定积分典型例题

定积分典型例题

例 1 求 Iim J 2(^n τ +Q2n 2 +H ∣ +V ∏3).

n _.: ∏

分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限•若对题目中被积函数难以想到， 可采取如下方法：先对区间［O, 1］n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.

1 III 1 解 将区间［0, 1］ n 等分，则每个小区间长为.汉=丄，然后把—=丄1的一个因子-乘入和式中 n

n n n

n

各项•于是将所求极限转化为求定积分•即

n i ⅛^贰+痢+山+疔)=曲(£ +£ +川+晋)=MdX=扌•

例 2

£ J 2x 一 X d X __________ .

解法1由定积分的几何意义知，

°∙2x -χ2dx 等于上半圆周(x_1) y =1 (y_0)

与X 轴所围成的图形的面积•故 2∙ 2^x 2dx = _ •

■° 2

解法2本题也可直接用换元法求解•令 x_1 = sint (—巴

2 2

1 1 x 2

1

例 3 比较 2e x dx ， I e dx ， ](1+x)dx •

分析对于定积分的大小比较，可以先算岀定积分的值再比较大小， 而在无法求岀积分值时则只能利用

定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小.

2

解法 1

在［1,2］上，有 e x _e x

.而令 f (x) =e x - (x • 1),则 f x) e X 1 .当 X 0 时，f (x) • 0，

f(x)在(0,；)上单调递增，从而 f(x) f (0),可知在［1,2］上，有e 1 X •又

1 2 1 1 x

1 x 2

2 f (x)dx

f (x)dx ,从而有 2(1 x)dx 、I e dx 、ι e dx •

t

2

e j O

解法2 在［1,2］上，有e x 乞e x .由泰勒中值定理e x =1 X X 2得e x 1 x .注意到 2!

1 2

［f(x)dx = -f f (x)dx •因此

1 1 1 2

2 (1 +x)dx

e x dx a ［ e x dx •

9

例4估计定积分2 e x JX dX 的值.

分析要估计定积分的值，关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.

2 2

1

解 设 f(x)=e xjx ,因为 f (x)=e x jx (2x-1),令 f'(χ)=0 ,求得驻点 X=丄，而

2

---------- 2

X -X — 二

dx = 2

_. 1 -sin 2

t COStdt X 2

3

---------- 2

— sin t COStdt X

2

Jl - Tr

2

COS 2 tdt X

0 2

X

因为

解法2利用积分不等式 n

十 Sin X --------- dx

' X

n 十

Sin X

X IL n

4p 1 n + p

dx

dx = ln Ln X n

叫

mn

n p

=0所以

n

n

im

n ps

⅛=0 •

n X f (0) =e =1, f (2) =e , f (2)=e"\

故

1

e^ _ f(x) _e 2, x ［0,2］,

从而

1

2e^ < θ2e^-d^i2e 2 ,

所以

1

2

χ2

x

—

-2e 2 乞 e x *dx *2e ∖

32

b . _

例 5 设 f (X) , g(x)在［a,b ］上连续，且 g(x) _0 , f(x) 0 •求 Iim ag(X)n f (x)dx •

解 由于f (x)在［a,b ］上连续，则f (x)在［a,b ］上有最大值 M 和最小值m •由f (x 0 知M . 0 ,

m 0 •又 g(x) _0 ,贝U

一 b

b

— 一 b

Vm a g(x)dx ≤ I a g(x)Vf (x)dx ≤*M ］ g(x)dx •

由于 Iim n m=Iim n M =1 ,故

n _” ’

ng ：

b

b

!1

i

m.a

g (X)

n

f

(χ)dχ= a

g(x)dx •

例 6 求 lim Γsin ^

dx ,

n ?. ∙n

分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难 ，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定

理与夹逼准则.

解法1利用积分中值定理

5

Sin X 设f (x)

,显然f(x)在［n,n - p ］上连续,由积分中值定理得

X

当 n r -,时，■ —■，,而 Sin _1,故

p, n 为自然数.

Sin n p

sin X , Sin 厂dx — P ,

［n, n p ］,

F 十 Sin X lim n j : -

n

x dx±p=0 •