高考定积分经典例题

定积分与微积分基本定理（理）

1.已知f (x )为偶函数且

60

⎰

f (x )d x ＝8，则

6

-⎰

f (x )d x 等于 ( )

A ．0

B ．4

C ．8

D ．16 解析：原式＝

06

-⎰

f (x )d x ＋

60

⎰

f (x )d x ，

∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D

2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2， x ∈[0，1]，

2－x ，x ∈[1，2]，

则

20

⎰

f (x )d x 等于 ( )

A.34

B.45

C.5

6 D ．不存在 解析：数形结合，

20

⎰

f (x )dx =

10

⎰

x 2dx +

2

1

⎰

(2-x )dx

=

321211

(2)3021x x x +- =

3115(422)326

x +--+=. 答案：C

3．计算以下定积分： (1) 2

1

⎰

(2x 2－1

x )d x ；

(2)

3

2

⎰

(x ＋

1x

)2

d x ； (3)

30

π

⎰

(sin x －sin2x )d x ；

解：(1)

2

1

⎰

(2x 2－1x )d x ＝(2

3x 3－ln x )21

＝163－ln 2－23＝14

3－ln 2. (2)

32

⎰

(x ＋

1

x

)2

d x ＝32⎰

(x ＋1

x

＋2)d x

＝(12x 2

＋ln x ＋2x )32

＝(9

2＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln 32＋92

.

(3)

30

π

⎰

(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋1

2

cos2x )30

π

＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.

4．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.4

3

C. 3 D ．2

解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于

20

⎰

(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝

20⎰

(－x 2＋2x )d x ＝4

3

.

答案：B

5．已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4

3

，则k ＝________.

解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k ]， 再由

k

⎰

(kx －x 2

)d x ＝(kx 22－x 33)0k ＝k 36＝4

3

求得k ＝2.

答案：2

6．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y )， 则

x

⎰

(

kx －x 2)d x ＝

2x

⎰

(x 2－kx )d x ，

即(12kx 2－13x 3)0x ＝(13x 3－12kx 2)2x ， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －(13x 3－1

2

kx 2)，

解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．

答案：(43，16

9)

7.[1,2]内的位移为 ( ) A.176 B.143 C.136 D.116 解析：s ＝2

1

⎰

(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )|21

＝17

6

. 答案：A

8．若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要花费的功为( ) A ．0.05 J B ．0.5 J C ．0.25 J D ．1 J

解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F ＝100x ，所以

W ＝0.1

⎰

100x d x ＝50x 2

0.1

0＝0.5 J.

答案：B

9．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．

解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：

v ＝v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3

2t ，0≤t ＜20，

50－t ，20≤t ＜40，

10，40≤t ≤60.

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

s ＝

60

()d v t t ⎰

＝20

3

d 2

t t ⎰

＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰