大学文科数学4-1

4.1
不定积分与原函数的关系
一、 原函数与不定积分的概念
二、基本积分表 三、不定积分的性质
一、原函数与不定积分的概念
原函数的定义：若在区间I 内，可导函数 F ( x ) 的导函 数为 f ( x ) 即 x I 都有 F ' ( x ) f ( x ) 或
dF(x)=f(x)dx, 则称F(x)为f(x)在区间I内的原函数.
[(x 1)
2
4
2 2 x 1 1 ( x 1)( x 1) 1 dx 2 dx 2 1 x 1 x 4
1 1 2 dx 2 dx 2 ]dx x dx 1 x 1 x
x3 x arctan x C . 3
x 例8 求 sin dx . 2
1 ln( x )是 在( ,0)内的一个原函数, x
x
即在 ( ,0)内


1 dx l n x dx C . x
1 dx ln( x ) C . x
二、 基本积分表
积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得 出积分公式.
(1)
( 2)
(3)
1 x x dx 1 C
函数 F(x) 使 x I 都有 F ' ( x ) f ( x ) .
① 连续函数一定有原函数; 注 解 ② 原函数不唯一; ③ f ( x )的全体原函数组成的集合为
{F ( x) C C } 或
f ( x )dx
.
不定积分的定义：若在区间I上 F ( x) f ( x), 则称 f(x) 的全部原函数 F(x)+C 称为 f(x) 在区间I上的不定积分. 记为
1 1 dx dx arctanx ln x C . 2 1 x x
例6 求
2 tan xdx .
解： tan 2 xdx (sec 2 x 1)dx tan x x C .
x4 dx . 例7 求 2 1 x
解
x 1 x 2 dx
又因为 (si nx C ) cos x, 所以 cos xdx sin x C . 这里C 为任意常数，以后不再重复说明. 例1 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜
率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
dy 2 x, 解： 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知 dx
性质2 设函数 f ( x ) 的原函数存在， k 为非零常数，则
kf ( x )dx k
注 解
f ( x )dx .
① 性质1可推广到有限多个函数之和的情况； ② 往往先利用性质对被积函数进行恒等变形，然后使 用基本积分表.
例4 解：
求
x x ( e 3 cos x ) dx e dx 3 cos xdx
2
dx
小结
1. 原函数与不定积分的概念 2. 基本积分表 3. 不定积分的性质
5 1 2
7 2
x

dx
x
1
1
C
x 2 C x C. 5 7 1 2
三、 不定积分的性质
性质1 设函数 f ( x ) 及 g ( x ) 的原函数存在，则
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx .
f ( x )dx是f ( x ) 的全部原函数, 是一族函数,
在几何上，它是一族曲线，称为f (x) 的积分曲线族. ② 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
d ③ dx
f ( x )dx
f ( x ), d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C , dF ( x ) F ( x ) C .
(7)
( 8)
sin xdx cos x C ;
dx 2 sec xdx tan x C ; cos2 x dx sin2 x csc2 xdx cot x C ;
( 9)
(10)
(11)
sec x tan xdx sec x C ;
x ( e 3 cos x )dx .
e x 3 si n x C.
例5 求

1 x x2 dx . 2 x(1 x )
1 x x2 dx 解： 2 x(1 x )

x (1 x 2 ) dx 2 x(1 x )
1 1 ( 1 x 2 x )dx
csc x cot xdx csc x C ;
x e dx e C;
x
x a x a dx ln a C ;
(12)
(13)
(14 )
sgn xdx | x | C .
例3 解：
求不定积分
x
2
5 2
xdx .
2 x xdx x dx
根据积分公式（2）
f ( x)dx F ( x) C
(C为任意常数),
其中

积 分 号
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 常 数
注意：不定积分是被积函数的所有原函数.
例如，因为 ( x 3 C ) 3x 2 , 所以
2 3 3 x dx x C;
kdx kx C
( k 是常数);
( 1);

1 ( 5) dx arcsin x C ; 2 1 x (6) cos xdx sin x C ;
Βιβλιοθήκη Baidu
1 ( 4) dx arctan x C ; 2 1 x
dx ln |x| C ; x
例2
求
1 解： 当 x 0 时， (l n x )' x ， 1 ln x 是 在 (0, )内的一个原函数,

1 dx x .
1 即在 (0, )内 dx ln x C . x 1 1 [l n ( x )]' ( 1) 当 x 0 时， x x ，
即 f ( x ) 是 2 x 的一个原函数.
2 2 xdx x 2 C , f ( x ) x C ,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为
y x 2 1.
① 函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的积分曲线. 注 解 不定积分
例如，因为 ( x 3 ) 3x 2 , 所以 F ( x) x 3是f ( x) 3x 2
在R上的一个原函数. 因为 (sinx) cos x, 所以
F ( x) sinx 是 f ( x ) cos x 在R上的一个原函数.
又因为 ( x 3 C ) 3x 2 , C 为任意常数,所以 f ( x) 3x 2
有无穷多个原函数, 即 F ( x) C x 3 C 是 f ( x ) 3 x 2 的原函数且其中任意两个只相差一个常数.这一点具有 普遍性.例如， ln x C

定理1
1 ln x +C 是 在区间(0, )内的所有原函数. x
1 x
( x 0) (C为任意常数),
2
解
x 1 sin 2 dx 2 (1 cos x )dx
2

1 dx cos xdx 2
1 ( x sin x ) C . 2
例9
1 dx 求 . 2 x 2 x sin cos 2 2
解
1 4 2 x 2 x dx sin x sin cos 2 2 4 csc2 xdx 4 cot x C .
设F(x) 是 f(x) 在区间I 上的一个原函数，则
(1) F(x) +C 也是 f(x) 的一个原函数，其中C为任意常数; (2) f(x) 的任意两个原函数之间相差一个常数.
推论 若F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则F(x) +C 是 f(x) 的
全部原函数，其中C为任意常数.
如果函数 f ( x ) 在区间I 内连续，那么在区间I内存在可导