6 多元函数微分学在几何上的简单应用.

2 L : x y sin x y 0 例2 用数学软件画出曲线
的图象；并求该曲线在点 P0 (
切线与法线.
3
, ) 处的
3
2
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为
x x0 y y0 z z0 . x ( z 0 ) y ( z 0 ) 1
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:
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应用隐函数组求导公式, 有
x( z0 ) J z y ( P0 ) J x y ( P0 ), y( z0 ) J xz ( P0 ) J x y ( P0 ) .
Fy Gy
Fz x 2 Gz x P0
z 6 8 10 . y z P 0 6 8 10 y
由此得到所需的雅可比行列式:
6 8 J x y ( P0 ) 0, 6 8 8 10 J y z ( P0 ) 160, 8 10 10 6 J z x ( P0 ) 120. 10 6
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象.
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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(5)
(6)
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例 4 求空间曲线
L : x t sin t , y 1 cos t , z 4sin( t 2)
在点 P0 ( 对应于 t0 2 ) 处的切线和法平面. 解 容易求得 P0 1, 1, 2 2 , 故切向向量为 2 ( x( t0 ), y( t0 ), z( t0 ) )
F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 50, G( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 .
根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算 F, G 在点 P0 处的雅可比矩阵:
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Fx G x
x 2 ( t0 ) y 2 ( t0 ) z 2 ( t0 ) 0,
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P0 处的切线为
x x0 y y0 z z0 : . x ( t 0 ) y ( t 0 ) z( t0 ) (2)
过点 P0 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 P0 处的法平面 (见后图).
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总之, 当 ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
切线方程 : Fx ( P0 )( x x0 ) F y ( P0 )( y y0 ) 0; (1) 法线方程 : F y ( P0 )( x x0 ) Fx ( P0 )( y y0 ) 0 . 法向量 : n ( Fx ( P0 ), F y ( P0 ) );
其中 J x y
P0
( 0,0,0 ),
(F ,G ) (F ,G ) ( F , G ) , J yz , Jz x . ( x, y ) ( y, z ) ( z, x )
不妨设 J x y ( P0 ) 0, 于是存在隐函数组
x x( z ), y y( z ), z z .
若 P0 ( x0 , y0 ) ( x( t0 ), y( t0 )) 是其上一点, 则曲线 在点 P0 处的切线为 y ( t 0 ) x x0 y y0 y y0 ( x x0 ), 或 . x ( t 0 ) x ( t 0 ) y( t0 ) 下面讨论空间曲线.
于是最后求得切线方程为 x x0 y y0 z z0 : . J yz ( P0 ) J z x ( P0 ) J x y ( P0 ) 相应于 (3) 式的法平面方程则为
: J yz ( P0 )( x x0 ) J zx ( P0 )( y y0 )
J x y ( P0 )( z z0 ) 0 .
的条件. 容易算出
( Fx ( P0 ), Fy ( P0 )) (15, 12),
于是所求的切线与法线分别为
15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5 x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4 x 5 y 13 0 .
6
L
P0

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例3 设一般二次曲线为
L : Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F 0,
2 2
P0 ( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
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故切向向量为
( 160, 120, 0)∥( 4, 3, 0),
据此求得
y4 x3 , 3 x 4 y 25 0, 3 切线 : 4 即 z 5; z 5 0,
法平面 : 4( x 3) 3( y 4) 0 ( z 5) 0, 即 4 x 3 y 0 ( 平行于 z 轴 ) .
(1 cos t0 , sin t0 , 2cos( t0 2) )
(1, 1, 2 ).
由此得到切线方程和法平面方程分别为
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z2 2 : x 1 y 1 ; 2 2 : ( x 1 ) ( y 1) 2 ( z 2 2 ) 0, 2 即 x y 2 z 4. 2
Ax0 x B( y0 x x0 y ) Cy0 y D( x x0 ) E ( y y0 ) F 0 .
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二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论.
对于平面曲线
x x( t ), y y( t ), t ,
例1 求笛卡儿叶形线
2 ( x3 y3 ) 9 x y 0
在点 P0 (2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x , y ) 2( x 3 y 3 ) 9 x y . 由§1 例 2 的讨
论 ( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
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(A) 用参数方程表示的空间曲线:
L : x x( t ), y y( t ), z z ( t ), t .
若 P0 ( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L , 且有
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由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 )( x ) (1 )( y 2 ) 0, (1 )( x ) ( 2 )( y ) 0 .
3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3
F ( x , y , z ) 0, L: G ( x , y , z ) 0. (4)
设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) L ; F , G 在点 P0 近旁具有连续的
一阶偏导数, 且
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( J x y , J yz , J z x )
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由此得到所求切线为
( Ax0 By0 D)( x x0 ) ( Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0 , y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即
F ( Ax02 2 Bx0 y0 Cy0 2 2 Dx0 2 Ey0 ),
整理后便得到
多元函数微分学在几何上 的简单应用
平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲线的弧长 空间曲面的切平面与法线
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一、平面曲线的切线与法线
F ( x, y) 0; 曲线 L ：
P0 ( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 条件：
隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y( x ) ( 或 x x ( y ) ) ;
L 在 P0 处ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切线：
( x x0 ) y y0 F ( P ) F ( P ) x 0 y 0
或 x x
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0
( y y0 ) . F ( P ) F ( P ) y 0 x 0
证 令 G ( x , y ) Ax 2 Bxy Cy 2 Dx 2 Ey F ,
则有 G x ( P0 ) 2 Ax0 2 By0 2 D , G y ( P0 ) 2 Bx0 2Cy0 2 E .
2 2
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就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6).
令 F ( x , y ) x 2 y sin x y , 容易求出:
F ( P ) (2 x y cos xy ) 2 3 3 2 , P0 x 0 Fy ( P0 ) (1 x cos xy ) P 1 3 . 0
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因为切线 的方向向量即为
法平面 的法向量, 所以法
平面的方程为
x( t0 )( x x0 ) y( t0 )( y y0 ) z( t0 )( z z0 ) 0. (3)
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
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三、曲线的弧长
弧长
折线的极限
对于空间简单曲线：
r r(t ) x(t ), y(t ), z(t )
t
绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:
syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2);
ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
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x t sin t , y 1 cos t , z 4sin(t 2).
t 2

t0
t 2


t 2

图 18－8
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例5 求曲线
L : x 2 y 2 z 2 50, x 2 y 2 z 2
在点 P0 (3,4,5) 处的切线与法平面.
解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令