[初三数学精品教案集]一元二次方程全章总教案(2003.9)
最新人教版九年级数学上册《一元二次方程》全章教案(精品教案)
第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4〓7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4 .3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2 解一元二次方程21．2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10〓6x 2＝1500__，由此可得__x 2＝25__，根据平方根的意义，得x ＝__〒5__，即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x －1＝〒5__，即将方程变为__2x －1＝5和__2x －1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝__1＋52，x 2＝__1－52__． 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝〒2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝〒p 或mx ＋n ＝〒p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50；(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2＝50，y 2＝4， (x －8)2＝25，y ＝〒2， x －8＝〒5，∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5，∴x 1＝13，x 2＝3；(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2＝0，∴原方程无解； 2x －1＝0，∴x 1＝x 2＝12. 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1〒73；(2)－1〒26；(3)4〒113. 点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．解：〒1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝－1，x 2＝13； (4)x 1＝16，x 2＝－16； (5)x 1＝92，x 2＝－92； (6)x 1＝0，x 2＝－10；(7)x 1＝1，x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p ≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2；(3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2. 2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__〒12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式，得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝〒5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__， 解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝〒2；(2)x 1＝－12，x 2＝52；(3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4，由此可得x ＋3＝〒2，即x 1＝－1，x 2＝－5.(2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1，配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54， 由此可得x ＋32＝〒52，即x 1＝52－32， x 2＝－52－32. (3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，移项得x 2＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝〒5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12〓12〓8〓6， 即x 2－14x ＋24＝0，(x －7)2＝25，x －7＝〒5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去． 答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5；(2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174； (4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值． 解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2〓(－3)]－2＝136. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0.解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b〒b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)x ＝－b〒b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14. 3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3； (4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b〒b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2〒2ab＋b2＝__(a〒b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x －4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x －4.9x 2＝0， ①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x ＝0或10－4.9x ＝0， ②∴x 1＝__0__，x 2≈2.04．上述解中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72； (3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45； (2)x 1＝23，x 2＝－12； (3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6；(2)x 1＝43，x 2＝－2； (3)x 1＝12，x 2＝－12； (4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.解：(1)x 1＝0，x 2＝－1；(2)x 1＝0，x 2＝23；(3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112，x 2＝－112； (5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表： 方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝02 3 5 6 x 2＋3x －10＝0 2 －5 －3 －10问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律. 答：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q.自学2：完成下表： 方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 2x 2－3x －2＝0 2 －1232 －1 3x 2－4x ＋1＝013 1 43 13 问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝__－b ＋b 2－4ac 2a__，x 2＝__－b －b 2－4ac 2a__． x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0；(3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1；(2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15；(2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3； (3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14. 点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c.2．已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．解：另一根为32，k ＝3. 点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0.解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15；(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1；(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8；(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a ，b ，c.2．当且仅当b 2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a (比前面有负号)，x 1x 2＝c a(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x ＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x ＋1)__人患了流感．则列方程：__(x ＋1)2＝121__，解得__x ＝10或x ＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x ，新两位数为__10x ＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1008__，解得 x 1＝__2__，x 2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A ．x(x ＋1)＝2550B ．x(x －1)＝2550C ．2x(x ＋1)＝2550D ．x(x －1)＝2550〓2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x －1)张相片，全班共送出x(x －1)张相片，可列方程为x(x －1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x 个小分支，则有1＋x ＋x 2＝91， 即x 2＋x －90＝0，解得x 1＝9，x 2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x ，则列方程为：__x 2＋(x ＋4)2＝10(x ＋4)＋x －4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )A ．2和4B ．6和8C ．4和6D ．8和102．教材P第2题、第3题21学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟) 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1〒x)n＝b，其中a 是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)〔2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)〔2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x 1≈0.23，x 2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__． ②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y 1≈0.23，y 2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x ，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元， 12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数〕基准数设基准数为a ，增长率为x ，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n 月(或n 年)后产量为a(1＋x)n ；如果已知n 月(n 年)后产量为M ，则有下面等式：M ＝a(1＋x)n .解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x ，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320， 整理，得1280x 2＋800x ＋1600x ＝320，即8x 2＋15x －2＝0， 解得x 1＝－2(不符，舍去)，x 2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg ，2013年平均每公顷产8460 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x ，则有7200(1＋x)2＝8460，。
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案（优秀5篇）元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。
教学目标知识与技能：1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
《一元二次方程》教案
《一元二次方程》教案
一、教学目标
【知识与技能】
初步认识、了解一元二次方程。
【过程与方法】
通过在生活当中的实际数学问题抽象出一元二次方程表达式的过程，培养初步的抽象概括能力。
【情感态度与价值观】
培养合作意识，在合作中体现团队精神，体现数学与实际生活的联系，提高学习数学的自信心。
二、教学重难点
【重点】
一元二次方程的概念和一般形式。
【难点】
正确理解和掌握一般形式下的一元二次方程ax2+bx+c=0中的a0中的、一次项和二次项以及一次项和二次项对应的系数。
三、教学过程
(一)导入新课
设置实际问题情境导入本节课题。
一元二次方程优秀教案
一元二次方程优秀教案一元二次方程是初中数学的主要内容，在初中代数中占重要地位。
学生积极动手、动脑、动口为主线来完成。
在教学中渗透类比化归等数学思想，让学生充分观察、体验，同时营造轻松愉快的学习氛围，以此激发学生的学习兴趣并渗透环保内容。
以下是小编整理的关于一元二次方程教案，欢迎查阅!一元二次方程教案1教学目标1、知识与能力目标：要求学生会根据实际问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。
2、过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。
3.、情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识并与校园绿化相结合。
教学重点、难点教学重点：通过实际问题模型建立一元二次方程的概念,认识一元二次方程一般形式.2。
难点:通过实际问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
教学过程：(一)创设情景，导入新课问题一:学校有一块面积为900平方米的长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地的长和宽为多少分析：设长方形绿地的宽为x米，则列方程，整理可得。
问题二：有一块矩形绿化带，长100cm,宽50cm，在它的四角各栽种一个同样的正方形花坛，如果去掉四周矩形的底面积为3600cm2,那么四周花坛面积是多大的正方形分析：设长方形绿地的宽为x米，则列方程，整理可得。
问题三：要组织一次环保竞赛，参加的每两个班之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个班参赛【设计意图】因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。
同时帮助学生从实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念和抽象能力。
情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利地进入新课，并激发学生环保意识。
名师教学设计《一元二次方程》完整教学教案
（一）温故知新
什么是一元一次方程
它的一般形式是：
（二）探索新知
问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形分析：
设切去的正方形的边长为x cm，则盒
底的长为__________，
宽为__________.
得方程________________________
整理得____________________ ①
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛
分析：全部比赛的场数为___________.
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_____________场.
列方程______________________
化简整理得_______________ ②
【归纳】1.一元二次方程:______________.
2.一元二次方程的一般形式：__________________ .
其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________，_____是一次项系数；_____是常数项.（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数是一个重要条件，不能漏掉.）
3.一元二次方程的解（根）：_____________________________.。
九年级数学《一元二次方程》教案(5篇)
九年级数学《一元二次方程》教案（5篇）元二次方程教案篇一教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:（1)图象与x轴的交点的坐标为A（，），B(，）（2）当x=时，函数值y=0。
（3）求方程x2-x-6=0的解。
（4）方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳（1）你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1（1）当m为何值时，图象与x轴有两个交点（2）当m为何值时，图象与x轴有一个交点？（3）当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1、如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
（1）请写出方程ax2+bx+c=0的根（2）列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
初三数学一元二次方程教案优秀5篇
初三数学一元二次方程教案优秀5篇数学《一元二次方程》教案设计篇一教学目标1、了解整式方程和一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
3、通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。
难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1、教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( ），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。
元二次方程的应用篇二12.6 一元二次方程的应用（三）一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题。
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生用数学的意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：学会用列方程的方法解决有关增长率问题。
2.教学难点：有关增长率之间的数量关系。
下列词语的异同；增长，增长了，增长到；扩大，扩大到，扩大了。
三、教学步骤（一）明确目标。
九年级数学一元二次方程教案5篇最新
九年级数学一元二次方程教案5篇最新一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
今天小编在这里整理了一些，我们一起来看看吧!九年级数学一元二次方程教案1教学目标1。
知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题。
2。
过程与方法(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。
•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。
(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。
九年级数学一元二次方程教案2【主体知识归纳】1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.4.直接开平方法形如x2=a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x=± ，即x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.5.配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+ )2= 的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【基础知识讲解】1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2”.一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.【例题精讲】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0;(4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，∴此方程是一元二次方程.(2)移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程.(5)∵a=-1≠0，∴它是一元二次方程.(6)整理，得4x=0∴它不是一元二次方程.例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0.剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的.二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.(2)整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.(3)整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗?剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨.解：当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.例4:用直接开平方法解下列方程：(1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0.解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，∴x=± ，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，∴3x-5=± ，即3x-5= 或3x-5=- .∴x1= ，x2= .例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1;(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解.解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .解这个方程，得x+ =± ，x+ =± .即x1= ，x2=-4.说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.例6：用公式法解下列方程：(1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x.解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0.∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，∴x= .∴x1= ，x2=-4.(2)方程可变形为x2-2 x-1=0.∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.∴x= .∴x1= +2，x2= -2.说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根.解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，解得：x1=0，x2=9.6，所以方程的另一根为9.6.说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.【同步达纲练习】1.选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A. =0B. =0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A. x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0D. x2-x= (x2+1)(3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( )A.-1B.1C.-2D.2(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1(6)方程x(x+1)=0的根为( )A.0B.-1C.0，-1D.0，1(7)方程3x2-75=0的解是( )A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根(8)方程(x-5)2=6的两个根是( )A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+C.x1=-5+ ，x2=-5-D.x1=5+ ，x2=5-(9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( )A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1(10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m 的值等于( )A.2B.-C.-2D.2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ .3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值.4.用直接开平方法解下列方程：(1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0;(4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0.5.用配方法解下列方程：(1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0;(4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2.6.用公式法解下列方程：(1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3;(5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0.7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?(2)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?8.已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.9.已知a+b+c=0.求证：1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.10.用配方法证明：(1)3y2-6y+11的值恒大于零;(2)-10x2-7x-4的值恒小于零.11.证明：关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程.九年级数学一元二次方程教案3教学目标1. 了解整式方程和一元二次方程的概念;2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。
2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。
教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；化简上述三个方程.。
2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点？你还掌握了什么？二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程？哪些不是？①②③④x2+2x-3=1+x2 ⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程?在什么条件下它是一元一次方程?5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、反思：（学生，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个 C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。
最新苏科版九年级数学上册《一元二次方程》全章教学设计（精品教案）
最新苏科版九年级数学上册《一元二次方程》全章教学设计（精品教案）1 一元二次方程一、情境创设1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
二、探索活动上述问题可用方程解决：问题1中可设宽为x米，则可列方程：x （x+10）= 900问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程：5（1＋x）2 = 7.2问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程：2x2 = 15问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程：x （x＋3）= 10观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax 2＋bx ＋c = 0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a 、b 分别叫二次项系数和一次项系数。
三、例题教学例 1 根据题意，列出方程：（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。
求这两年图书的年平均增长率。
（2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。
求这个正方形的连长。
例 2 判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：⑴ 2（x 2－1）= 3y ⑵ 3212=-xx ⑶（x －3）2= （x ＋5）2 ⑷ mx 2＋3x －2 = 0 ⑸ （a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a = 0例3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：⑴ 2（x 2－1）= 3 x ⑵ 3（x －3）2=（x ＋2）2＋7四、课时作业：1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）．（A ）x 2－1x =1 （B ）x 2+y=2 （C ）2x 2=2 （D ）x+5=（－7）22．方程3x 2=－4x 的一次项系数是（）．（A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）43．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（）．（A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=04．一元二次方程3x 2－3x －2=0的一次项系数是________，常数项是_________．5．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________．6．根据题意列出方程：（1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x ，那么另一个数为________，根据题意可得方程为___________．（2）一个等腰直角三角形的斜边为1，求腰长．如果设腰长为x ，根据题意可得方程为______________．7．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解：x 2+5x+4=0 （x 1=－1，x 2=1，x 3=－4）；。
最新北师大版九年级数学上册《一元二次方程》全章教学设计(精品教案)
第二章一元二次方程1.了解一元二次方程及有关概念.2.会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法.4.提出问题、分析问题,建立一元二次方程的数学模型,并用该模型解决实际问题.1.通过丰富的实例,让学生合作探讨,老师点评分析,建立数学模型,根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念.2.通过掌握形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程的解法——直接开平方法,导入用配方法解一元二次方程,再通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程.3.通过用已学的配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)推导出一元二次方程的求根公式,导入用公式法解一元二次方程.4.通过实例探索一元二次方程的根与系数的关系.1.经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程,使同学们体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.2.经历用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的过程,使同学们体会到转化等数学思想.3.经历设置丰富的问题情境,使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程,从而更好地理解方程的意义和作用,激发学生的学习兴趣.本章的主要内容包括:一元二次方程及其有关概念,一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法),运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程思想是科学研究中重要的数学思想,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习做好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.在总体设计思路上,本章遵循了“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式,首先通过具体的问题情境建立有关方程,并归纳出一元二次方程的有关概念,然后探索其各种解法,并在现实情境中加以应用,切实提高学生的应用意识和能力.具体来讲,第1节通过丰富的实例,如“地毯四周有多宽”“梯子的底滑动多少米”等问题,建立一元二次方程,让学生通过观察归纳出一元二次方程的有关概念,并从中体会方程的模型思想;第2~4节通过具体方程逐步探索解一元二次方程的配方法、公式法、因式分解法;第5节在求根公式的基础上,探索一元二次方程的根与系数的关系;第6节再次通过几个问题情境加强一元二次方程的应用.【重点】1.一元二次方程及其他有关的概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程及实际问题.2.用公式法解一元二次方程时的讨论.3.一元二次方程的根的判别式的相关知识.4.一元二次方程的根与系数的关系.5.建立一元二次方程实际问题的数学模型,理解方程的解与实际问题的解的区别.1.联系已有的相关知识,如一次方程、方程组,以及函数知识,进一步提高学生整体应用数学建模思想的意识和能力.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底,对实际问题的探索不要以繁、难、偏、旧的问题作为学生探究性学习的题材.2.对于“一元二次方程的根的判别式”,为了教学,应适当添加习题,使学生理解一元二次方程的根的存在情况与系数的关系.3.对于“一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)”,为了后续学习(包括初、高中函数的学习)的方便,可根据学生情况,在教学中安排1-2课时,组织学生进行这方面的简单探究活动.4.对于含字母系数的一元二次方程的解法,建议老师们应以至少一节课的内容加以补充,添加适当的习题.1 认识一元二次方程2课时2用配方法求解一元二次方程2课时3用公式法求解一元二次方程2课时4用因式分解法求解一元二次方程1课时* 5 一元二次方程的根与系数的关系1课时6 应用一元二次方程2课时1 认识一元二次方程理解一元二次方程及其相关概念.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.经历估计一元二次方程的解的过程,增进对方程的解的认识,进一步培养估算意识和能力,发展数感.【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由实际问题向数学问题转化的过程.2.正确识别一般形式中的“项”及“系数”.第课时了解一元二次方程的概念和它的一般形式,会根据实际问题列一元二次方程.经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程,进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.在列方程的过程中体会一元二次方程是刻画现实世界的重要模型.【重点】一元二次方程的概念和一般形式.【难点】正确理解和掌握一般形式中的“a≠0”,“项”和“系数”.【教师准备】预设学生学习过程中存在的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么你能列出怎样的方程?导入二:观察下面等式:102＋112＋122＝132＋142.你还能找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?如果将这五个连续整数中的第一个数设为x,那么怎样用含x 的代数式表示其余四个数?根据题意,你能列出怎样的方程?导入三:如下图所示,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米?你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗?如果设梯子底端滑动x m,那么你能列出怎样的方程?教师给出图片,学生观察、思考,然后教师提问,学生回答.[设计意图] 通过以上三个实例,在具体的情境中巩固列方程的一般思路,为概念的提出赋予实际的意义.一、一元二次方程的概念思路一[过渡语] 什么样的方程是一元二次方程呢?由上面的三个问题,我们可以得到三个方程:(8-2x)(5-2x)＝18;x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2;(x＋6)2＋72＝102.这三个方程有什么共同特点?归纳:上面的方程经过整理后都是只含有—个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫作一元二次方程.[知识拓展] 符合一元二次方程即符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.我们把ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别为二次项系数和一次项系数.[设计意图] 在方程的比较中得到概念,能够体现出合作探究的意识,同时提高了学生的归纳能力.思路二下面给出的方程与我们学习过的方程存在哪些相同点和不同点?(x-4)2＋(x-2)2＝x2;(30-2x)(20-2x)＝200.先让学生在小组内讨论交流,然后回答问题.教师总结:①相同点:都是整式方程,都只含有一个未知数.②不同点:一元一次方程中未知数的最高次数是1,而这些方程中未知数的最高次数是2.问题:类比一元一次方程,你能给这样的方程起个名字吗?带着这个问题,请大家填写下面的空格:像这样,等号两边都是式,只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程叫做一元二次方程.强调:一元二次方程必须是整式方程,且一元二次方程和一元一次方程都属于一元方程.【师生活动】现在请同学们观察下列方程,然后判断哪些是一元二次方程.＝(1)x2＋2x-4＝0;(2)3x3＋4x＝9;(3)3y2-5x＝7;(4)＋1;(5)y2-3y＝0;(6)＝1.【师】大家先观察这六个方程,它们都是整式方程吗?如果不都是,请告诉老师,哪个方程不是整式方程?【生】(4)不是整式方程.【师】哦,你真棒!方程(4)不是整式方程,那它肯定就不是一元二次方程了,好,我们把它排除.接下来,大家继续观察,告诉老师,哪些方程不是一元的?【生】(3)不是一元的.【师】嗯,很好!方程(3)含有x和y两个未知数,所以它不是一元的,那它也就不是一元二次方程了,好,排除它.我们继续观察,谁能告诉老师,哪些方程不是二次方程?【生】(2)不是二次方程.【师】很好!方程(2)中未知数的最高次数是3,所以它不是一元二次方程,说的很棒!将它排除.现在剩下了方程(1),(5),(6),观察一下它们都具备一元二次方程定义里面的三要素吗?【生】具备.【师】嗯,最终我们可以确定方程(1),(5),(6)是一元二次方程.教师让学生再举出一些不是一元二次方程的方程,以加深学生对一元二次方程概念的理解掌握.[设计意图] 通过问题的设计与讲解,类比一元一次方程和分式方程的定义学习一元二次方程,可使学生深刻理解一元二次方程的定义,掌握定义中的三要素,实现对定义由认识、记忆到理解、掌握的过渡,以达到质的飞跃.二、例题讲解[过渡语] 刚刚我们学习了什么是一元二次方程,现在我们通过下面的几个例题来看看同学们理解的怎么样.判断下列方程是否是一元二次方程.(1)2x-x2-＝0;(2)2x2-x＋5＝0;(3)ax2＋bx＋c＝0;(4)4x2-＋7＝0.解:(1)(2)符合一元二次方程的概念,方程(3)中的a等于0时,方程不是一元二次方程,(4)不是整式方程,所以(3)和(4)都不是一元二次方程.[过渡语] 下面我们再通过一个例题来理解一下一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项.把方程3x(x-1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.解:去括号,得3x2-3x＝2x＋4＋8,移项,合并同类项,得3x2-5x-12＝0,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-12.[设计意图] 通过例题的讲评,进一步加强学生对一元二次方程相关概念的理解,从而突破本节课的重点和难点.[知识拓展] 对于一元二次方程的一般形式的理解应注意以下四点:(1)“a≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分,因为方程ax2＋bx＋c＝0只有当a≠0时,才叫做一元二次方程,当a＝0,b≠0时,它是一元一次方程.(2)任何一个一元二次方程,经过整理都可以变为一般形式.(3)二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必须先将方程化为一般形式.(4)要分清二次项与二次项系数、一次项与一次项系数.1.只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2＋bx ＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0).ax2,bx,c 分别称为二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.1.下列6个方程:(1)3x＋2＝x2;(2)＋y＝5;(3)y2＋2x-3＝0;(4)mnx2＋(m＋n)x＋1＝0;(5)x2-2x＋4＝0;(6)＋y＋3＝0.其中是一元二次方程的是.(填序号)解析:一元二次方程要符合以下三个条件:①只含有一个未知数;②未知数的最高次数为2;③是整式方程.故只有(1)(5)是一元二次方程.故填(1)(5).2.将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为.解析:一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意移项时要注意变号,答案为3x2-5x-2＝0.故填3x2-5x-2＝0.3.一元二次方程2x2＋4x-1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.解析:二次项系数为2,一次项系数为4,常数项为-1,所以它们的和为2＋4＋(-1)＝5.故填5.4.下列方程中,是一元二次方程的是( )A.x2＋5x＝2B.x3＋7x-2＝0C.x2＋＝3D.7x-＝2解析:本题主要考查一元二次方程的概念.观察选项,只有A中的方程是一元二次方程.故选A.第1课时1.一元二次方程的概念2.例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第32页随堂练习.【选做题】教材第32页习题2.1的3题.二、课后作业【基础巩固】1.一元二次方程的一般形式是.2.将方程-5x2＋1＝6x化成一般形式为.3.将方程(x＋1)2＝2x化成一般形式为.4.方程2x2＝-8化成一般形式后,一次项系数为,常数项为.5.方程5(x2-x＋1)＝-3x＋2的一般形式是,其二次项是,一次项是,常数项是.【能力提升】6.若ab≠0,则x2＋x＝0的常数项是.7.若方程ax2＋5＝(x＋2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a .8.关于x的方程(m-4)x2＋(m＋4)x＋2m＋3＝0,当时,是一元二次方程,当时,是一元一次方程.【拓展探究】9.已知关于x的方程(k-2)x2-kx＝x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?【答案与解析】1.ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)(解析:要注意不能漏掉括号内的条件.)2.-5x2-6x＋1＝0(解析:要注意答案不唯一,如可以是5x2＋6x-1＝0.)3.x2＋1＝0(解析:也可以是-x2-1＝0.)4.0 8(解析:整理成一般形式为2x2＋8＝0,没有一次项,故一次项系数为0,常数项为8.)5.5x2-2x＋3＝0 5x2-2x 36.07.≠1(解析:先整理成一般形式,即(a-1)x2-x＋7＝0,再使二次项系数不为0,则a≠1.)8.m≠4 m＝49.解:方程可化为(k-3)x2-kx＋1＝0.(1)若方程为一元二次方程,-＝解得则k-3≠0,即k≠3. (2)若方程为一元一次方程,则k＝3.在实际教学中,有的学生对概念背得很熟,但在准确和熟练应用方面较差,缺乏应变能力.针对学生存在的这些问题,本节课突出对概念形成过程的教学,采用探索发现的方法研究概念,并引导学生进行创造性学习.教学中,运用启发引导的方法让学生从实际的问题出发,观察发现并归纳出一元二次方程的概念,启发学生发现规律,并总结规律,最后达到解决问题的目的.学生对于将一元二次方程化为一般形式感觉困难不大,但写出它的二次项系数、一次项系数和常数项时,部分学生容易忽略符号,作为第一次学习,这是难免的.本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的概念的推导和应用.在课堂教学中,可先从具体的背景出发,激发学生的学习兴趣,体会一元二次方程的使用价值,然后通过例题和练习进一步巩固对概念的理解.随堂练习(教材第32页)1.解:(答案不唯一)设直角三角形的三边长分别为x-1,x,x＋1(x>1),根据题意,得(x-1)2＋x2＝(x＋1)2,化成一般形式为x2-4x ＝0.鼓励学生选定不同的量设为未知数,列出不同的方程.2.解:(答案不唯一)原方程可以化为5x2＋36x-32＝0,二次项系数是5,一次项系数是36,常数项是-32.习题2.1(教材第32页)1.解:(1)设这个正方形的边长是x m(x>0),根据题意,得(x＋5)(x ＋2)＝54,即x2＋7x-44＝0. (2)设三个连续整数依次为x,x＋1,x＋2,根据题意,得x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242,即x2＋2x-80＝0.允许学生选择不同量作为未知数,但要求列出一元二次方程.2.解:(答案不唯一)如下表所示:方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2＝5x-13x2-5x＋1＝03 -5 1 (x＋2)(x-1)＝6 x2＋x-8＝1 1 -84-7x2＝0 7x2-4＝0 7 0-43.解:设竹竿长为x尺,则门框宽为(x-4)尺,门框高为(x-2)尺,根据题意,得x2＝(x-4)2＋(x-2)2,即x2-12x＋20＝0.学生的知识技能基础:学生在七年级已学过一元一次方程的概念,经历过由具体问题抽象出一元一次方程的过程,在八年级已学过二元一次方程组的概念,经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程,已理解了“元”和“次”的含义,具备了学习一元二次方程的基本技能.学生的活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考的能力,具备了一定的合作与交流的能力.已知关于x的方程(2a-4)x2-2bx＋a＝0.求满足下列条件时a,b的取值范围.(1)方程为一元二次方程;(2)方程为一元一次方程.〔解析〕观察所给方程,根据一元二次方程和一元一次方程的定义确定a,b的取值范围.解:(1)由题意,得2a-4≠0,即a≠2.所以当a≠2时,方程是一元二次方程.(2)由题意,得-＝-解得a＝2,b≠0.所以当a＝2且b≠0时,方程是一元一次方程.[解题策略] 只含有一个未知数x,并且可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,a≠0)的形式的整式方程是一元二次方程.利用概念解决问题时,应抓住其中本质的东西,一元二次方程与一元一次方程的区别是未知数的最高次数分别是2和1.第课时探索一元二次方程的解或近似解.通过具体实例探究一元二次方程的解.经历方程的解的探索过程,增进对方程的解的认识,培养估算意识和能力.【重点】探索一元二次方程的解或近似解.【难点】培养学生的估算意识和能力.【教师准备】预设课堂活动中学生可能提出的问题.【学生准备】复习有关方程的知识.导入一:在小学的时候,我们经常用估算的方法计算一些问题.那么,你能估算方程2x2-13x＋11＝0中x的取值范围吗?导入二:[过渡语] 我们来看看上节课的第一个问题.幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同(如右图所示),你能求出这个宽度吗?如果设所求的宽度为x m,那么列出的方程为(8-2x)(5-2x)＝18,你能估算出x大约是多少吗?估算一元二次方程的解1.引例[过渡语] (针对导入二)你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗?我们知道,x满足方程(8-2x)(5-2x)＝18.思路一(1)x可能小于0吗?可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.分析:因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于0,因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于4,也不可能大于2.5.(2)你能确定x的大致范围吗?分析:x的大致范围是0到2.5之间.但这只是一个大致的估计,精确度还有待于我们进一步去探讨.(3)计算,填写下表:x 00.5 11.522.5(8-2x)(5-2x)40 28 18 10 4 0分析:由上表可以看出,如果宽度大于1,那么地毯的面积会小于18,不符合要求.如果宽度小于1,那么地毯的面积会大于18,也不符合要求.(4)你知道所求宽度x(m)是多少吗?你还有其他求解方法吗?与同伴交流.提示:通过表格的计算可以知道所求的宽度的大致范围,通过解一元一次方程等方法可以求出具体的宽度.思路二(1)确定大致范围.因为40 m2>18 m2,所以x不可能小于( ),因为8-2x,5-2x都是大于0的,所以x不可能大于( ),综合以上,分析x的大致范围是( )到( )之间.(2)比较精确地估算.填写下表后思考:x 00.5 11.522.5(8-2x)(5-2x)当x取0.5的时候,你发现了什么问题?当x取1.5的时候,你发现了什么?通过前面的发现,你怎样更精确地确定宽度的范围?2.做一做[过渡语] 刚刚我们解决了上一节课的第一个问题,我们再来看看上一节课的第三个问题能不能解决.(附图)在前一节课的问题中,梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x ＋6)2＋72＝102,即x2＋12x-15＝0.(1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗?为什么?分析:若底端也滑动了1 m,此时(1＋6)2＋72<102,因此滑动的距离是大于1 m的.(2)底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?分析:通过计算,可以得出下表,根据表格可知,x 0 0.5 11.52 3x2＋12x-15 -15-8.75-25.2513 30如果底端滑动的距离是2 m或者3 m,那么x2＋12x-15的值都大于0,即(x＋6)2＋72>102,所以底端滑动的距离小于2 m.(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?分析:根据前面的分析,得出x的取值范围大致是1<x<1.5,但这还不是一个很精确的数字.(4)x的整数部分是几?十分位是几?分析:通过计算,得出下表:x 1.1 1.2 1.3 1.4x2＋12x-15 -0.590.84 2.29 3.76根据上表思考:当x取1.3和1.4的时候,哪个数字更接近真实值?(1.3更接近)当x取1.2和1.3的时候,哪个数字更接近真实值?(1.2更接近)当x取1.1的时候,与真实值是什么关系?(小于真实值)当x取1.2的时候,与真实值是什么关系?(大于真实值)综合上述分析,我们可以进一步确定x的取值范围是1.1<x<1.2.所以x的整数部分是1,十分位是1.[知识拓展] 估计一元二次方程近似解的基本思路:将一元二次方程变形为一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0),分别将x1,x2代入等式左边,当获得的值为一正、一负时,方程必定有一根x0,而且x1<x0<x2.这是因为当a＋bx1＋c<0(或>0)而a＋b＋c>0(或<0)时,在x1到x2之间由小变大时,ax2＋bx＋c的值也将由小于0(或大于0),逐步变成大于0(或小于0),其间ax2＋bx＋c的值必有等于0的时候,此时的x的值就是原方程的根x0.1.在解决某些实际问题的时候,可以根据实际情况确定出方程解的大致范围.一般采用“夹逼法”,选取的未知数数值计算的结果的绝对值越接近0,这个数值就越接近未知数的真实值.2.采用“夹逼法”求一元二次方程近似解的一般步骤:(1)将方程变为一元二次方程的一般形式;(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围;(3)根据方程的解的大致范围,在这个范围内取一个整数值,然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证,看是否能使方程左边代数式的值为0,如果为0,那么这个数就是方程的解;如果不为0,那么根据这个整数再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数,这个数就是方程的解的整数部分;(4)保留整数部分不变,小数部分可参照求整数部分的方法进行,以此类推可得出该方程更准确的近似解.1.根据下表,判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0,a,b,c 为常数)的一个解x 的范围是 ( ) x 3 3.23 3.243.25 3.26ax 2＋bx ＋c -0.07 -0.06 -0.02 0.03 0.09A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26解析:由表中的数据可知,当x 的值由3.24变化到3.25时,ax 2＋bx ＋c 的值由-0.02变化到0.03,所以在3.24到3.25之间存在一数值,使ax 2＋bx＋c 的值等于0.故选C.2.用22 cm 长的铁丝,折成一个面积为15 cm 2的矩形,设矩形的一边长为x cm,则x 的大致范围是 ( )A.x>0B.0<x<1C.1<x<2D.2<x<3解析:对于实际问题的近似解的问题,应先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体计算进行“夹逼”,逐步获得其近似解,“夹逼”思想是近似计算的重要思想.由题意可列出方程(11-x)x ＝15,整理得x2-11x＋15＝0,估算此一元二次方程解的范围如下表所示:x 0 1 2 3 4x2-11x＋15 15 5 -3 -9-13由此可知,当x在1~2之间取某一值时,x2-11x＋15可能等于零.故选C.3.如图所示,某大学为改善校园环境,计划在一块长80 m,宽60 m的长方形场地的中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3500 m2,四周为宽度相等的人行道,设人行道的宽为x m.(1)你能根据题意列出相应的方程吗?(2)x可能小于0吗?说说你的理由;(3)x可能大于40吗?可能大于30吗?说说你的理由;(4)你知道人行道的宽x是多少吗?说说你的求解过程.解:(1)由题意得,网球场的长和宽分别为(80-2x)m,(60-2x)m,则可列方程(80-2x)(60-2x)＝3500,整理得x2-70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,网球场的宽60-2x<0,这不符合实际,当然x更不可能大于40.(4)由上面分析可知,x的大致范围应为0<x<30,在这个范围内估算方程的近似解如下表所示:x 2 3 4 5 6 7 …x2-70x ＋325 18912461 0-59-116…显然,当x＝5时,x2-70x＋325＝0.因此,人行道的宽度应为5 m.第2课时估算一元二次方程的解(1)引例(2)做一做一、教材作业【必做题】教材第35页习题2.2.二、课后作业【基础巩固】1.根据下表中的数据(精确到0.01),判断方程x2＋5x-3＝0的一个解x的范围是()x 0.00 0.25 0.500.75 1.0 0x2＋5x-3-3.00 -1.69-0.251.313.0A.0.00<x<0.25B.0.25<x<0.50C.0.50<x<0.75D.0.75<x<1.002.小颖对一元二次方程(8-2x)(5-2x)＝18的根做了如下表所示的估计:x 0 1 2 3(8-2x)(5-2x) 40 18 4 -2由表格可知,此方程的一个根为( )A.0B.1C.2D.33.根据方程x2-3x-5＝0可列下表,则x的取值范围是( )x -3 -2 -1 … 4 5 6x2-3x-5 13 5 -1 …-1 5 13A.-3<x<-2或4<x<5B.-2<x<-1或5<x<6C.-3<x<-2或5<x<6D.-2<x<-1或4<x<54.根据下表可知,方程x2＋2x-10＝0的一个近似解为.x …-4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 …x2＋2x-10…-1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 …【能力提升】5.根据下表中的数据(精确到0.001),猜想方程x2＋2x-100＝0的一个根大约是( )x 9.030 9.040 9.0509.060 9.0 70x2＋2x-100 -0.399-0.1980.0030.2040.405A.9.025B.9.035C.9.045D.9.0556.观察下表:x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5x2-24x＋28 2817.2593.25-0.7515.2512从表中你能得出方程5x2-24x＋28＝0的根是多少吗?如果能,写出方程的根;如果不能,请写出方程根的取值范围.【拓展探究】7.某校矩形操场的长比宽多14 m,面积是3300 m2,求操场的宽的取值范围(精确到十分位).【答案与解析】。
最新人教版九年级数学上册《一元二次方程》全章教案(精品教案)
最新人教版九年级数学上册《一元二次方程》全章教案(精品教案)Chapter 21 Quadratic XXX21.1 One-XXX1.Understand XXX and apply it to solve simple problems.2.Master the general form of nal quadratic ns ax2+bx+c=0(a≠0) and related concepts.3.Be able to XXX.Focus: The concept of nal quadratic ns and their general form。
XXX.Difficulties: Formulating nal quadratic ns from practical problems。
accurately identifying the quadratic and coefficient terms。
as well as the linear and constant terms.Self-Study Guide (10 minutes):Problem 1:As shown in the figure。
there is a rectangular sheet of metal with a length of 100 cm and a width of 50 cm。
A square of the same size is cut from each of its four corners。
and the protruding parts around the edges are folded up to make an。
box。
If the area of the bottom of the box to be made is 3600 cm2.what size square should be cut from each corner of the metal sheet?Analysis: Let the side length of the square cut be x cm。
新人教版九年级数学《一元二次方程》全单元教案
第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法第9课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2））第11课时实际问题与一元二次方程（1）第12课时实际问题与一元二次方程（2）第13课时实际问题与一元二次方程（3）第14-15课时《一元二次方程》小结与复习。
文库初三数学一元二次方程教案精选
初三数学一元二次方程教案精选[1]教学目标1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的大凡形式，会把一元二次方程化成大凡形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的大凡形式。
难点：对一元二次方程的大凡形式的正确理解及其各项系数的确定。
教学建议：1.教材分析：1)知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的大凡形式以及一元二次方程中各项的名称。
2)重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的严重组成部分。
方程，只有当时，才叫做一元二次方程。
如果且，它就是一元二次方程了。
解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：(1)一元二次方程的条件是确定的，如方程( )，把它化成大凡形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。
(2)条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。
如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。
(3)方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。
如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程;当时，它是一元二次方程，解题时就会有例外的结果。
教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念;2.知道一元二次方程的大凡形式，会把一元二次方程化成大凡形式。
3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。
教学难点和难点:重点:1.一元二次方程的有关概念2.会把一元二次方程化成大凡形式难点:一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。
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一元二次方程的解法(一)一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解：1．x=±15；2．x=±13；解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？[学生答：一元二次方程．]新课例1解方程 x2-4=0．解：先移项，得x2=4．即x1=2，x2=-2．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．例2 解方程 (x+3)2=2．解：因为x+3是2的平方根，补充例题解下列方程：(1)x2=196；(2)4x2-3=0；(3)(x-2)2=5．解：(l)x=±14，∴x1=14，x2=-14．(2)移项并整理，得(3)因为x-2是5的平方根，小结1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．练习：略．作业：略．思考题：唯一性选择题(1)方程x2=0的实根个数是 [ ]A．0个 B．l个C．2个 D．以上答案都不对(2)方程(x-a)2=b(b＞0)的根是 [ ](答案：(1)B (2)D．)四、教学注意问题要注意新课前复习开方的有关知识．一元二次方程的解法(二)一、教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．二、教学重点、难点重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．三、教学过程复习过程用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；解：(1)开方，得x=±21，∴x1=21，x2=-21．(2)移项，得 196x2=49，两边都除以196，得引入新课我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．新课我们研究方程x2+6x+7=0的解法：将方程视为：x2+2·x·3=-7，即 x2+2·x·3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．补充例题对下列各式进行配方：(1)x2+8x+______=(x+ )2；(2)x2-5x+______=(x- )2；(4)x2+ax+______=(x+ )2；通过练习，使学生认识到；为了配成完全平方，应填上一次项系数一半的平方．通过配方，一元二次方程总可以转化为(x+p)2=q的形式，然后解之，得出方程的解．例1解方程x2-4x-3=0．配方法解之．在解的过程中，介绍配方的法则．例2解方程2x2+3=7x．小结应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方；方程无实根．练习：略．作业：略．四、教学注意问题1．注意配方法解一元二次方程思路的引入．2．注意应用配方法解一元二次方程的基本步骤的总结与归纳．一元二次方程的解法(三)一、教学目的1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．二、教学重点、难点重点：要求学生正确运用公式解方程．难点：求根公式的推导过程．三、教学过程复习提问提问：当x2=c时，c≥0时方程才有解，为什么？练习：用配方法解下列一元二次方程(1)x2-8x=20；(2)2x2-6x-1=0．解：(1)x2-8x+16=20+16，∴ (x-4)2=36，即x-4=±6，∴ x1=10，x2=-2．结合上述求解过程，引导学生回忆解一元二次方程时，应用配方法求解的基本步骤．引入新课我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？新课(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤．解：∵a≠0，两边同除以a，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得(a≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．要在这里指点学生，应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)；(2)将各项的系数a，b，c代入求根公式．例1解方程x2-3x+2=0．解：∵a=1，b=-3，c=2，b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1＞0，注意讲此例时，要强调对a，b，c的值，要注意其正负符号，如此题中b=-3．例2解方程2x2+7x=4．解：移项，得2x2+7x-4=0，∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=81＞0，注意讲此例时，要强调化方程为一般形式后，再确定a，b，c 的值．小结1．本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，即要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．练习：略．作业：略．四、教学注意问题1．推导求根公式时，步骤要规范．2．讲例1、例2时，每一个解题步骤都应严格按教材要求讲，使学生注意步骤的规范性．一元二次方程的解法(四)一、教学目的使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法．二、教学重点、难点重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法．难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法．三、教学过程复习提问1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？2．求根公式成立的前提是什么？答：b2-4ac≥0．引入新课在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例．新课注意强调：b2-4ac=0时，一元二次方程有相等的两个实根．例4解方程x2+x-1=0．(精确到0.001)解：∵a=1，b=1，c=-1，注意在解求近似解的方程时，应按要求保留近似值的位数．例5解关于x的方程x2-m(3x-2m+n)-n2=0．解：展开，整理得x2-3mx+(2m2-mn-n2)=0，∵a=1，b=-3m，c=2m2-mn-n2，b2-4ac=(-3m)2-4×1×(2m2-mn-n2)=m2+4mn+4n2=(m+2n)2≥0，∴x1=2m+n，x2=m-n．在讲此例时，应注意“分析”中的要点：即化方程为一元二次方程的一般形式，再确定b2-4ac≥0，继而求解．要把这些给学生讲清楚．小结2．在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定b2-4ac≥0后，再用求根公式解之．练习略．作业略．四、教学注意问题1．给学生讲清楚：有了求根公式，解方程的问题就转化为求代数式的值的问题．这是一种重要的化未知为已知的求解思想．2．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有无实数根的关键在于b2-4ac的值是正、是负还是等于0，因此应用公式一般应先计算b2-4ac的值，这样可以简化运算过程．一元二次方程的解法(五)一、教学目的使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．二、教学重点、难点重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．三、教学过程复习提问1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？答：提取公因式法；平方差公式；逆用乘法公式；十字相乘法等．2．方程x2=4的解是多少？∵x2=4，∴x=±2，即 x1=2，x2=-2．引入新课方程x2=4还有其他解法吗？新课众所周知，方程x2=4还可用公式法解．由x2-4=0知a=1，b=0，c=-4，则b2-4ac=0-4×1×(-4)=16＞0，即 x1=2，x2=-2．此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．我们仍以方程x2=4为例．移项，得 x2-4=0，对x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0．我们知道：∴ x+2=0，x-2=0．即 x1=-2，x2=2．由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．例1解下列方程：(1)x2-3x-10=0；(2)(x+3)(x-1)=5．在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．例2解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2)；(2)(3x+1)2-5=0．在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；再利用平方差公式因式分解后求解．注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．例3解下列方程：(1)3x2-16x+5=0；(2)3(2x2-1)=7x．依照教材中的解法介绍，此类题需用十字相乘法解之．小结对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是1．将方程化为一般形式；2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．练习：略．作业：略．四、教学注意问题在教学中要向学生指出：1．运用因式分解法解一元二次方程时，首先应将右边的各项移到方程左边，使方程右边为0；然后，再将方程左边的式子分解因式．2．因式分解时应灵活应用提取公因式法、逆用乘法公式法、十字相乘法等．3．一般只在方程移项后，左边式子易于分解时，才使用这种解法．一元二次方程的解法(六)一、教学目的使学生进一步巩固掌握一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法．二、教学重点、难点重点：一元二次方程的四种常见解法的复习．难点：选择适当的方法解一元二次方程．三、教学过程例1解下列方程：解：(1)移项，两边同除以5，得(2)移项，得(x-1)2=18，(3)移项，得例2解下列方程：(1)5x(5x-2)=-1；(2)(x-2)2+10(x-2)+16=0．解：(1)由原方程可得25x2-10x+1=0，a=25，b=-10，c=1，∴ b2-4ac=(-10)2-4×25×1=0，另法：由25x2-10x+1=0，得 (5x-1)2=0，∴ 5x-1=0，(2)分解因式，得[(x-2)+2][(x-2)+8]=0，即 x·(x+6)=0，∴ x=0或x+6=0，即 x1=0，x2=-6．例3用适当的方法解下列方程：解：(1)由原方程，得即 x2-4x-12=0，∴ (x-2)2=16，即 x-2=±4．∴ x=2±4，即 x1=6，x2=-2．(2)移项，得(3)原方程可化为6x2-x-9=0，a=6，b=-1，c=-9，∴ b2-4ac=(-1)2-4×6×(-9)=217＞0，(4)原方程可得小结在解一元二次方程时，要注意根据方程的特征，选择适当的方法灵活的解决问题．补充作业题1．选择题(1)在下列方程中，有实数根的有 [ ]个．x2-8=0，5y2=1，x2+2x+1=0，4x2+1=0．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)在下列方程中，可以用直接开平方法来解的有 [ ]个．2x2-9=0，2x2+x=0，(4x-1)2=27，3x2+8=0．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4答案：(1)C；(2)B．2．解下列方程：(1)3x2+2x-6=0；(2)x2-21x+108=0；(3)(2x+1)2-(3x-2)2=0．答案与提示：(2)用“公式法”解．答案为：x1=12，x2=9．3．用公式法解下列关于x的方程：(1)ax2+3x-2=ax+x2；(a≠1)(2)abx2-a2x=b2x-ab．(ab≠0)4．用适当的方法解下列方程：(1)2(x+5)2=24；(2)(x-2)2=4x；(3)2x(3x-1)=3(x+2)．思考题：要使(a2-a-2)x2+a2x+b=0是关于x的一元二次方程，求a的取值范围．解：要使(a2-a-2)x2+a2x+b=0是关于x的一元二次方程，必须a2-a-2≠0，即(a-2)(a+1)≠0，即 a≠2且a≠-1．四、教学注意问题1．判断一个方程是否为一元二次方程，应从定义出发抓住三个基本特征：(1)含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2．解一元二次方程有四种方法，即开平方法、配方法、公式法、因式分解法．3．解一元二次方程的关键是选择最佳方法．应告知学生：若方程缺一次项或方程两边都是完全平方式即可用直接开平方法；若能看出方程可分解因式即可用因式分解法；非上述两种方法，公式法较简单，可用公式法；若忘记求根公式，就只有用配方法，但配方法一般不常用．一元二次方程根的判别式(一)教学目标(一)使学生理解一元二次方程的根的判别式，知道所判别的对象是什么；(二)使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况．教学重点和难点重点：一元二次方程的根的判别式的运用．难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解．教学过程设计(一)复习1．请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？例用求根公式法解方程(教师把这个过程写在黑板上)2x2＋10x－7＝0．解：因为a＝2，b＝10，c＝－7，①b2－4ac＝102－4×2×(－7)＝156＞0，②2．为什么在把系数代入求根公式前，要先写①式、②式这两步？答：因为方程的根是由各项系数确定的，所以必须先确认一下a，b，c的取值，这是要先写①式的原因；因为一元二次方程不一定有(实数)解，所以有必要先了解一下代数式b2－4ac的值，如果b2－4ac的值是负的，则方程无(实数)解，也就没有必要继续往下计算了，这是要先写②式的原因．(二)新课1．从上面的解释可见，在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数式b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即2．教师紧接着提问学生：根的判别式是判别根的什么？注意：根据课本的“反过来也成立”，我们还得到三个定理，那就是显然，定理1与定理4，互为逆定理．定理2与定理5，互为逆定理．定理3与定理6，互为逆定理．定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况．定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值．运用根的判别式解题举例例1 不解方程，判别下列方程根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．解：(1)因为△＝32－4×2(－4)＝9＋32＞0；所以原方程有两个不相等的实数根．(注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式．②只要知道△＞0，△＝0，△＜0就可以了，所以课本没有算出9＋32＝41)(2)原方程变形为16y2－24y＋9＝0，因为△＝(－24)2－4×16×9＝576－576＝0，所以原方程有两个相等实数根．(3)原方程变形为5x2－7x＋5＝0，因为△＝(－7)2－4×5×5＝49－100＜0，所以原方程没有实数根．例2 已知方程2x2＋(k－9)x＋(k2＋3k＋4)＝0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根．解：因为方程有两个相等实数根，所以△＝0，即(k－9)2－8(k2＋3k＋4)＝0，k2－18k＋81－8k2－24k－32＝0，化简，得k2＋6k－7＝0，(k＋7)(k－1)＝0．所以k1＝－7，k＝1．当k＝－7时，原方程为2x2－16x＋32＝0，得x1＝x2＝4；当k＝1时，原方程为2x2－8x＋8＝0，得x3＝x4＝2．(问：本题的算理是什么？答：是定理5)例3 若关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋(a2＋4a－5)＝0有实数根，试求正整数a的值．分析：要注意两个条件：①有实数根，②a是正整数．边同除以正数4，不等号的方向不变，得a2＋2a＋1－a2－4a＋5≥0，－2a＋6≥0，所以a≤3．因为a是正整数，所以a＝1，2，3．(注意：本题的算理是根据定理4，5，而不是定理1，2)(三)课堂练习1．关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是________．(答案或提示：1．k＞－1且k≠0； 2．无实数根)(四)小结1．根的判别式是用来判断一元二次方程的根的情况：方程有没有实数根；如果有实根，是两个相等实根，还是不相等实根．2．运用根的判别式解题时，必须先把方程化为一元二次方程的一般形式，并认准a，b，c的值．3．要注意课本的“反过来也成立”．在解题时，应明确何时用定理1，2，3，何时用定理4，5，6．(五)作业1．读课文相关内容2．下列方程中，有两个相等实数根的方程是 [ ]．(A)7x2－x－1＝0 (B)9x2＝4(3x－1)3．若方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0有两个不同的正整数根，则整数k的值是 [ ]．4．若a，b，c互不相等，则方程(a2＋b＋c2)x2＋2(a＋b＋c)x ＋3＝0[ ]．(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根(C)没有实数根 (D)根的情况不确定5．不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x2＋4x＋35＝0； (2)4m(m－1)＋1＝0；6．已知关于x的方程x2＋(2m＋1)x＋(m－2)2＝0．m取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程没有实数根？7．k取什么值时，方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根．8．求证：关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．课堂教学设计说明1．为了很自然地引入新课的课题，在本节课开始请学生回忆上节课用求根公式法解一元二次方程的书写步骤，特别要问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b2－4ac的值．由此引入b2－4ac的名称和作用．2．在新课中，提出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的b2－4ac叫做根3．教学设计中，把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件与结论划分得明确，使学生易于接受及记忆．4．上述命题与逆命题的功能分为两类，一类是已知方程的系数，要判定方程根的情况，为此教学设计中，安排了例1；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式，为此教学设计中，安排了例2，例3．为了强化这两类问题的功能．在题目安排中，并提问了解题所依据的算理是什么．一元二次方程根的判别式(二)教学目标(一)使学生既会由根的判别式的值断定方程的根的情况；又会由已知根的情况，找出系数中某些字母的取值范围；(二)使学生会运用根的判别式，作出推理证明；(三)培养学生计算能力与严密的推理能力．教学重点和难点重点：运用根的判别式求系数中字母的值或证明某个结论．难点：解较为复杂的方程、不等式或证明题．教学过程设计(一)复习通过填下面的表格，复习根的判别式性质：(二)新课例1 讨论下面的关于x的方程的根的情况(m－1)x2＋2mx＋(m－2)＝0．分析：因为二次项系数是m－1，有可能为零，所以要分类讨论．解：若m≠1时，原方程是一元二次方程，△＝(2m)2－4(m－1)(m－2)＝4(3m－2)．例2 已知两个关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋(m＋5)＝0，①(m－5)x2－2(m＋2)x＋m＝0．②求：使方程①没有实数根且方程②有两个不相等的实数根的m的取值范围．分析：这两个方程的二次项系数都是含有字母的，那么是不是都要对二次项系数分类讨论呢？请仔细审题，如果方程①中m＝0，则方程①为－4x＋5＝0，是有实数根的，所以必是m≠0．所以方程①是一元二次方程应有△＝[－2(m＋2)] 2－4m(m＋5)＝－4(m－4)＜0，③又条件之二是“方程②有两个不相等的实数根”，所以②必是二次方程，应有△＝[－2(m＋2)]2－4(m－5)m＝4(9m＋4)＞0，④并且还须加上一个条件m－5≠0．⑤解：由分析，应列出条件组：答：m＞4且m≠5．(注意提醒学生要写出m≠5)例3 a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根分析：此题需证出△＜0．已知条件中a，b，c是三角形的三边，所以有a＞0，b＞0，c＞0．还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”．证明：因为△＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝[(b2＋c2－a2)＋2bc][(b2＋c2－a2)－2bc]＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)．(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为b＋c＞a，即b＋c－a＞0，同理b－c＋a＞0，又c＋a＞b，即b－c－a＜0．又a＋b＋c＞0，所以△＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＜0．所以，原方程没有实数根．(三)课堂练习1．已知m，n是实数，且方程x2+mx-n＝0没有实数根，求证：m+n＜1．2．已知m，n是实数，且m2＋n＜0，求证：方程x2＋mx－n＝0没有实数根．(四)小结1．只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式b2－4ac．所以使用根的判别式时应注意二次项系数不为零这个条件．2．应分清题目的条件和结论，解题时所用算理是复习提问所填表格中的哪一个．3．综合题要求推理严密(例3)，且要求解方程、解不等式、解不等式组能力较强．这是同学们应该不断努力提高的．(五)作业1．对于k＜9的一切实数，关于x的方程(k－5)x2－2(k－3)x ＋k＝0[ ]．(A)没有实数根 (B)有两个相等的实数根(C)有两个不相等的实数根 (D)不能肯定实数根的个数2．已知a，b，c是△ABC的三条边长，且方程(c－b)x2＋2(b －a)x＋(a－b)＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形是 [ ]．(A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)不等边三角形 (D)直角三角形3．不解方程，判断下面方程的根的情况：x2－(a＋b)x＋(ab－c2)＝0(a，b，c是实数)．4．已知方程3x2＋2(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ac＝0有两个相等的实数根，其中a，b，c是一个三角形的三条边，求证：这个三角形是等边三角形．5．m为何值时，关于x的方程(m2－1)x2＋2(m＋1)x＋1＝0有实数根．课堂教学设计说明1．通过填表格，强调了“条件”和“结论”．要使学生明确地知道在解题时运用的是这六个命题中的哪一个．2．例1、例2的二次项系数都是含有字母m(即参数)的式子．只当二次项系数值不是零时，才是二次方程(这个条件不能忽略)．例2中的m需要同时满足几个条件，在找这些条件的公共解时，在数轴上数形结合来找较为直观，应培养学生这种方法．见图．3．例3需要用到三角形的三边关系、因式分解等知识，是培养严密推理，综合运用各种知识的题目．一元二次方程的根与系数的关系(一)教学目标(一)通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据；(二)使学生会运用根与系数关系解题．教学重点和难点重点：根与系数关系的推导．难点：根与系数关系的运用．教学过程设计(一)引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)的各项系数a，b，c决定的．我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2－4ac决定．今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a，b，c有什么关系？先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明．(二)新课从表格中找出两根之和x1＋x2与两根之积x1·x2和a，b，c的关系：1．先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1＋x2，x1x2的值与一次项系数及常数项的关系．(两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项)2．再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1＋x2，x1x2的值与系数的关系．(在把方程的二次项系数化为1后，仍符合上述规律)3．猜想ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的x1＋x2，x1x2与a，b，c的关系(引导学4．怎样证明上面的结论．启发学生：求根公式是具有一般性的，我们用求根公式来证明就可以了．证明：设ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，5．读课文相关的黑体字，要求把这段黑体字(实际上就是定理)读出来，以强化印象．6．为了使这个定理易于记忆，我们把二次项系数是1的方程叫做“简化的一元二次方程”．读课本相关的黑体字．如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．教师必须要求学生能用语言表达上述定理．“对于简化的二次方程，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项”．(这个定理又叫做韦达定理)7．再要求读课本(也要求学生用语言表达此定理)．“对于简化的二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”．(这是韦达定理的逆定理)例题讲解例1 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．另解：因为2是原方程的根，所以5(2)2＋k×2－6＝0，2k＝－14，k＝例2 利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积．如果我们所求的式子可以转化成用两根之和及两根之积表示，也就可以直接把方程的系数代入，算出结果了．分析：先让学生用语言表达P31倒数第3行～第1行的黑体字：“对于简化的一元二次方程，一次项的系数等于两根之和的相反数，常数项等于两根之积”．例4 已知两数的和等于8，积等于9，求：这两个数．分析：我们可以用多种方法来解决这个问题．解法1：设两个数中的一个为x，因为两数之和为8，所以另一个数为8－x．再根据“两数之积为9”，可列出方程x(8－x)＝9．们将在课本P61学到．解法3：因为两根和与两根积都已知，我们可以直接造出一个简化二次方程．x2－8x＋9＝0．这就是方法1得到的方程．(三)课堂练习1．已知方程x2－12x＋m＝0的一个根是另一个根的2倍，则m ＝______．2．已知关于x的一元二次方程(k2－1)x2－(k＋1)x＋1＝0的两根互为倒数，则k的取值是 [ ]．3．已知方程x2＋3x＋k＝0的两根之差为5，则k＝_______．(四)小结1．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式．2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实数的条件，即在初中代数里，当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数关系．3．已知方程的两根，求作一元二次方程时，要注意根与系数的正、负号．(五)作业1．设方程3x2－5x＋q＝0的两根为x1和x2，且6x1＋x2＝0，那么q的值等于 [ ]．2．若关于x的方程3(x－1)(x－2m)＝x(m－12)的两根之和等于两根之积，则此方程的两根为 [ ]．3．已知关于x的二次方程x2＋2px＋2q＝0有实数根，其中p，q都是奇数，那么它的根 [ ]．(A)一定都是奇数 (B)一定都是偶数(C)有可能是真分数 (D)有可能是无理数4．(1)如果－5是方程5x2＋bx－10＝0的一个根，求方程的另一个根及b的值．5．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：7．已知两个数的和等于－6，积等于2，求这两个数．课堂教学设计说明1．观察、归纳、证明是研究事物的科学方法．此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数关系，最后对此猜想的正确性作出证明．这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值．2．教学设计中补充了“简化的一元二次方程”的定义，对根与系数关系的叙述可以方便些．教学设计中还把根与系数关系作为两个互逆的定理提出，可加深理解两个性质的不同功能．韦达定理的原定理的功能是：若已知一元二次方程，则可写出此方程的两根之和的值及两根之积的值．而其逆定理的功能是：若已知一元二次方程的两个根，可写出这个方程．。