青岛理工大学 概率论习题册第八章作业及答案

习题8-1

1. 填空题

(1) 假设检验易犯的两类错误分别是____________和__________. 解 第一类错误(弃真错误); 第二类错误(取伪错误).

(2) 犯第一类错误的概率越大, 则右侧检验的临界值(点)越_____, 同时犯第二类错误的概率越_____.

解 小, 小.

2. 已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布(,1)N μ, 从中随机地抽取16个零件, 得到长度的平均值为40cm. 求:

(1) 取显著性水平α=0.05时, 均值μ的双侧假设检验的拒绝域; (2) μ的置信水平为0.95的置信区间; (3) 问题(1)和(2)的结果有什么关系.

解 (1)拒绝域为 (-∞, 39.51)∪(40.49, +∞). (2) 置信区间为

22()(40 1.96,40 1.96),x z x z αα+=-(39.51,40.49).=

(3) 对于显著性水平α=0.05, μ的双侧假设检验的接受域恰为μ的置信水平为0.95的置信区间.

习题8-2

1. 填空题

(1) 设总体2

~(,)X N μσ, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. 对于检验假设0H :0μμ=(

μμ0≥或μμ0≤), 当2σ未知时的检验统计量

是 ,0H 为真时该检验统计量服从 分布; 给定显著性水平为α, 关于μ的双侧检验的拒绝域为 , 左侧检验的拒绝域为 , 右侧检验的拒绝域为__________.

解

X t =; 自由度为n -1的t 分布; 2

t t α…;t t α-…;t t α….

2. 统计资料表明某市人均年收入服从2150μ=元的正态分布. 对该市从事某种职业的职工调查30人, 算得人均年收入为2280x =元, 样本标准差476s =元. 取显著性水平0.1, 试检验该种职业家庭人均年收入是否高于该市人均年收入?

解

选取检验统计量X t =拒绝域为t >)1(-n t α=t 0.1(29)=1.3114.

可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.

3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差316s =．设发热量服从正态分布. 取显著性水平α=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?

解

选取检验统计量X t =拒绝域为|t |>)1(2-n t α=t 0.025(23)=2.0687

不能认为该试验物发热量的期望值为12100.

习题8-3

一、 填空题

1. 设总体2

~(,)X N μσ, 12,,,n X X X 是来自总体X 的样本, 则检验假

设0H :220σσ=(220σσ≥或22

0σσ≤), 当μ未知时的检验统计量

是 , 0H 为真时该检验统计量服从 分布; 给定显著性水平α, 关于σ2的双侧检验的拒绝域为 , 左侧检验的拒绝域为 , 右侧检验的拒绝域为__________.

解 2

2

2

0(1)n S χσ-=

; 2(1)n χ-; 2212

(1)n αχχ--≤或22

2

(1)n αχχ-≥;

221(1)n αχχ--≤;22

(1)n α

χχ-≥. 2. 为测定某种溶液中的水分, 由它的10个测定值算出样本标准差的观察

值0.037s =％. 设测定值总体服从正态分布, 2σ为总体方差, 2

σ未知. 试在0.05α=下检验假设0:0.04H σ≥%; 1:0.04H σ<%.

解 选取检验统计量2

2

20

(1)n S χσ

-=

, 拒绝域为

222

10.95(1)(9) 3.325n αχχχ--==≤.即认为σ≥0.04%.

3. 有容量为100的样本, 其样本均值观察值 2.7x =, 而100

2

1

225（）i i x -x ==∑

.

试以0.01α=检验假设H 0: σ2=2.5．

解 选取检验统计量2

2

2

0(1)n S χσ-=

, 拒绝域为

222

20.9950.99512

1

(1)(99)(2

n z αχχχ--=≈+≤=65.67,

或

22

2

20.0050.0052

1(1)(99)(2

n z αχχχ-=≈

≥=137.96.

认为σ2=2.5.

总习题八

1. 下面列出的是某工厂随机选出的20只部件的装配时间(单位: 分钟):

9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 10.9, 11.1, 9.6, 10.2, 10.3, 9.6, 9.9, 11.2, 10.6, 9.8, 10.5, 10.1, 10.5, 9.7 .

设装配时间的总体服从正态分布2(,)N μσ, 2,μσ均未知，在显著性水平0.05下, 是否可以认为装配时间的均值显著地大于10？

解

选取检验统计量X t =拒绝域为t >)1(-n t α=t 0.05(19)=1.7291.

可以认为装配时间的均值显著地大于10.

2. 为测定某种溶液中的水分, 由它的10个测定值算出样本标准差的观察值0.037s =％. 设测定值总体服从正态分布, 2σ为总体方差, 2σ未知. 试在0.05α=下检验假设0:0.04H σ≥%; 1:0.04H σ<%.

解 选取检验统计量2

2

20

(1)n S χσ

-=

, 拒绝域为

222

10.95(1)(9) 3.325n αχχχ--==≤.即认为σ≥0.04%.