北大高等代数1-21

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高等代数【北大版】课件

线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都为零，主对角线上的元素为特征值。通过相似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理解矩阵的性质和特征。

高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析

第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等代数北大第三版在线阅读

是一个整系数多项式，若有一个素数使得
3° p2+α
则在有理数域上是不可约的 .
17
证：若在上可约，由定理11， f(x)可分解为两次数较低的整系数多项式积
f(x)=(bx+b1x1+…+b)(cmx"+cmx"-1+…+c)
b,cjez， , m < n ，I+m=n
又不妨设
…p l 或 plc
判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的
代换
使
满足
Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式
不可约 .
22
命题有理系数多项式 f(x)在有理系数上不可约
多项式 g(x)= f(ax+b) 在有理数域上不可约 .
23
例5 证明：
在上不可约 .
证：作变换 x=y+1, 则
f(x)=y2+2y+ 2,
取 p= 2, 由Eisenstein判别法知， y2+ 2y+2 在Q上不可约，
所以在Q上不可约 .
24
说明：
对于许多上的多项式来说，作适当线性代换后再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在上的
多项式
无论作怎样的代换
都不能
使
f ( x ) = ( sx- r ) ( bjx" - 1 + … + bx+ b )
bez， i=0,1…n-1 比较两端系数，
得
an= sbn1， a0= -rbd. 所以，sla， r l a

北大高等代数

第二学期第二十一次课9.2.2 []Q x 内多项式的因式分解定义9.12 定义101[]{|,0,1,...,}Z Z n n n i x a x a x a a i n -=+++∈=。

假设()[],()01Z f x x f x ∈≠±及。

如果(),()[]Z g x h x x ∈，使得()()()f x g x h x =，且()1,()1g x h x ≠±≠±，则称()f x 在[]Z x 内可约，否则称()f x 在[]Z x 内不可约。

定义9.13 设101()[]Z n n n f x a x a x a x -=+++∈，这里1n ≥。

如果01(,,...,)1n a a a =，则称()f x 是一个本原多项式。

命题 []Q x 内一个非零多项式()f x 可以表成一个有理数k 和一个本原多项式()f x 的乘积：()()f x kf x =，而且k 除了差一个1±因子外，是被()f x 唯一决定的。

证明是很简单的，可取/k d m =±，其中d 为()mf x 系数的最大公因子，而m 为()f x 系数的分母的一个公倍数。

定理（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是一个本原多项式。

证明设0101()(),()() Z Z n n i n n i f x a a x a x a g x b b x b x b =+++∈=+++∈是两个本原多项式。

为方便记，下面设12120,0n n m m a a b b ++++======。

又设 01()()m n m n f x g x c c x c x ++=+++，如果()()f x g x 不是本原多项式，令素数p 是其系数的一个公因子。

设|(0,1,...,1),|();i r p a i r p a r n =-≤/|(0,1,...,1),|()j s p b j s p b s m =-≤/。

高等代数北京大学第三版

高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。

北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。

本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。

内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。

全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。

主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。

特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。

每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。

2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。

通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。

这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。

3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。

条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。

4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。

习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。

习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。

5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。

无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。

总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。

教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。

这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。

高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2

§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
二、矩阵的初等行变换
定义数域P上的矩阵的初等行变换是指:
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；
kri
2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行，k P ； ri krj
3) 互换矩阵中两行的位置.
ri rj
注意: 矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B.
数学与计算科学学院
三、行列式的计算
原理: 任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成
阶梯阵 J ，且 A k J , k 0.
方法: 对行列式 A 中的A作初等行变换，把它化为
阶梯阵，从而算得行列式的值.
例1 计算行列式
2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
一、矩阵
定义由sn个数排成 s 行 n 列的表
a11 a12
A
a21
a22
as1 as2
a1n a2n
asn
称为一个 s×n 矩阵, 简记为 A (aij )sn . 数 aij 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标， j为列指标.
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
3 2 7 1
2 4 3 5
2)
3 1 4 2 7253
4 3 2 6
答案: 1）－726
2）－22
Байду номын сангаас
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
注意: 计算行列式 A 时，也可对A作初等列变换，
把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值. 也可同时作初等行变换和列变换, 有时候这样

北大数学系《高等代数》考研配套2021考研真题库

北京大学数学系《高等代数》考研配套2021考研真题库第一部分北大考研真题各题型第1章多项式一、判断题1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述得P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k 重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研] 【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研] 【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三重因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x－1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1三、证明题1．设不可约的有理分数p/q是整系数多项式f（x）＝a0x n＋a1x n－1＋…＋a n－1x＋a n的根，证明：q∣a0，p∣a n[华中科技大学研]证明：因为p/q是f（x）的根，所以（x－p/q）∣f（x），从而（qx－p）∣f（x）．又因为p，q互素，所以qx－p是本原多项式[即多项式的系数没有异于±l的公因子]，且f（x）＝（qx－p）（b n－1x n－1＋…＋b0，b i∈z比较两边系数，得a0＝qb n－1，a n＝－pb0⇒q∣a0，p∣a n2．设f（x）和g（x）是数域P上两个一元多项式，k为给定的正整数．求证：f （x）∣g（x）的充要条件是f k（x）∣g k（x）[浙江大学研]证明：（1）先证必要性．设f（x）∣g（x），则g（x）＝f（x）h（x），其中h （x）∈P（x），两边k次方得g k（x）＝f k（x）h k（x），所以f k（x）∣g k（x）（2）再证充分性．设f k（x）∣g k（x）（i）若f（x）＝g（x）＝0，则f（x）∣g（x）（ii）若f（x），g（x）不全为0，则令d（x）＝（f（x），g（x）），那么f（x）＝d（x）f1（x），g（x）＝d（x）g1（x），且（f1（x），g1（x））＝1①所以f k（x）＝d k（x）f1k（x），g k（x）＝d k（x）g1k（x）因为f k（x）∣g k（x），所以存在h（x）∈P[x]（x），使得g k（x）＝f k（x）·h（x）所以d k（x）g1k（x）＝d k（x）f1k（x）·h（x），两边消去d k（x），得g1k（x）＝f1k（x）·h（x）②由②得f1（x）∣g1k（x），但（f1（x），g1（x））＝1，所以f1（x）∣g1k－1（x）这样继续下去，有f1（x）∣g1（x），但（f1（x），g1（x））＝1故f l（x）＝c，其中c为非零常数．所以f（x）＝d（x）f1（x）＝cd（x）⇒f（x）∣g（x）3．设f（x），g（x）都是P[x]中的非零多项式，且g（x）＝s m（x）g1（x），这里m≥1．又若（s（x），g1（x））＝1，s（x）∣f（x）．证明：不存在f1（x），r（x）∈P[x]，且r（x）≠0，∂（r（x））＜∂（s（x））使①[浙江大学研]证明：用反证法，若存在f1（x），r（x）使①式成立，则用g（x）乘①式两端，得f（x）＝r（x）g1（x）＋f1（x）s（x）②因为s（x）∣f（x），s（x）∣f1（x）s（x），由②式有s（x）∣r（x）g1（x）．但（s（x），g1（x））＝1，所以s（x）∣r（x）．这与∂（r（x））＜∂（s（x））矛盾．4．设f（x）是有理数域上n次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f （x）的一根的倒数也是f（x）的根．证明：f（x）每一根的倒数也是f（x）的根．[南开大学研]证明：设b是f（x）的一根，1/b也是f（x）的根．再设c是f（x）的任一根．下证1/c也是f（x）的根．令g（x）＝f（x）/d，其中d为f（x）的首项系数，不难证明：g（x）与f（x）有相同的根，其中g（x）是首项系数为l的有理系数不可约多项式．设g（x）＝x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0，（a0≠0）．由于b n＋a n－1b n－1＋…＋a1b＋a0＝0①（1/b）n＋a n－1（1/b）n－1＋…＋a1（1/b）＋a0＝0⇒a0b n＋a1b n－1＋…＋a n－1b＋1＝0⇒b n＋（a1/a0）b n－1＋…＋（a n－1/a0）b＋1/ a0＝0 ②由g（x）不可约及①，②两式可得1/a0＝a0，a i/a0＝a n－i（i＝1，2，…，n－1）．故a0＝±1，a i＝±a n－i（i＝1，2，…，n－1）③由③式可知，当f（c）＝0时，有f（c）＝0，且g（1/c）＝0，从而f（1/c）＝0．5．设f（x）是复系数一元多项式，对任意整数n有f（n）都是整数．证明：f（x）的系数都是有理数．举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n，有f （n）是整数．［浙江大学研］证明：设f（x）＝g（x）＋ih（x），g（x），h（x）∈R[x]由于∀n∈Z，f（n）＝g（n）＋ih（n）∈Z，所以h（x）＝0．下证g（x）∈Q[x]．事实上，令g（x）＝a0＋a1x＋…＋a m x m，a m≠0，a i∈R，i＝1，2，…，m则有a0＋a1＋…＋a m＝g（1）∈Z，a0＋a1·2＋…＋a m·2m＝g（2）∈Z，⋮a0＋a1（m＋1）＋…＋a m（m＋1）m＝g（m＋1）∈Z.记则有（a0，a1，…，a m）T＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））①又显见∣T∣＝m!（m－1）!…2!1!≠0，由①式得（a0，a1，…，a m）＝（g（1），g（2），…，g（m＋1））T－1这里T－1是有理数域上的矩阵，g（1），g（2），…，g（m＋1）均为整数，所以a0，a1，…，a m∈Q．因此f（x）＝g（x）∈Q[x]．取f（x）＝x2/2－1/2，有f（x）＝（x－n）（x/2＋n/2）＋（n2－1）/2可见存在不是整系数的多项式f（x），对任一整数n，有f（n）＝（n2－1）/2∈Z．第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B． C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求（1）U＋W：（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]解：（1）令可得．所以由于为的一个极大线性无关组，因此又可得且，故为U＋W的一组基．（2）令因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：再令，则故ζ为U∩W的一组基．3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组求W的一个基．[华东师范大学研]证明：（1）显然W≠，又因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r （A，B）＝n－r＋1．任取α∈W，存在t∈K，使所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则所以且可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．该方程组的一个基础解系为：其在σ之下原像即为W的一组基．4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]证明：因为所以由题设所以即当时，由得此时当时因为，所以，此时5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得（2）存在V中一组基，使[北京大学研]证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：则V成为实数域上的一个线性空间．设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，得解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以从而又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．。

高等代数北大课件

拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等。
将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个奇异值和若干个奇异向量的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标准形式，即一个平方项之和减去另一个平方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。

高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。

2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。

3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。

4. 线性方程组在实际应用中的例子。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。

2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。

3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。

4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。

2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。

3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。

4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。

四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。

2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。

3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。

4. 对称矩阵的特征值和特征向量。

五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。

2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。

3. 二次型的性质：正定、负定、不定。

4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。

六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。

2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。

3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。

4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。

七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。

2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。

3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。

4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。

八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。

2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。

3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。

北大高代复习题集全

北大高代复习题集全北高大代复习题集全高等代数是数学专业学生必须掌握的一门基础课程，它不仅涵盖了线性代数的基本概念，还深入探讨了群、环、域等代数结构。

以下是北大高等代数的复习题集，旨在帮助学生系统复习和巩固所学知识。

第一部分：线性代数基础1. 向量空间的定义与性质- 描述向量空间的公理，并给出一个非标准的例子。

- 证明一个集合是否构成向量空间。

2. 线性相关与线性无关- 给出线性相关和线性无关的定义，并举例说明。

- 解释向量组的线性相关性如何影响其生成的向量空间。

3. 基与维数- 定义基和维数，并解释它们之间的关系。

- 证明一个向量组是否是某个向量空间的基。

4. 线性变换与矩阵表示- 描述线性变换的性质，并给出矩阵表示。

- 解释如何通过矩阵变换来理解线性变换。

5. 特征值与特征向量- 定义特征值和特征向量，并解释它们在矩阵理论中的作用。

- 求解给定矩阵的特征值和特征向量。

6. 正交性与正交矩阵- 描述正交向量和正交矩阵的概念。

- 证明一个矩阵是否为正交矩阵。

7. 行列式与矩阵的逆- 解释行列式的性质，并说明如何使用行列式求解矩阵的逆。

第二部分：群论基础1. 群的定义与性质- 给出群的定义，并解释群的四个基本性质。

- 举例说明不同类型的群。

2. 子群与陪集- 定义子群，并解释如何找到一个群的子群。

- 描述陪集的概念，并解释其在群论中的重要性。

3. 正规子群与商群- 定义正规子群，并解释商群的概念。

- 举例说明如何构造一个群的商群。

4. 群的同态与同构- 解释群的同态和同构的概念，并给出它们的性质。

- 判断两个群是否同构。

5. 阿贝尔群与循环群- 描述阿贝尔群和循环群的特点，并给出例子。

- 解释为什么所有的阿贝尔群都是循环群。

第三部分：环论基础1. 环的定义与性质- 给出环的定义，并解释环的基本性质。

- 举例说明不同类型的环。

2. 理想与商环- 定义理想，并解释如何使用理想构造商环。

- 举例说明商环的性质。

高等代数北京大学第三版北京大学精品课程

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高等代数北京大学第三版北京大学精品课程地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容第一学期第一次课第一章代数学的经典课题§1 若干准备知识代数系统的概念一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，则称这样的一个体系为一个代数系统。

数域的定义定义（数域）设是某些复数所组成的集合。

如果K中至少包含两个不同的复数，且对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对内任意两个数、（可以等于），必有，则称K为一个数域。

例1.1 典型的数域举例：复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i |∈Q}，其中i =。

命题任意数域K都包括有理数域Q。

证明设为任意一个数域。

由定义可知，存在一个元素。

于是。

进而Z,。

最后，Z，，。

这就证明了Q。

证毕。

集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念定义(集合的交、并、差) 设是集合，与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集，记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，记做。

定义（集合的映射）设、为集合。

如果存在法则，使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素（记做），则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。

的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做，即。

若都有则称为单射。

若都存在，使得，则称为满射。

如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应。

1.1.4 求和号与求积号1．求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。

高等代数习题(北大第四版)答案一到四章

14．证明：如果 ( f ( x), g( x)) =1 ，那么 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) = 1。
证由题设知 ( f ( x), g( x)) =1 ，所以存在 u(x),v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g (x) = 1，
从而 u(x) f (x) −v(x) f (x) +v(x) f (x) +v(x)g(x) =1，
高等代数答案第一章第一章第一章第一章多项式多项式多项式多项式时代入2可得1339109
高等代数答案
第一章多项式
1．用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ：
1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g(x) = 3x 2 − 2x +1；
2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g( x) = x2 − x + 2 。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
4．把 f (x) 表示成 x − x0 的方幂和，即表成 c0 + c1 (x − x0 ) +c2 (x − x0 )2 + ... +cn (x −x0 )n +⋯的形式： 1） f (x) = x5 , x0 =1； 2） f (x) = x4 − 2x2 + 3, x0 = −2； 3） f (x) = x4 + 2ix3 − (1+ i )x2 − 3x + 7 + i, x0 = −i 。解 1）由综合除法，可得 f (x) = 1+ 5(x −1) +10(x −1)2 +10(x −1)3 +5(x −1)4 +(x −1)5； 2）由综合除法，可得 x4 − 2x2 + 3 = 11− 24(x + 2) + 22(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4 ； 3）由综合除法，可得 x4 + 2ix3 − (1+ i )x2 − 3x + (7 +i ) = (7 + 5i) − 5(x + i )+ (− 1− i )(x + i )2 − 2i (x + i )3 + (x + i )4 。 5．求 f (x) 与 g(x) 的最大公因式： 1） f (x) = x4 + x3 − 3x2 − 4x −1,g (x ) = x3 + x2 − x − 1； 2） f (x) = x4 − 4x3 +1,g (x ) = x3 − 3x2 +1； 3） f (x) = x4 −10x2 +1, g (x) = x4 − 4 2x3 + 6x2 + 4 2x + 1。解 1） ( f ( x), g( x)) = x +1 ； 2） ( f (x), g( x)) =1； 3） ( f ( x), g( x)) = x2 − 2 2 x −1。 6．求 u(x), v( x) 使 u(x) f (x) + v(x)g (x) = ( f (x), g (x)) 。 1） f (x) = x4 + 2x3 − x2 − 4x − 2, g (x) = x4 + x3 − x2 − 2x − 2； 2） f (x) = 4x4 − 2x3 −16x2 + 5x + 9, g (x) = 2x3 − x2 − 5x + 4 ； 3） f (x) = x4 − x3 − 4x2 + 4x + 1, g (x) = x2 − x − 1。解 1）因为 ( f ( x), g( x)) = x2 − 2 = r2( x)

高等代数【北大版】课件

多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干个线性因子乘积的过程。通过因式分解，可以更好地理解多项式的结构，简化计算和证明。此外，多项式的根是指满足多项式等于0的数。根的性质包括根的和与积、重根的性质等。求解多项式的根的方法有多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况，提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的基础概念，包括代数余子式、余子式、转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数式，按照一定规则排列，具有一些重要的性质，如交换律、结合律、代数余子式等。这些性质在后续章节中有着广泛的应用。

高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答

高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。

2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。

3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。

二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。

2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。

3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。

三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。

2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。

3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。

四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。

2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。

3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。

五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。

2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。

3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。

4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。

六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。

2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。

3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。

4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。

七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。

2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。

高等代数(北大版第三版)习题答案II

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。

高等代数ppt课件北大版第一章多项式.ppt

q1( x) c1 p1( x), c1 0 (1)两边消去 q1( x), 即得
p2( x) ps ( x) c11q2( x) qt ( x)
由归纳假设有 s 1 t 1, s t.
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2. 标准分解式：对 f ( x) P[x], f ( x) 1,
实际上，对于一般的情形普通可行的分解多项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多项式的可约性的判定都是非常复杂的．
§1.5 2024/9/27 因式分解定理
数学与计算科学学院
2 设对次数低于n的多项式结论成立．
下证 f ( x) n 的情形.
若 f ( x)是不可约多项式. 结论显然成立．
若 f ( x)不是不可约多项式，则存在 f1( x), f2( x),
且 ( fi ( x)) n, i 1,2 使 f ( x) f1( x) f2( x)
由归纳假设 f1( x), f2( x)皆可分解成不可约多项式的积.
例如，若 f ( x), g( x)的标准分解式分别为
f
(
x
)
ap1r1
(
x)
p r2 2
(
x
)
g(
x
)
bp1l1
(
x)
p l2 2
(
x)
psrs ( x), ri 0 psls ( x), li 0
则有
f ( x), g( x) p11 ( x) p22 ( x) pss ( x),
i min ri ,li , i 1,2, , s
f ( x) 总可表成
f
(
x)
cp1r1

高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析