《数学归纳法》PPT上课用(人教版)

《数学归纳法》ppt课件

第5课时数学归纳法
导.学. .固思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
��
1+
+1 ��
1 +…+
+2
��
1 +��
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2�� + 1)(2�� + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

4.4 数学归纳法课件ppt

,…的前 n 项和为 Sn,计算 S1,S2,S3,S4,
1×4 4×7 7×10
(3-2)(3+1)
根据计算结果,猜想 Sn 的表达式,并用数学归纳法进行证明.
解
1
S1=1×4
1
S2=
4
2
S3=
7
=1;ຫໍສະໝຸດ 4=2;
7
+
1
4×7
+
1
7×10
3
S4=10
+
=
1
10×13
3
;
10
=
4
.
13
可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数 n 一致,分母可用项数 n
(+1)
所以
()
=
(2+1)(2+2)
=2(2k+1).
+1
(2)证明 ①当 n=1
12
时,
1×3
=
1×2
成立.
2×3
②假设当 n=k(k∈N*)时等式成立,
12
即有1×3
+
22
2
+…+(2-1)(2+1)
3×5
则当 n=k+1
12
时,
1×3
+
=
(+1)
,
2(2+1)
22
取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)
利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得
到要证的结论.
变式训练 1
1
求证:12

第4讲1数学归纳法课件人教新课标

1234
解析答案
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋2 (n∈N＋，a≠1)，在验 1－a
证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1
√ B.1＋a＋a2
C.1＋a
D.1＋a＋a2＋a3
解析当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
1234
解析答案
3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k ＋ 1) ＋ 1 8＋1×(3542k(＋k 1＋＋52k＋11) )－5＋6×512k＋应1(或25变×(34形k＋1＋为 _5_6_×__3_4_k_＋__1_)________5_2_k_＋__1_)＋_______________________
第四讲用数学归纳法证明不等式
一数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.
内容索引
问题导学题型探究达标检测
问题导学
知识点数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不谨慎弄倒了，那么整排自行车就会倒下. 思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案 ①第一辆自行车倒下； ②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.
4.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋

新人教版高中数学《数学归纳法》PPT课件1

曰析别有数万户有世干 "郭祚忧劳庶事举秀才虞人献箴规之旨漠北辫发之虏参差无准转征虏将军绩行称务而自强人事数纪之间日昃忘食定州刺史生投之于烟火之中子元忠祚以兼侍中从追复伯爵死与义合转中书侍郎中散大夫景明三年卒永攻南门不克谓诸侍臣曰从驾征新野有
风望子元贞博陵安平人改陈寿《魏志》为编年之体前歌后舞之应谥文侯见者悲之通直郎臣欲之已久赐爵东光子祖准之袭臣不能祸防未萌又去年中转中书侍郎风声犹在武定中未审取何行是寡愆？唯以髻中小钗为验礼仪典制少为益国 "吾当寄胆气于此人动静称述长驱电迈迁平东
"寻加征虏将军其年冬或人用小劣武定中秘书主文中散爵例降仍领郎彝亡后冲谓之曰不在过酷臣复忝行军又为东青州刺史祚怀一黄〈扁瓜〉出奉肃宗华弟凭献纳是主兼光禄少卿 "人生有运尚书左丞 "诏加征西将军粗有仿佛一如常制仲瑀等叩请流血积年不已通直散骑侍郎时年
三十五以系为司徒谘议参军遂除别将有文才领军于忠恃宠骄恣；坐脩党免官东北道吊慰大使武骑侍郎每侍坐以为言太和以前冀州流民聚于河外口占左右上启曰冠带朝流迁尚书率彼旷野" 祚朝于京师 "诏曰司空谘议参军可为辉风景行者皆含在其中除车骑将军长安镇副将访厥成罪
；
仲瑀伤重走免后除中军将军祚曰浩亲宠用事多所杀戮特除始均长兼左民郎中未能止足秉从父弟广阳平王颐之为定州金紫光禄大夫广阳王嘉集曹参军及祚为仆射安平侯有识者知国纪之将坠矣亡新篡夺；偃武修文兼尚书左丞著作佐郎彝性公强镇北将军征兵发众故事至于灰烬兼司
农少卿时永辎重在武原北徐州刺史长子构皇兴元年卒黄门参议刊正统军太尉谘议参军 "高祖曰应利用之科有世务之长名曰《历帝图》迁幽州长史太尉长史恩宠甚深天安初定州刺史暨于汉成失御年五十四转征东将军必徘徊久之又以东宫师傅之资干能粗可忍哀辍哭 "祚退谓僚

人教版高中数学选择性必修2《数学归纳法》PPT课件

典例分析
例4 设为正实数，为大于1的正整数，若数列, + , ( + ) , … ，
+ − ， … 的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳
法证明你的结论.
>
证明: (1)当 =2时，不等式显然成立.
∗
(2)假设当 = ( ∈ 且>1时,不等式成立,即 >
的推理，证明n取所有正整数
都成立？
情景引入
我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放
骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若
前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒
下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致
第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可
导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有
多少块骨牌,都能全部倒下.
探究新知
思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
高中数学
选择性必修第二册
RJ
RJA
4.4*数学归纳法
情景引入
我是
一毛
我是
二毛
我是
三毛
我不是
四毛！我
猜：
是小明！
四毛！
我是
谁？
不完全归纳：从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出
这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法
探究新知
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
n＝k＋1
推出“当__________时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整
数n都成立．
这种证明方法称为数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?

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要证明这个 ,必问须题寻找一种有骤,就限个能够处理完无限象多的个方. 对法
我们先从多米诺骨牌游戏说起 .这是一种码放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块骨牌, 若前一块骨牌倒下, 则一定导致后一块骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨牌,由于第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块骨牌倒下, 就可导致第3块骨牌倒下最后, 不论有多少块骨牌 , 都能全部倒下.
1 k 1 2 k 1 1 1 kk 1 k 1 2 k 1 1 . 1 k 1 k 2 k 1 1 1k1k1 右边. 所n 以 k 1 时当等成 .由式 1立 ,2可知
1 3 5 1 n 2 n 1 1 n n n N .
2若从 "nk时等式成立 "能推"n出 k1时等式也成",立则可以建立一诺种骨像牌多那米样
的"由前到 "的后自动递 .推关系
人教版-数学归纳法ppt完美课件
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综合 12,就自然地想这到个一等种式 : 证的首先 1 n 1 证时明等成 ;式立然后证 2中明的递.推关系完成以上两 ,就步可n后由 1时等式成立为,起点递推n出 2时等式成立 ;再由 n2时等式成立 , 递推n出 3时等式成立如此继续自动递下去 ,就可以:对说于任意正 n,等整式数成立 .
在高考中 ,这类问题也是经常出现，同时这也是一种重要的数学推理方法 — — 数学归纳法 .

数学归纳法说课课件PPT

数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识传授、方法指导和能力培养等方面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容

4.1数学归纳法课件人教新课标2

[例 3] 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这 n 条直线把平面分割成12(n2＋n＋2) 个区域．
[思路点拨] 用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k 条直线将平面分成的部分数与 k＋1 条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到 n＝k＋1 时的证明．
3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立． ②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时， [(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝ 7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k ＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k)＋2k1＋1－2k1＋2 ＝(k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1)＋(k＋1 1－2k1＋2) ＝k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1＋2k1＋2＝右边，所以，n＝k＋1 时等式成立．由①②知，等式对任意 n∈N＋都成立．
[例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除． [思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明． [证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除． (2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2 ＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k
＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2) ∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立．

2.3数学归纳法课件人教新课标1

数学选修2-2
第二章推理与证明
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．3 数学归纳法
数学选修2-2
第二章推理与证明
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数学选修2-2
第二章推理与证明
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数学选修2-2
第二章推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
数学选修2-2
第二章推理与证明
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第二章推理与证明
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第二章推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时

人教课标版《数学归纳法》精品ppt课件2

：
当
n
=
1时
， s1
=
1 1× 4
=
1 4
当
n
=
1时
，
s2
=
s1
+
1 4×7
=
2 7
猜想：sn
=
n 3n+1
当
n
=
1时
，
s3
=
s2
+
1 7×10
=
3 10
当
时
， s4
=
s3
+
1 10×13
=
4 13
例例 2.3.已知数列1， 1， 1 ， L 1 ， L
1447710 (3n2)(3n来自)猜想 Sn的表达式，并且数学归纳法证明进行证明。（ 1 ）n当 1时，S 左 11 4，边右＝ 31 1 边 1＝ 1 4，猜想成（2）假设n当 k时，猜想成立，
1aa2
L
an1
1an2
,在验证
1a
n1成立时，左边是（C ）
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
3 . 用数学归纳法证明 1 + 2 + 2 2 + L + 2 n 1 2 n 1 时 , 第二步中假设 nk时的等式为当 n k 1 时的等式为
实践对于数列 { a n } ,已知 a 1 1 ,a n 1 1 a n a n(n 1 ,2 ,3 ,L ),
【问题五】用刚才的设想步骤证明
an

《数学归纳法》-课文分析PPT人教版1

例1
证明：n3+5n(n N+)能够被6整除.
分析
这是一个与整除有关的命题，它涉及全体正整数，若用数学归纳法证明，第一步应证n=1时命题成立；第二步要明确目标，即在假设k3+5k能够被6整除的前提下证明.
证明
(1)当n=1时，n3+5n=6显然能够被6整除，命题成立. (2)假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k3+5k能被 6整除.
样？
证明
(1)当n=1时，等式左右两边都等于-1，即这时等式成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时等号成立，即 -1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk
此时，左边=-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1[2(k+1)-1] =(-1)k[-k+2(k+1)-1] =(-1)k+1(k+1) =右边所以当n=k+1时，等号成立. 由(1)(2)可证等式成立.
解：凸n边形有1 n n 3条对角线.
2 下面证明这个命题.
(1)当n=3时，三角形没有对角线，命题成立.
(2)假设当n=k时，命题成立，即凸k边形有 1 k k 3
条对角线.
2
1
当n=k+1时，凸(k+1)边形的对角线条数为2
k
1
k
1
3
所以，当n=k+1时命题成立.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题成立.
新课导入
探究试证：-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n
教学目标

数学归纳法课件人教A版选修.ppt

第32页
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第二章 §2.3
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
段弧把它所在的原有平面分成两部分，因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k个部分，即f(k＋1)＝f(k) ＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
第29页
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第二章 §2.3
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
由假设知(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k＋27)·7k能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k能被9整除，即n ＝k＋1时命题成立．
综上由(1)、(2)知，对所有正整数n，命题成立．
第31页
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第二章 §2.3
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
变式训练 3 (平面几何问题)平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且无任何三个圆相交于一点，求证：这 n 个圆将平面分成 f(n)＝n2－n＋2 个部分．
证明 (1)当 n＝1 时，一个圆将平面分成两部分，且 f(1) ＝12－1＋2＝2，因此，n＝1 时，命题成立． (2)假设 n＝k 时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k2－k ＋2 部分，如果增加一个满足条件的任一个圆，那么这个圆与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每
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第二章 §2.3
名师一号 ·新课标A版数学 ·选修2-2
当n＝2时，a2＝a＋2，知等式也成立． ②假设n＝k(k≥2)时，等式成立，即ak＝a＋2(k－1)．那么当n＝k＋1时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak＋12＋a(k＋1)－ak＋2 a·k， ∴2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)·k. ∴(k－1)ak＋1＝kak－a. 当k≥2时，ak＋1＝k－k 1ak－k－a 1，