定积分的应用练习题,DOC
定积分的应用题
六、定积分应用题
23x x 7x 1、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积.（要求作图）（6分）
24y =−2y x =+2、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
24y =−2y x =−+3、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
24y x =+2y x =−+4、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
24y x =+27y x =+5、求抛物线22y =与直线4y x =−+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
6、求抛物线与直线22y =x 4y x =−所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
7、求抛物线212y x =
与直线4y x =+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分） 8、求抛物线212
y x =
与直线4y x =−+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
9、求抛物线24y x =与直线3y x =−+所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
10、求抛物线24y x =与直线所围成的平面图形的面积. （要求作图）（6分）
3y x =−。
定积分的应用61792
第六章 定积分的应用练习题1． 选择题（1）由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 23 （2）由曲线22,2x y x y ==与直线1=y 所围成图形的面积为（ ）A ．322- B ． 3224- C ． 32 D ． 31（3）心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ．223a π B ． 243a π C ． 283a π D ． 23a π （4）由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）A ． π16B ． π32C ． π8D ． π4（5）曲线22,2x y x y ==与直线1=y 所围成的图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）A ． πB ．π43 C ． π41D ． π21 （6）曲线2xx e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）A ． 2a a e e -+B ． 2aa e e -- C ．12++-a a e e D ．12-+-a a e e （7）一汽船按2t x =做直线航行，水的阻力与速度平方成正比（比例系数为k ），汽船从静止开始向前航行2米，发动机克服阻力所做的功为（ ） A ． k B ． 2k C ． 4k D ．8k（8）水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）A ． 245kNB ． 245NC ． 205．8ND ． 205．8kN （9）一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，平面与地面的交角为α，则平面截该圆柱体所得立体的体积为（ ）A ．αtan 323R B ． αtan 313R C ． αtan 343R D ． απtan 33R （10）一圆柱形水池，深为h ，半径为a ，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ ）A ．31 B ． 32 C ． 21 D ． 41 2．填空题（1）曲线0,,0,sin ====y x x x y π围成的平面图形的面积为 ．（2）由抛物线22x y =与直线x y 24-=所围成图形的面积为 ．（3）椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为 ．（4 ）双纽线θ2sin 32=r 相应于22πθπ≤≤-上的一段弧所围成的图形面积为 ．（5）由曲线x y x y ==,2所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．（6）由双曲线xy 1=和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．（7）曲线331x x y -=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． （8）一底为8cm ，高为6cm 的等腰三角形片，铅直地浸没在水中，顶在上、底在下．则该三角形片的侧面所受到的水的压力为 ．3．下列各图中画斜线部分的面积：4．求由下列各组曲线所围平面图形的面积：（1）2,,===-x e y e y x x （2）0,2,1,3====x y y x y （3）2,2=+=y x x y （4）0,)2(,23=-==x x y x y（5）0,ln ,1,0====x x y y y （6） 0,22=+-=y x x x y（7）8,2222=+=y x x y (较小的一块) （8）0,,1,1=-=-==y e x x xy 5．求由曲线x y sin =与x y 2sin =π≤≤x o 所围成的平面图形的面积．6．求抛物线x y 42=及其在点（1，2）处的法线所围成的图形的面积． 7．已知曲线)0(2>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为489，试求k 的值． 8．求a 的值，使曲线)1(2x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．9．在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积10．求 椭圆1322=+y x 与1322=+y x 所围公共图形的面积 11．求笛卡尔叶形线0333=-+axy y x 所围成的平面图形的面积为．12．求星形线 ⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 与坐标轴在第一象限所围成图形的面积．13．求由下列各平面图形的面积：（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分14．求对数螺线θae r =及射线πθπθ=-=,所围图形的面积．15．求曲线xe y -=与x 轴之间位于第一象限的平面图形的面积．16．证明：从抛物线12-=x y 上的一点P 引抛物线2x y =的切线，该切线与2x y =所围成的面积与P 点的位置无关．17．一物体，其底面是半径为R 的圆，用垂直于底圆某一直径的平面截该物体，所得截面都是正方形，求该物体的体积．18．求抛物线2x y =与直线x y 2=所围图形分别绕x 轴和y 轴旋转所形成立体的体积． 19．曲线4)5(22=-+y x 围成的平面图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积．20．求由双曲线12222=-by a x 与直线b y ±=所围成平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积．21．曲线222x y -=和21x y -=围成一平面图形．求（1） 该平面图形的面积．（2） 将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积． 22．利用定积分证明，下底半径为R ，高为h 的正圆锥的体积为h R 231π23．求以圆222a y x =+为边界线的平面图形绕直线b x =旋转所形成立体的体积（0>>a b ）．24．求曲线)20()cos (sin )sin (cos π≤≤⎩⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长25．求曲线y y x ln 21412-=相应于e y ≤≤1上的一段弧长． 26．求曲线)1ln(2-=x y 相应于区间[2，3]得一段弧长．27．求曲线dt t y x⎰--=323的全长28．求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长29．利用定积分证明，半径为R 的圆周的周长为2πR ．30．证明曲线x y sin =一个周期的弧长等于椭圆2222=+y x 的周长31．由虎克定律可知，弹簧的伸长与拉力成正比．已知弹簧伸长1cm 时拉力为1N ，求把弹簧拉长10cm ，拉力所做的功．32．一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？33．设有一质量为M ，长为L 的匀质细棒，和一个位于细棒延长线上相距细棒近端为a 的指点，质点的质量为m ．求细棒对该质点的引力．（根据万有引力定律）34．某下水道的横截面时直径为3m 的圆，水平铺设，下水道内水深1．5m ，求与下水道垂直的闸门所受的压力．35．一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅值地沉没在水中，顶在上，底在下，且与水面平行，顶离水面3厘米，试求它侧面所受的压力．36．设有一半径为R ，圆心角为α的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ．在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力．37．若电量Q 均匀地分布在长为L 的细棒上，求棒的中垂线上离棒中心为a 处的电荷q所受的电场力．38．一物体以速度t t v 232+=（米/秒）作直线运动，计算它在前3秒内的平均速度． 39．计算正弦交流电t A i ωsin =一个周期T （ωπ2=T ）内，电流的平均值和有效值（即电流的均方根⎰=T dt t i T I 02)(1） 40．求下列函数在],[a a -上的平均值 （1）22)(x a x f -=（2）3)(x x f =41．血液在动脉里流动时，距离动脉中心线r 处的血液流动速度为)()(22r R k r v -=，其中R 是动脉的半径，k 是常数，求血液流动的平均速度．42．一密度均匀的薄片，其边界由抛物线ax y =2与直线)0(>=a a x 围成，求此薄片的重心坐标．43．某厂每批生产某产品Q 单位时，收益函数为Q Q R 02.010)(-=（单位：元/单位），当生产10单位时总成本为60元．问此时生产利润是多大？自测题（A ）（一）选择题1．曲线2y x =与直线x y =所围成的平面图形的面积为（ ）A ．21 B ． 31 C ． 61 D ． 32 2．椭圆 ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos )232(ππ≤≤t 与y 轴所围成图形的面积为( )A ．ab 4πB ．ab 2πC ．ab 43πD ．ab π3．曲线)22(cos ππ≤≤-=x x y 与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积为（ ）A ．2πB ．πC ．22πD ．2π4．曲线2,12=+=x y x 所围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）A ．π1564 B ． π1532 C ． π152 D ． π1565．一物体沿x=3t 2作直线运动，所受阻力与速度的平方成正比（比例系数为k ），物体从x=0移到x=1时克服阻力所作的功为A ． 4kB ．2kC ．6kD ．8k6．曲线)(x f y =具有一阶连续导数，则曲线上相应于],[b a x ∈的一段弧长为（ ） A ． ⎰+badx x f )(12B ． ⎰-badx x f 1)(2 C ．⎰+badx x f |)('|1 D ．⎰+badx x f 2)]('[1（二）填空题1．由曲线y=cosx 和直线 x y -=π2 所围图形的面积为 ．2．对数螺线θe r 2=自0=θ到πθ2=的一段弧所围平面图形的面积为 ． 3．由曲线4,3=+=y x xy 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．4．曲线)1ln(2x y -=相应于区间[0，21]上的一段弧的长度为 ． 5．曲线0,2,3===y x x y 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为 ．6．函数12+=x y 在区间[-2，4]上的平均值为 ．（三）解答题1． 求由曲线x y x y ==,3所围图形的面积．2．求c 的值（c>0），使两曲线2x y =与3cx y =所围图形的面积为323．如图6—27，设函数20,sin π≤≤=x x y ．求：（1）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最大？ （2）t 取何值时，图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小？4．设平面图形式由x y x y ==,2及x y 2=所围成，求：（1） 此平面图形的面积．（2） 此平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．5．设有一直径为8m 的半球形水池，盛满水，若将池中的水抽干，问至少需做多少功？ 6．利用定积分证明，半径为r 的球体的体积为343V r π=自测题（B ）（一）选择题1． 曲线2x y =与32x y =所围成的图形的面积为（ ）A ．53 B ． 52 C ． 153 D ． 151 2．曲线xe y =及该曲线的过原点的切线和x 轴的负半轴所围成的平面图形的面积为（ ）A ． eB ． 2e C ． e 21 D ． 221e 3．曲线)2)(1(--=x x x y 与x 轴所为图形的面积可表示为（ ） A ．⎰--20)2)(1(dx x x x B ．⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x xC ． ⎰---2)2)(1(dx x x x D ．⎰⎰--+---211)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x4．由)0(sin π≤≤=x x y 和x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积为（ ）A ． 2πB ． 24πC ．231π D ． 22π 5．摆线)20()sin 1()sin (π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 的一拱与x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转所得旋转体的体积为（ ）A ． 34a πB ． 325a π C ． 324a π D ． 35a π6．一个半圆形的水池半径为R ，池内盛满了水，则把池内的水抽出2R所做的功与把水全部抽出所做的功之比为（ ）A ．21 B ． 167 C ． 32 D ．41 （二）填空题1．由曲线2,2,1==+=y x xx y 围成的平面图形的面积为 ． 2．由0,2,3===y x x y 所围成的图形，绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 ．3．抛物线342-+-=x x y 与直线62,34+-=-=x y x y 围成的平面图形的面积为 ．4． 曲线16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ．5．曲线⎰-=xdt t y 2cos π的全长为 ．6．由直线21=x 与抛物线x y 22=包围的图形绕直线1=y 旋转所得旋转体的体积为 ．（三）解答题1．求由曲线x y x y sin ,cos ==和直线π2,0==x x 所围图形的面积．2．过抛物线2x y =上一点),(2a a P 做切线，问a 为何值时所做的切线与抛物线142-+-=x x y 所围成的图形面积最小？计算该最小值．3．试求抛物线2x y =在点（1，1）处的切线与抛物线自身及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积4．求曲线1,sin 1=+=r r θ所围成的图形公共部分的面积．5．在椭圆1422=+y x 绕长轴旋转生成的椭球中，沿长轴方向打一圆孔，如果剩余部分的体积是椭球体积的一半，则孔的直径是多少？6．边长为b a ,的矩形薄片，与液面成30角沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设b a ，液体的比重为γ，试求薄片每面所受的压力．7．如图6-2-5所示，在曲线)0(2>=c cx y 上对应1=x 的点A(1，c)处作其法线，今将由该法线及曲线2cx y =与y 轴所围成的平面图形绕y 轴旋转一周．证明41=c 时旋转体体积最小．参考答案练习题1．（1）A （2）B （3）B （4）C （5）C （6）B （7）D （8）C （9）A （10）D2． （1） 2； （2）335； （3） πab ； （4）23； （5）π103；（6）)1(2-e π； （7）3432-； （8）940．8kN ． 3． （1）61； （2） 1； （3） 332； （4） 332． 4． （1） 222-+-e e ； （2） )12(4334-； （3） 214； （4） 1225；（5）1-e ； （6）214； （7）π234+； （8）1 ． 5．2． 6．364． 7．322． 8．23． 9．)32,33(． 10．a 332． 11．a 23． 12．2323a π．13．（1）2a π； （2）2332-π； （3）π227； （4）2316-+π． 14．)(4222ππe e a -． 15．1． 16．略． 17．3316R ． 18．π1564． 19．240π． 20．382b a π． 21．（1） 238π-； （2） 3,1544ππ==y xV V ． 22．略． 23．b a 222π． 24．a 22π． 25．)1(412+e ． 26．3ln 2ln 1+-． 27．π343+． 28．a 8． 29．略． 30．提示 ：将椭圆方程化为参数方程，分别导出两条曲线的长度，即可证明． 31． 0．5J ． 32．16411．73kJ ． 33．)(a l a GMm+． 34．20．05kN ．35．1646．4kN ． 36．2sin 2,0αρR km F F x y ==． 37．提示：建立以中垂线为y 轴，细杆为x 轴的平面直角坐标系，将电荷受到的力分解为x 轴和y 轴方向的分力．由对称性，x 轴方向的分力，合力为零，只需计算y 轴方向上的分力． 2242La a kQq F y +=38．12m/s ． 39．A 22． 40．（1）4πa ； （2）0． 41．232kR ． 42．0,53==y a x ． 43．39元． 自测题（A ）一．1．C 2．B 3． C 4． A 5． C 6．D二．1．316271π+； 2．14-πe ； ．π38；4．213ln -； 5．π564； 6． 5． 三．1．125． 2．21． 3．（1）0=t ，（2）4π=t ．4．（1）67；（2）ππ615,1562==y x V V ． 5．1964．4 kJ ． 6．略． 自测题（B ）一．1．D 2． 3．B 4．D 5．B 6．D 二．1．212ln -； 2．π564； 3．49；4．2160π； 5． 4；， 6．34π． 三．1．123+， 2．min 41,3a A ==3． 30π 4．245-π 5．约为1．22 6．)4(41b h ab +γ 7．略。
定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答.docx
定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11|线y = f(x)(f(x)>O)Rx = a J x = h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所|韦|成，则血•积元素为[f f r(x)]dx,于是平而图形的而积为：S = W-.A F(x)]dx .③连续曲线兀=久刃(0(y)» 0)及y = c, y = d及V轴所围成的平iM图形面积为A= [ 0(y)〃y④由方程X = 01 (y)与X = 02(歹)以及y = y = d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy 翎>©)例1计算两条抛物线y = 0与兀=y2所围成的而积.解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y = x2x = y2要先找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3 lo 3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2, 0右(y) = y+4.⑷计算积分s =匸。
+4-号y2）dy 二母y2+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2 ］上连续|11|线y=ln x , x轴及二直线x =-，与x二2所围成平面区2 2域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间［1 , 2 ］上，In x $0，则此区域的面积为:Ji |ln x^/x =21二-(x \n x - x) i + T4ln2-1•29例4 求抛物线y =x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。
高考数学定积分应用选择题
高考数学定积分应用选择题1. 定积分在几何应用中，计算一个矩形的面积，面积为10平方单位，则该矩形的长和宽分别为（）A. 2, 5B. 10, 2C. 5, 2D. 2, 22. 定积分在物理应用中，一个物体从静止开始沿直线加速运动，已知初速度为2m/s，加速度为5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程3. 定积分在物理应用中，已知物体沿直线运动的位移s与时间t 的关系为s=3t^2-2t+1，求物体在t=1秒时的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程4. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线加速运动，已知初速度为5m/s，加速度为2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程5. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线加速运动，已知初速度为3m/s，加速度为4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程6. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为5m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程7. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为3m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程8. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为2m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程9. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为1m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程10. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为2m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程11. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为3m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分D. 积分方程12. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为4m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程13. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为5m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程14. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为6m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程15. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为7m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程16. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为8m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程17. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为9m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程18. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为10m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程19. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为11m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程20. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为12m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程21. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为13m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程22. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为14m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程23. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为15m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程24. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为16m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程25. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为17m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程26. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为18m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程27. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为19m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程28. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为20m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程29. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为21m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程30. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为22m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程31. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为23m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程32. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为24m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程33. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为25m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程34. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为26m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程35. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为27m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程36. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为28m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程37. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为29m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程38. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为30m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程39. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为31m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程40. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为32m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程41. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为33m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程42. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为34m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程43. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为35m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程44. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为36m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程45. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为37m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程46. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为38m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程47. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为39m/s，加速度为-5m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程48. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为40m/s，加速度为-2m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程49. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为41m/s，加速度为-3m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程50. 定积分在物理应用中，一个物体沿直线减速运动，已知初速度为42m/s，加速度为-4m/s^2，求物体运动1秒后的速度，应使用（）A. 定积分B. 不定积分C. 微积分D. 积分方程。
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
定积分及其应用计算题
3
(1) 求它与 x 轴所围成的面积; (2) 求它的弧长; (3) 求它与 x 轴围成区域绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积和 表面积. 15* 设曲线 y ax a 0, x 0 与 y 1 x 相交于点 A ,过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y ax 围成一个平面图形,问 a 为何值时,该 图形绕??轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 ?最大体积为多 少? 16. 过点 1,0 作曲线 y x 2 的切线,该切线与上述曲线及 x 轴 围成一个平面图形 A .(1) 求 A 的面积; (2) 求 A 绕 x 轴旋转 一周所成的旋转体的体积. 17* 设函数 f x 在闭区间 0,1 上连续,在开区间 0,1 内大于零, 并满足 3a xf x f x x (a 为常数);
1 2
y a1 cos t ,
(1) 求它绕 x 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积; (2) 求它绕 y 轴旋转一周生成的旋转体的体积与侧面积. 12. 13. 14.
x 2 求曲线 y 在 0 x 2 区间段的弧长. 2 x at sin t , 求外旋轮线的方程为 0 t 2 , a 0 的弧长. y a1 cos t ,
要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之 比为常数 r ( 0 r 1 ).问: (1) 汽锤击打 3 次后,可将桩打进地下多深? (2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? 广义积分问题 1. 计算
3 2 1 2
dx xx
x2 0
2
.
定积分应用练习题
定积分的应用练习题1. 抛物线22y x = 把圆228x y +=分为两部分，分别求出这两部分的面积。
2. 直线将椭圆2236x y y +=分成两部分，分别求出这两部分的面积。
3. 在抛物线21y x =-上找一点00(,)P x y ，其中00x ≠，过00(,)P x y 作抛物线的切线，使该切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形的面积最小。
4. 从抛物线21y x =-上的点00(,)P x y 引另一条抛物线2y x =的切线，求该切线与2y x=所围成的图形的面积。
5. 求有抛物线24(0)y ax a =>与过焦点的弦所围成图形面积的最小值。
6. 求星形线33cos (02)sin x a t t y a tπ⎧=≤≤⎨=⎩所围成的图形的面积A ，全长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。
7. 求伯努利双纽线22cos 2a ρθ=的面积A ，及绕Ox 轴旋转的旋转体的体积和侧表面积。
8. 求圆域222()()x y b ab a +-≤>绕Ox 轴旋转而成的圆环体的体积。
9. （1）求曲线32y x x =-与2y x =所围成的图形的面积；（2）若该图形绕Oy 绕一周，求所得旋转体的体积。
10. 求螺线(0)m ae θρθπ=≤≤与Ox 轴所围成的面积A ，弧长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。
11. 在曲线2(04)3y x =≤≤上人一点的密度等于该点至原点一段曲线的弧线长度，求其质量。
12. 半径为R ，长为l 的圆柱体平放在深度为2R 的水池中（柱体的侧面与水面相切），设柱体的密度为(1)ρρ>，问将柱体移出水中需要做多少功？13. 设半径为R ，高为h 的圆柱体水池盛满了水，若将水池中的水吸干，要做多少功？14. 将半径为的半圆形板竖直放入水中，是其直径与水面相齐。
（1）求该板一侧所受的压力；（2）欲使压力增加一倍，该板应下移多少米？15. 一根半径为R 的圆环金属丝，其线密度为ρ，以等角速度ω绕其某一条直径旋转，求金属丝的动能。
定积分练习题
定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。
2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。
3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。
4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。
5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。
二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。
7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。
8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。
9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。
三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。
11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。
12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。
13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。
14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。
四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。
最新定积分的几何应用例题与习题(学生用)
定积分的几何应用例题与习题1曲线】的极坐标方程T=「COSR(0),求该曲线在所对应的点处的切线L的2 4直角坐标方程，并求曲线〕、切线L与x轴所围图形的面积。
2、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的面积为S n它们与直线x =1所围成的面积为务并且a <1(1)试确定a的值，使S ' S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
3、设xoy平面上有正方形D = {(x, y) 0兰x乞1,0兰y兰1}及直线L:x+y = t(t^O)x若S(t)表示正方形D位于直线I左下部分的面积，试求S(t)dt(x _0)4、求由曲线y =e»J sinx|(x Z0)与x轴所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积乂35、求由曲线^aC0S3t(a -0^n<-)与直线y=x及y轴所围成的图形[y=asi n3t 4 2绕x轴旋转所得立体的全表面积。
X _x6. 曲线y = e e—与直线x = 0, x =t(t • 0)及y = 0围成一曲边梯形，该曲边梯2形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t),侧面积为S(t),在x = t处的底面积为F(t)(1) 求的值;(2)计算极限limV(t) t-和F(t)泄2伽抄 (1)V(t) -：：F(t)7、求由摆线x=a(t -sint),y= a(1-cost)的一拱(0辽t辽2二)与横轴所围成的平面图形的面积, 及该平面图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。
(1)A=3二a2 , (2)V x =5二2a3 , (3)V y =6二3a38、设平面图形A由x2y2 -2x及y-x所确定，求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。
兀2 2V 二2 39设函数f (x), g(x)可微，且f (x)二g(x), g (x)二f (x), f (0) = 0, g(x) = 0.求：1)F(x)二丄©;(2)作出函数曲线y二F(x)的图形；(3)计算由曲线y = F(x)及直线g(x)x=0,x二b(b 0)和y =1围成的面积•(1) F(x)=1—飞^.e +1(2) 当XA0时，F"(x)c0,曲线上凸；当xc0时，F"(x)>0,曲线下凹，所以(0,0)为拐点，且y二_1为其水平渐近线•b b 2(3) S= °(1-F(x))dx= °孑”dx = 2b I n2-ln( 2b 1).10. 已知曲线y=a.x,(a 0)与曲线y = In ■■、x在点(x0, y0)处有公共切线，求(1常数a及切点(x0, y0)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形的面积；(3)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V(1 a =1 ,切点(e2,1) RjsJe2—1(3)V x :e 6 2 2x11. 对于指数曲线y =e2(1)试在原点与x(x 0)之间找一点.-v x (0 ：：： x :: 1),使这点左右两边有阴影部分的面积相等，并写出 v的表达式(2)求lim v -?x T十x xt xe" -2e2 2lim J xj •2_ xx(e2 -1)12、抛物线y=ax2・bx，c通过点(0,0)，且当0_x_1时，y_0,它和直线x = 1及y=0所围的图形的面积是4，问这个图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时，a，b与c的9值应为多少？5a ,b = 2,c = 0313、过点P(1,0)作抛物线y x-2的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形(如图)，求此图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。
(完整版)定积分应用题附答案
《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =ln ln by ae dy ⎰=b-a______2.2y x y ==曲线和 ____13____二．计算题：1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。
解：（1）确定积分变量为y ，解方程组2222y x y x ⎧=⎨=-+⎩ 得12121/22,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 即抛物线与直线的交点为（21，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。
（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－21y ）-21y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－21y)- 21y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =⎰-12[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]12-= 942．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。
解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。
抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 32，3 ）。
故 面积A =332223029[(43)(43)][(26)(43)]4x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=⎰⎰3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与横轴所围成的图形的面积。
第6章定积分的应用习题集及答案
第六章 习题 定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ） （A ）⎰ba xdx ln ln ln ； （B ）⎰be a e xdx e ； （C ）⎰ba ydy e ln ln ； （D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ； （B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ； （C ）⎰-e x x dx x e e 1)(； （D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ； （B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(； （C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(； （D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ； （B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ； （D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为 （ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案
数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 曲线y=sin x与x轴在区间[0, 2π]上所围成阴影部分的面积为（）A.−4B.−2C.2D.42. 由直线x=0，x=2，y=0和抛物线x=√1−y所围成的平面图形绕x轴旋转所得几何体的体积为（）A.46 15πB.43π C.1615π D.83π3. 由直线x=1，x=2，y=0与抛物线y=x2所围成的曲边梯形的面积为（）A.1 3B.53C.73D.1134. 由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（）A.5 6B.1C.53D.25. 曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后，所形成的旋转体的体积为（）A.3π10B.π2C.π5D.7π106. 函数y=sin x，y=cos x在区间(π4，5π4)内围成图形的面积为（）A.√2B.2√2C.3√2D.4√27. 一物体在力F(x)=3+e2x(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=0处运动到x=1处，力F(x)所做的功为（）A.(3+e2)JB.(3+12e2)J C.(52+12e2)J D.(2+e2)J8. 由曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积是()A.4B.103C.163D.1549. 下列表示图中f(x)在区间[a, b]上的图象与x 轴围成的面积总和的式子中，正确的是（ ）A.∫f ba (x)dx B.|∫f ba (x)dx|C.∫f c 1a (x)dx +∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc 2(x)dxD.∫f c 1a (x)dx −∫f c 2c 1(x)dx +∫f cc2(x)dx10. 直线y =x 与曲线y =√x 3围成的平面图形的面积是．（ ） A.14 B.2 C.1D.1211. 设函数f(x)=ax 2+c(a ≠0)，若∫f 10(x)dx =f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．12. y =cos x 与直线x =0，x =π及x 轴围成平面区域面积为________．13. 由曲线y =|x|，y =−|x|，x =2，x =−2合成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V =________．14. 两曲线x −y =0，y =x 2−2x 所围成的图形的面积是________．15. 由曲线y =x 2和直线x =0，x =1，以及y =0所围成的图形面积是________． 16.若在平面直角坐标系xOy 中将直线y =x 2与直线x =1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的体积V 圆锥=∫π10(x 2)2dx =π12x 3|10=π12据此类比：将曲线y =x 2与直线y =9所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V =________．17. 在直角坐标平面内，由直线x=1，x=2，y=0和曲线y=1所围成的平面区域的x面积是________．18. 在xOy平面上，将抛物线弧y=1−x2(0≤x≤1)、x轴、y轴围成的封闭图形记为D，如图中曲边三角形OAB及内部．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω，过点(0, y)(0≤y≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为(1−y)π，试构造一个平放的直三棱柱，利用祖暅原理得出Ω的体积值为________．19. 函数f(x)=x3−x2+x+1在点(1, 2)处的切线与函数g(x)=x2−x围成的图形的面积等于________．2ax2−a2x)dx，则f(a)的最大值为________．20. 已知f(a)=∫(1x2在第一象限内的交点为P.21. 已知曲线C1：y2=2x与C2：y=12(1)求曲线C2在点P处的切线方程；(2)求两条曲线所围成图形的面积S.22. 求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．23. 已知曲线C:y=x2(x≥0)，直线l为曲线C在点A(1, 1)处的切线．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与曲线C以及x轴所围成的图形的面积．24. 如图一是火力发电厂烟囱示意图．它是双曲线绕其一条对称轴旋转一周形成的几何体，烟囱最细处的直径为10m，最下端的直径为12m，最细处离地面6m，烟囱高14m，试求该烟囱占有空间的大小．（精确到0.1m3）25.(1)已知复数z的共轭复数是z¯，且z⋅z¯−3iz=10，求z；1−3ix所围成的平面图形的面积．(2)求曲线y=√x与直线x+y=2，y=−1326.（1）已知(√x +2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列．求n ．（2）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y =x 2和曲线y =√x 围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），求所投的点落在叶形图内部的概率．27. 求由下列给出的边界所围成的区域的面积： （1）y ＝sin x(π4≤x ≤π)，x =π4，y ＝0；（2）y ＝x 2，y ＝2x 2，x ＝1；（3）y ＝x 2，y =√x ．28. 求由y =4−x 2与直线y =2x −4所围成图形的面积．29. 已知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0． （1）求S 0．（2）求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积．30. 已知函数y =f(x)的图形如图所示，给出y =f(x)与x =10和x 轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？31. 已知曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0由C 与围成封闭图形记为M ． （1）求M 的面积；（2）若M 绕x 轴旋转一周，求由M 围成的体积．32. 已知f(x)为一次函数，且f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， （1）求函数f(x)的解析式；（2）若g(x)=x ⋅f(x)，求曲线y =g(x)与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．33. 已知圆锥的高为ℎ，底半径为r ，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式． [提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n 块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn ，2r n，3r n…，(n−1)r n，r ；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n 2)×πr 2n 2，当n 越来越大时所趋向的值．]．34. 求曲线y =√x(0≤x ≤4)上的一条切线，使此切线与直线x =0，x =4以及曲线y =√x 所围成的平面图形的面积最小．35. 过点(0, 1)作曲线L:y =ln x 的切线，切点为A ．又L 与x 轴交于B 点，区城D 由L 、x 轴与直线AB 围成，求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．36. 求曲线y =2x −x 2，y =2x 2−4x 所围成图形的面积．37. 已知∫(103ax +1)(x +b)dx =0，a ，b ∈R ，试求ab 的取值范围．38. 求下列曲线所围成图形的面积：曲线y=cos x，x=π2，x=3π2，y=0．39. 求曲线y=sin x与直线x=−π2，x=5π4，y=0所围成的平面图形的面积．40. 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x−x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．参考答案与试题解析数学选修2-2定积分的简单应用练习题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【答案】 D【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx ，即可得出结论． 【解答】解：由积分的几何意义可得，S =2∫sin π0xdx =(−cos x)|0π=4． 故选：D ． 2.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】由题意此几何体的体积可以看作是∫π20(1−x 2)2dx ，求出积分即得所求体积． 【解答】解：由题意几何体的体积； ∫π20(1−x 2)2dx=π(x −23x 3+15x 5)|02=π(2−23×23+15×25) =4615π 故选A ． 3. 【答案】 C【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：直线x =1，x =2，y =0与抛物线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为S =∫x 221dx =13x 3|12=83−13=73，故选：C ．4.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解，然后求出曲线y =x 2+2与y =3x 的交点坐标，然后利用定积分表示所围成的平面图形的面积，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x =[13X 3+2X −32X 2]01=56 故选：A 5.【答案】 A【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】欲求曲线y =x 2和y 2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y =π(x −x 4)在0→1上的积分即可． 【解答】解：设旋转体的体积为V ，则v =∫π10(x −x 4)dx =π(12x 2−15x 5)|01=3π10．故旋转体的体积为：3π10． 故选A ． 6. 【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx ，然后利用公式求出sin x −cos x 的原函数F(x)，算出F(5π4)−F(π4)的值，即为所求图形的面积． 【解答】解：根据题意，所求面积为S =∫(5π4π4sin x −cos x)dx =(−cos x −sin x +C)|π45π4 （其中C 为常数） ∴ S =(−cos 5π4−sin5π4+C)−(−cos π4−sin π4+C)=(√22+√22+C)−(−√22−√22+C)=2√2 故选B 7.【答案】 C【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据题意建立关系式∫(103+e 2x )dx ，然后根据定积分的计算法则求出定积分的值即可． 【解答】解：根据题意可知F(x)所做的功为∫(103+e 2x )dx =(3x +12e 2x )|01=3+12e 2−12=52+12e 2故选C ．8.【答案】 B【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积 【解答】解：联立直线y =x −2，曲线y =√x 构成方程组，解得{x =4,y =2,联立直线y =x −2，y =0构成方程组，解得{x =2,y =0,如图所示：∴曲线y=√x，y=x−2及x轴所围成的封闭图形的面积S=∫√x40dx−∫(42x−2)dx=2x32|04 −(1x2−2x)|24=163−2=103．故选B．9.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用定积分定积分的简单应用【解析】先根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段，然后利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积，从而求出所求．【解答】解：根据定积分的几何意义可知将区间[a, b]分成三段利用上方曲线方程减下方的曲线方程，求积分即为面积S=∫fc1a (x)dx−∫fc2c1(x)dx+∫fcc2(x)dx故选：D10.【答案】D【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先画出画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形，然后求出交点横坐标得到积分上下限，然后利用定积分表示出图形的面积，根据定积分的运算法则进行求解即可．【解答】解：画出直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形图形关于原点对称，交点的横坐标为−1，1∴直线y=x与曲线y=√x3围成的平面图形的面积是∫(1−1√x3−x)dx=2∫(1√x3−x)dx=2(34x43−12x2)|01=2(34−12−0)=12故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 11.【答案】 √33【考点】定积分的简单应用 【解析】求出定积分∫f 10(x)dx ，根据方程ax 02+c =∫f 10(x)dx 即可求解．【解答】解：∵ f(x)=ax 2+c(a ≠0)，∴ f(x 0)=∫f 10(x)dx =[ax 33+cx]01=a3+c ．又∵f(x 0)=ax 02+c ．∴ x 02=13，∵ x 0∈[0, 1]∴ x 0=√33． 12.【答案】2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =0，x =π2所围成的平面区域的面积的两倍， ∴ S =2∫cos π20xdx =2 故答案为2．13.【答案】323π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）用定积分求简单几何体的体积【解析】作出曲线围成的封闭图象，根据旋转得到旋转体的结构即可得到结论．【解答】解：曲线y=|x|，y=−|x|，x=2，x=−2合成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体为底面半径为2，高为4的圆柱，去掉2个底面半径为2，高为2的圆锥，则对应的体积为π×42−2×13π×22×2=16π−16π3=323π，故答案为：323π14.【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为3，积分下限为0，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为3，积分下限为0；两曲线x−y=0，y=x2−2x所围成的图形的面积是∫(33x−x2)dx而∫(303x−x2)dx=(32x2−13x3)|03=272−9=92∴曲边梯形的面积是92故答案为92．15. 【答案】13【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y =x 2在区间[0, 1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案． 【解答】解：∵ 曲线y =x 2和直线L:x =1的交点为A(1, 1)，∴ 曲线C:y =x 2、直线L:x =1与x 轴所围成的图形面积为 S =∫x 210dx =13x 3|01=13．故答案为：13．16. 【答案】81π2【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：根据类比推理得体积V =∫π90(√y)2dy =∫π90ydy =12πy 2|09=81π2，故答案为：81π2.17.【答案】 ln 2【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先根据所围成图形的面积利用定积分表示出来，然后根据定积分的定义求出面积即可． 【解答】解：由题意，S =∫1x 21dx =ln x|12=ln 2．故答案为：ln 2． 18. 【答案】√34π 【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即可得出结论． 【解答】解：(1−y)π看作是把一个底面边长为1，高为π的直三棱柱平放得到的， 根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 即Ω的体积为π⋅√34=√34π． 故答案为√34π． 19. 【答案】92【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积． 【解答】解：函数的导数为f′(x)=3x 2−2x +1，则在(1, 2)处的切线斜率k =f′(1)=3−2+1=2， 则对应的切线方程为y −2=2(x −1)，即y =2x ， 由{y =x 2−x y =2x，解得x =3或x =0，则由积分的几何意义可得阴影部分的面积S =∫(302x −x 2+x)dx =(32x 2−13x 3)| 30 =92，故答案为：92．20. 【答案】29【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算公式求出f(a)的解析式，然后利用二次函数的图象和性质即可求出f(a)的最大值． 【解答】解：f(a)=∫(102ax 2−a 2x)dx =(23ax 3−12a 2x 2)|01=23a −12a 2∴ 当a =23时，f(a)取最大值，最大值为29 故答案为：29三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.【答案】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43.【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 交点为P(2,2),∴ 曲线C 2的导函数为：y ′=x ∴ 切点坐标为(2,2)，故该点的切线方程为：2x −y −2=0. (2)两曲线交点坐标(0,0),(2,2), S ∈∫(√2x −12x 2)20dx =43. 22. 【答案】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1【考点】定积分的简单应用 【解析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解． 【解答】解：联立{y =x 2+2y =3x，解得x 1=1，x 2=2∴ S =∫(10x 2+2−3x)d x +∫(213x −x 2−2)d x =[13X 3+2X −32X 2]01+[32X 2−13X 3−2X]12=1 23. 【答案】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．【考点】定积分在求面积中的应用利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积． 【解答】解：（1）由y′=2x ，则切线l 的斜率k =y′|x=1=2×1=2，切线l 的方程为y −1=2(x −1)即2x −y −1=0；（2）如图，所求的图形的面积s =∫x 2120dx +∫[112x 2−(2x −1)]dx =112．24.【答案】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)，所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 3【考点】用定积分求简单几何体的体积 双曲线的特性【解析】由题意建立坐标系，得到如图的双曲线，烟囱最细处的直径为10m 即2a =10，最下端的直径为12m ，最细处离地面6m ，即双曲线经过(−6, 6)，烟囱高14m ，即自变量范围为−6到8，由此利用定积分的值得到体积． 【解答】解：由题意，将烟囱横截面按照如图放置，建立坐标系如图，双曲线的短轴长为2A =10，并且过(−6, 6)， 所以双曲线方程为y 225−11x 225×36=1，所以V =π∫(8−611x 236+25)dx =1659.2m 325.【答案】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)，直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．【考点】 复数的运算 共轭复数复数代数形式的混合运算 定积分在求面积中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设z =a +bi (a,b ∈R )， 则z ¯=a −bi ，∴ z ⋅z ¯−3iz =a 2+b 2+3b −3ai . 又∵ z ⋅z ¯−3iz =101−3i =1+3i ， ∴ {a 2+b 2+3b =1，−3a =3，解得 {a =−1，b =0，或{a =−1，b =−3，∴ z =−1或z =−1−3i . (2)由{y =√x ，x +y =2，解得{x =1，y =1，即曲线y =√x 与直线x +y =2的交点坐标为(1,1)， 同理可得，曲线y =√x 与直线y =−13x 的交点坐标为(0,0)， 直线x +y =2与直线y =−13x 的交点坐标为(3,−1)，所以围成的平面图形的面积为： S =∫(√x +13x)10dx +∫(2−x +13x)31dx=(23x 32+16x 2)|01+(2x −13x 2)|13=136．26. 【答案】解：（1）∵ (√x 2x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴ 1+n(n−1)2×14=n ，整理得n 2−9n +8=0，n 1=1（舍） n 2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A ，由几何概型的概率公式得： P(A)=叶形图面积AOBC 的面积=∫(10√x−x 2)dx1=(23x 32−13x 3)|01=13…【考点】二项式定理的应用定积分在求面积中的应用 等差数列的性质几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】（1）由题意可得，C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12，解关于n 的方程即可；（2）由几何概型的概率公式可知，需求叶形图的面积，利用定积分∫(10√x −x 2)dx 可求叶形图的面积，从而使问题解决． 【解答】解：（1）∵ (√x 2√x4)n 展开式的前三项系数成等差数列，∴ C n 0+C n 2(12)2=2C n 1⋅12…∴1+n(n−1)2×14=n，整理得n2−9n+8=0，n1=1（舍）n2=8…（2）所投的点落在叶形图内记为事件A，由几何概型的概率公式得：P(A)=叶形图面积AOBC的面积=∫(1√x−x2)dx1=(23x32−13x3)|01=13…27.【答案】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．【考点】定积分的简单应用【解析】首先求出被积函数的原函数，进一步利用定积分知识求出结果．【解答】利用S=∫ππ4sin xdx=(−cos x)|π4π=1+√22．利用S=∫10(2x2−x2)dx=23x3|01−13x3|01=13．由于{y=x2y=√x，解得{x=0y=0或{x=1y=1，所以S=∫10(√x−x2)dx=23x32|01−13x3|01=23−13=13．28.【答案】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x3−x2+8x)|−42=36．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由y=4−x2与直线y=2x−4联立，可得交点(−4, −12)，(2, 0)，∴y=4−x2与直线y=2x−4所围成图形的面积S=∫(2−44−x2−2x+4)dx=(−13x 3−x 2+8x)|−42=36．29. 【答案】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx =π[x2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π22【考点】用定积分求简单几何体的体积 定积分在求面积中的应用【解析】（1）根据题意可知曲线y =sin x 和直线x =0，x =π，及y =0所围成图形的面积为S 0=∫sin π0xdx ，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为V =π∫sin 2π0xdx ，根据定积分的定义解之即可． 【解答】解：（1）S 0=∫sin π0xdx =[−cos x]0π=(−cos π)−(−cos 0)=1+1=2 （2）V =π∫sin 2π0xdx=π[x 2−14sin 2x]0π=π(π2−14×0)=π2230.【答案】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ， 由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx =(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 【解答】解：设f(x)=ax 3+bx 2+cx +d ，则f′(x)=3ax 2+2bx +c ，由图象可知{ f(0)=0f(1)=1f′(4)=0f′(7)=0，即{ d =0a +b +c =0c 3a =28−2b 3a =11，解得{ a =2137b =−33137c =168137d =0， ∴ f(x)=2137x 3−33137x 2+168137x ． ∴ S =∫f 100(x)dx=(2137×x 44−33137×x 33+168137×x 22)|10≈17.5． 若要想得到误差不超过1的面积估计值，可使用分段函数求出f(x)的解析式，然后使用定积分求出面积． 31. 【答案】解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43；（2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx =π(x 22−x 312)|04=8π3．【考点】用定积分求简单几何体的体积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】（1）求得交点坐标，可得积分区间，即可求M 的面积； （2）旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求．【解答】 解：（1）曲线C:y =√x 和直线：x −2y =0联立，可得交点坐标为(4, 2)，则 S =∫(40√x −12x)dx =(23x 32−x 24)|04=43； （2）V =∫[40π(√x)2−π(x2)2]dx=π(x 22−x 312)|04=8π3．32.【答案】 解：（1）设f(x)=kx +b ， ∵ f(x)=x ∫f 20(t)dt +1， ∴ kx +b =x •(kt 22+bt)|02+1，∴ kx +b =(2k +2b)x +1，∴ k =−2，b =1， ∴ f(x)=−2x +1，；2)g(x)=xf(x)=−2x 2+x ， ∴ V =π∫[120xf(x)]2dx =π240． 【考点】用定积分求简单几何体的体积定积分【解析】（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f(x)的解析式；（2）求出g(x)，应用定积分来求旋转体的体积．【解答】解：（1）设f(x)=kx+b，∵f(x)=x∫f2(t)dt+1，∴kx+b=x•(kt22+bt)|02+1，∴kx+b=(2k+2b)x+1，∴k=−2，b=1，∴f(x)=−2x+1，；2)g(x)=xf(x)=−2x2+x，∴V=π∫[120xf(x)]2dx=π240．33.【答案】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎn⋅16n(n+1)(2n+1)⋅πr2n2=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积【考点】用定积分求简单几何体的体积【解析】利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到【解答】解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为ℎn ，底半径顺次为：rn，2r n ，3rn…，(n−1)rn，r；（3）问题归结为计算和式V(n)=ℎn ×(12+22+...+n2)×πr2n2，当n越来越大时所趋向的值．（对V求极限V=limn→∞ℎn×(12+22+...+n2)×πr2n2=lim n→∞ℎ⋅1n(n+1)(2n+1)⋅πr22=ℎπr26limn→∞2n2+3n+1n2=πr2ℎ3=13S底ℎ故圆锥的体积等于13的圆柱体的体积34.【答案】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2√x −x0)即y=y02+2√x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022x√x)dx=2y0+x−163=2√x0x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=22+√22．【考点】定积分在求面积中的应用【解析】先根据导数的几何意义求出曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．【解答】解：设(x0, y0)为曲线y=√x(0≤x≤4)上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y−y0=2x −x0)即y=y02+2x．得其与x=0，x=4的交点分别为(0,y02)，(4,y02+2y0)于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=√x所围的平面图形面积为：S=∫(4 0y022√x√x)dx=2y0+√x−163=2√x0√x−163应用均值不等式求得x0=2时，S取得最小值．即所求切线即为：y=2√2+√22．35.【答案】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b ，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx =8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积 【解析】求出A 的坐标和切线方程，则所求面积和体积均可用两个定积分的差来表示． 【解答】解：设切线方程为y =kx +1，切点坐标为(a, b)， 则{k =1aka +1=b ln a =b，解得a =e 2，b =2，∴ 切线方程为y =1e 2x +1．将y =0代入y =1e 2x +1得x =−e 2，∴ B(−e 2, 0)． ∴区域D 的面积为∫(e 2−e 21e 2x+1)dx −∫ln e 21xdx=x 22e 2+x|e 2−e 2−x(ln x −1)|e 21=2e 2+e 2=3e 2．区域D 绕x 轴旋转一周所得几何体体积为13⋅π⋅22⋅2e 2−π⋅∫(e 21ln x)2dx=8πe 23−π⋅x[(ln x)2−2ln x +2]|e 21=8πe 23−(2e 2−2)⋅π=2πe 23+2π．36. 【答案】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】先求出两曲线的交点坐标，利用定积分的应用即可求出对应图形的面积． 【解答】解：由{y =2x −x 2y =2x 2−4x ，得{x =0y =0或{x =2y =0， ∴ 所求图象的面积为：∫[20(2x −x 2)−(2x 2−4x)]dx =∫(206x −3x 2)dx =(3x 2−x 3)|02=3×22−23=12−8=4． 37. 【答案】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 【考点】定积分的简单应用 【解析】先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设ab =t 则a +b =−3t+12，再利用构造法构造a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根，然后利用判别式可求出a ．b 的取值范围． 【解答】解：∫(103ax +1)(x +b)dx =∫[103ax 2+(3ab +1)x +b]dx=[ax 3+12(3ab +1)x 2+bx]|01 =a +12(3ab +1)+b =0即3ab +2(a +b)+1=0 设ab =t ∴ a +b =−3t+12则a ，b 为方程x 2+3t+12x +t =0两根△=(3t+1)24−4t ≥0∴ t ≤19或t ≥1∴ a ⋅b ∈(−∞, 19]∪[1, +∞) 38.【答案】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】本题利用直接法求解，根据三角函数的对称性知，曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x 与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍，最后结合定积分计算面积即可． 【解答】解：根据对称性，得： 曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的平面区域的面积S 为：曲线y =cos x与直线x =π2，x =π所围成的平面区域的面积的二倍， ∴ S =−2∫cos ππ2xdx =−2sin x =2．故曲线y =cos x 与直线x =π2、x =3π2、y =0所围成的面积为2．39. 【答案】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 【考点】定积分在求面积中的应用 【解析】求曲线y =sin x 与直线x =−π2，x =5π4，y =0所围成的平面图形的面积【解答】解：s =∫|5π4−π2sin x|dx =−∫sin 0−π2xdx+∫sin π0xdx−∫sin 5π4πxdx=cos x|−π20−cos x|0π+cos x|π5π4=1+2+(−√22+1)=4−√22． 40.【答案】 由 {y =kx y =x −x2 得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)． 由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112 ∴ (1−k)3=12 ∴ k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．【考点】定积分的简单应用 【解析】先由 {y =kx y =x −x 2 得 {x =1−k y =k −k 2 ，根据直线y ＝kx 分抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 下面利用定积分的计算公式即可求得k 值． 【解答】由 {y =kx y =x −x 2得 {x =1−k y =k −k 2 (0<k <1)．由题设得∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12∫(10x −x 2)dx 即∫10−k[(x −x 2)−kx]dx =12( 12x 2−13x 3)|01=112试卷第31页，总31页 ∴ (1−k)3=12 ∴k ＝1−√432∴ 直线方程为y ＝(1−√432)x ． 故k 的值为：k =1−√432．。
高考数学定积分应用选择题
高考数学定积分应用选择题1. 定积分可以用来求解什么问题？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 以上都是2. 定积分表示的物理意义是什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 以上都是3. 求解曲线下的面积，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分4. 定积分的基本性质是什么？A. 定积分与被积函数单调性无关B. 定积分与积分区间长度无关C. 定积分与积分上下限无关D. 以上都是5. 定积分在物理学中的一个应用是求解什么？A. 物体的质量B. 物体的速度C. 物体的加速度D. 物体的位移6. 求解物体的质量，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分7. 定积分可以用来求解物体的体积，这是因为在三维空间中，物体的体积可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 以上都是8. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分9. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分10. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分11. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分12. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分13. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分14. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分15. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分16. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分17. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分18. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分D. 三重积分19. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分20. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分21. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分C. 双重积分D. 三重积分22. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分23. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分24. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分25. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分26. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分27. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分28. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分29. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分30. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分31. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分32. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分33. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分34. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分35. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分36. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分37. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分38. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分39. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分40. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分41. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量D. 物体的速度与时间的积分42. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分43. 定积分可以用来求解物体的速度，这是因为在物理学中，物体的速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分44. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分45. 求解物体的位移，应该使用哪种积分？A. 定积分B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分46. 定积分可以用来求解物体的加速度，这是因为在物理学中，物体的加速度可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分47. 求解物体的速度，应该使用哪种积分？A. 定积分C. 双重积分D. 三重积分48. 定积分可以用来求解物体的质量，这是因为在物理学中，物体的质量可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的位移与时间的积分49. 定积分在物理学中的一个应用是求解物体的位移，这是因为在物理学中，物体的位移可以表示为什么？A. 曲线下的面积B. 物体的质量C. 物体的体积D. 物体的速度与时间的积分50. 求解物体的加速度，应该使用哪种积分？B. 不定积分C. 双重积分D. 三重积分。
高考定积分应用常见题型大全(含答案)
高考定积分应用常见题型大全（含答案）一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）A．B．C．D．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln25．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）A．1B．C．D．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．47．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（）A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.513．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（）A．B．C．πa2D．2πa215．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2A．4B．C．D．2π17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．2219．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=高考定积分应用常见题型大全（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用；几何概型．专题：计算题．分析：根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．解答：解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；故选C．点评：本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．解答：解：根据题意作出函数的图象：根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=故选C点评：本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．4．定积分的值为（）A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2考点：定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．解答：解：=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2故选B．点评：本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）考点：定积分；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．解答：解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=故选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．6．=（）A．πB．2C．﹣πD．4考点：微积分基本定理；定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于F（x）=x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．解答：解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道基础题．7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）考点：定积分的简单应用．分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．解答：解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（）A．∫01e x dx＜∫01e x dx B．∫01e x dx＞∫01e x dxC．（∫01e x dx）2=∫01e x dx D．∫01e x dx=∫01e x dx考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x或y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可．解答：解：∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，∫01e x dx表示的几何意义是以直线x=0，x=1及函数y=e x在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图∵当0＜x＜1时，e x x＞e x，故有：∫01e x dx＞∫01e x dx点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．9．若a=，b=，则a与b的关系是（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°．解答：解：∵a==（﹣cosx）=（﹣cos2）﹣（﹣cos）=﹣cos2≈﹣cos114.6°=sin24.6°，b==sinx=sin1﹣sin0=sin1≈sin57.3°，∴b＞a．故选A．点评：本题考查定积分的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．的值是（）A．B．C．D．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积即可．解答：解；积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．故答案选A点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（）A．+e2﹣e B．+eC．﹣e2+eD．﹣+e2﹣e考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．解答：解：===故选C．点评：本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．12．已知f（x）=2﹣|x|，则（）A．3B．4C．3.5 D．4.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：由题意，，由此可求定积分的值．解答：解：由题意，=+=2﹣+4﹣2=3.5故选C．点评：本题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和．13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（）A．7B．8C．7.5 D．6.5考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx，将∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx转化成∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．解答：解：∫﹣22f（x）dx=∫﹣22（3﹣|x﹣1|）dx=∫﹣21（2+x）dx+∫12（4﹣x）dx=（2x+x2）|﹣21+（4x﹣x2）|12=7 故选A．点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14．积分=（）考点：定积分的简单应用；定积分．专题：计算题．分析：本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与x轴所围成的图形的面积，围成的图象是半个圆．解答：解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．故选B．点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数f（x）的积分，求出所求即可．解答：解：由题意图象与x轴所围成图形的面积为=（﹣）|01+sinx=+1=故选D．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规则求出定积分的值，本题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好基础知识很重要．16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（）考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意可知函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形可利用定积分进行计算，只要求∫0（1﹣cosx）dx即可．然后根据积分的运算公式进行求解即可．解答：解：由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线及y=1所围成的一个封闭图形的面积，就是：∫0（1﹣cosx）dx=（x﹣sinx）|0=．故选B．点评：本题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分．17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．解答：解：∵y=x3，∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．令y=o得：x=，∴切线与x轴、直线x=1所围成的三角形的面积为：S=×（1﹣）×1=故选B．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，属于基础题．18．图中，阴影部分的面积是（）A．16 B．18 C．20 D．22考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力．19．如图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则==所以阴影部分的面积为，故选C．点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．20．曲线与坐标轴围成的面积是（）A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解答：解：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为0曲线与坐标轴围成的面积是：S=∫0（﹣）dx+∫dx=∴围成的面积是故选D．点评：本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．解答：解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2=10π解得：r=2．∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．∴3a2=k且=r∴a2=×（2）2=4．∴k=3×4=12，则反比例函数的解析式是：y=．故选C．点评：本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．。
(完整版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章 定积分应用 习 题 答 案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以 当2πα=时 过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值 令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以 当2=x 时，S 最小 即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。
第六章 定积分及应用习题
第六章 定积分及应用一、填空题 1．250cos sin x xdx π=⎰_______2．当0b ≠时，1ln 0bx dx =⎰，则b =_______3．325425sin 21x xdx x x -=++⎰_______ 4．设()f x 为连续函数则[]2()()a ax f x f x dx ---=⎰.5.() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰6. 已知=+=⎰)(,)(2)(1x f dx x f x x f 则_______7．若===⎰⎰⎰2121)(,2)(,3)(dx x f dx x f dx x f 则8．利用定积分性质比较下列积分的大小： dx e I x ⎰=11 dx x I ⎰+=12)1(，则 _______33234ln ,(ln )eeI xdx I x dx ==⎰⎰，则_______9. 估计定积分3013sin dx xπ+⎰的取值范围_______10. 设()f x 可导，且lim ()1x f x →+∞=，则23lim sin()x xx t f t dt t+→+∞=⎰11. 设23()1x dxg x x =+⎰，则(1)g ''= _______ 12． 20cos limxx t dt x→=⎰113． arctan ba d x dx dx=⎰ . 14．求曲线2sin xty dt t π=⎰在2x π=处的切线方程，_______ 15．设2221()x t t xF x e dt e dt -+⎰⎰＝，则()F x '=_______16. 2()x t xf x e dt -⎰＝，则()f x '=_______17．⎰=-xdt x t dx d 0)cos(_______ 18．已知当0→x时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则)0(f ''= _______19.211dx x +∞-∞=+⎰_______二、选择题1.)(x f 在],[b a 上连续是⎰badx x f )(存在的（ ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 2. ⎰⎰==2122211)(ln ,ln dx x I dx x I 设，则（ ）（A ） 21I I < （B ） 21I I > （C ） 21I I = （D ） 无法比较3.设 dx x x x P dx x x N xdx x x M )cos sin (,)cos (sin ,cos 1sin 4223242254222⎰⎰⎰----=+=+=ππππππ （ ） （A ） M P N << （B ） N P M << （C ） P M N << （D ）N M P << 4. 22222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ ( ) （A ）0； （B ）12； （C ）4π； （D ）2π5.⎰+-=+ππdx x x e x )sin (2cos （ ）3π.A 33π2.B 3 32π2e .C 3-1+ 32πe-e .D 3-1+ 6.203sin lim xx t dt x →⎰=( )（A ）0； （B ）1； （C ）13； （D ）∞ . 7. 下列结果正确的是（ ）（A ）22s i n )s i n (a dx x da d b a =⎰ （B ） 22s i n )s i n (b dx x db d ba =⎰ （C ）22s i n )s i n (x dx x dx d b a=⎰ （D ）22sin 2)sin (x x dx x dx d b a =⎰ 8. 设)(x f 为已知函数,⎰>>=t st s dx tx f tI 0,0,0)(，其中则I 的值依赖于（ ）（A ）依赖于s 和t ； （B ）依赖于s ，x t ,； （C ）依赖于x 和t ，不依赖于s ； （D ）依赖于s ，不依赖于t 。
高考数学定积分应用选择题
高考数学定积分应用选择题1. 定积分可以用来求解函数在区间上的最大值和最小值，已知函数f(x)在区间[a, b]上的最大值为M，最小值为m，则定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？2. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递增的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。
3. 已知函数f(x)在区间[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a,b]上f(x)的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？4. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。
5. 函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？6. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。
7. 已知函数f(x)在区间[a, b]上是单调递增的，那么在区间[a,b]上f(x)的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？8. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。
9. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？10. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。
11. 已知函数f(x)在区间[a, b]上是单调递增的，那么在区间[a,b]上f(x)的定积分∫[a,b]f(x)dx等于什么？12. 已知函数f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx为10，且f(x)在[a, b]上是单调递减的，那么在区间[a, b]上f(x)的值域为[____,____]。
基础练习：定积分在几何中的应用
定积分在几何中的应用1、抛物线x x y -=2与x 轴围成的图形面积为（） 81.1 C 6121、曲线3x y =与直线x y =所围图形的面积等于（）⎰--113)(dx x x ⎰--113)(dx x x ⎰-103)(dx x x ⎰--013)(dx x x 、由直线21=x ，x =2，曲线x y 1=及x 轴围成的图形面积为（）4154172ln 212ln 2、曲线x y cos =0<x <π23与两坐标轴所围成图象的面积是（） .2 C 25、由抛物线x x y -=2，直线1-=x 及x 轴围成的图形面积为（）32.1 C 3435、直线23y x =+与抛物线32+=x y 所围成图形的面积是（）32834343、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成平面图形的面积是。
8、若曲线2x y =与3cx y =所围成图形的面积是32，则c =。
9、由曲线24y x =+与直线5,0,4y x x x ===所围成平面图形的面积是。
10、下图中阴影部分的面积是。
11、计算由曲线2x y =1，直线3=+y x以及两坐标轴围成图形的面积。
12、过原点的直线l 与抛物线：ax x y 22-=a >0所围成的图形的面积为329a ，求直线l 的方程。
13、如图，直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值。
14、如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线1-=y 所围成的图形的面积。
O 1x y k -1 kx y =2x x y -=参考答案：1-7：CCDDBCC8、349、±2110、319110、–31612、31013、ax y = 14、3211-15、34。
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欢迎阅读
题型
1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积
2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积
内容
一．微元法及其应用
二．平面图形的面积
1.直角坐标系下图形的面积
2.边界曲线为参数方程的图形面积
3. 极坐标系下平面图形的面积
三．立体的体积
1.已知平行截面的立体体积
2.旋转体的体积
四．平面曲线的弦长
五．旋转体的侧面积
六．定积分的应用
1.定积分在经济上的应用
2.定积分在物理上的应用
题型
题型I微元法的应用
题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积
题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用
自测题六
解答题
4月25日定积分的应用练习题
一．填空题
1. 求由抛物线线x x y 22+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________
2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________
3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为
4.曲线3
3
1x x y -
=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2
2
π
θπ
≤
≤-
上的一段弧所围成的图形面积为 ．
6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ⎩⎨⎧+=+=所围成的图形的面积为
二．选择题
1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．
31 B ． 32 C ． 21 D ． 2
3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）
A ．
223a π B ． 243a π C ． 2
8
3a π D ． 23a π 3. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。
A.dy y ⎰2
1ln B.dy e e x
⎰2
0 C.dy y ⎰2ln 1ln D.()d x e x ⎰-2
1
2
三．解答题
1. 求曲线2
2,2,4
x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
2. 求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3
2 3. 已知曲线)0(2>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为
48
9
，试求k 的值． 4. 求a 的值，使曲线)1(2x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．
5.在第一象限内求曲线12+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积
6. 求椭圆1322
=+y x 与13
22
=+y x 所围公共图形的面积 7.求由下列各平面图形的面积：
（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=r 与θ2cos 2=r 的公共部分 8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)
①内摆线
(sin ,cos 33>
==a t a y t a x ; ②
4
31,t y t t x -=-=;
③⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈==2,0,sin ,cos 44πt t y t x ; ④3222,2t t y t t x -=-=.
4月26日定积分的应用练习题
基础题：
1. 由曲线x y sin =和它在2
π
=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积是__________,以及
它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为__________
2. 星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长为________
图7.1-4
1
图7.1-4②
图7.1-4③
0 1
1
图7.1-4④
3. 由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积为__________
4. 半立方抛物线()32132
-=
x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度为__________ 5. 轴与求抛物线x x x y 22-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为___________ 6.
由
3,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为______________
7.由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ ）
A ． π16
B ． π32
C ． π8
D ． π4
8. 曲线2
x
x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）
A ． 2
a
a e e -+ B ． 2a a e e -- C ．
12++-a a e e D ．12-+-a a e e 9． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）
A ． 245kN
B ． 245N
C ． 205．8N
D ． 205．8kN 10．.（1）由曲线x y x y =
=,2所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（2）由双曲线x
y 1
=和直线1,-=-=x e x 与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转生成的旋转体的体积为 ．
（3）曲线3
3
1x x y -
=相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． (4) 曲线16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所得旋转体的体积为 ． 11. 如右图，阴影部分面积为（ ）
A ．[()()]b
a f x g x -⎰d x
B ．[()()][()()]c
b
a c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x
C ．[()()][()()]b
b
a c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d x
D ．[()()]b a g x f x +⎰d x
12.如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移
动， 记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标
为________．
13. 求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小
14. 曲线222x y -=和21x y -=围成一平面图形．求 (1)该平面图形的面积．
(2)将该平面分别绕x 轴和y 轴旋转而成的旋转体的体积．
15. 求曲线)20()cos (sin )
sin (cos π≤≤⎩
⎨⎧-=+=t t t t a y t t t a x 的弧长
16. 一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m ，深2m ，长8m ．要把满池水全部抽到距水池上方20m 的水塔中，问需要做多少功？
17. 有一立体以抛物线x y 22=与直线2=x 所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。
18．设1D 是由抛物线2
2x y =和直线0y ,a x ==所围成的平面区域，2D 是由抛物线2
2x y =和直线
2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<<a .试求：
（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.
19．设平面图形由曲线2x y =，2
2x y =与直线1=x 所围成.
（1）求该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.
（2）求常数a ，使直线a x =将该平面图形分成面积相等的两部分.
20．设由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ，由抛物线2(0)y x x =≥，直线2(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ，另12()()()V a V a V a =+，试求常数a 的值，使()V a 取得最小值。