导变简单的函数求导，对另一个函数积分。
使用若干次，直到得到的新积分容易求出结果为止。
此时新积分的结果再加上前面一堆式子的结果，即为所求积分的结果。
2. 形如“∫u(x)v(x)dx”的积分，其中u(x)的导数为v(x)，或者u(x)的函数和v(x)的导数之间有乘积关系。
3. 形如“∫u(x)v(x)dx”的积分，其中u(x)的导数和v(x)之间有乘积关系。
4. 形如“∫u(x)v(x)dx”的积分，其中u(x)和v(x)的导数之间有乘积关系。
以上这些题型都可以通过分部积分法来求解。
分部积分法可以化难为易，让我们更好的理解并解决这些问题。
定积分的分部积分法
四、 若 f ′′( x )在 0 , π 连续， 连续，f ( 0 ) = 2 , f ( π ) = 1 , 证明： 证明：
[
]
∫
π
0
[ f ( x ) + f ′′( x )]sin xdx = 3
.
练习题答案
( n − 1)!! π ( n − 1)!! 2 一、1. ； 2. ⋅ ； 3. 2. 3. 1 − ； n!! e n!! 2 1 3 1 3 1 2 4. ) π + ln . 4. (e + 1) ； 5. 5. ( − 4 4 9 2 2 e sin 1 − e cos 1 + 1 1 ； 2. 2(1 − ) ； 二、1. 2 e
∫
e
1
sin(ln x )dx ；
2.
∫
e 1 e
ln x d x ；
3. J ( m ) =
∫
π
0
x sin m xdx ， （ m 为自然数） 为自然数）
4.
∫
π
0
sin n−1 x cos( n + 1) xdx .
三、已知 f ( x ) = tan 2 x ,求
∫
π 4 0
f ′( x ) f ′′( x )dx .
∫
π
2 0
8 sin 2 xdx = 15
π 1 例8* 证明 ∫ sin n x cos n xdx = n ∫ 2 cos n xdx . 2 0 π π 1 n n n 2 2 证明 ∫0 sin x cos xdx = n ∫0 sin ( 2 x )dx 2
π 2 0
= =
1 2
n +1
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∫ = 1 + x2 arctan x −
1
+
x2
⋅
1
1 + x2
d
x
∫ = 1 + x2 arctan x −
1 d x 令 x = tan t
1 + x2
∫ ∫ ∫ 1 d x =
1 sec2 t d t = sec t d t
1 + x2
1 + tan2 t
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x2 ) + C
x arctan x d x. 1+ x2 A
解Q
( 1 + x2 )′ =
x, 1+ x2
选 L 对数函数
u I 反三角函数 的 优 A 代数函数 先 T 三角函数 顺 序 E 指数函数
∫ ∫ ∴ x arctan x d x = arctan x d 1 + x2
1 + x2
u
∫ = 1 + x2 arctan x − 1 + x2 d(arctan x)
∫ = e x sin x + e x dcos x u
两次所选u的 函数类型不
∫ = e x sin x + e x cos x −
e
x
cos
x
d
变！
x
= e x sin x + e x cos x − I
∴ I = e x (sin x − cos x) + C .
2
注 4º 选谁作为 u 并不是绝对的. 事实上， LIATE法适用于大多数情形, 但对于 一些情形也可例外.
I1 = − x2e x + 2（xe x − e x）+ C
简化
In
= ∫ xne x d x
dv
令u =
xn xne x
− n∫ xn−1e x d x
In = x ne x − nIn−1
例2 （1）I1 = ∫ xcos x dx
分析 取 uu？==co?s x, x d x = 1 d x2 = d v
设 u = ln x （例3(1)）
∫ (3) xn arcsinxd x 设 u = arcsin x
（例3(2)）
dv = xnd x
3° 选 u 的优先原则： “对反代三指” 法
( 或称为“ LIATE ” 法).
选
L 对数函数
u 的
I
反三角函数
优
A
代数函数
先 顺
T
三角函数
序
E
指数函数
I
∫ 例4 求积分
2
∫ ∫ x cos x d x = x2 cos x + x2 sin x d x 更不易积分
2
2
显然，u 选择不当，积分更难进行.
解 （1）I1 = ∫ xcos x dx = ∫ x d sin x
u dv
dv
= x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C
∫ ud v = uv − ∫ v d u —— 分部积分公式
二、典型例题
例1 （1）I1 = ∫ x e x dx
= ∫ x dex u dv
= xe x − ∫ e x dx
uv v d u = xe x − e x + C
简化
问： 能否取 u = e x ? 不行.
∫ ∫ xe x d x = 1 e x ⋅ 2 x d x 2 u dv
∫ ∫ = 1 e x d x 2 = 1 ( x 2e x − x 2 d e x )
2
2
∫ = 1 ( x 2e x − x 2e x d x ) 更不易积分 2
推广
（2）I2 = ∫ x2ex d x = −∫ x2 d e x = − x 2e x+ ∫ e x dx2
dv
dv
vdu
= − x2e x + 2∫ e x xdx
uv
v du
简化
（2）I2 = ∫ x2 sin x d x= −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
I1 = − x2 cos x+ 2( x sin x + cos x) + C
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
1
x2 + x2
dx
=
1 2
x
2
arctan
x
−
1 2
∫
(1
−
1
1 +x2Leabharlann )dx简化
= 1 x2 arctan x − 1 ( x − arctan x) + C
2
2
注 2° 分部积分小结(1)
∫ (1) xneαx d x 设u = xn （例1，例2） ∫ xn sin x d x
∫ (2) xn ln x d x
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
arctan
x
dx=
∫
a rc tan
x d(
x2 2
)
udv
=
1 2
x2
arctan
x−
1 2
∫
第4章
第三节 不定积分的分布积分法
一、分部积分公式
二、典型例题
∫ ∫ 引例
e
xdx 令
x=t 2
t et dt
（换元法无法解决）
一、分部积分公式
由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′
积分得 uv = ∫ u′vdx + ∫ uv′dx ∫ uv′dx = uv − ∫ u′v dx
公式的作用： 改变被积函数
∫ ∴ x arctan x d x 1 + x2 = 1 + x2 arctan x − ln( x + 1 + x2 ) + C .
例5 I = ∫ e x cos x dx = ∫ cos x d e x
dv
= e x cos x− ∫ e x dcos x
vdu
= e x cos x+ ∫ sin xe x dx
难度相当
= e x cos x + e x sin x− ∫ e x cos x dx 注意循环形式
= e x cos x + e x sin x − I
I = 1 e x (sin x + cos x) + C 2
问: 选 u = e x 行吗？ 行.
∫ ∫ I = e x d(sin x ) = e x sin x − sin x d e x u ∫ = e x sin x − sin x ⋅ e x d x (第二次分部积分)
∫ 注 1° 设 f ( x )d x, 其中 f ( x ) = ϕ ( x )ψ ( x ).
选 u 的一般原则：
(1) d v = ψ ( x ) d x
∫ψ ( x)d x 易积分 , v 易求 ;
(2) ∫ v d u 比 ∫ u d v 易积分 .
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =