2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.9函数模型及其应用

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2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.4幂函数与二次函数

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.4幂函数与二次函数
A.a≥3B.a≤3
C.a<-3D.a≤-3
答案D
解析函数f(x)=x2+4ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,
∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D.
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x)= (a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于()
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上单调递减;在(0,+∞)上单调递增
在R上单调递增
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
答案B
解析由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意,故选B.
4.(2018·潍坊模拟)若(a+1) <(3-2a) ,则实数a的取值范围是____________.
答案(-∞,-1)∪
解析不等式(a+1) <(3-2a) 等价于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或 <a< .
思维升华(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.

数学复习:第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用.函数模型及其应用

数学复习:第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用.函数模型及其应用

2.8 函数模型及其应用1.函数的实际应用(1)基本函数模型:函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数型函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c 为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数型函数模型f(x)=b log a x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂型函数模型f(x)=ax n+b(a,b为常数,a≠0)比较函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0)在(0,+∞)上的单调性单调____函数单调____函数单调____函数增长速度越来越____越来越____相对平稳图象的变化随x值增大,图象与____轴接近平随x值增大,图象与____随n值变化而不同行轴接近平行2。

函数建模(1)函数模型应用的两个方面:①利用已知函数模型解决问题;②建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对某些发展趋势进行预测.(2)应用函数模型解决问题的基本过程:、、、.自查自纠1.(1)f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)(2)增增增快慢y x2.审题建模解模还原手机的价格不断降低,若每隔半年其价格降低错误!,则现在价格为2 560元的手机,两年后价格可降为()A.900元B.810元C.1 440元D.160元解:半年降价一次,则两年后降价四次,其价格降为2 560×错误!错误!=810元.故选B.(错误!)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1。

3≈0。

11,lg2≈0.30)()A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解:设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1+12%)x=200,解得x=log1。

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》测试卷及答案解析

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》测试卷及答案解析

第 1 页 共 8 页 2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》测试卷及答案解析(一)一、选择题1.(2020·诊断)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A .y =-1xB .y =cos xC .y =-x 2D .y =x 2答案 D解析 根据题意,依次分析选项:对于A ,y =-1x ,为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;对于C ,y =-x 2,为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于D ,y =x 2,为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,符合题意;故选D.2.已知函数f (x )=3x -⎝⎛⎭⎫13x ,则f (x )( )A .是偶函数,且在R 上是增函数B .是奇函数,且在R 上是增函数C .是偶函数,且在R 上是减函数D .是奇函数,且在R 上是减函数答案 B解析 ∵函数f (x )的定义域为R ,f (-x )=3-x -⎝⎛⎭⎫13-x =⎝⎛⎭⎫13x -3x =-f (x ),∴函数f (x )是奇函数.∵函数y =⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数,∴函数y =-⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数.又∵y =3x 在R 上是增函数,∴函数f (x )=3x -⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数.故选B.3.(2020·联考)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+1,x ≥02-x ,x <0,则下列结论正确的是() A .f (x )是偶函数 B .f (x )是增函数C .f (x )的最小值是1D .f (x )的值域为(0,+∞)。

2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第9讲 函数模型及其应用教案 文 新人教A版

2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第9讲 函数模型及其应用教案 文 新人教A版

第9讲函数模型及其应用一、知识梳理1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数函数模型f(x)=ba x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数函数模型f(x)=b log a x+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂函数模型f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0) 在(0,+∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大,图象与y轴接近平行随x值增大,图象与x轴接近平行随n值变化而不同“对勾”函数f(x)=x+ax(a>0)的性质(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)上单调递增,在[-a,0)和(0,a ]上单调递减.(2)当x>0时,x=a时取最小值2a;当x<0时,x=-a时取最大值-2a.二、习题改编(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是( )A .收入最高值与收入最低值的比是3∶1B .结余最高的月份是7月C .1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D .前6个月的平均收入为40万元 答案:D一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )(2)在(0,+∞)内,随着x 的增大,y =a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y =x α(α>0)的增长速度.( )(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏常见误区(1)忽视实际问题中实际量的单位、含义、范围等; (2)建立函数模型出错.1.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km ,票价是0.5元/km ,如果超过100 km ,超过100 km 的部分按0.4元/km 定价,则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是 .解析:由题意可得y =⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ,0<x ≤100,0.4x +10,x >100. 答案:y =⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ,0<x ≤100,0.4x +10,x >1002.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )=12x 2+2x +20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件.解析:设利润为L (x ),则利润L (x )=20x -C (x )=-12(x -18)2+142,当x =18 时,L (x )有最大值.答案:18用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B .以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D .某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】 根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A 错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B 错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C 错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D 对.【答案】 D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择符合实际情况的答案.(2020·广州市综合检测(一))如图,一高为H 且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T . 若鱼缸水深为h 时,水流出所用时间为t ,则函数h =f (t )的图象大致是( )解析:选B.水位由高变低,排除C ,D.半缸前下降速度先快后慢,半缸后下降速度先慢后快,故选B.二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x 万件,需另投入流动成本为W (x )万元,在年产量不足8万件时,W (x )=13x 2+x (万元).在年产量不小于8万件时,W (x )=6x +100x -38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 【解】 (1)因为每件商品售价为5元,则x 万件商品销售收入为5x 万元, 依题意得,当0<x <8时,L (x )=5x -⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2+x -3=-13x 2+4x -3;当x ≥8时,L (x )=5x -⎝⎛⎭⎪⎫6x +100x-38-3=35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x .所以L (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-13x 2+4x -3,0<x <8,35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x ,x ≥8.(2)当0<x <8时,L (x )=-13(x -6)2+9.此时,当x =6时,L (x )取得最大值L (6)=9万元.当x ≥8时,L (x )=35-⎝⎛⎭⎪⎫x +100x ≤35-2x ·100x=35-20=15,当且仅当x =100x时等号成立,即x =10时,L (x )取得最大值15万元.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.建模解决实际问题的三个步骤(1)建模:抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学演算,得到问题在数学意义上的解. (3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入的讨论,作出评价、解释,返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.即:[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域.(2)利用模型f (x )=ax +bx求解最值时,注意取得最值时等号成立的条件.1.某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.则该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.解:设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料能使平均每天支付的总费用最少,设总费用为y 元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x -1)+6(x -2)+…+6=(3x 2-3x )元.从而有y =1x (3x 2-3x +300)+200×1.8=300x+3x +357≥2300x·3x +357=417,当且仅当300x=3x ,即x =10时,y 有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.2.据气象中心观察和预测:发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示,过线段OC 上一点T (t ,0)作横轴的垂线l ,梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为时间t (h)内台风所经过的路程s (km).(1)当t =4时,求s 的值;(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N 城位于M 地正南方向,且距M 地650 km ,试判断这场台风是否会侵袭到N 城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城?如果不会,请说明理由.解:(1)由题图可知,直线OA 的方程是v =3t ,直线BC 的方程是v =-2t +70. 当t =4时,v =12,所以s =12×4×12=24.(2)当0≤t ≤10时,s =12×t ×3t =32t 2;当10<t ≤20时,s =12×10×30+(t -10)×30=30t -150;当20<t ≤35时,s =150+300+12×(t -20)×(-2t +70+30)=-t 2+70t -550.综上可知,s 随t 变化的规律是 s =⎩⎪⎨⎪⎧32t 2,t ∈[0,10],30t -150,t ∈(10,20],-t 2+70t -550,t ∈(20,35].(3)当t ∈[0,10]时,s max =32×102=150<650,当t ∈(10,20]时,s max =30×20-150=450<650,当t ∈(20,35]时,令-t 2+70t -550=650,解得t =30或t =40(舍去),即在台风发生30小时后将侵袭到N 城.指数、对数函数模型(师生共研)(1)(2020·广西桂林一模)一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是( ) A .6B .5C .4D .3(2)里氏震级M 的计算公式为:M =lg A -lg A 0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.【解析】 (1)设这种放射性物质最初的质量为1,经过x (x ∈N )年后,剩余量是y .则有y =⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ,依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫14x≤1100,整理得22x≥100,解得x ≥4,所以至少需要的年数是4,故选C.(2)M =lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1,A 2,则9=lg A 1-lg A 0=lg A 1A 0,则A 1A 0=109,5=lg A 2-lg A 0=lg A 2A 0,则A 2A 0=105,所以A 1A 2=104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍. 【答案】 (1)C (2)6 10 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y =N (1+p )x(其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v (单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为:v =a +b log 3Q10(其中a ,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要多少个单位? 解:(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s ,此时耗氧量为30个单位,故有a +b log 33010=0,即a +b =0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s , 故a +b log 39010=1,整理得a +2b =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0,a +2b =1,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1. (2)由(1)知,v =a +b log 3Q 10=-1+log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ,则有v ≥2,所以-1+log 3Q10≥2,即log 3Q 10≥3,解得Q10≥27,即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要270个单位.核心素养系列6 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.某新型企业为获得更大利润,须不断加大投资,若预计年利润低于10%时,则该企业就考虑转型,下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据:年份 2008 2009 2010 2011 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y1234…给出以下3xb ≠1);③y =log a (x +b )(a >0,且a ≠1).(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ,y 之间的关系;(2)试判断该企业年利润超过6百万元时,该企业是否要考虑转型. 【解】 (1)将(3,1),(5,2)代入y =kx +b (k ≠0), 得⎩⎪⎨⎪⎧1=3k +b ,2=5k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =12,b =-12,所以y =12x -12.当x =9时,y =4,不符合题意;将(3,1),(5,2)代入y =ab x(a ≠0,b >0,且b ≠1),得⎩⎪⎨⎪⎧1=ab 3,2=ab 5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =24,b =2,所以y =24·(2)x =2x -32. 当x =9时,y =29-32=8,不符合题意;将(3,1),(5,2)代入y =log a (x +b )(a >0,且a ≠1),得⎩⎪⎨⎪⎧1=log a (3+b ),2=log a (5+b ),解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-1,所以y =log 2(x -1). 当x =9时,y =log 28=3;当x =17时,y =log 216=4.故可用③来描述x ,y 之间的关系. (2)令log 2(x -1)>6,则x >65.因为年利润665<10%,所以该企业要考虑转型.根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象,可结合图象特征选择.(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 均为常数,a <0);当研究的问题呈现先减少后增长的特点时,可以选用二次函数模型y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 均为常数,a >0).(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢,而指数函数(底数大于1时)增长越来越快.某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿的种植成本Q (单位:元/100 kg)与上市时间t (单位:天)的数据如下表:时间t 60 100 180 种植成本Q11684116根据上表数据,Q 与上市时间t 的变化关系:Q =at +b ,Q =at 2+bt +c ,Q =a ·b t ,Q =a ·log b t .利用你选取的函数,求:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ; (2)最低种植成本是 元/100 kg.解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t =60和t =180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q =at 2+bt +c ,即Q =a (t -120)2+m 描述,将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a (60-120)2+m =116,a (100-120)2+m =84,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =0.01,m =80, 所以Q =0.01(t -120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100 kg.答案:(1)120 (2)80[基础题组练]1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A .y =100xB .y =50x 2-50x +100 C .y =50×2xD .y =100log 2x +100解析:选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可得.故选C.2.已知正方形ABCD 的边长为4,动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动.设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为S ,则函数S =f (x )的图象是( )解析:选D.依题意知当0≤x ≤4时,f (x )=2x ;当4<x ≤8时,f (x )=8;当8<x ≤12时,f (x )=24-2x ,观察四个选项知D 项符合要求.3.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )A .5千米处B .4千米处C .3千米处D .2千米处解析:选A.设仓库应建在离车站x 千米处.因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,所以令反比例系数为m (m >0),则y 1=m x .当x =10时,y 1=m10=2,所以m =20.因为每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比,所以令正比例系数为n (n >0),则y 2=nx .当x =10时,y 2=10n =8,所以n =45.所以两项费用之和为y =y 1+y 2=20x +4x5≥220x ·4x 5=8,当且仅当20x =4x5,即x =5时取等号.所以要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站5千米处.故选A.4.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( )A .2020年B .2021年C .2022年D .2023年解析:选B.若2018年是第一年,则第n 年科研费为1 300×1.12n,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,得n ×0.05>0.19,n >3.8,n ≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2 000万元.故选B.5.(2019·高考北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1B. 10.1C. lg 10.1D. 10-10.1解析:选A.根据题意,设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1,天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2,则由已知条件可知m 1=-26.7,m 2=-1.45,根据两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,把m 1与m 2的值分别代入上式得,-1.45-(-26.7)=52lg E 1E 2,得lg E 1E 2=10.1,所以E 1E 2=1010.1,故选A.6.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 升.解析:因为每次都把油箱加满,第二次加了48升油,说明这段时间总耗油量为48升,而行驶的路程为35 600-35 000=600(千米),故每100千米平均耗油量为48÷6=8(升).答案:87.李冶(1192-1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是 步、 步.(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)解析:设圆池的半径为r 步,则方田的边长为(2r +40)步,由题意,得(2r +40)2-3r2=13.75×240,解得r =10或r =-170(舍),所以圆池的直径为20步,方田的边长为60步.答案:20 608.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤20时,年销售总收入为(33x -x 2)万元;当x >20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元,则y (万元)与x (件)的函数关系式为 ,该工厂的年产量为 件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资).解析:当0<x ≤20时,y =(33x -x 2)-x -100=-x 2+32x -100;当x >20时,y =260-100-x =160-x .故y =⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+32x -100,0<x ≤20,160-x ,x >20(x ∈N *).当0<x ≤20时,y =-x 2+32x -100=-(x -16)2+156,x =16时,y max =156.而当x >20时,160-x <140,故当x =16时取得最大年利润.答案:y =⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+32x -100,0<x ≤20,160-x ,x >20(x ∈N *) 169.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE =4米,CD =6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ,使点P 在边DE 上.(1)设MP =x 米,PN =y 米,将y 表示成x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM 面积的最大值.解:(1)作PQ ⊥AF 于点Q ,所以PQ =8-y ,EQ =x -4,在△EDF 中,EQ PQ =EF FD ,所以x -48-y =42,所以y =-12x +10,定义域为{x |4≤x ≤8}.(2)设矩形BNPM 的面积为S ,则S (x )=xy =x ⎝⎛⎭⎪⎫10-x 2=-12(x -10)2+50,所以S (x )是关于x 的二次函数,且其开口向下,对称轴为x =10,所以当x ∈[4,8]时,S (x )单调递增,所以当x =8时,矩形BNPM 面积取得最大值48平方米.10.某公司对营销人员有如下规定:①年销售额x (单位:万元)在8万元以下,没有奖金;②年销售额x (单位:万元),x ∈[8,64]时,奖金为y 万元,且y =log a x ,y ∈[3,6],且年销售额越大,奖金越多;③年销售额超过64万元,按年销售额的10%发奖金. (1)求奖金y 关于x 的函数解析式;(2)若某营销人员争取奖金y ∈[4,10](单位:万元),则年销售额x (单位:万元)在什么范围内?解:(1)依题意,y =log a x 在x ∈[8,64]上为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 8=3,log a 64=6,解得a =2,所以y =⎩⎪⎨⎪⎧0,0≤x <8,log 2x ,8≤x ≤64,110x ,x >64.(2)易知x ≥8,当8≤x ≤64时,要使y ∈[4,10],则4≤log 2x ≤10,解得16≤x ≤1 024,所以16≤x ≤64;当x >64时,要使y ∈[4,10],则40≤x ≤100,所以64<x ≤100.综上所述,当年销售额x ∈[16,100]时,奖金y ∈[4,10].[综合题组练]1.(创新型)我们定义函数y =[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”;定义y ={x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”;例如[4.3]=4,[5]=5;{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元,即不超过1小时(包括1小时)收费2元,超过一小时,不超过2小时(包括2小时)收费4元,以此类推.若李刚停车时间为x 小时,则李刚应付费为(单位:元)( )A .2[x +1]B .2([x ]+1)C .2{x }D .{2x }解析:选C.如x =1时,应付费2元,此时2[x +1]=4,2([x ]+1)=4,排除A ,B ;当x =0.5时,付费为2元,此时{2x }=1,排除D ,故选C.2.一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y =a e-bt(cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min ,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析:当t =0时,y =a ; 当t =8时,y =a e-8b=12a ,故e -8b=12. 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y =a e-bt=18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b,则t =24,所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案:163.某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位:万人)与x 的关系近似为p (x )=12x (x +1)·(39-2x )(x ∈N *,且x ≤12).已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位:元)与x 的近似关系是q (x )=⎩⎪⎨⎪⎧35-2x ,x ∈N *,且1≤x ≤6,160x,x ∈N *且7≤x ≤12. (1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位:万人)与x 的函数关系式; (2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元? 解:(1)当x =1时,f (1)=p (1)=37,当2≤x ≤12,且x ∈N *时,f (x )=p (x )-p (x -1)=12x (x +1)(39-2x )-12x (x -1)(41-2x )=-3x 2+40x ,经验证x =1时也满足此式.所以f (x )=-3x 2+40x (x ∈N *,且1≤x ≤12). (2)第x (x ∈N *)个月的旅游消费总额为g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(-3x 2+40x )(35-2x ),x ∈N *,且1≤x ≤6,-480x +6 400,x ∈N *,且7≤x ≤12. ①当1≤x ≤6,且x ∈N *时,g ′(x )=18x 2-370x +1 400, 令g ′(x )=0,解得x =5或x =1409(舍去).当1≤x ≤5时,g ′(x )≥0,当5<x ≤6时,g ′(x )<0,所以g (x )max =g (5)=3 125; ②当7≤x ≤12,且x ∈N *时,g (x )=-480x +6 400是减函数,所以g (x )max =g (7)=3 040.综上,2019年5月份的旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为3 125万元.4.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投资收益的范围是[10,100](单位:万元).现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加且资金不超过5万元,同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y =f (x )制定奖励方案,请你根据题意,写出奖励函数模型应满足的条件;(2)现有两个奖励函数模型:(ⅰ)y =120x +1;(ⅱ)y =log 2x -2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求. 解:(1)设奖励函数模型为y =f (x ), 则该函数模型满足的条件是:①当x ∈[10,100]时,f (x )是增函数; ②当x ∈[10,100]时,f (x )≤5恒成立; ③当x ∈[10,100]时,f (x )≤x5恒成立.(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y =120x +1, 它在[10,100]上是增函数,满足条件①;但当x =80时,y =5,因此,当x >80时,y >5,不满足条件②;故该函数模型不符合公司要求.(b)对于函数模型(ⅱ)y =log 2x -2,它在[10,100]上是增函数,满足条件①,x =100时,y max =log 2100-2=2log 25<5,即f (x )≤5恒成立.满足条件②,设h (x )=log 2x -2-15x ,则h ′(x )=log 2e x -15,又x ∈[10,100],所以1100≤1x ≤110,所以h ′(x )≤log 2e 10-15<210-15=0,所以h (x )在[10,100]上是递减的,因此h (x )≤h (10)=log 210-4<0,即f (x )≤错误!恒成立,满足条件③,故该函数模型符合公司要求.综上所述,函数模型(ⅱ)y =log 2x -2符合公司要求.。

广东省2021届新课标高考总复习数学第二章函数第九节函数与方程教学课件

广东省2021届新课标高考总复习数学第二章函数第九节函数与方程教学课件

4
课 前
1.函数的零点

主 回
(1)函数零点的定义


对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=
后 限

f(x)(x∈D)的零点.



堂 考
(2)三个等价关系

探 究
方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数 y
=f(x)有零点.
返 首 页
15
课 前 自
1.函数 f(x)=ln x-x22的零点所在的区间为(
)


A.(0,1)
B.(1,2)



C.(2,3)
D.(3,4)


课 堂
B
[由题意知函数 f(x)是增函数,因为 f(1)<0,f(2)=ln 2-12=ln
集 训

点 2-ln e>0,所以函数 f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选 B.]

主 回
在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)f(b)<0,还必须结合函数的


图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
后 限

(2)图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函 集


堂 考
数的图象时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注

探 究
意函数定义域的限制.
集 训




返 首 页
12

4.函数 f(x)=x12-(12)x 的零点个数为________.

(新课标)高考数学总复习-第2章 函数概念与基本初等函数I 第9节 函数模型及应用课件 新人教A版

(新课标)高考数学总复习-第2章 函数概念与基本初等函数I 第9节 函数模型及应用课件  新人教A版
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
[方法技巧] 解决实际应用问题的一般步骤
[典题 4] 已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该 品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)万元,
且 R(x)=110x08.8--133100x0x2020x<>x1≤0.10, (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所
C.43 万元
D.43.025 万元
[典题 2] (1)(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)
与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系 y=ekx+b(e=2.718…为自然对
数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,
在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33℃的保鲜时间是( )
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.
函数 y=x+ax(a>0)在[- a,0)和(0, a ]上单调递减,在 (-∞,- a]和[ a,+∞)上单调递增(函数单调性定义法、导 数方法均可证明),如图所示,函数图象无限趋近于 y=x,但 永不相交.当 a在函数的定义域内时,可以使用基本(均值)不 等式求最小值,当 a不在函数的定义域内时根据函数的单调性 求最小值.
获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)
(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给 出,这时就需要构建分段函数模型.

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.7函数的图象

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.7函数的图象

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.7 函数的图象 最新考纲 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.1.描点法作图方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.2.图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y =f (x )――――――→关于x 轴对称y =-f (x );②y =f (x )――――――→关于y 轴对称y =f (-x );③y =f (x )―――――→关于原点对称y =-f (-x );④y =a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y =x 对称y =log a x (a >0且a ≠1).(3)伸缩变换①y =f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1,横坐标缩短为原来的1a 倍,纵坐标不变0<a <1,横坐标伸长为原来的1a 倍,纵坐标不变y =f (ax ). ②y =f (x )――――――――――――――――――――→a >1,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变0<a <1,纵坐标缩短为原来的a 倍,横坐标不变y =af (x ). (4)翻折变换①y =f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y =|f (x )|.②y =f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象,并作其关于y 轴对称的图象y =f (|x |). 概念方法微思考1.函数f (x )的图象关于直线x =a 对称,你能得到f (x )解析式满足什么条件?提示 f (a +x )=f (a -x )或f (x )=f (2a -x ).2.若函数y =f (x )和y =g (x )的图象关于点(a ,b )对称,求f (x ),g (x )的关系.提示 g (x )=2b -f (2a -x )题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y =f (1-x )的图象,可由y =f (-x )的图象向左平移1个单位得到.( × )(2)当x ∈(0,+∞)时,函数y =|f (x )|与y =f (|x |)的图象相同.( × )(3)函数y =f (x )与y =-f (x )的图象关于原点对称.( × )(4)函数y =f (x )的图象关于y 轴对称即函数y =f (x )与y =f (-x )的图象关于y 轴对称.( × ) 题组二 教材改编2.[P35例5(3)]函数f (x )=x +1x的图象关于( ) A .y 轴对称B .x 轴对称C .原点对称D .直线y =x 对称答案 C解析 函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且f (-x )=-f (x ),即函数f (x )为奇函数,故选C.3.[P32T2]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是 .(填序号)答案 ③解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除①.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除②.故③正确.4.如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x +1)的解集是 .答案 (-1,1]解析 在同一坐标系内作出y =f (x )和y =log 2(x +1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(-1,1].题组三 易错自纠5.下列图象是函数y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x <0,x -1,x ≥0的图象的是( )答案 C6.把函数f (x )=ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是________________.答案 y =ln ⎝⎛⎭⎫12x解析 根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y =ln ⎝⎛⎭⎫12x .7.(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |=a -x 只有一个解,则实数a 的取值范围是__________. 答案 (0,+∞)解析 在同一个坐标系中画出函数y =|x |与y =a -x 的图象,如图所示.由图象知,当a >0时,方程|x |=a -x 只有一个解.。

(通用版)2021版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示教案理

(通用版)2021版高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数1第1讲函数及其表示教案理

第1讲函数及其表示知识点考纲下载函数及其表示了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.了解简单的分段函数,并能简单应用.单调性理解函数的单调性及其几何意义.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.奇偶性结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.指数函数了解指数函数模型的实际背景.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点.知道指数函数是一类重要的函数模型.对数函数理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.知道对数函数是一类重要的函数模型.了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).幂函数了解幂函数的概念.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况.函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.函数与方程结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应函数映射名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x)(x∈A) 对应f:A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数假设函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.判断正误(正确的打“√〞,错误的打“×〞) (1)对于函数f :A →B ,其值域是集合B .( )(2)函数f (x )=x 2-2x 与g (t )=t 2-2t 是同一函数.( )(3)假设两个函数的定义域与值域一样,那么这两个函数是相等函数.( )(4)假设A =R ,B ={x |x >0},f :x →y =|x |,那么对应关系f 是从A 到B 的映射.( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (教材习题改编)函数f (x )=2x-1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x-1≥0,x -2≠0,解得x ≥0且x ≠2.以下函数中,与函数y =x +1是相等函数的是( ) A .y =(x +1)2B .y =3x 3+1C .y =x 2x+1D .y =x 2+1解析:选B .对于A .函数y =(x +1)2的定义域为{x |x ≥-1},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于B .定义域和对应关系都一样,是相等函数;对于C .函数y =x 2x+1的定义域为{x |x ≠0},与函数y =x +1的定义域不同,不是相等函数;对于D ,定义域一样,但对应关系不同,不是相等函数.(教材习题改编)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 〔x +4〕,x ≥0,x 〔x -4〕,x <0,那么f (1)+f (-3)=________.解析:f (1)=1×5=5,f (-3)=-3×(-3-4)=21,故f (1)+f (-3)=5+21=26. 答案:26假设x -4有意义,那么函数y =x 2-6x +7的值域是________. 解析:因为x -4有意义,所以x -4≥0,即x ≥4. 又因为y =x 2-6x +7=(x -3)2-2, 所以y min =(4-3)2-2=1-2=-1. 所以其值域为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)求函数的定义域[典例引领](1)(2021·河南濮阳一高第二次检测)函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12 C .(-1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12D .(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎪⎫-1,12 (2)如果函数f (x )=ln(-2x +a )的定义域为(-∞,1),那么实数a 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2(3)假设函数y =f (x )的定义域是[0,2],那么函数g (x )=f 〔2x 〕x -1的定义域为________. 【解析】 (1)由1-2x >0,x +1≠0,得x <12且x ≠-1,所以函数f (x )=log 2(1-2x )+1x +1的定义域为(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12,应选D .(2)因为-2x +a >0,所以x <a 2,所以a2=1,所以a =2. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,0≤2x ≤2,得0≤x <1,即定义域是[)0,1.【答案】 (1)D (2)D (3)[)0,1[提醒] 定义域是一个集合,要用集合或区间表示,假设用区间表示数集,不能用“或〞连接,而应该用并集符号“∪〞连接.[通关练习]1.函数f (x )=1ln 〔x +1〕+4-x 2的定义域为( )A.[)-2,0∪(]0,2B.()-1,0∪(]0,2C.[]-2,2D.(]-1,2解析:选B .由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln 〔x +1〕≠0,4-x 2≥0,得-1<x ≤2,且x ≠0. 2.函数f (x )=1-|x -1|a x -1(a >0且a ≠1)的定义域为________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧1-|x -1|≥0a x -1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2x ≠0⇒0<x ≤2,故所求函数的定义域为(0,2]. 答案:(0,2]3.假设函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域为一切实数,那么实数m 的取值范围是________.解析:由题意可得mx 2+mx +1≥0恒成立. 当m =0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,那么⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ=m 2-4m ≤0, 解得0<m ≤4. 综上可得:0≤m ≤4. 答案:[0,4]求函数的解析式[典例引领](1)f ⎝⎛⎭⎪⎫x +1x =x 2+1x2,那么f (x )的解析式为________.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x+1=lg x ,那么f (x )的解析式为________.(3)假设f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2,那么f (x )的解析式为________.(4)函数f (x )满足方程2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =2x ,x ∈R 且x ≠0,那么f (x )=________.【解析】 (1)配凑法:由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x 2-2,所以f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f (x )的解析式是f (x )=x 2-2(x ≥2或x ≤-2). (2)换元法:令2x+1=t ,由于x >0,所以t >1且x =2t -1, 所以f (t )=lg 2t -1, 即f (x )=lg2x -1(x >1). (3)待定系数法:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 又f (0)=c =3.所以f (x )=ax 2+bx +3,所以f (x +2)-f (x )=a (x +2)2+b (x +2)+3-(ax 2+bx +3)=4ax +4a +2b =4x +2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,所以所求函数的解析式为f (x )=x 2-x +3.(4)解方程组法:因为2f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =2x ,①将x 换成1x ,那么1x换成x ,得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +f (x )=2x.②由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ,得3f (x )=4x -2x.所以f (x )=43x -23x(x ∈R 且x ≠0)【答案】 (1)f (x )=x 2-2(x ≥2或x ≤-2) (2)f (x )=lg 2x -1(x >1) (3)f (x )=x 2-x +3 (4)43x -23x(x ∈R 且x ≠0)假设本例(4)条件变为2f (x )+f (-x )=2x ,求f (x ). 解:因为2f (x )+f (-x )=2x ,① 将x 换成-x 得2f (-x )+f (x )=-2x ,②由①②消去f(-x),得3f(x)=6x,所以f(x)=2x.求函数解析式的4种方法[通关练习]1.f(x+1)=x+2x,那么f(x)的解析式为f(x)=__________.解析:法一:设t=x+1,那么x=(t-1)2(t≥1);代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1(x≥1).法二:因为x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,所以f(x+1)=(x+1)2-1(x+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)2.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,那么f(x)的解析式为f(x)=__________.解析:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),那么f′(x)=2ax+b=2x+2,所以a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.又因为方程f(x)=0有两个相等的实根,所以Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题.高考对分段函数的考察主要有以下四个命题角度: (1)由分段函数解析式,求函数值(或最值); (2)由分段函数解析式与方程,求参数的值(或范围); (3)由分段函数解析式,求解不等式.(4)由分段函数解析式,判断函数的奇偶性.(本章第3讲再讲解)[典例引领]角度一 由分段函数解析式,求函数值(或最值)(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,f 〔x +1〕,x ≤0,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43的值等于( )A .-2B .4C .2D .-4(2)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x +1,x ≤0,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________.【解析】 (1)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43=2×43=83. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=2×23=43.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43=4. (2)由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=log 214=-2, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=f (-2)=3-2+1=109.【答案】 (1)B (2)109角度二 由分段函数解析式与方程,求参数的值 (或范围)(分类讨论思想)(2021·高考山东卷)设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2〔x -1〕,x ≥1,假设f (a )=f (a+1),那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a=( ) A .2 B .4 C .6D .8【解析】 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a ,因为f (a )=f (a+1),所以a =2a ,解得a =14或a =0(舍去).所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =fa >1时,a +1>2,所以f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a ,所以2(a -1)=2a ,无解.当a =1时,a +1=2,f (1)=0,f (2)=2,不符合题意.综上,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a C .【答案】 C角度三 由分段函数解析式,求解不等式(2021·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,那么满足f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12>1的x的取值范围是________.【解析】 当x >0时,f (x )=2x>1恒成立,当x -12>0,即x >12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12=2x -12>1,当x-12≤0,即0<x ≤12时,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12=x +12>12,那么不等式f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12>1恒成立.当x ≤0时,f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12=x +1+x +12=2x +32>1,所以-14<x ≤0.综上所述,x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞分段函数问题的求解策略(1)分段函数的求值问题,首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的范围,那么应采取分类讨论. (3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进展分类讨论.[通关练习]1.设f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≥0,2x ,x <0,那么f (f (-2))=( )A .-1 B.14 C.12D.32解析:选C .由题意得f (f (-2))=f (2-2)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1-14=1-12=12. 2.f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0,且f (0)=2,f (-1)=3,那么f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3解析:选B .由题意得f (0)=a 0+b =1+b =2,解得b =1;f (-1)=a -1+b =a -1+1=3, 解得a =12.故f (-3)=(12)-3+1=9,从而f (f (-3))=f (9)=log 39=2.3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x +1,x <2,假设f (f (1))>3a 2,那么a 的取值范围是________.解析:由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a ,假设f (f (1))>3a 2, 那么9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0, 解得-1<a <3. 答案:(-1,3)与函数有关的新定义问题[典例引领]假设函数f (x )满足:在定义域D 内存在实数x 0,使得f (x 0+1)=f (x 0)+f (1)成立,那么称函数f (x )为“1的饱和函数〞.给出以下三个函数: ①f (x )=1x; ②f (x )=2x ; ③f (x )=lg(x 2+2).其中是“1的饱和函数〞的所有函数的序号为( ) A .①③ B .② C .①②D .③【解析】 对于①,假设存在实数x 0,满足f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),那么1x 0+1=1x 0+1,所以x 20+x 0+1=0(x 0≠0,且x 0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数〞;对于②,假设存在实数x 0,满足f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),那么2x 0+1=2x 0+2,解得x 0=1,因此②是“1的饱和函数〞;对于③,假设存在实数x 0,满足f (x 0+1)=f (x 0)+f (1),那么lg[(x 0+1)2+2]=lg(x 20+2)+lg(12+2),化简得2x 20-2x 0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数〞. 【答案】 B解决与函数有关的新定义问题的策略(1)根据定义合理联想,即分析有关信息,通过联想和类比、拆分或构造,可以将新函数转化为我们熟知的根本初等函数进展求解.(2)捕捉解题信息,紧扣定义,根据定义与条件一步步进展推理求解.(3)合理、巧妙的赋值,即给x,y等量一些特殊的数值,求得特殊函数值,从而将新定义的函数进展化简和转化,利用已有函数知识进一步求解.[通关练习]1.假设一系列函数的解析式一样,值域一样,但定义域不同,那么称这些函数为“同族函数〞,那么函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,-2},{0,2,-2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.2.(2021·石家庄第一次模拟)假设定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得f(-x)=f(x),那么称f(x)为“类偶函数〞,那么以下函数中为类偶函数的是( )A.f(x)=cos x B.f(x)=sin xC.f(x)=x2-2x D.f(x)=x3-2x解析:选D.A中函数为偶函数,那么在定义域内均满足f(x)=f(-x),不符合题意;B中,当x=kπ(k∈Z)时,满足f(x)=f(-x),不符合题意;C中,由f(x)=f(-x),得x2-2x =x2+2x,解得x=0,不符合题意;D中,由f(x)=f(-x),得x3-2x=-x3+2x,解得x =0或x=±2,满足题意,应选D.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否一样;二是对应关系是否一样.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质和图象的根底.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识.判断一个函数解析式是否成立,一是根据“函数定义域中的任意一个自变量x在对应关系下都有唯一的函数值y与其对应〞进展判断;二是结合函数解析式判断是否满足题目所给的特性.分段函数图象的画法及简单应用(1)分段函数是一个函数,只有一个图象,作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中,而不能将它们分别画在不同的坐标系中;根据函数的概念,可知在函数图象中,横坐标一样的地方不能有两个或两个以上的点;画每一段函数图象时,可以先不管定义域的限制,用虚线画出其图象,再用实线保存其在该段定义域内的图象即可.(2)分段函数的函数值范围求自变量(或参数)的范围问题,一般画出分段函数的图象,观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标的范围,列出函数满足的不等式(组),求解即可. 易错防范(1)因为函数的解析式一样,定义域不同,那么为不一样的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.(2)分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要根据定义域分成的不同子集进展分类讨论.1.(2021·广东深圳模拟)函数y =-x 2-x +2ln x 的定义域为( )A .(-2,1)B .[-2,1]C .(0,1)D .(0,1] 解析:选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-x +2≥0,x >0,ln x ≠0,解得0<x <1,应选C .2.(2021·宝鸡市质量检测(一))函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ,x ≤0f 〔x -1〕+1,x >0,那么f (43)的值等于( )A .-1B .1C .32D .52解析:选B .依题意得f (43)=f (13)+1=f (-23)+1+1=2cos(-2π3)+2=2×(-12)+2=1,选B .3.f (12x -1)=2x -5,且f (a )=6,那么a 等于( )A .-74B .74C .43D .-43解析:选B.令t =12x -1,那么x =2t +2,所以f (t )=2(2t +2)-5=4t -1, 所以f (a )=4a -1=6,即a =74.4.函数y =f (x +1)的定义域是[-2,3],那么y =f (2x -1)的定义域为( )A .[-3,7]B .[-1,4]C .[-5,5]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,52 解析:选D .因为y =f (x +1)的定义域为[-2,3],所以-1≤x +1≤4. 由-1≤2x -1≤4,得0≤x ≤52,即y =f (2x -1)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,52. 5.定义a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧a ×b ,a ×b ≥0,a b ,a ×b <0,设函数f (x )=ln x ⊕x ,那么f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A .4ln 2B .-4ln 2C .2D .0解析:选D .2×ln 2>0,所以f (2)=2×ln 2=2ln 2. 因为12×ln 12<0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=ln 1212=-2ln 2.那么f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2ln 2-2ln 2=0. 6.函数f (x ),g (x )分别由下表给出.x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321那么f (g (1))的值为________,满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值为________. 解析:因为g (1)=3,f (3)=1,所以f (g (1))=1.当x =1时,f (g (1))=f (3)=1,g (f (1))=g (1)=3,不合题意. 当x =2时,f (g (2))=f (2)=3,g (f (2))=g (3)=1,符合题意. 当x =3时,f (g (3))=f (1)=1,g (f (3))=g (1)=3,不合题意. 答案:1 27.假设函数f (x )在闭区间[-1,2]上的图象如下图,那么此函数的解析式为________.解析:由题图可知,当-1≤x <0时,f (x )=x +1;当0≤x ≤2时,f (x )=-12x ,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x <0,-12x ,0≤x ≤2.答案:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x <0,-12x ,0≤x ≤28.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1,x ≥0,1x ,x <0,假设f (f (a ))=-12,那么实数a =________.解析:假设f (a )≥0,那么f (a )=1,此时只能是a >0,于是a =4;假设f (a )<0,那么f (a )=-2,此时只能是a <0,于是a =-12(假设a >0,由a2-1=-2,解得a =-2不满足题意). 答案:4或-129.f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x +1〕,-2<x <0,2x +1,0≤x <2,x 2-1,x ≥2.(1)求f (-32)的值;(2)假设f (a )=4且a >0,求实数a 的值.解:(1)由题意f (-32)=f (-32+1)=f (-12)=f (12)=2.(2)当0<a <2时,由f (a )=2aa =32.当a ≥2时,由f (a )=a 2-1=4得a =5或-5(舍).故a =32或 5.10.f (x )=x 2-1,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x >0,2-x ,x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2)); (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式. 解:(1)g (2)=1,f (g (2))=f (1)=0;f (2)=3,g (f (2))=g (3)=2.(2)当x >0时,f (g (x ))=f (x -1)=(x -1)2-1=x 2-2x ; 当x <0时,f (g (x ))=f (2-x )=(2-x )2-1=x 2-4x +3.所以f (g (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x >0,x 2-4x +3,x <0.同理可得g (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2,x <-1或x >1,3-x 2,-1<x <1.1.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-1,x >0,1,x <0,那么〔a +b 〕+〔a -b 〕·f 〔a -b 〕2(a ≠b )的值为( )A .aB .bC .a ,b 中较小的数D .a ,b 中较大的数解析:选C .假设a -b >0,即a >b ,那么f (a -b )=-1,那么〔a +b 〕+〔a -b 〕·f 〔a -b 〕2=12[(a +b )-(a -b )]=b (a >b );假设a -b <0,即a <b ,那么f (a -b )=1,那么〔a +b 〕+〔a -b 〕·f 〔a -b 〕2=12[(a +b )+(a -b )]=a (a <b ),综上,选C .2.设f (x ),g (x )都是定义在实数集上的函数,定义函数(f ·g )(x ):∀x ∈R ,(f ·g )(x )=f (g (x )).假设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x >0,x 2,x ≤0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x,x ≤0,ln x ,x >0,那么( )A .(f ·f )(x )=f (x )B .(f ·g )(x )=f (x )C .(g ·f )(x )=g (x )D .(g ·g )(x )=g (x )解析:选 A.对于A ,(f ·f )(x )=f (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧f 〔x 〕,f 〔x 〕>0,f 2〔x 〕,f 〔x 〕≤0,当x >0时,f (x )=x >0,(f ·f )(x )=f (x )=x ;当x <0时,f (x )=x 2>0,(f ·f )(x )=f (x )=x 2;当x =0时,(f ·f )(x )=f 2(x )=0=02,因此对任意的x ∈R ,有(f ·f )(x )=f (x ),故A 正确,选A .3.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x ,x ≥1,那么满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围为________.解析:由f (f (a ))=2f (a )得,f (a )≥1.当a <1时,有3a -1≥1, 所以a ≥23,所以23≤a <1.当a ≥1时,有2a≥1,所以a ≥0,所以a ≥1,综上,a ≥23.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ 4.函数f (x )=x +a x +b 对于定义域内的任何x 均有f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =0,那么a 2 018+b 2 018=__________.解析:由题意得x +a x +b +1x+a1x+b=0,即(a +b )x 2+2(ab +1)x +a +b =0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0ab +1=0,那么有a =1,b =-1或a =-1,b =1. 所以a2 018+b2 018=(-1)2 018+12 018=2.答案:25.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求f (x )的解析式; (2)画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0.(2)f (x )的图象如图:6.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,,当用水超过4吨时,超过局部每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y 元,甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨,3x 吨.(1)求y 关于x 的函数;,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解:(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x ≤4, 乙的用水量也不超过4吨,y =(5x +3xx ;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x ≤4且5x >4时,y =4×1.8+3x ×1.8+3(5xx -4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x >4,y =24x ,所以y =错误!(2)由于y =f (x )在各段区间上均为单调递增,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,45时,y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45; 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45,43时,y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43; 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43,+∞时,令24x , 解得x =1.5.所以甲户用水量为5x ,所交水费为y 1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元);乙户用水量为3x ,所交水费y 2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。

2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类9函数的图象与变换

2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类9函数的图象与变换
1.(2023·天津,4,5 分)函数 f(x)的图象如下图,则 f(x)的解析式可能为( )
A.5(exx2-+e2-x) C.5(exx2++e2-x)
B.5x2s+in 1x D.5xc2+os1x
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真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案:D 由图知函数图象关于 y 轴对称,其为偶函数,且 f(-2)=f(2)<0, 由5(si-n (x)-2+x)1 =-5x2s+in 1x 且定义域为 R,即 B 中函数为奇函数,排除; 当 x>0 时,5(exx2-+e2-x) >0,5(exx2++e2-x) >0,即 A,C 中函数在(0,+∞)上的函数 值为正数,排除. 故选 D.
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真题分类9 函数的图象与变换
5.(2021·天津,3,5 分)函数 y=xl2n+|x2| 的图象大致为(
)
高考·数学
A
B
C
D
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真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案:B 设 y=f(x)=xl2n+|x2| ,则函数 f(x)的定义域为xx≠0 ,关于原点对称, 又 f(-x)=(-lnx|-)x2+| 2 =f(x),所以函数 f(x)为偶函数,排除 A,C; 当 x∈(0,1)时,ln |x|<0,x2+2>0,所以 f(x)<0,排除 D. 故选 B.
真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案:A 设 f(x)=x cos x+sin x,f(x)的定义域为 R.因为 f(-x)=-x cos (-x)+sin (-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数,排除选项 C,D.又 f(π)=πcos π+sin π=-π<0,排除选 项 B,故选 A.

2021年新高考数学总复习第二章《函数概念与基本初等函数Ⅰ》第4节 二次函数性质的再研究与幂函数

2021年新高考数学总复习第二章《函数概念与基本初等函数Ⅰ》第4节 二次函数性质的再研究与幂函数

第 1 页 共 17 页 2021年新高考数学总复习第二章《函数概念与基本初等函数Ⅰ》
第4节 二次函数性质的再研究与幂函数
考试要求 1.理解二次函数的图像和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的
关系解决简单问题;2.了解幂函数的概念;结合函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y
=x 12,y =1x 的图像,了解它们的变化情况.
知 识 梳 理
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).
顶点式:f (x )=a (x -m )2+n (a ≠0),顶点坐标为(m ,n ).
零点式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0),x 1,x 2为f (x )的零点.
(2)二次函数的图像和性质 函数
y =ax 2+bx +c (a >0) y =ax 2+bx +c (a <0) 图像
(抛物线)
定义域
R 值域
⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac -b 24a ,+∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,4ac -b 24a 对称轴
x =-b 2a 顶点
坐标
⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 2a ,4ac -b 24a 奇偶性 当b =0时是偶函数,当b ≠0时是非奇非偶函数
单调性 在⎝ ⎛⎦
⎥⎤-∞,-b 2a 上是减函数; 在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫-b 2a ,+∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-b 2a 上是增函数; 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-b 2a ,+∞上是减函数。

2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的基本性质 第1课时 函数的

2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的基本性质 第1课时 函数的

第2讲函数的基本性质第1课时函数的单调性与最值一、知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.[注意] 有多个单调区间应分开写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“逗号”或“和”联结.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M为最大值M为最小值1.函数单调性的两个等价结论 设∀x 1,x 2∈D (x 1≠x 2),则 (1)f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(或(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增.(2)f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0(或(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减.2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 二、习题改编1.(必修1P39A 组T1改编)函数y =x 2-5x -6在区间[2,4]上是( ) A .递减函数 B .递增函数 C .先递减再递增函数D .先递增再递减函数解析:选C.作出函数y =x 2-5x -6的图象(图略)知开口向上,且对称轴为x =52,在[2,4]上先减后增.故选C.2.(必修1P31例4改编)函数y =1x -1在[2,3]上的最小值为( ) A .2 B.12 C.13D .-12解析:选B.因为y =1x -1在[2,3]上单调递减,所以y min =13-1=12.故选B.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.( ) (2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数f (x )的单调递增区间是[1,+∞).( )(3)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )(4)所有的单调函数都有最值.( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( )(6)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区(1)求单调区间忘记定义域导致出错;(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错; (3)自变量的系数影响函数的单调性.1.已知函数f (x )=x 2-2x -3,则该函数的单调递增区间为( ) A .(-∞,1] B .[3,+∞) C .(-∞,-1]D .[1,+∞)解析:选B.设t =x 2-2x -3,由t ≥0,即x 2-2x -3≥0,解得x ≤-1或x ≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t =x 2-2x -3的图象的对称轴为x =1,所以函数t 在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f (x )的单调递增区间为[3,+∞).2.若函数f (x )=x 2-2mx +1在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是 . 解析:由题意知,[2,+∞)⊆[m ,+∞),所以m ≤2. 答案:(-∞,2]3.函数y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则m 的取值范围为 . 解析:要使y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则2m -1<0,即m <12.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )=axx -1(a ≠0)在(-1,1)上的单调性.【解】 法一:设-1<x 1<x 2<1,f (x )=a ⎝⎛⎭⎪⎫x -1+1x -1=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x -1, f (x 1)-f (x 2)=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 1-1-a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1x 2-1=a (x 2-x 1)(x 1-1)(x 2-1),由于-1<x 1<x 2<1, 所以x 2-x 1>0,x 1-1<0,x 2-1<0,故当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上单调递减;当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),函数f (x )在(-1,1)上单调递增. 法二:f ′(x )=(ax )′(x -1)-ax (x -1)′(x -1)2=a (x -1)-ax (x -1)2=-a(x -1)2.当a >0时,f ′(x )<0,函数f (x )在(-1,1)上单调递减; 当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-1,1)上单调递增.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 角度二 求函数的单调区间求函数f (x )=-x 2+2|x |+1的单调区间.【解】 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0 =⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和(0,1],单调递减区间为(-1,0]和(1,+∞).【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )=|-x 2+2x +1|,如何求解? 解:函数y =|-x 2+2x +1|的图象如图所示.由图象可知,函数y =|-x 2+2x +1|的单调递增区间为(1-2,1]和(1+2,+∞);单调递减区间为(-∞,1- 2 ]和(1,1+ 2 ].确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数,如函数y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数,但在定义域上不具有单调性.(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念,显然N ⊆M .1.函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增函数,那么区间A 可能是( ) A .(-∞,0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12C .[0,+∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ 解析:选B.y =|x |(1-x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),x ≥0-x (1-x ),x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≥0x 2-x ,x <0=⎩⎪⎨⎪⎧-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+14,x ≥0,⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-14,x <0.画出函数的草图,如图.由图易知原函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12上单调递增.2.下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是( )A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x-xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C.由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A 、D选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调,对于f (x )=1x-x ,因为y =1x与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.3.判断函数y =2x 2-3x的单调性.解:因为f (x )=2x 2-3x =2x -3x,且函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而函数y=2x 和y =-3x在区间(-∞,0)上均为增函数,根据单调函数的运算性质,可得f (x )=2x-3x在区间(-∞,0)上为增函数.同理,可得f (x )=2x -3x在区间(0,+∞)上也是增函数.故函数f (x )=2x 2-3x在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.函数的最值(值域)(师生共研)(1)(一题多解)函数y =x +x -1的最小值为 .(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x+a ,x ≤0,x +4x ,x >0有最小值,则实数a 的取值范围是 .【解析】 (1)法一(换元法):令t =x -1,且t ≥0,则x =t 2+1, 所以原函数变为y =t 2+1+t ,t ≥0.配方得y =⎝ ⎛⎭⎪⎫t +122+34,又因为t ≥0,所以y ≥14+34=1,故函数y =x +x -1的最小值为1.法二:因为函数y =x 和y =x -1在定义域内均为增函数,故函数y =x +x -1在[1,+∞)内为增函数,所以y min =1.(2)(基本不等式法)由题意知,当x >0时,函数f (x )=x +4x≥2x ·4x=4,当且仅当x =2时取等号;当x ≤0时,f (x )=2x +a ∈(a ,1+a ],因此要使f (x )有最小值,则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4,+∞)求函数最值的五种常用方法1.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x ≥1,-x 2+2,x <1,的最大值为 .解析:当x ≥1时,函数f (x )=1x为减函数,所以f (x )在x =1处取得最大值,为f (1)=1;当x <1时,易知函数f (x )=-x 2+2在x =0处取得最大值,为f (0)=2.故函数f (x )的最大值为2.答案:2 2.函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b = . 解析:易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎪⎨⎪⎧1a -1=1,1b -1=13,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. 所以a +b =6. 答案:6函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x =1对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (e),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >a >bB .c >b >aC .a >c >bD .b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x =1对称.由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.当x 2>x 1>1时, [f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0恒成立, 知f (x )在(1,+∞)上单调递减. 因为1<2<52<e ,所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e), 所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路:比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.角度二 解函数不等式已知函数f (x )=-x |x |,x ∈(-1,1),则不等式f (1-m )<f (m 2-1)的解集为 .【解析】 由已知得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-1<x ≤0,-x 2,0<x <1,则f (x )在(-1,1)上单调递减,所以⎩⎨⎧-1<1-m <1,-1<m 2-1<1,m 2-1<1-m ,解得0<m <1, 所以所求解集为(0,1). 【答案】 (0,1)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解,此时应特别注意函数的定义域.角度三 求参数的值或取值范围已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1,x <2,满足对任意的实数x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为 .【解析】 由题意知,函数f (x )是R 上的减函数,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,(a -2)×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122-1,解得a ≤138,即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤-∞,138. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,138利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.1.已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13,23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,23 解析:选D.因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f (2x -1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.故选D.2.函数y =f (x )在[0,2]上单调递增,且函数f (x )的图象关于直线x =2对称,则下列结论成立的是( )A .f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析:选B.因为f (x )的图象关于直线x =2对称,所以f (x )=f (4-x ),所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2, f (x )在[0,2]上单调递增,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.3.若函数f (x )=|2x +a |的单调增区间是[3,+∞),则a 的值为 . 解析:由图象(图略)易知函数f (x )=|2x +a |的单调增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a2,+∞,令-a2=3,得a =-6.答案:-6核心素养系列3 逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养以函数的单调性为出发点,以增函数、减函数的定义为依据,通过数学运算、比较、分类讨论、综合分析,提高逻辑推理的能力,迅速解题.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (x +y )=f (x )+f (y )+1;②当x >0时,f (x )>-1.(1)求f (0)的值,并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)=1,解关于x 的不等式f (x 2+2x )+f (1-x )>4. 【解】 (1)令x =y =0得f (0)=-1.令f (x )在R 上任取x 1>x 2, 则x 1-x 2>0,f (x 1-x 2)>-1.又f (x 1)=f ((x 1-x 2)+x 2)=f (x 1-x 2)+f (x 2)+1>f (x 2), 所以,函数f (x )在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5.由f (x 2+2x )+f (1-x )>4得f (x 2+x +1)>f (3), 又函数f (x )在R 上是增函数,故x 2+x +1>3, 解得x <-2或x >1,故原不等式的解集为{x |x <-2或x >1}.抽象函数问题中需注意以下三点:(1)注意函数的定义域,树立定义域优先的观念.(2)注意函数性质的综合应用,如函数的奇偶性、周期性等.(3)利用“抽象函数具体化”,列举出符合条件的具体函数或画出其图象来分析求解.若f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,当f (x )+f (x -8)≤2时,则x 的取值范围是( )A .(8,+∞)B .(8,9]C .[8,9]D .(0,8)解析:选B.2=1+1=f (3)+f (3)=f (9), 由f (x )+f (x -8)≤2,可得f [x (x -8)]≤f (9), 因为f (x )是定义在(0,+∞)上的单调增函数,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x -8>0,x (x -8)≤9,解得8<x ≤9.[基础题组练]1.(2019·高考北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A .y =x 12 B. y =2-xC .y =log 12xD .y =1x解析:选A.对于幂函数y =x α,当α>0时,y =x α在(0,+∞)上单调递增,当α<0时,y =x α在(0,+∞)上单调递减,所以选项A 正确;选项D 中的函数y =1x可转化为y =x-1,所以函数y =1x在(0,+∞)上单调递减,故选项D 不符合题意;对于指数函数y =a x(a >0,且a ≠1),当0<a <1时,y =a x 在(-∞,+∞)上单调递减,当a >1时,y =a x在(-∞,+∞)上单调递增,而选项B 中的函数y =2-x可转化为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,因此函数y =2-x在(0,+∞)上单调递减,故选项B 不符合题意;对于对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1),当0<a <1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递减,当a >1时,y =log a x 在(0,+∞)上单调递增,因此选项C 中的函数y =log 12x 在(0,+∞)上单调递减,故选项C 不符合题意,故选A.2.函数f (x )=-x +1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-13上的最大值是( )A.32 B .-83C .-2D .2解析:选A.函数f (x )=-x +1x 的导数为f ′(x )=-1-1x2,则f ′(x )<0,可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-13上单调递减,即f (-2)为最大值,且为2-12=32. 3.已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )A .(-1,1)B .(0,1)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:选C.由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1,x ≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1,x ≠0.所以-1<x <0或0<x <1.故选C.4.若函数f (x )=x 2+a |x |+2,x ∈R 在区间[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-113,-3 B .[-6,-4] C .[-3,-22]D .[-4,-3]解析:选B.由于f (x )为R 上的偶函数,因此只需考虑函数f (x )在(0,+∞)上的单调性即可.由题意知函数f (x )在[3,+∞)上为增函数,在[1,2]上为减函数,故-a2∈[2,3],即a ∈[-6,-4].5.定义新运算“⊕”:当a ≥b 时,a ⊕b =a ;当a <b 时,a ⊕b =b 2,则函数f (x )=(1⊕x )x -(2⊕x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12解析:选C.由已知得,当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2; 当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2.因为f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数, 所以f (x )的最大值为f (2)=23-2=6.6.函数f (x )=|x -2|x 的单调减区间是 .解析:由于f (x )=|x -2|x =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥2,-x 2+2x ,x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]. 答案:[1,2]7.若函数f (x )=1x 在区间[2,a ]上的最大值与最小值的和为34,则a = .解析:由f (x )=1x 的图象知,f (x )=1x在(0,+∞)上是减函数,因为[2,a ]⊆(0,+∞),所以f (x )=1x在[2,a ]上也是减函数,所以f (x )max =f (2)=12,f (x )min =f (a )=1a ,所以12+1a =34,所以a =4.答案:48.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f (x +1)<1的解集为 .解析:由函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-3),B (3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f (x +1)<1,即为f (0)<f (x +1)<f (3),所以0<x +1<3,所以-1<x <2.答案:(-1,2)9.已知函数f (x )=2x -a x的定义域为(0,1](a 为实数). (1)当a =1时,求函数y =f (x )的值域;(2)求函数y =f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求当函数f (x )取得最值时x 的值.解:(1)当a =1时,f (x )=2x -1x,任取0<x 2<x 1≤1,则f (x 1)-f (x 2)=2(x 1-x 2)-⎝⎛⎭⎪⎫1x 1-1x2=(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2+1x 1x 2.因为0<x 2<x 1≤1,所以x 1-x 2>0,x 1x 2>0. 所以f (x 1)>f (x 2),所以f (x )在(0,1]上单调递增,当x =1时取得最大值1. 所以f (x )的值域为(-∞,1].(2)当a ≥0时,y =f (x )在(0,1]上单调递增,无最小值,当x =1时取得最大值2-a ; 当a <0时,f (x )=2x +-ax,当-a2≥1,即a ∈(-∞,-2]时,y =f (x )在(0,1]上单调递减,无最大值,当x =1时取得最小值2-a ;当-a2<1,即a ∈(-2,0)时,y =f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0, -a 2上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a2,1上单调递增,无最大值,当x =-a2时取得最小值2-2a . 10.已知函数f (x )=1a -1x(a >0,x >0).(1)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,求a 的值. 解:(1)证明:任取x 1>x 2>0, 则f (x 1)-f (x 2)=1a -1x 1-1a +1x 2=x 1-x 2x 1x 2,因为x 1>x 2>0, 所以x 1-x 2>0,x 1x 2>0,所以f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),所以f (x )在(0,+∞)上是增函数.(2)由(1)可知,f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上为增函数, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1a-2=12,f (2)=1a -12=2,解得a =25.[综合题组练]1.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3(a -3)x +2,x ≤1,-4a -ln x ,x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1-x 2)[f (x 2)-f (x 1)]>0成立,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,3]B .(-∞,3)C .(3,+∞)D .[1,3)解析:选D.由(x 1-x 2)[f (x 2)-f (x 1)]>0,得(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0,所以函数f (x )在R 上单调递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0,3(a -3)+2≥-4a ,解得1≤a <3.故选D.2.(创新型)对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是 .解析:依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数, 当x >2时,h (x )=3-x 是减函数,所以h (x )在x =2时,取得最大值,h (2)=1. 答案:1 3.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证明f (x )在(-∞,-2)上单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). 因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)<f (x 2), 所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增. (2)设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).因为a >0,x 2-x 1>0, 所以要使f (x 1)-f (x 2)>0, 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立, 所以a ≤1.综上所述,a 的取值范围为(0,1].4.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值.解:(1)令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)证明:任取x 1,x 2∈()0,+∞,且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间()0,+∞上是单调递减函数.(3)因为f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9),由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为-2.。

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.3函数的奇偶性与周期性

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2.3函数的奇偶性与周期性

2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》
§2.3函数的奇偶性与周期性
最新考纲
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
1.函数的奇偶性
2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
概念方法微思考
1.如果已知函数f(x),g(x)的奇偶性,那么函数f(x)±g(x),f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论?
提示在函数f(x),g(x)公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.已知函数f(x)满足下列条件,你能得到什么结论?
(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0);
(2)f(x+a)=1
f(x)
(a≠0);
(3)f(x+a)=f(x+b)(a≠b).
提示(1)T=2|a|(2)T=2|a|(3)T=|a-b|。

2021届高考数学总复习:第二章 - 函数与基本初等函数I

2021届高考数学总复习:第二章 - 函数与基本初等函数I

2021届高考数学总复习:第二章 - 函数与基本初等函数I第二章函数与基本初等函数I 第一节函数的概念与性质第一部分五年高考荟萃2021年高考题1.(2021全国卷Ⅰ理)函数f(x)的定义域为R,若f(x?1则( ) )与f(x?1)都是奇函数,A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)?f(x?2)D.f(x?3)是奇函数答案 D解析 ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数,?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1),?函数f(x)关于点(1,0),及点(?1,0)对称,函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周期函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4),f(?x?3)??f(x?3),即f(x?3)是奇函数。

故选D2.(2021浙江理)对于正实数?,记M?为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:?x1,x2?R且x2?x1,f(x)有??(x2?x1)?f(x2)?1?(?x2x?)1.下列结论中正确的( )是A.若f(x)?M?1,g(x)?M?2,则f(x)?g(x)?M?1??2 B.若f(x)?M?1,g(x)?M?2,且g(x)?0,则f(x)g(x)?M?1?2C.若f(x)?M?1,g(x)?M?2,则f(x)?g(x)?M?1??2D.若f(x)?M?1,g(x)?M?2,且?1??2,则f(x)?g(x)?M?1??2 答案 C解析对于??(x2?x1)?f(x2)?f(x1)??(x2?x1),即有???f(x2)?f(x1)x2?x1f(x2)?f(x1)x2?x1??,令?k,有???k??,不妨设f(x)?M?1,g(x)?M?2,即有??1?kf??1,??2?kg??2,因此有??1??2?kf?kg??1??2,因此有1f(x)?g(x)?M?1??2.3.(2021浙江文)若函数f(x)?x2?ax(a?R),则下列结论正确的是()A.?a?R,f(x)在(0,??)上是增函数B.?a?R,f(x)在(0,??)上是减函数C.?a?R,f(x)是偶函数D.?a?R,f(x)是奇函数答案 C【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识,通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问.解析对于a?0时有f?x??x是一个偶函数24. (2021山东卷理)函数y?e?ee?exx?x?x的图像大致为 ( ).y 1O 1 x 1yyy 1 O D1 x1 O1xO1 xA 答案 AB C 解析函数有意义,需使e?ee?ee?exx?x?xx?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为y??ee2x2x?1?1?1?2e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. ?log2(1?x),x?05.(2021山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?,f(x?1)?f(x?2),x?0?则f(2021)的值为 ( )A.-1B. 0C.1D. 2答案 C解析由已知得f(?1)?log22?1,f(0)?0,f(1)?f(0)?f(?1)??1,f(2)?f(1)?f(0)??1,f(3)?f(2)?f(1)??1?(?1)?0,f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1,f(5)?f(4)?f(3)?1,f(6)?f(5)?f(4)?0,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2021)= f(5)=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 6.(2021山东卷文)函数y?e?ee?exx?x?x的图像大致为( ).y 1O 1 x 1yyy 1 O1xO1 xO 1 1 x DA答案 A.B C解析函数有意义,需使ex?e?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为e?ee?exx?x?xy??ee2x2x?1?1?1?2e2x?1,所以当x?0时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. x?0?log2(4?x),7. (2021山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ?,f(x?1)?f(x?2),x?0?则f(3)的值为 ( )A.-1B. -2C.1D. 2 答案 B解析由已知得f(?1)?log25,f(0)?log24?2,f(1)?f(0)?f(?1)?2?log25,f(2)?f(1)?f(0)??log25,f(3)?f(2)?f(1)??log25?(2?log25)??2,故选B.【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.8.(2021山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).3A.f(?25)?f(11)?f(80)B. f(80)?f(11)?f(?25)C. f(11)?f(80)?f(?25)D. f(?25)?f(80)?f(11) 答案 D解析因为f(x)满足f(x?4)??f(x),所以f(x?8)?f(x),所以函数是以8为周期的周期函数, 则f(?25)?f(?1),f(80)?f(0),f(11)?f(3),又因为f(x)在R上是奇函数, f(0)?0,得f(80)?f(0)?0,f(?25)?f(?1)??f(1),而由f(x?4)??f(x)得f(11)?f(3)??f(?3)??f(1?4)?f(1),又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(1)?f(0)?0,所以?f(1)?0,即f(?25)?f(80)?f(11),故选D.【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.9.(2021全国卷Ⅱ文)函数y=?x(x?0)的反函数是()(A)y?x2(x?0)(B)y??x2(x?0)(B)y?x2(x?0)(D)y??x2(x?0)答案 B解析本题考查反函数概念及求法,由原函数x?0可知AC错,原函数y?0可知D错.10.(2021全国卷Ⅱ文)函数y=y?log2?x22?x的图像()(A)关于原点对称(B)关于主线y??x对称(C)关于y 轴对称(D)关于直线y?x对称答案 A解析本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选A。

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2021年广东省新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》
§2.9函数模型及其应用
最新考纲 1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用.
1.几类函数模型
函数模型函数解析式
一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
反比例函数模型f(x)=k
x+b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=ba x+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)=b log a x+c
(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数模型f(x)=ax n+b (a,b为常数,a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数
性质
y=a x(a>1) y=log a x(a>1) y=x n(n>0) 在(0,+∞)上
的增减性
单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳
图象的变化随x的增大逐渐表
现为与y轴平行
随x的增大逐渐表
现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<x n<a x
概念方法微思考
请用框图概括解函数应用题的一般步骤.
提示解函数应用题的步骤
题组一思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(×)
(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(×)
(3)不存在x0,使0x a<x n0<log a x0.(×)
(4)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(×)
题组二教材改编
2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是()
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正
确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B 正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C 正确;由题图可知,前6个月的平均收入为1
6
×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D 错误.
3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )=1
2x 2+2x +20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一
个月应生产该商品数量为 万件. 答案 18
解析 利润L (x )=20x -C (x )=-1
2(x -18)2+142,
当x =18时,L (x )有最大值.
4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 . 答案 3
解析 设隔墙的长度为x (0<x <6),矩形面积为y , 则y =x ×24-4x
2=2x (6-x )=-2(x -3)2+18,
∴当x =3时,y 最大.
5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h 与时间t 的函数关系为h =130t -5t 2,则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]
解析 令h ≥0,解得0≤t ≤26,故所求定义域为[0,26]. 题组三 易错自纠
6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案
(p +1)(q +1)-1
解析 设年平均增长率为x ,则(1+x )2=(1+p )(1+q ), ∴x =(1+p )(1+q )-1.
7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y =a log 3(x +1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到 只. 答案 200
解析 由题意知100=a log 3(2+1), ∴a =100,∴y =100log 3(x +1). 当x =8时,y =100log 39=200.。

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