物理光学与应用光学——第3章-2

(3) 爱里斑
中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的 83.78% ，称之为
爱里斑。其半径 0 由第一光强极小值处的 值决定：
ka 0 10 1.22π f
因此
0 1.22 f

2a
0.61 f

a
或以角半径 0 表示： 0

0
f
0.61

a
爱里斑的面积：
(0.61πf ) S0 S
1. 光强分布公式
b/2 ~ E ( x, y ) C
~ E ( x, y ) C e ik ( xx1 yy1 ) / f dx1dy1

透镜焦平面上 P(x, y)点的光场复振幅：
b / 2 a / 2

a/2
e
ik ( xx1 yy1 ) / f
dx1dy1
(3) 衍射图样
对于方形孔径：a = b，沿 x, y 方向有相同的衍射图样。
对于矩形孔径：a b，衍射图样沿x、y 方向形状相同、线
度不同。
a>b
a<b
2. 夫朗和费圆孔衍射
由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论
圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际
意义。 夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的 讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性， 采用极坐标处理更加方便。
4 e 1.22 3.3 10 rad De
通常实验测得的人眼最小分辨角约为 1 (=2.9×10-4rad)，
与计算结果基本相符。
(2) 望远镜的分辨本领
望远镜的作用相当于增大人眼睛的瞳孔。设望远镜物 镜的圆形通光孔直径为 D，若有两个物点恰好能为望远镜所 分辨，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角 为：
按照衍射积分方程，在经过坐标变换后，P点的光场复振幅 可表示为：
a 2π ~ ik1 cos(1 ) E ( , ) C e ρ1d1d1 0 0
式中


f
是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。
~ E ( x, y ) C e ik ( xx1 yy1 ) / f dx1dy1
1. 光强分布公式
y1 Q x1 y
11
O1

O


P0
P
x
设圆孔半径为 a ，中心 位于光轴上，圆孔上任一点 Q 的坐 标 1、1与相应直角坐标关系：x1=1cos 1 ，y1=1sin 1
类似地，观察屏上任一点 P 的位置坐标、与相应直 角坐标的关系为：
x cos , y sin
相邻两暗点之间的间隔为:
f Δx a
在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置:
2 d sin 0 d
即
tan
图解法求解结果
0

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
2
0
0.0

2

夫朗和费矩形孔衍射在 y 轴上的光强度:
但实际上光波通过光学成像系统时，总会因光学孔径的
有限性产生衍射，这就限制了光学成像系统的分辨本领。通 常，由于光学成像系统具有光阑、透镜外框等圆形孔径，所 以讨论其分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为基础。
Байду номын сангаас
设有 S1 和 S2 两个非相干点光源，间距为 ，它们到直
径为 D 的圆孔距离为 R，则 S1 和 S2 对圆孔的张角 为：
L1
S
Q C
f

P0
z
单色点光源 S 放置在透镜 L1 的前焦平面，所产生的平
行光垂直入射开孔 ，由于开孔的衍射，在透镜 L2 的后焦 平面上可以观察到开孔 的夫朗和费衍射图样。
~ E 若开孔面上有均匀的光场分布，可令 ( x1 , y1 ) =A。又因
透镜紧贴孔径，z1≈ f 。所以后焦平面上的光场复振幅写为：
大三千倍左右。
通常在设计望远镜时，为了充分利用望远镜物镜的分辨 本领，应使望远镜的放大率保证物镜的最小分辨角经望远镜 放大后等于眼睛的最小分辨角，即：
e D M De
(3) 照相物镜的分辨本领
照相物镜一般都是用于对较远物体的成像，感光底片大
致与其焦平面重合。若照相物镜孔径为 D，相应第一极小的 衍射角为0，则底片上恰能分辨的两条直线的间距 为：
只有在 S = 0.61f 时，S0 =S 。
2
圆孔面积 S 愈小，爱里斑面积愈大，衍射现象愈明显。
3. 光学成像系统的分辨本领(分辨率）
1. 瑞利判据 2. 几种光学成像系统的分辨本领
1. 瑞利判据
从几何光学的观点看，每个像点应该是一个几何点，因 此，对于一个无像差的理想光学成像系统，其分辨本领应当 是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。
' f 0 1.22 f

D
习惯上，照相物镜的分辨本领用底片上每毫米内能成 多少条恰能分开的线条数 N 表示：
1 1 D N ' 1.22 f
式中，D / f 是照相物镜的相对孔径
可见，照相物镜的相对孔径愈大，分辨本领愈高。 例如，对于 D/f = 1:3.5 的常用照相物镜，若 =0.55m， 则 N=1490×1/3.5=425( 条 /mm) 。作为照相系统总分辨本 领的要求来说，感光底片的分辨本领应大于或等于物镜
0 1
2πC ~ 得： E ( , ) (k ) 2

ka
0
(k1 )J 0 (k1 )d(k1 )
2πa 2C J1 (ka ) ka
2J1 (ka ) 则 P点光强： I ( , ) ( πa ) | C | ka
2 2 2
y 轴上的位置是：
f x a
f 和 y b
2 2 4 f 中央亮斑面积为： S0 ab
说明：中央亮斑面积与矩形孔面积成反比，在相同波长 和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，反之亦然。
注意：
Aab I 0 | Cab | 2 2 f
2
2 2 2
可见，随衍射孔的减小，虽然中央亮斑增大，但相应的 P0 点光强度愈小。
相邻两个暗环之间存在一个衍射次极大，其位置由满足下 式的 值决定：
d J1 ( ) J 2 ( ) 0 d
I/I0
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
4
6
8 10

衍射图样中两相邻暗环的间距不相等，距离中心越远， 间距越小，这一点与矩形孔的衍射图样不同。

根据零阶贝塞尔函数的积分表示式：
1 2π ix cos J 0 ( x) e d 2π 0
可得：
~ E ( , ) C 2πJ 0 (k1 ) 1d1
0
其中利用了 J0(k1 ) 为偶函数的性质。 再由贝塞尔函数的性质：
xJ ( x)dx xJ ( x)
(1) 衍射光强分布
对于沿 x 轴的光强度分布，因 y = 0，有:
sin I I0
2
当 = 0 时(对应于P0点)，有主极大，IM /I0 = 1 。 在 = m (m=±1,±2,…) 处，有极小值，Im= 0，相应的点 是暗点，暗点的位置为:
2πf f xm m ka a

=0
S1 S2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
X Axis Title
0
S1 S2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
两个点物的衍射像的分辨
X Axis Title
根据瑞利判据，将一个点物衍射图样的中央极大位置 与另一个点物衍射图样的第一个极小位置重合的状态作为 光学成像系统的分辨极限，认为此时光学系统恰好可分辨 开这两个点物。这时，两点物衍射图样的重叠区中点光强 度约为每个衍射图样中心最亮处光强度的73.5 (对于缝隙 形光阑，约为81%)。 于是，由于衍射效应，一个光学成像系统对点物成像 的爱里斑角半径 0 决定了该系统的分辨极限。
2
关，即夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。
(2) 衍射图样的极值特性
由贝塞尔函数的级数定义，可将夫琅和费圆孔衍射的 光强分布公式进一步表示为：
I 2J1 ( ) 1 2 4 I 0 2!2 2!3!2
2 4
2
2
当 = 0 时，对应光轴上的 P0 点，有 I = I0 ，衍射光强主 极大。 当 满足 J1() = 0 时， I = 0，衍射光强极小（暗环）。


R
由于圆孔的衍射效应，S1和 S2 将分别在观察屏上形成 各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为0，则
0 0.61 1.22
a


D
S1
S2
0
S1 S2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
X Axis Title
S1 S2 S1 S2
~ ik ( xx1 yy1 ) / f E ( x, y ) C e dx1dy1

(3.2-1)
iA C e f
x2 y2 ik ( f ) 2f
3.2.2 夫朗和费矩形孔衍射
b
a
衍射图样的主要特征：衍射亮斑集中分布在相互垂直的 x 轴和 y 轴，且亮斑宽度与矩形孔沿两个轴的宽度相反。
sin I I0
其分布特性与x 轴类似。