不定积分求解方法-分部积分法(精选)
不定积分分部积分公式
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
上页 下页 返回
分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
上页 下页 返回
x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
高等数学：第三讲 不定积分的分部积分法
出现循环, 怎么办?
移项 , 两边除以2 , 并加积分常数,得
ex sin xdx ex (sin x cos x) C积分时, 我们是用解
方程的方法求出积分结果的.
内容小结：
1.合理选择 u,dv ，正确使用分部积分公式
uvdx udv uv vdu
谢谢
解 (3) ex sin xdx sin xdex ex sin x exd sin x
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex
ex sin x (ex cos x exd cos x) ex (sin x cos x) ex sin xdx
分部积分公式
例 求下列不定积分
(1) x cos xdx; (2) x2exdx;
(3) ex sin xdx.
解 (1) x cos xdx xd sin x
u dv
uv
x sin x sin xdx
x sin x cos x C
例 求下列不定积分
解 (2) x2exdx x2dex
u dv
uv
再一次使用分 部积分法
x2ex exdx2 x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2(xex exdx)
(x2 2x 2)ex C
当应用分部积分公式后，得到的积分还需用分部积分时, 可以继续使用，直到可以求出积分结果为止.
例 求下列不定积分
分部积分法
求解：两个不同类型函数之积的积分
vdxdv
udxdu
导数运算与积分运算为互逆运算，求积分能否考虑先求导数？
设函数u(x)和v(x)连续可导， (uv) uv uv
移项，得 uv (uv) uv
求不定积分的方法
求不定积分的方法不定积分方法是微积分中常见而重要的一类问题，求解不定积分可以通过多种方法，下面将介绍常见的一些方法。
1.基本积分公式和微分运算法则：根据基本积分公式和微分运算法则，可以求出一些常见函数的不定积分。
例如，对于幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数和对数函数等，我们可以根据其定义和性质直接求得其不定积分。
2. 分部积分法：分部积分法是一种通过递归的方式将一个积分问题转化为一个更简单的积分问题的方法。
具体来说，对于两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过分部积分公式∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) -∫F(x)g'(x)dx来求解不定积分。
这一方法在解决乘积函数的积分问题时特别有用。
3. 代换法：代换法是一种通过变量代换的方式来简化不定积分的方法。
具体来说，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的不定积分，我们可以选择一个新的变量u=g(x)，然后将原来的不定积分转化为∫f(u)du的形式，从而通过求解新的不定积分来得到最终结果。
4.其他方法：除了上述方法，还有一些其他的不定积分方法可以用来求解特定类型的问题。
例如，对于一些特殊函数（如分式函数、反函数和超越函数等），我们可以尝试利用特殊的积分技巧来求解其不定积分。
此外，对于一些复杂的函数，我们还可以利用级数展开、极限转换或积分换元等方法来求解其不定积分。
总结起来，求解不定积分的方法是多种多样的，根据具体的问题和函数类型选择合适的方法是很重要的。
通过熟练掌握基本积分公式和微分运算法则，以及灵活运用分部积分法、代换法和其他方法，我们可以更好地解决不定积分问题。
然而，在实际应用中，求不定积分往往是一个复杂而耗时的过程，需要充分发挥数学思维和技巧，结合实际问题的特点进行合理选择和灵活运用。
3.2.4_不定积分的分部积分法
1 sin x 1 dx dx d (cos x ) 证： I n n n 1 n 1 sin x sin x sin x
cos x 1 n1 cos xd ( n1 ) sin x sin x
cos x cos 2 x n1 ( n 1) dx n 2 sin x sin x cos x 1 1 n1 ( n 1) dx ( n 1) dx n 2 n sin x sin x sin x
即
udv uv vdu 。
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x n a x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等。
2
3.2.4 不定积分的分部积分法
1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) dx x x cos(ln x ) sin(ln x )dx
x cos(ln x ) x sin(ln x ) xd [sin(ln x )] 1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x cos(ln x ) x sin(ln x ) cos(ln x )dx
（5） arcsin xdx
4
3.2.4 不定积分的分部积分法
（1） x sin xdx 。
2
分部积分的步骤：
解： x 2 sin xdx x 2 d (cos x ) ——凑微分，选 u, v ；
[ x 2 cos x cos xd ( x 2 )] ——代分部积分公式；
求不定积分的三种方法
求不定积分的三种方法一、基本积分法基本积分法是不定积分求解的基础，它适用于一些简单的函数。
通过掌握基本积分法，我们可以迅速求解相关的不定积分问题。
以下是一些常见的基本积分法：1.幂函数积分法：对于幂函数f(x) = x^n（n为非负整数），其基本积分法为：∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
2.指数函数积分法：对于指数函数f(x) = a^x（a为正实数），其基本积分法为：∫a^x dx = a^x * ln(a) + C。
3. 对数函数积分法：对于对数函数f(x) = ln(x)（x>0），其基本积分法为：∫ln(x) dx = x * ln(x) + C。
4.三角函数积分法：对于正弦函数f(x) = sin(x)，其基本积分法为：∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
5.余弦函数积分法：对于余弦函数f(x) = cos(x)，其基本积分法为：∫cos(x) dx = sin(x) + C。
二、换元积分法当不定积分的被积函数具有一定的形式时，我们可以通过换元法简化求解过程。
换元积分法是将原函数中的自变量替换为另一个变量，从而使问题变得更容易求解。
以下是一些常见的换元积分法：1.三角换元法：设u = sin(x)，则du = cos(x) dx。
将原函数中的x用u表示，可得：∫cos(u) du = sin(u) + C。
2.反三角换元法：设u = cos(x)，则du = -sin(x) dx。
将原函数中的x用u表示，可得：∫-sin(u) du = -cos(u) + C。
3.代数换元法：设u = x^2，则du =2x dx。
将原函数中的x 用u表示，可得：∫2x dx = x^2 + C。
三、分部积分法分部积分法是一种非常实用的求解不定积分的方法，它适用于具有一定形式的分式函数。
分部积分法的关键是将分式函数拆分为两个基本函数的乘积，然后利用乘积的导数公式进行积分。
19 不定积分的分部积分法
6
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例3 求 解
x4 ln xdx. ∫
1 x ln xdx = ∫ ln x( x5 )′ dx ∫ 5 1 5 5 1 = x ln x − ∫ x ⋅ dx 5 x
4
1 5 1 5 = x ln x − x + C. 5 25
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别 注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别. 第一类换元积分法 在使用上的差别 例4 解
第三章
第三节
一元函数积分学
不定积分的分部积分法 主要内容： 主要内容：
不定积分的分部积分法
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
分部积分公式
设函数 u = u 具有连续的导函数, ( x) ,v = v( x) 具有连续的导函数 则由乘
积的导数公式, 积的导数公式 有
( uv)′ = u′v + uv′,
移项后, 两边积分得: 移项后 两边积分得
13
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例10 求 解
∫ sin ( ln x) dx.
1 sin ( ln x) dx= x sinln x − ∫ x(cos ( ln x) ⋅ )dx ∫ x = x sin ( ln x) − ∫ cos ( ln x) dx
= x sin ( ln x) − x cos ( ln x) − ∫ sin ( ln x) dx,
∫ xcos xdx.
则
解 取
简单不定积分的求解技巧
简单不定积分的求解技巧求解不定积分是微积分学中的基本内容之一。
虽然每个不定积分都是独特的，但是我们可以使用一些常见的技巧来简化积分的求解过程。
在本文中，我们将介绍一些常见的不定积分求解技巧，以帮助读者更好地掌握这一概念。
1. 简化式子：在求解不定积分时，有时我们可以通过简化式子来帮助我们更方便地求解。
比如，我们可以使用三角恒等式、指数对数关系等等将复杂的函数化简为更简单的形式。
2. 分部积分法：分部积分法是求解不定积分中常用的一种方法。
它是基于积分的乘积规则，即∫u*dv = uv - ∫v*du。
通过选择合适的u和dv，可以将原积分转化为更简单的积分形式。
这种方法特别适用于需要多次积分的情况。
3. 代换法：代换法是求解不定积分中另一种常用的方法。
当我们看到一个复杂的函数，特别是与变量相关的一些高次方、指数或三角函数时，可以通过选择合适的代换变量来将原积分转化为更简单的形式。
一般来说，我们选择的代换变量应该能够简化积分表达式，并且能够将原积分变为一个已知的积分形式。
4. 分式分解：当我们遇到一个更复杂的有理函数时，可以通过分式分解来将其分解为更简单的表达式。
常见的方法有部分分式分解和多项式除法等，这样可以使得积分的求解更加容易。
5. 使用特殊函数：特殊函数是数学中一类重要的函数，包括Gamma 函数、贝塞尔函数、椭圆函数等等。
当我们遇到与这些特殊函数相关的积分时，可以使用特殊函数的性质和定义来进行求解。
掌握特殊函数的基本性质是进行这类积分求解的关键。
6. 利用对称性：有时，积分表达式具有对称性，可以利用对称性简化积分的计算。
比如，当函数具有偶函数性质时，可以将积分的上下限互换，进而简化计算。
类似地，如果函数具有周期性或对称特点，也可以利用这些性质进行计算。
7. 利用积分性质：积分具有一些重要的性质，比如线性性质、积分与导数的关系等等。
在积分求解过程中，我们可以利用这些性质来简化积分的计算。
例如，当积分中的两个函数具有相同的积分形式时，可以利用线性性质将其合并为一项进行计算。