大学文科数学课程教学大纲

《大学文科数学》课程教学大纲学时数：54—72学分数：3—4适用专业：纯文科类专业执笔：吴赣昌编写日期：2007年6月课程的性质、目的和任务大学文科数学包含了大学数学的基本知识、基本技能，以及蕴涵于其中的基本数学思想方法和基本的哲学常识，是对高等学校公共事业、教育学、心理学、文学、法学、英语等纯文科类专业学生进行知识技术教育、文化素质教育与塑造世界观的一门重要基础课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生理解大学文科数学的基本概念，了解其知识框架结构，掌握必要的基本理论和基本知识、技能；培养学生的量化意识、量化能力、抽象思维能力、创造思维能力、必要的逻辑推理能力和几何直观空间想象能力；提高发现、提出、分析和解决人文社会科学实际问题的能力，从而为将来从事工作和进一步深造打下坚实的基础。

在传授数学知识的同时，适当地介绍典型数学史料，有机地渗透辨证唯物主义、历史唯物主义和爱国主义教育，融会基本的数学思想方法和数学文化内涵，调动学生学习大学文科数学的兴趣，为获得实事求是的精神、科学的态度和方法、良好的个性品质以及形成正确的世界观进行启迪性教育。

课程教学的主要内容与基本要求第一部分微积分一、函数、极限与连续主要内容：绪言；实数与区间，函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数与初等函数；极限的概念与性质，函数的左、右极限；极限的四则运算；两个重要极限；无穷小与无穷大，无穷小的比较；连续函数的概念，函数的间断点；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质；阿基米德介绍。

基本要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；了解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；2、知道基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；3、了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念；知道极限的四则运算法则，会用两个重要极限；4、了解无穷小与无穷大的概念，了解无穷小比较方法，会利用无穷小等价求极限的方法；5、了解函数的连续与间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质。

6、通过绪言与阿基米德介绍，了解数学的历史地位、作用以及古代数学家的创造与杰出贡献。

二、导数与微分主要内容：导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系；基本初等函数的导数，导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则；隐函数的导数；高阶导数的概念；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，利用微分进行近似计算。

一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用。

基本要求：1、理解导数与微分的概念，知道导数的几何意义，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，了解函数的可导性与连续性之间的关系；2、掌握导数的四则运算法则，会求部分复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用；3、会求隐函数的一阶导数，了解高阶导数的概念；4、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

5、通过抽象导数概念的几何原型和物理原型，了解导数概念的产生与求导过程中蕴含的哲学思想。

三、中值定理与导数的应用主要内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；洛必达法则；函数的单调性及其判别法，函数的极值及其求法，函数最大值和最小值的求法及简单应用。

基本要求：1、了解罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理；2、会用洛必达法则求未定式极限的方法；3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；4、了解拉格朗日、费马等数学家对数学的贡献，了解数学的应用意义。

四、不定积分主要内容：原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质；掌握不定积分的基本积分公式，不定积分的换元积分法与分部积分法。

基本要求：1、理解原函数的概念、理解不定积分的概念；2、掌握不定积分的基本性质与基本积分公式；3、会计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法；4、了解牛顿的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

五、定积分及其应用主要内容：抽象定积分概念的两个现实原型，定积分的概念；定积分的性质；积分上限的函数及其导数，牛顿一莱布尼茨公式，求定积分过程中的辨证思维；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分；定积分的微元法及其应用：求平面图形的面积、旋转体的体积、变力沿直线所作的功等。

基本要求：1、理解定积分的概念与性质；2、掌握微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式；3、能利用定积分的基本性质、换元积分法与分部积分法计算定积分；4、了解广义积分的概念并会计算简单无穷限的广义积分；5、会用定积分表达和计算一些几何量与物理量；6、了解莱布尼茨的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

六、微分方程简介主要内容：常微分方程的基本概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程；一阶线性微分方程；微分方程组简介；微分方程的简单应用。

基本要求：1、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念；2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；3、了解应用微分方程解决一些简单实际问题的思想方法；4、了解笛卡尔的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

第二部分线性代数七、行列式主要内容：二阶行列式与三阶行列式，n阶行列式的概念；行列式的性质；克莱姆法则。

基本要求：1、会计算二阶与三阶行列式；2、理解n阶行列式的概念，会求简单的n阶行列式；3、掌握行列式的性质，会用行列式的性质化简行列式的计算；4、知道克莱姆法则，会用克莱姆法则解线性方程组。

八、矩阵与线性方程组主要内容：矩阵的概念，几种特殊矩阵：对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵；矩阵的运算：线性运算、乘法、转置及其运算规律，方阵的幂；矩阵的初等变换，初等矩阵；逆矩阵的概念，利用初等变换法求矩阵的逆，矩阵方程及其解法；矩阵的秩及其求法。

解线性方程组的消元法；基本要求：1、理解矩阵的概念；了解对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵；2、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算，以及它们的运算规律，了解方阵的幂；3、掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵及其性质；4、会用初等行变换求线性方程组通解的方法5、了解欧拉的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

第三部分概率论与数理统计九、随机事件及其概率主要内容：随机现象，随机事件，样本空间，事件的关系与运算；随机事件的概率：频率及其性质、概率的定义与性质；古典概型；条件概率的概念，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式；事件的独立性与性质伯努利概型。

基本要求：1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件间的关系与运算；2、了解概率、条件概率的定义，掌握概率的基本性质，会计算古典概型的概率；3、知道概率的加法公式，乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式；4、理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行计算概率；5、理解独立重复试验的概率，知道应用事件独立性进行概率计算的方法；6、了解高斯的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

十、随机变量主要内容：随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布，常用离散分布：0-1分布、二项分布；随机变量的分布函数，离散型随机变量的分布函数；连续型随机变量及其概率密度，常用连续分布：均匀分布、正态分布；离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，数学期望的性质；方差的概念、计算与性质。

基本要求：1、理解随机变量及其概率分布的概念。

2、理解随机变量分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率；3、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，知道0-1分布、二项分布及其应用；4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，知道概率密度与分布函数之间的关系；5、知道正态分布，均匀分布及其应用；6、了解随机变量数学期望与方差的概念；知道几种常用分布的数字特征。

十一、数理统计的基础知识主要内容：总体与样本的概念，分组数据统计表和频率直方图，统计量，常用统计量；常用统计分布：2χ分布，t分布；抽样分布：正态总体的抽样分布。

基本要求：1、理解总体、简单随机样本、统计量；样本均值、样本方差的概念。

2、了解2χ分布，t分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算。

3、了解正态总体的某些常用抽样的分布。

4、了解柯西的生平事迹和他对数学发展所作的历史性贡献。

十二、参数估计与假设检验主要内容：点估计的概念，评价估计量的标准：无偏性；点估计的常用方法：矩估计法；区间估计的概念，置信区间的概念，寻求置信区间的方法；正态总体均值的置信区间，正态总体方差的置信区间。

假设检验的基本概念与一般步骤，正态总体均值与方差的假设检验。

基本要求：1、了解参数的点估计、估计量与估计值的概念，了解矩估计法，了解估计量的无偏性。

2、理解区间估计的概念，会求正态总体的均值与方差的置信区间。

3、知道正态分布，均匀分布及其应用。

4、理解假设检验的基本思想，了解假设检验的一般提法与一般步骤。

5、了解正态总体均值与方差的假设检验方法。

各教学环节的学时分配教材与教学参考资料选用教材：吴赣昌，大学数学立体化教材：大学文科数学（纯文科类），中国人民大学出版社，2007年6月。

教学参考资料：吴赣昌，大学数学立体化教材：微积分（经管类第二版），中国人民大学出版社，2007年6月。

吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经管类第二版），中国人民大学出版社，2007年10月。

赵树塬，线性代数（修订版），中国人民大学出版社，1998年6月。

吴赣昌，大学数学立体化教材：概率论与数理统计（经管类第二版），中国人民大学出版社，2007年10月。

王松桂等. 概率论与数理统计，科学出版社，2002年5月。