2017_2018学年高中数学第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念教学案(含答案)新人教A版必修3

1．1.1 算法的概念

预习课本P2～5，思考并完成以下问题

(1)利用加减消元法求解一般的二元一次方程组的步骤有哪些？

(2)在数学中算法是如何定义的？

(3)算法的特征是什么？

(4)解决一类问题的算法是唯一的吗？是不是任何一个算法都有明确的结果？

[新知初探]

1．算法的概念

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．

2．算法的特征

(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果．

(2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．

(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．

(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．

(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)求解一类问题的算法是唯一的( )

(2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题( )

(3)算法执行后一定产生确定的结果( )

解析：由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对．

答案：(1)×(2)√(3)√

2．下列叙述不能称为算法的是( )

A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海

B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1

C．利用公式S＝πr2计算半径为2的圆的面积得π×22

D．解方程x2－2x＋1＝0

解析：选D 选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．

3．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整．第一步，出家门．

第二步，________________.

第三步，坐火车去北京．

答案：打车去火车站

算法概念的理解

[典例]

A．算法就是某个问题的解题过程

B．算法执行后可以产生不同的结果

C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同

D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施

[解析] 选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．

[答案] B

算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．

[活学活用]

有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作

步骤：

第一步，检验6＝3＋3.

第二步，检验8＝3＋5.

第三步，检验10＝5＋5.

……

利用计算机一直进行下去！

请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？

解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.

算法的设计

[典例] 写出求1

[解] 法一：第一步，计算1＋2得到3.

第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6.

第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10.

第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15.

第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.

法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7.

第二步，计算3×7.

设计具体问题的算法的一般步骤

(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法；

(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；

(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；

(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．

[活学活用]

1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整．

第一步，求1×3得结果3.

第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.

第三步，_________________________________________________________________.

第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.

第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．

解析：依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”．答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105

2．写出解方程x2－2x－3＝0的一个算法．

解：法一：第一步，移项得x2－2x＝3.①

第二步，①式两边同时加1，并配方得(x －1)2

＝4.②

第三步，②式两边开方，得x －1＝±2.③

第四步，解③式得x 1＝3，x 2＝－1.

法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.

第二步，将a ＝1，b ＝－2，c ＝－3代入求根公式x 1,2＝－b ±b 2－4ac 2a

，得x 1＝3，x 2＝－1.

[层级一 学业水平达标]

1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )

①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x 2－x ＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析：选B 依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x 2

－x ＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.

2．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步：( ) ①计算c ＝a 2＋b 2；②输入直角三角形两直角边长a ，b 的值；③输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是( )

A ．①②③

B ．②③①

C ．①③②

D ．②①③ 解析：选D 明确各步骤间的关系即可知D 选项正确．

3．下列叙述中，

①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；

②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100；

③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；

④3x ＞x ＋1；

⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….

能称为算法的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5