推荐中考数学第一部分考点研究复习第六章圆6课时圆的基本性质真题精选含解析-

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4.中考数学一轮复习教材梳理第六单元圆含答案精品

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，连接BC ，OA ，OD .若∠BCD ＝25°，CD ＝OD ，则∠AOD 的度数是( )A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 3 2第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O中，弦BC、DE所对的圆周角分别是∠A、∠F，且∠A＋∠F＝90°.若BC＝4，则DE的长为()A. 13B. 4C. 5D. 2 5第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE ＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5.174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图第六单元圆第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线的条数为( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条2. (2019重庆B 卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为( )第2题图A. 60°B. 50°C. 40°D. 30° 点对线·板块内考点衔接60分钟1. (2019哈尔滨)如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A. 60°B. 75°C. 70°D. 65°第1题图2. (2019舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B 、C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 2第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P ＝30°，则AC的长度是()A. 5 3B. 5 2C. 5D. 5 2第3题图4. (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P 的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第4题图5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第5题图6. (2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 3第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝43，则OE的长度为()第7题图A. 3B. 2C. 2 3D. 48. (2018益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．第8题图9.(2019南京)如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝________°.第9题图10. (2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．第10题图11.(2019陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第11题图12.如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.(1)求证：OM∥BC；(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．第12题图13.如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点F .(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BF ＝4，CF ＝2，求AD 的长．第13题图14. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 为直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F .(1)求证：EF ⊥CD ；(2)若AC ＝10，cos A ＝56，求线段DF 的长．第14题图15. (2019黄冈改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE .(1)求证：△DBE 是等腰三角形；(2)求证：CA ·CE ＝CO ·CB .第15题图16. (2019凉山州)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．第16题图17. 如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF .(1)求证：DF ＝2CE ；(2)若BC ＝3，sin B ＝45，求线段BF 的长．第17题图18. (2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第18题图参考答案第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B 【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝50°. 点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°.第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，∵∠AOC 与∠ABC 是AC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1·tan60°＝ 3.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠BOC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝5 3.第3题解图4. A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC ，CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是圆内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan ∠OAD ＝ODAD. ∴ OD ＝AD ·tan30°＝1.第5题解图6. A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33.∴∠A ＝30°.∴∠AOD ＝60°.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，AB ＝12，∴BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝6×33＝2 3. 7. B 【解析】如解图，连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∵CD ＝BD ＝43，∴∠C ＝∠B ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∴∠DOE ＝∠B ＋∠ODB ＝2∠B ＝2∠C ，在Rt △OCD 中，∠DOE ＝2∠C ，则∠DOE ＝60°，∠C ＝30°，∴OD ＝CD ·tan C ＝43×33＝4，∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，在Rt △ODE 中，OE ＝OD ·cos ∠EOD ＝4×12＝2.第7题解图8. 45 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∵AD ＝CD ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.9. 219 【解析】如解图，连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12(180°－102°)＝39°，∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠P AD ＋∠C ＝∠P AB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°.第9题解图10. 23 【解析】如解图，连接OQ ，则PQ ＝OP 2－OQ 2，根据题意可知OQ 长为定值，若使得PQ 最小，只要OP 最小即可，当OP ⊥AB 时能取得最小值．∵OA ＝OB ＝42，∴AB ＝8，∴OP ＝4，∴PQ ＝42－22＝2 3.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3； ∵OA ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ；第11题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△BOD中，有OD2＋BD2＝OB2，即r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴⊙O的半径为3.12.证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，∴OM⊥MP，又∵AC∥MP，∴OM⊥AC，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OM∥BC；(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2BC，又∵AB＝2OB，∴BC＝OB＝OM，∵OM∥BC，∴四边形BCMO为平行四边形，又∵OB＝OM，∴四边形BCMO为菱形．13. (1)证明：如解图，连接AE.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴E为BC边的中点，∴BE＝CE；第13题解图(2)解：如解图，连接BD ，设⊙O 的半径为r . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABF ＝90°.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，即(2r )2＋42＝(2r ＋2)2，解得r ＝32.∴AB ＝AC ＝2r ＝3，AF ＝2r ＋2＝5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ABF ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠F AB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △AFB . ∴AB AF ＝AD AB ，即35＝AD3. ∴AD ＝95.14. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCA ， ∴∠OEA ＝∠DCA ， ∴OE ∥CD ， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ， ∴EF ⊥CD ；第14题解图(2)解：∵cos A ＝56，∴AC AB ＝56， ∵AC ＝10， ∴AB ＝12，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AB ＝6，由(1)可得，OE ∥CD ，∴AE ＝12AC ，△OEA ∽△DCA ，∴AO AD ＝AE AC ＝12， ∴AE ＝EC ＝12AC ＝5，∵cos A ＝cos ∠DCA ＝CFCE ，∴CF ＝256，∴DF ＝CD －CF ＝6－256＝116.15. 证明：(1)如解图，连接OD 、CD ， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD OE ＝OE ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)， ∴DE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CDE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ECD ＝∠CDE ， ∴∠BDE ＝∠B ， ∴BE ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形；第15题解图(2)由(1)可得，BE ＝DE ＝CE ， ∴点E 是BC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AB ， ∴△COE ∽△CAB . ∴CO CA ＝CE CB， ∴CA ·CE ＝CO ·CB .16. (1)证明：如解图，连接OD ，BD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC ⊥OB ， ∴∠OBC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴∠CDB ＝90°. ∵E 是BC 的中点， ∴ED ＝EB ＝12BC ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠ODF ＝∠OBC ＝90°， ∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第16题解图(2)解：由(1)知∠ODF ＝90°，∵OD ＝OB ＝BF ， ∴sin F ＝OD OF ＝12，∴∠F ＝30°，∵∠DOB ＋∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝60°， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°， ∴tan ∠OBD ＝ADBD ＝3，∴AD ＝3BD . ∵BC ⊥AF ， ∴BE EF ＝sin F ＝12. ∵EF ＝4， ∴BE ＝2，∴BF ＝EF 2－BE 2＝23＝OB ＝DB ， ∴AD ＝3BD ＝6.17. (1)证明：如解图，连接OE 交DF 于点G ， ∵AC 切⊙O 于点E ， ∴∠CEO ＝90°，又∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝∠DFB ＝90°， ∵∠C ＝90°，∴四边形CEGF 为矩形， ∴CE ＝GF ，∠EGF ＝90°， ∴DF ＝2CE ；第17题解图(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，sin B ＝45，∴AB ＝5，设OE ＝x ，∵OE ∥BC ， ∴△AOE ∽△ABC ，∴OE BC ＝AO AB， ∴x 3＝5－x 5， ∴x ＝158，∴BD ＝2OE ＝154，在Rt △BDF 中，∵∠DFB ＝90°，sin B ＝45，∴cos B ＝35＝BF BD ＝BF154，∴BF ＝94.18. (1)证明：如解图，连接OC ，AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，又∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACO ＝∠BCD . ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ABC ＝90°. ∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A . ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCD . ∴∠BCE ＝∠BCD ；第18题解图(2)解：如解图，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，得△BFD ∽△CED . 由(1)得∵BC 平分∠ECD ，∴BF ＝BE . ∵CE ＝2BE ， ∴BD CD ＝BF CE ＝BE CE ＝12. 即CD ＝2BD .∵∠BCD ＝∠A ，∠CDB ＝∠ADC ， ∴△CBD ∽△ACD ， ∴BD CD ＝CD AD. ∵AD ＝10， ∴BD ＝52，∴AB ＝152，∴OA ＝154.∴⊙O 的半径为154.第六单元圆第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固5分钟1. (2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π2. (2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )第2题图A. 4π3 B. 8π3C. 23πD. 2π3. (2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A. 8－πB. 16－2πC. 8－2πD. 8－12π第1题图2. (2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵的长为( ) A. π B. 2π C. 2π D. 22π第2题图3. (2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π第3题图4. (2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A. 6πB. 33πC. 23πD. 2π第4题图5. (2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.534－π2 B. 534＋π2C. 23－πD. 43－π2第5题图6. (2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为( ) A. 12π B. π C. 2π D. 3π第6题图7. (2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．第8题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)第1题图参考答案第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62360＝12π.2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3.第2题解图3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18180＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝12×AB 2－45π×AB 2360＝12×42－45π×42360＝8－2π.2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180＝π.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180＝2π.第3题解图4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝60360×π×62＝6π.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180＝2π.第6题解图7. 23－2π3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3. 8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.第8题解图点对面·跨板块考点迁移1. 2π－23 【解析】如解图，连接OD 、AB ，∵∠AOB ＝90°，A 、O 、B 在⊙D 上，∴AB 是⊙D 的直径，∵∠OCA ＝30°，∴∠ODA ＝60°，∠ABO ＝30°.∴△AOD 为等边三角形，∴OD ＝OA ＝OB ·tan30°＝23×33＝2.∴S 阴影＝12S ⊙D －S △AOB ＝12π×22－12×2×23＝2π－2 3.第1题解图。

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—圆的基本性质1.理解圆心角及其所对的弧、弦之间的关系；2.理解并运用圆周角定理及其推论；3.探索并证明垂径定理会应用垂径定理解决与圆有关的问题；4.理解并运用圆内接四边形的性质.考点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点2：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

，读作圆弧弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作ABAB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

考点3：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分考点4：垂径定理的应用考点5：圆心角的概念圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

中考数学精讲篇考点系统复习第六章圆第一节圆的基本性质

圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧G︵E上
一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
1．垂径定理的应用类型： (1)如图，下列五个结论：①︵AC＝C︵B；②︵AD＝D︵B；③AM＝BM； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径．只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立(简称为“知二推三”)； (2)如图，在 Rt△AOM 中，满足 r2＝d2＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON， ∴CO 平分∠BCE.
命题点 2：垂径定理及其推论(近 6 年考查 2 次)
4．(2020·安徽第 9 题 4 分)已知点 A，B，C 在⊙O 上，则下列命题为真
命题的是
(B)
A．若半径 OB 平分弦 AC，则四边形 OABC 是平行四边形
B．若四边形 OABC 是平行四边形，则∠ABC＝120°
第六章圆第一节圆的基本性质
1．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，连接 AC，BC，AD，BD，若∠ABC＝40°，则∠AOC＝8 80°0°，∠ADC＝4040°°，∠ACB＝9 90°0°，∠BAC＝ 5 500°°.
2．(RJ 九上 P90 练习 T9 改编)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝ 8，且圆心 O 到线段 AB 的距离为 6，则 AC 的长为__88－－22 7 __．
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB，在 Rt△OPB 中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan 30°＝ 3.

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本概念与性质

十年真题精选
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重难考点突破
-3-
6.1 圆的基本概念与性质
2.(2021·安徽第20题)如图,圆O中两条互相垂直的弦AB,CD交
于点E.
(1)M是CD的中点,OM＝3,CD＝12,求圆O的半径长;
(2)点F在CD上,且CE＝EF,求证:AF⊥BD.
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在Rt△AOD中,∵AD＝ AB＝3,∠OAD＝41.3°,

∴OD＝AD·tan

41.3°≈3×0.88＝2.64,OA＝
.°
≈

＝
.
4,
∴CD＝CO＋OD＝OA＋OD＝6.64米.
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
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6.1
圆的基本概念与性质
6.1 圆的基本概念与性质
十年真题精选
十年真题精选(学用见P113~114)
命题点1垂径定理及其推论[10年7考]
1.(2022·安徽第7题)已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在
弦AB上.若PA＝4,PB＝6,则OP＝(
A.
B.4
C.
D.5
)D
十年真题精选
重难考点突破
-4-
6.1 圆的基本概念与性质
解:(1)如图,连接OC,OD.
因为M是CD的中点,且CD＝12,
所以CM＝DM＝6,且OM⊥DM.
在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD＝＋＝＋
＝3 ,
所以圆O的半径长为3 .
十年真题精选
十年真题精选

中考数学第六章圆

考点
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等.
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中, 有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.可简记为:在同圆或等圆中,圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等. 注意 :(1)定理( 推论)成立的前提条件是 “在同圆或等圆中” ,缺少这一前提条件定理 (推论 )不成立.(2) 在这个推论中,四组量中只要有一组量“ 不等” ,其余各组量也“ 不等” .
=12lr
AB
所对的圆心角
的度数,l 是扇形 OAB 的弧长.
概念
一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角
定理
互补 ,且任何一个外角
都等于它的内对角 .
∠A+∠BCD= 180° , ∠B+∠D= 180° , ∠DCE= ∠A
PART 02
方法
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
圆周角定理及其推论
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .
常见图形
结论推论
∠ ACB= 1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角
1 AOB 2
相等 ,相等的圆周角所对的弧也相等 .
2.半圆或直径所对的圆周角是直角 ;90°的圆周角所对的弦是直径 .
a R2-( 2 )2
na 12nar

中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。

2025年九年级中考数学复习专题六圆

2025年中考数学复习专题六圆A 诊断练考点1 圆的基本性质1.如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,圆心 O 到AB 的距离OE=4,则⊙O的半径长为 ( )A.4B.4√2C.5D.5√22.如图,CD 是⊙O 的直径,点A,B 在⊙O 上. 若AC=BC,∠AOC=36°,则∠D= ( )A.9°B.18°C.36°D.45°3.如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BEC=20°,则∠ADC的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°4.如图,⊙O 的直径AB平分弦CD( 不是直径). 若∠D = 35°, 则∠C =°.5.如图，AB是半圆的直径,AC是一条弦,D 是AC的中点,DE⊥AB于点 E,交 AC 于点 F,DB 交 AC 于点 G,连接AD，给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;;③当DG=2,GB=3时,FG=√142̂=2AD̂,AB=6时，△DFG的面积√3上述结论中，正确结论的序号有 .④当BD考点2 与圆有关的位置关系6.如图,⊙O 中,弦AB 的长为√3,点 C在⊙O 上,OC⊥AB,∠ABC30°.⊙O所在的平面内有一点 P,若OP=5,则点 P与⊙O 的位置关系是 ( )A.点 P在⊙O上B.点 P在⊙O内C.点P在⊙O外D.无法确定7.如图,以AB 为直径的⊙O与AC相切于点 A，以AC 为边作平行四边形ACDE,点 D,E 均在⊙O 上,DE 与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点 G,连接 DG. 若 AB = 10,DE = 8,则 AF = ,DG=.8.如图,⊙O 是△ABC的外接圆，D 是直径AB 上一点，∠ACD 的平分线交AB 于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE.(1)求证:CD⊥AB;(2)设FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长.9.如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交⊙O 的直径 BD的延长线于点 E，连接CD.(1)求证:AE 是⊙O 的切线;,求 CD 和DE 的长.(2)若tan∠ABE=12考点3 与圆有关的计算10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ( )A.43π−√3B.43πC.23π−√3D.43π−√3411.已知圆锥的底面圆半径为 4，母线长为 5，则圆锥的侧面积为 .12.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO 的内心，若.AB=2√3,则花窗的周长 ( 图中实线部分的长度 ) = .(结果保留π)B 考点突破练考点4 圆的基本性质基础考向1 弧、弦、圆心角的关系1.如图,AB是⊙O 的直径，BC=CD,∠COD=52°,,则∠AOD 的大小为 .2.如图,在⊙O中,AB̂=CD,有下列结论:①AB = CD;②AC = BD;③∠AOC=∠BOD;④AĈ=BD̂,其中正确的是 (填序号).考向2 垂径定理及其推论3.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB 交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )A.5B.4C.3D.24.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB 的距离为4 cm，则水面AB的宽度为 cm.考向3 圆周角定理及其推论5.如图,在⊙O 中,弦AB,CD 相交于点 P,若∠A= 48°,∠APD=80°,则∠B的度数为( )A.32°B.42°C.48°D.52°6.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC,BD 为对角线,BD 经过圆心 O. 若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°7.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 .8.如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦，∠BCD 的平分线交⊙O 于点E,AD,BE 的延长线交于点 F.(1)若∠BAD=70°,求∠ABE 的度数. (2)求证:AB=AF.考向4 圆内接四边形9.如图，圆内接四边形ABCD 中,∠BCD = 105°,连接 OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD 的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD. 若∠AOD =120°,AD √3 则∠CAO 的度数与 BC 的长分别为 ( )A.10°,1B.10°， √2C.15°,1D.15°， √211.如图,四边形ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上. 若∠ADE=70°,则∠AOC= °.12.如图，四边形AB-CD 内接于 ⊙O,连接 AC,BD, ∠ABD =∠ADC,过点D 作DP∥AB,交⊙O 于点M,交BC 的延长线于点 P. (1)求证:BP=BD;诊断区检测区突破区,AB=10,求 CP 的长.(2)若cos∠ABD=2513.下列说法中正确的个数是 ( )①同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.A.1B.2C.3D.4提升1.如图，已知点A,B,C,D都在⊙O上,OB⊥AC,BC=CD,下列说法错误的是 ( )̂=BĈ B.∠AOD=3∠BOCA.ABC. AC=2CDD. OC⊥BD2.如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=√3,则OC( )A.1B.2C.√3D.43.在半径为2的⊙O中,弦AB的长度为2,点C 为⊙O上异于A,B两点的一个动点,则∠BCA=°.,E,F 分别为AC,BC的中点，弦EF 分别4.如图,AB 为半圆O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB=35交AC,CB 于点 M,N. 若MN=3√2,则 AB =5.如图,OA,OB,OC都是⊙O 的半径,∠ACB=2∠BAC.(1)求证:∠AOB=2∠BOC;(2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径.6.如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,交 BC 边于点 D,过点 C 作CE ∥AB 交⊙O 于点 E, 连接AD, DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若 tan B=2,CD=3,求AB 和DE 的长.7.如图，在扇形 AOB 中,OA=8,点 C 在半径 OA 上,将△BOC沿BC翻折,点 O 的对应点 D 恰好落在弧 AB 上,再将弧 AD 沿着 CD 翻折至弧A₁D(点A₁是点A的对应点),那么 OA₁的长为 .考点5 与圆有关的位置关系基础考向1 点、直线和圆的位置关系1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P 到直线l的最大距离是 ( )A.2B.5C.6D.82.已知平面内有⊙O 和点A,B,若⊙O 的半径为3 cm,线段OA=4cm,OB=3cm,则直线AB与⊙O的位置关系为 ( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD 是AB 边上的高,AB=4，若圆C是以点 C 为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是 ( )A.点 D 在圆 C 上,点 A,B 均在圆C外B.点 D 在圆 C 内,点 A,B 均在圆C外C.点A,B,D 均在圆C外D.点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上考向2 切线的性质及判定4.如图,AC 是⊙O 的切线,B 为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=√3,BC=3则OC的长度是( )A,3 B.√3C√13 D.65.如图,AB 切⊙O 于点B,连接OA交⊙O 于点C,BD∥OA交⊙O 于点D.连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )A.25°B.35°C.40°D.45°̂上. 已知∠A = 50°, 6.如图,点 A 是⊙O 外一点,AB,AC分别与⊙O 相切于点 B,C,点 D 在BDC则∠D 的度数是 .7.如图,已知△ABC 内接于⊙O,CO 的延长线交AB 于点 D,交⊙O 于点E,交⊙O 的切线AF于点F,且AF∥BC.(1)求证:AO∥BE;(2)求证:AO 平分∠BAC.∠A,点O在BC上，以点O为圆心的8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 上一点,且∠BCD=12圆经过C,D两点.(1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；,⊙O的半径为3，求AC的长.(2)若sinB=35考向3 三角形的外接圆与内切圆9.如图,点O 是△ABC外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.25°10.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上.今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B，C,使得△ABC 的外心为 O,求 BC 的长度（）A.4B.5C.√10D.√2011.如图，⊙O是锐角三角形 ABC 的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为 D,E,F,连接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周长为21,则EF 的长为 ( )A.8B.4C.3.5D.312.如图,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,若⊙I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE 的大小分别为 ( )A.2r,90°-αB.0,90°-αC.2r,90∘−α2D.0,90∘−α213.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6),(-3,3),(7,-2),则△ABC 内心的坐标为 .14.在同一平面内，点P不在⊙O上，若点P到⊙O上的点的最大距离是11，最小距离是5，则⊙O的半径是 .提升1.已知点A在半径为3的圆O 上，如果点 A 到直线a 的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.以上答案都不对2.已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为 ( )A.4πB.8πC.12πD.16π3.如图,在四边形AB-CD中,AB∥CD,AD⊥AB,以 D 为圆心,AD 为半径的弧恰好与 BC 相切，切点为E.若ABCD =13,则 sin C的值 ( )A 23 c 344.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD 是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A ，D 时，恰好与 BC 边相切，则此餐盘的半径等于 cm.5.如图，在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),P(-1,0),⊙P 过原点O ，且与x 轴交于另一点D ，AB 为⊙P 的切线,B 为切点,BC 是⊙P 的直径,则∠BCD 的度数为 °.6.如图,在△ABC 中,AB=BC,以BC 为直径作⊙O 与AC 交于点D,过点 D 作DE⊥AB,交CB 延长线于点 F,垂足为点 E.(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若 BE =3,cosC =45,求 BF 的长.B.√53D.√747.如图，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O 的切线，切点分别为E，F，G，H，若AE = a,BF = b, DH = c, 则 CG 的长为 .(用含a,b,c的代数式表示)考点6 与圆有关的计算基础考向1 圆内接正多边形的计算1.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD= ( )A.60°B.54°C.48°D.36°2.如图,点 P₁~P₈是⊙O 的八等分点.若△P₁P₃P₇,四边形 P₃P₄P₆P₇的周长分别为a，b，则下列正确的是( )A. a<bB. a=bC. a>bD. a，b大小无法比较考向2 弧长与扇形面积的计算3.圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为 ( )A.2πB.3π C32D.12π4.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于 ( )A.πB.3πC.2πD.2π−√35.马面裙(图(1))，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.将图(1)中的马面裙抽象成数学图形，如图(2)中的阴影部分所示，AD 和BC所在圆的圆心均为点O，且点A在 OB 上,点 D 在 OC 上,若OA=AB=6 dm,OA⊥OD，则该马面裙裙面(图(2)中阴影部分)的面积为 ( )A.36πdm²B.27πdm²C.18πdm²D.12πdm²6.如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,E为BC的中点,连接AE，DE.以E为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积和是 (结果保留π).考向3 圆锥的有关计算7.如图,用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是.8.如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为 100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm².9.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm ，母线长为50cm ，则烟囱帽的侧面积为 cm².(结果保留π)10.如图,在△ABC 中,AC=3,AB=4,BC 边上的高AD=2,将△ABC 绕着BC 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 .考向4 与圆有关的阴影部分面积11.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点 D ，则图中阴影部分的面积是( )A.5√3−√33π B.5√3−4πC.5√3−2πD.10√3−2π12.如图,矩形ABCD 内接于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD 为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是 ( )检测区突破区A.414π−20B.412π−20C.20πD.2013.如图,Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4cm,将△BCO绕点 O逆时针旋转至△B'C'O,点 C'恰好落在 BO 延长线上，则边 BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ( )A.πcm²B.(π+√3)cm2C.4πcm²D.(4π+√3)cm214.如图，点B在半圆O 上,直径AC=12,∠BAC=40°,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).15.如图,△ABC的周长为20,⊙O 的半径为1,⊙O从与AB 相切的切点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形的边无滑动滚动，当滚动一周又回到点 D 的位置时，⊙O的圆心O运动的长度 (填“>”“=”或“<”)三角形的周长，运动长度为 .提升1.如图，正六边形AB-CDEF内接于⊙O,点P在AB上,点Q是DÊ的中点，则∠CPQ的度数为 ( ) A.30° B.45° C.36° D.60°2.如图,正六边形AB-CDEF的外接圆⊙O 的半径为2，过圆心 O 的两条直线l₁，l₂的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为 ( )A.43π−√3B.43π−√32C.23π−√3D.23π−√323.如图，已知点 C 为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )A.5B.√3C.3√2D.2√34.如图,在▱ABCD中,AB=√3+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=√3.以点 A 为圆心，AH 长为半径画弧，AB,AC,AD 分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₁；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₂，则r₁−r₂=.(结果保留根号) 5.如图,在△ABC 中,AB=4,∠C=64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点 D,E 为ABD̂上一点,且∠ADE=40°.(1)求BÊ的长；(2)若∠EAD=76°, 求证:CB为⊙O 的切线.6.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图(1)，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图(2)，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图(2)中(1)∠α= 度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为 (结果保留根号).C 检测验收练一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图,AB是⊙O 的直径,∠E=35°,则∠BOD= ( )A.80°B.100°C.120°D.110°2.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 的垂直平分线 CD 交AB于点D,交AB 于点 C,测出AB=40 cm, CD=10cm，则圆形工件的半径为 ( )A.50cmB.35 cmC.25 cmD.20cm3.刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式. 如图,Rt△ABC 中,∠C =90°, AB,BC,CA 的长分别为c,a,b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是 ( )A. d=a+b-cB.d=2aba+b+cC.d=√2(c−a)(c−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ D. d=|(a-b)(c-b)|4.如图，两个半径长均为 1 的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形 CFD 的圆心 C 是弧 AB的中点,且扇形 CFD 绕着点 C 旋转,半径 AE,CF交于点G，半径BE，CD交于点 H，则图中阴影部分的面积等于 ( )A.π2−1B.π2−12C.π-1D.π-2二、填空题(每小题5分，共30分)5.如图，AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在 AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=°.6.如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD内部，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点P,连接 OA,OB. 若∠AOB = 140°,∠BCP =35°,则∠ADC 的度数为 .7.[2024 浙江杭州校级二模]如图，正六边形AB-CDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则劣弧BG 所对圆周角的度数为 .8.如图,△ABC 内接于⊙O,点 O 在AB上,AD 平分∠BAC 交⊙O 于D,连接BD.若AB=10,BD=√5,则BC的长为 .9.如图，在边长为6的正六边形 ABCDEF中,以点 F为圆心,以 FB 的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这.个圆锥的底面半径为 .̂的圆心10.如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂B₂…叫做“正方形的渐开线”，其中DA1为点A,半径为AD;A₁B₁的圆心为点B，半径为BA₁;B₁C₁的圆心为点C，半径为(CB₁;C₁D₁的圆心为点 D，半径为DC₁;……,DA₁,A₁B₁,B₁C₁,C₁D₁,…I的圆心依次按A,B,C,D 的顺序循环,当AB=1时,的长是 .三、解答题(11 题 10 分,12 题 12 分, 13 题13分,14题15分,共50分)11.日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，如图(1)所示. 小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察探究.(1)探究1：如图(2)，日晷的平面是以点O为圆心的圆，直线l是日晷的底座，OA⊥l于点A,与⊙O交于点B,点P在⊙O 上,OP 为某一时刻晷针的影长，PB的延长线与直线l交于点 C.连接A P,当AP=AC时,求证:AP与⊙O相切.(2)探究2：当小东观察到影长OP 落在图(3)所示位置时，连接AP，交⊙O 于点D,若∠POD=90∘,OA=√10,AD=√2,求⊙O的半径.12.已知△AOB 中,∠ABO =30°,AB为⊙O 的弦,直线MN与⊙O 相切于点 C.(1)如图(1),若AB∥MN,直径 CE 与 AB 相交于点 D,求∠AOB 和∠BCE的大小;(2)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB 相交于点 F,OA=3,求线段 OF的长.13.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点 D,交AC于点 E,过点 D 作DF⊥AC 于点 F,FD 的延长线交AB 的延长线于点 G.(1)若AB=10,BC=12,求△DFC的面积;(2)若 tan C=2,AE=6,求 BG的长.14.如图(1),O 是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O 与AD 相切于点E，与AC 相交于点 F.(1)求证:AB 与⊙O 相切;(2)若正方形ABCD 的边长为√2+1,求⊙O的半径；̂于点 N.(3)如图(2),在(2)的条件下,若点 M是半径OC 上的一个动点,过点 M 作MN⊥OC 交CE当CM:FM=1:4时,求CN的长.。

中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)

圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。

【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。

圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。

2024年中考数学复习(全国版)第六章圆(测试)(解析版)

在 Rt △ 푂� 中，∵ ∠푂 � = 90°，
∴ 푂�2 = � 2 + 푂 2，
∴ �2 = 122 + (� − 8)2，
∴ � = 13，
即⊙ 푂的半径푂�为 13cm．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙ 푂的半径푂�为�cm，列出关于�的方程是解题的关
键． 5．【创新题】如图，� 是⊙ 푂的直径，弦则下列结论一定成立的是（）
��，
故选 A
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
7．【创新题】如图，△ � 的内切圆⊙ �与， �，� 分别相切于点 D，E，F，若⊙ �的半径为 r，∠� = �，
在�푡훥 푂中，푂 = ，∠�푂 = ∠�
D．�△ 푂 =
∴tan�= 푂
∴푂 = tan� = 2tan�，故选项 A 错误，不符合题意；
又 sin� = 푂
∴ = 푂 ·sin�
∴ = 2 = 2 ·sin�，故选项 B 正确，符合题意；
又
cos�
=
푂 푂
∴푂 = 푂 ·cos� = ·cos�
径定理和锐角三角函数的定义．
6．已知△ � 的周长为�，其内切圆的面积为��2，则△ � 的面积为（）
A．12 ��
B．12 ��
C．��
D．��
【答案】A
【分析】由题意可得�△�푂
=
1 2
�
×푂
=
1 2
�
× �，�△ 푂
=
1 2
× �，�△�푂
=
1 2
�
× �，由面
积关系可求解．
【详解】解：如图，设内切圆푂与△ � 相切于点，点，点�，连接푂�，푂 ，푂 ，푂 ，푂�，푂 ，

中考数学总复习第1部分教材同步复习第六章圆课时21 圆及其相关性质课件

【错解分析】本题没有给出图形，AB和CD的位置不确定，所以应分AB，CD在圆心的同侧和异侧两种情况，若两种情况都存在，则AB，CD之间的距离有两个答案．
12/10/2021
33
• 【正解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过O作OF⊥CD 于F，交AB于点E，如答图1.∵AB＝16 cm，CD＝12 cm, ∴AE＝8 cm, CF ＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴EO＝6 cm, OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE
︵︵
(2)∵DE ＝BD ，∴∠2＝∠3
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是⑯ __直__角____，90°的圆周角所对的弦是⑰__直__径____ 如图，(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ C＝⑲___9_0_°___； (2)∵∠C＝90°，∴AB是⊙O的直径
12/10/2021
9
推论1
推论2
2．推论
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○25 __相__等____，所对的弦也○26 __相__等____.
(2) 在同圆或等圆中，如果两条弦 ○27 __相__等____ ，那么它们所对的圆心角 ○28 __相__等____，所对的弧也相等．
12/10/2021
6
知识点二圆周角定理及其推论
• 1．定理
内容情况
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑬___一__半___
圆心在圆周
圆心在圆
圆心在圆
角的一条边上
周角内部
周角外部
图形
结论
12/10/2021
7
∠APB＝⑭____12_∠__A_O_B_____

专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

中考数学总复习600第六章圆课件(课件+真题练习+作业+提升=配套)

考点帮
垂径定理及其推论(2011年新课标选学内容)
1 . 垂径定理: 垂直于弦的直径①平分弦, 并且② 平分弦所对的两条弧. 2 . 垂径定理的推论: 平分弦( 非直径) 的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的两条弧. 3 . 延伸 : ( 1 ) 弦的垂直平分线经过圆心 , 并且平分弦所对的两条弧. ( 2 ) 平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的另一条弧.
方法帮
命题角度 1
例1
圆周角定理及其推论
提分技法
利用圆周角定理及其推论解题时的思路 1.在利用圆周角定理解答具体问题时,找准同弧所对的圆周角及圆心角 ,并结合圆周角定理进行相关计算是关键.与圆周角有关的常用辅助线有 :①过圆上某点作直径, 连接过直径端点的弦;②弦垂直平分半径时可构造直角三角形 ;③构造同弧所对的圆周角. 2.在利用圆周角定理的推论解答具体问题时,要找准直径及等弦或同弦所对应的圆周角, 一般会结合圆周角定理进行相关计算或证明.
方法帮
命题角度 2
例2
圆内接四边形的性质
[ 2 0 1 8 山东济宁 ] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上 , 若∠B C D = 1 3 0 ° , 则∠B O D 的度数是 ( A.50° B.60° C.80° D.100°
)
思路分析首先在优弧BD上取一点A,连接AB,AD,构造圆内接四边形,然后根据圆的内接四边形的性质,即可求出 ∠BAD的度数,最后根据圆周角定理,即可求得答案.
d=r
点 C 在圆外
d>r
温馨提示平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上.
考点帮
直线与圆的位置关系
1 . 直线与圆的位置关系

备战中考数学分点透练真题圆的基本性质(解析版)

第二十讲圆的基本性质命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算1．（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【答案】B【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．2．（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，故选：A．3．（2021•嘉峪关）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED ＝（）A．48°B．24°C．22°D．21°【答案】D【解答】解：连接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED＝∠COD＝21°．故选：D．4．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故选：B．5．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°【答案】B【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故选：B．6．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝．【答案】13°【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．7．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．【答案】【解答】解：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝．故答案为：．8．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．【答案】【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．命题点2 垂径定理及其推论类型一垂径定理及其推论有关的计算9．（2021•丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，∴tanα＝，∴OE＝＝，故选项A不符合题意；∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD＝2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，∴CD＝2DE＝2m•sinα，故选项B正确，符合题意；∵cosα＝，∴OE＝OD•cosα＝m•cosα，∵AO＝DO＝m，∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m•cosα，故选项C不符合题意；∵CD＝2m•sinα，OE＝m•cosα，∴S△COD＝CD×OE＝×2m•sinα×m•cosα＝m2sinα•cosα，故选项D不符合题意；故选：B．10．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D 是上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112°B．124°C．122°D．134°【答案】B【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，∵C为AB的中点，OA＝OB，∴OC⊥AB，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．故选：B．11．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．12．（2021•黄冈）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．4【答案】A【解答】解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．13．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．B．2C．1D．2【答案】B【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．故选：B．14．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．【答案】2【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．类型二垂径定理的实际应用15．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．16．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．命题点3 圆内接四边形17．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．18．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）A．2﹣2B．3﹣C．4﹣D．2【答案】C【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，故选：C．19．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE ＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【答案】（1）略（2）tan∠DCB＝【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．20．（2021秋•越秀区校级期中）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC，AM，CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．【答案】（1）略（2）四边形AMNC是矩形．【解答】（1）证明：如图，连接OM，ON，OB，OD．∵M，N分别是CB和AD的中点∴OM⊥CB，ON⊥AD，∵AD＝BC，∴BM＝DN，在Rt△OMB和Rt△OND中，，∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），∴GM＝GN，∵OM＝ON，∴OG⊥MN；（2）证明：∵OG⊥MN，CN∥OG，∴CN⊥MN，∴∠MNC＝90°，∵GM＝GN，∴∠GMN＝∠GNM，∵∠GMN+∠GCN＝90°，∠GNM+∠GNC＝90°，∴∠GCN＝∠GNC，∴GC＝GN，∵CM＝CB，AN＝AD，BC＝AD，∴CM＝AN，∴AG＝CG，∴AG＝GN＝CG＝GM，∴四边形AMNC是平行四边形，∵AN＝CM，∴四边形AMNC是矩形．。

中考数学一轮复习宝典第1部分第6章课题20 圆的基本性质

所用知识点
作直径所对的圆周角
∠A＋∠B＝90° AB2＝AC2＋BC2 圆周角定理的推论，勾股
注：若遇到圆周角等于 90°，定理链接练习 1－3 则连接角两边与圆的两交点的线段(即直径)必过圆心
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解决圆中的无图形问题时，应注意：一条弦对着两条弧，分别为优弧和劣弧；一条弦所对的圆周角有两类，一类是优弧所对的角，另一类是劣弧所对的角，且这两类圆周角互补(如图，∠1＋∠2＝180°) 链接练习 1－2.
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类型二圆周角定理推论的相关计算 (2019 娄底)如图，C，D 两点在以 AB 为直径的圆上，AB＝2，
∠ACD＝30°，则 AD＝ 1 .
由圆周角定理的推论可知，∠ADB＝90 °，∠B＝ ∠ACD＝30 °，根据含 30 °角的直角三角形的性质即可求解．
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(2)填空： ①若 AB＝6，当 AD＝2DM 时，DE＝ 2 ； ②连接 OD，OE，当∠A 的度数为 60° 时，四边形 ODME 是菱形．
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圆周角定理及其推论的相关计算
类型一圆周角定理的相关计算
(2019 贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，A︵B＝C︵D，若∠AOB＝40°，
∠AOC＝2∠B
∠AOC＝2∠B
∠AOC＝2∠B
∠B＝∠D
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(1)遇到弦时辅助线作法
添加弦心距，再连接过弦的端点的半径
连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形
圆中常用辅助线的作法
图示
关系式
所用知识点
AC＝BC 垂径定理，勾股 OB2＝OC2＋BC2 定理

中考数学总复习第一部分考点全解第六章圆第21讲圆的基本性质课件

第十八页，共二十七页。
3．(2018·郑州适应性)如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心 O2 恰好在大量角器的圆周上．设图中两圆周的交点为 P，且点 P 在小量角器上对应的刻度为 65°，那么点 P 在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于 90°的角)( C )
A．60° C．50°
No
Image
12/9/2021
第二十七页，共二十七页。
12/9/2021
第三页，共二十七页。
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在圆上，并且____两_边__(_liǎ_n都gbiā与n) 圆相交的角叫做圆周角． 3．确定圆的条件：_不__在__同__一__(t_ó_ng_yī_)直__线__上___的三个点确定一个圆．
12/9/2021
OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C 的度数是( )
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
12/9/2021
第十二页，共二十七页。
【解析】由三角形外角的性质，可知∠B ＝∠A D C －∠A ＝85°－60°＝25°， ∴∠C D O ＝∠A D B ＝180°－25°－60°＝95°.由圆周角定理，可知∠A O C ＝2∠B ＝50°， ∴∠C ＝180°－95°－50°＝35°，故选 D ．
第四页，共二十七页。
考点二圆的对称性 1．圆的对称性圆是轴对称图形，经过__圆__心__(y_uá_n_xī的n) 每一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是_圆__心__(_yu_án_x_īn；) 特别地，圆绕其圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
(1)解：64.

2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本性质

第六章圆第1节圆的基本性质考情分析导航命题点年份题型、题序考查内容分值2024年预测圆的弧长、圆心角、圆周角、垂径定理2023 解答题第23题涉及垂径定理、菱形判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形12分★★★★2022 解答题第23题涉及圆的切线、圆周角定理,等边三角形判定与性质,与圆的相关计算12分★★★★2021 解答题第23题圆周角定理12分★★★知识清单必备知识点知识点解读圆的对称性轴对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴中心对称性圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心旋转不变性圆围绕圆心旋转任意角度都能与自身重合弧、弦、圆心角之间的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.(2)推论:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等垂径定理及其推论(1)定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)推论:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧圆周角定理及其推论(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.(2)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径圆内接四边形性质(1)圆内接四边形的对角互补.(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)高频考点研析考点一圆周角定理及其推论【例1】(2023·牡丹江)如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=4∠BOC,若∠ACB=60°,则∠BAC的度数是(C)A.20°B.18°C.15°D.12°【例2】(2023·深圳)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=35°.【变式】1.(2023·眉山)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(C)A.25°B.35°C.40°D.45°1题图2题图2.(2023·随州)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC的度数为30°.⏜的中点.若∠BAC=35°,则∠AOB等于3.(2023·宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为AB(A)A.140°B.120°C.110°D.70°3题图4题图4.(2023·烟台)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为52.5°.考点二直径、圆周角、弦关系【例3】(2023·自贡)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(C)A.41°B.45°C.49°D.59°【例4】(2023·成都)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB 交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.【解析】见全解全析【考点小结】熟练掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径是解决此类题型的关键.【变式】1.(2023·营口)如图所示,AD是☉O的直径,弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD=30°,则∠ACB的度数是(D)A.50°B.40°C.70°D.60°1题图2题图⏜=BC⏜,AD与CO交于点E,∠DAB=30°.若AO=√3, 2.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,AC则CE的长为(C)A.1B.√3C.√3-1D.2√3-22考点三垂径定理【例5】(2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为(B)A.20 mB.28 mC.35 mD.40 m【例6】(2023·永州)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为16cm.【考点小结】本题考查垂径定理,勾股定理知识,关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度.【变式】1.(2023·宜昌)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为(B)A.5B.4C.3D.22.(2023·凉山州)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2√3,则OC= (B)A.1B.2C.2√3D.42题图3题图3.(2022·泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4√2,DE=4,则BC的长是 (C)A.1B.√2C.2D.4考点四圆内接四边形的性质【例7】(2023·赤峰)如图,圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是(A)A.25°B.30°C.35°D.40°【考点小结】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.【变式】1.(2022·株洲)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F 是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(C)A.115°B.118°C.120°D.125°1题图2题图2.(2022·南京)如图,四边形ABCD内接于☉O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1∶2∶4,则∠D=72°.。