不定积分典型例题讲解

dt
6ln t 3ln t 1 3 ln(t2 1) 3arctan t C 2
例11. 求
解: 令 3cos x sin x A(cos x sin x) B(cos x sin x)
令 a cos x(AbsinBx)cos x (A B)sin x 比较同类项A系(c数cos xAAdBsBinx3)1,B故(cAcos1x,Bdsi2n x)
u v(n) uv(n1) uv(n1) dx u v(n) uv(n1) uv(n2) uv(n2) dx

u v(n) uv(n1) uv(n2) (1)n1 u(n1)v dx
快速计算表格:
dx
cos ax
例7. 证明递推公式
证: In tann2 x (sec2 x 1) dx
tann2 x d(tan x) In2

tann1 x n 1

In2
注:
或
例8. 求
解: 设 F(x) x 1 x 1, x 1
1 x , x 1
解: 原式 arctan exd ex
ex arctan ex
e
x
ex 1 e2x
dx
ex arctan ex
(1
e2x ) 1 e2x
e2x
dx


e

x
arctan
e
x

x

1 2
ln
(1

e2
x
)

C
例6. 求
解: 取
x3 x 2 3x2 1
习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t) )
注意常见的换元积分类型, 如掌握 法P205～P206 公式(16) ~(24)的推导方
u(k)
u
u u

u(n) u(n1)


v(n1k ) v(n1) v(n) v(n1)
(1)n (1)n1
v v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx

1
(
则
1 2
x2

x

C1
,
x 1
x

1 2
x
2

C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得

1 2

C1

1 2

C2
记作
C
得
1 2
1
C1

112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
x 1 x 1
例
9. 设
为
的原函数, 且
求
解: 由题设 F(x) f (x), 则
3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
多次分部积分的 规 律
u v(n1) dx u v(n) uv(n) dx
定都能积出. 例如 ,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
例10. 求
dx
xx
x.
1 e2 e3 e6
x
解:
令 t e6 , 则
x 6lnt ,
dx

6 t
d
t
原式 6
(1

t3
dt t
2

t)
t

6
dt (t 1)(t 2 1)t

5
3 2

C
3
分析:
d [ ln(x
1 x2 ) 5]
(1
2
2xwenku.baidu.com1
x
2
)
dx
x 1 x2

dx 1 x2
例3. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2 cos2 x
2 dx
2


x
d
tan
x 2


tan
x 2
dx
x tan x C 2
分部积分
a cos x bsin x
I2
cos x dx . a cos x b sin x

a a
cos cos
x x
32) x d
(
2 3
)
2
x
ax dx

a
x
ln
a
dx

1
ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x

arctan(
2 3
)x

C
ln 2 ln3
例2. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d [ ln(x

1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
∴
原式


dx

2
d(cos x sin x) cos x sin x
x 2ln cos x sin x C
说明: 此技巧适用于形为 a cos x b sin x dx 的积分. c cos x d sin x
例12. 求 I1 解：因为
sin x dx 及


e 2x
1 2
e
2x
6x
1 4
e
2x
60

1 8
e2x
1 16
e
2x

原式

e2 x
1 2
(
x3

x

2)

1 4
(3x2
1)

1 8

6
x
1 16

6

C

1 8
e2
x
(4x3

6x2

2x

7)

C
说明: 此法特别适用于 如下类型的积分:
Pn
(
x)sienkax x

故
即 又
, 因此
故
二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
指数代换
指数函数有理式
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
例4. 设
求积分
解:
令 x y t, 即 y xt
x

t
t
2
3
, 1
y

t
2
t
, 1
而
dx

t 2 (t (t 2
2 3) 1) 2
d
t

原式
t
t
2
3

1 1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2

3) 1)2
dt

1 2
ln
(x

y)2
1

C
例5. 求