中垂线专题练习

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过一点作垂线作图操作题专项练习40题有答案 (7+12页 )

过一点作垂线作图操作题专项练习40题1．过点A 画已知直线的垂线．2．过三角形A点作BC边上的垂线．3．分别过点A画线段BC垂直的线段：4．过A点分别画出角O两条边的垂线．5．过点A做出已知直线的垂线6．过B点画直线m的垂线．7．过B点作直线n的垂线．8．过p点画出已知直线的垂线．9．新华村要修一条通村公路（从国道到新华村），以便于农副产品的运输．你认为怎样设计最近？画一画．10．A是BC上一点，过点A分别作BC和CD的垂线．11．过A点画已知直线的垂线．12．过直线上或直线外一点，画已知直线的垂线．13．如图，你知道点A到直线a、b的距离各是多少吗？怎样量？画一画．14．过点A画已知直线的垂线．15．如下图，要从幸福镇（用A点表示）修一条通往公路的小路，怎样修最近呢？画一画，并说明理由．16．分别过直线上的点A和直线外的点B画已知直线的垂线．17．过C点分别作OA和OB的垂线．18．过A点作这条直线的垂线．20．经过点P分别画OA的平行线和OB的垂线．21．过点A画BC的垂线．22．画一画．过点A画已知直线的垂线．23．画一画．（1）过A点画线的垂线．（2）过P点，向角两边画垂线．25．过B点分别画出两条直线的垂线．26．过B点分别作已知角的两条边的垂线．27．过点A画已知直线的垂线．28．过P点作四条边的垂线．29．过点A画BC的垂线．31．如图，过A点作直线m的垂线，过B点作直线m的垂线，这两条垂线32．如图，过点A分别作直线BC的垂线（MN）和平行线（EF）．33．过三角形ABC的顶点B画它对边AC的垂线BD．34．过三角形内一点作这个三角形三边的垂线．35．过A点作两条直线的垂线．36．过点B分别向角的两条边画垂线．37．过直线上或直线外一点画已知直线的垂线．38．过A点画角的两边的垂线．39．过A、B两点分别画已知直线的垂线，再填空．两条垂线的关系：．40．过A点画出两条直线的垂线过一点作垂线作图操作题40题参考答案：1．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：2．【分析】把三角板的一条直角边与BC重合，沿BC移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向BC画直线即可．【解答】解：画图如下：3．【分析】把三角板的一条直角边与线段BC重合，沿线段BC移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向线段BC画垂直的线段即可．【解答】解：画图如下：4．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：5．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：根据分析画图如下：6．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：7．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：8．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：9．【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短．把公路看作一条直线，新华村看作一个点，由点向直线画垂直线段即可．【解答】解：根据分析画图如下：10．【分析】（1）用三角板的一条直角边与BC重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向BC画直线即可．（2）用三角板的一条直角边与CD重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿直角边向CD画直线即可．【解答】解：11．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：12．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和直线外一点重合，过直线外一点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：13．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画垂线段，然后用直尺测量即可．【解答】解：点A到直线a、b的距离分别是0.7厘米和1厘米．14．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：15．【分析】根据垂直线段的性质，从直线外一点到这条直线的连线中，垂直线段最短，过点A作公路所在的直线的垂直线段，沿这条垂直线段修小路最近．【解答】解：如图沿公路所在的直线的垂直线段AB修这条小路最近．理由：从直线外一点到这条直线的连线中，垂直线段最短．16．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点（或B点）重合，过A点（或B点）沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：17．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：18．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下，19．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：根据分析画图如下：20．【分析】（1）把三角板的一条直角边与已知直线OA重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和p点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可；（2）把三角板的一条直角边与已知直线OB重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和p点重合，过p点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：由分析作图如下：21．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知线段BC画垂线即可．【解答】解：画图如下：22．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：根据分析画图如下：23．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，另一条直角边与直尺重合，然后把直角三角板向A（或P）点平移，再过A（或P）点作直线即可．【解答】解：（1）（2）24．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：25．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：26．【分析】把三角板的一条直角边与已知的角的边重合，沿角的边移动三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边，向角的边画直线即可．【解答】解：画图如下：27．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：28．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：29．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：30．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿三角板的另一直角边，向已知直线画线段即可．【解答】解：画图如下：31．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；同理过B点也可以作出直线m的垂线；然后根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条垂线互相平行；由此解答即可．【解答】解：由图可知：过A点作直线m的垂线，过B点作直线m的垂线，这两条垂线互相平行；故答案为：互相平行．32．【分析】（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可；（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：作图如下：33．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：画图如下：二．解答题（共7小题）34．【分析】用直角三角板的一条直角边与三角形的某一条边重合，沿重合的边平移三角板，使另一条直角边与已知点重合，过这个点沿直角边画直线即可．【解答】解：根据题干分析画图如下：35．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：画图如下：36．【分析】用三角板的一条直角边与已知直线中的其中一条重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线画直线即可；利用同样的方法即可画出另外一条已知直线的垂线．【解答】解：由分析作图如下：37．【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【解答】解：作图如下：38．【分析】将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与A点重合，过A点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过A点的角的另一条边的垂线．【解答】解：如图所示，即为所要求作的垂线：．39．【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A（或B）点重合，过A（或B）点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．根据垂直与平行的性质可知，所画的两条直线都与已知直线垂直，则两条垂线的关系是平行．【解答】解：画图如下：两条垂线的关系：平行；故答案为：平行．40．【分析】（1）用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．【解答】解：画图如下：。

画垂线练习题

一、基础题1. 在给定的直线上画出一条垂线。

2. 在给定的点旁边画出一条垂线。

3. 在给定的线段上找出中点，并画出通过该中点的垂线。

4. 在给定的角平分线上画出一条垂线。

5. 在给定的平行四边形中，画出一条对角线的垂线。

二、进阶题1. 在给定的三角形中，画出三条高线。

2. 在给定的矩形中，画出两条对边的垂线。

3. 在给定的菱形中，画出一条对角线的垂线，并证明它与另一条对角线垂直。

4. 在给定的梯形中，画出上底和下底的垂线。

5. 在给定的正五边形中，画出一条边的高线。

三、综合题1. 在给定的图形中，画出所有线段的垂线。

2. 在给定的图形中，找出所有可能的垂线段，并画出它们。

3. 在给定的多边形中，画出每条边的垂线，并标出垂足。

4. 在给定的平面图形中，画出所有交点的垂线。

5. 在给定的立体图形中，画出每个面的垂线。

四、拓展题1. 在给定的坐标平面上，画出过某点的垂线。

2. 在给定的坐标系中，画出直线方程的垂线。

3. 在给定的图形中，画出与已知直线平行且距离相等的垂线。

4. 在给定的图形中，画出一条线段，使其与两条已知直线都垂直。

5. 在给定的图形中，画出一条曲线的切线，使其与已知直线垂直。

五、应用题1. 在城市规划图中，画出一条道路与另一条垂直相交的道路。

2. 在建筑设计图中，画出建筑物立面的垂直投影线。

3. 在园林设计中，画出一条小径与主路的垂直分支。

4. 在电路图中，画出两条互相垂直的导线。

5. 在机械制图中，画出零件的垂直剖面线。

六、几何变换题1. 将给定图形沿某直线折叠，画出折叠后的垂线。

2. 将给定图形绕某点旋转90度，画出旋转后的垂线。

3. 将给定图形进行水平翻转，画出翻转后的垂线。

4. 将给定图形进行垂直翻转，画出翻转后的垂线。

5. 将给定图形进行缩放，画出缩放后的垂线。

七、逻辑推理题1. 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条平行线是否也垂直？画出示意图。

2. 在一个等腰三角形中，画出底边的垂线，并说明为什么这条垂线也是高线和中线。

画垂线练习题(打印版)

画垂线练习题（打印版）一、基本概念垂线是两条直线相交成90度角的直线。

在几何学中，垂线是垂直于给定直线的直线。

在平面几何中，如果两条直线相交并且形成直角，那么这两条直线就是互相垂直的。

二、练习题1. 直线与垂线在给定的直线上，找出任意一点，并画出通过该点的垂线。

2. 点与垂线给定一个点A，要求你画出一条直线，使其与点A垂直。

3. 平行线与垂线已知两条平行线，要求画出一条直线，使其同时垂直于这两条平行线。

4. 三角形的高给定一个三角形ABC，要求画出从顶点A到对边BC的垂线，并测量其长度。

5. 矩形的对角线给定一个矩形ABCD，画出对角线AC和BD，并证明它们互相垂直。

6. 圆的切线给定一个圆心O和圆上的一点P，画出从点P到圆的切线。

7. 梯形的高给定一个梯形ABCD，要求画出从上底AB到下底CD的垂线，并测量其长度。

8. 正多边形的对角线给定一个正五边形ABCDE，画出所有可能的对角线，并证明它们互相垂直。

三、解题提示- 确保你的垂线与给定的直线或线段形成90度角。

- 使用直角尺或量角器来确保角度的准确性。

- 在画出垂线时，注意垂线的长度和位置，确保它们满足题目要求。

四、答案示例- 对于练习题1，你可以在直线上任选一点，例如点B，然后使用直角尺画出从点B垂直于直线的线段。

- 对于练习题4，你可以从顶点A向对边BC作垂线，垂足为点E，然后测量AE的长度。

五、注意事项- 在进行练习时，注意保持线条的清晰和准确。

- 练习时可以使用铅笔和直尺，以便在需要时进行修改。

- 完成练习后，检查你的工作，确保所有的垂线都正确无误。

打印说明：请将以上内容打印在A4纸上，以便进行练习。

确保打印时字体清晰，线条准确，以便于练习时的准确性和可读性。

湘教版数学七年级下册_《第2课时垂线的性质》同步练习

《垂线的性质》同步练习一、选择题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）1．如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．3.5 C．4 D．52．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线3．下列图形中，通过测量线段AB的长可以知道点A到直线l的距离的是（）A．B．C．D．4．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）A．0＜d＜3 B．0≤d＜3 C．0＜d≤3 D．0≤d≤35．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥AD+BD＞AB．A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本大题5个小题，每小题6分，共30分）6．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO ⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是．7．如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是．8．如图，△ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C、E，那么点C到线段AB的距离是线段的长度．9．如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是cm，点A到BC的距离是cm，C到AB的距离是cm．10．如图，CD⊥AB，点E、F在AB上，且CE=10cm，CD=8cm，CF=12cm，则点C到AB的距离是．三、综合题（第11题12分，第12题12分，第13题16分，共40分）11．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．12．已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．13．如图，P是∠AOB的边OB上一点．（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（3）点O到直线PC的距离是线段的长度；（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．试题解析一．选择题1．A【分析】根据垂线段的性质，可得答案．【解答】解：由AB⊥BC，垂足为B，AB=3.5，点P是射线BC上的动点，得AP≥AB，AP≥3.5，故选：A．【点评】本题考查了垂线短的性质，利用垂线段的性质是解题关键．2．C【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．3．C【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．【解答】解：表示点A到直线l的距离的是C选项图形．故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．4．C【分析】根据垂线段最短即可求出答案．【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，当d=3时此时PA⊥l故选：C．【点评】本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．5．C【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案．【解答】解：由∠BAC=90°，AD⊥BC，得AB⊥AC，故①正确；AD与AC不垂直，故②错误；点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误；点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；AD+BD＞AB，故⑥正确；故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键．二．填空题6．垂线段最短．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【解答】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．7．PC．【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答．【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∵PC⊥AD，∴PC最短．故答案为：PC．【点评】此题主要考查了垂线段最短，掌握从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短是解题关键．8．CE．【分析】根据点到直线的距离的定义，找出点C到AB的垂线段即可．【解答】解：如图，∵CE⊥AB，垂足是E，∴点C到线段AB的距离是线段CE的长度．故答案为：CE．【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度．9． 4.8cm．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则线段BC的长即为点B到AC的距离，再根据三角形的面积公式求出CD的长；再根据点到直线距离的定义即可得出结论．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD的长即为点B到AC的距离，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴CD=6×8÷10=4.8cm，点A到BC的距离是6cm，点B到AC的距离是8cm．故答案为：8，6、4.8．【点评】本题考查了点到直线的距离，是基础题，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键．10．8cm．【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【解答】解：∵CD⊥AB，点E、F在AB上，CD=8cm，∴点C到AB的距离是CD=8cm，故答案为：8cm．【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键．三．综合题11．【分析】根据点到直线的垂线段距离最短解答．【解答】解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．【点评】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，属于基础题．13．【分析】（1）（2）根据题意画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH的长度是点P到OA的距离，线段OP的长是点C到直线OB的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC＞PH，CO＞CP，即可得到线段PH、OC的大小关系．【解答】解：（1）作图，（2）作图，（3）OP，故答案为：OP；（4）PH＜CO，∵垂线段最短，∴PH＜PO，PO＜OC，∴PH＜CO．【点评】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图．。

中垂线基础练习题(含答案)

1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（）A、7B、14C、17D、202、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、43、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、34、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB 于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB二、填空题9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为______．10、如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，∠BCE=_____11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_______12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________．13、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．14、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．17、已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_______19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为___cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_____°．三、解答题21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．23、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．24、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF=2DE．25、如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么：（1）∠ADC=_________度；（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于_________（面积单位）．26、如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．。

中垂线的练习题

中垂线的练习题中垂线的练习题中垂线是几何学中的一个基本概念，它是指一个线段的中点到另一个线段的垂直平分线。

中垂线在解决几何问题和证明定理时起着重要的作用，因此对中垂线的理解和应用是学习几何学的关键之一。

下面将介绍一些关于中垂线的练习题，帮助读者更好地掌握和应用这一概念。

练习题一：构造中垂线给定一个线段AB，要求构造它的中垂线。

解答：首先，用直尺将线段AB延长，找到一个点C，使得AC=BC。

然后，以点C为圆心，以AC或BC为半径，画一个圆。

圆与线段AB的交点即为中垂线的中点D。

连接点D和线段AB的两个端点A、B，即可得到线段AB的中垂线。

练习题二：证明中垂线的性质证明：如果一个点在一个线段的中垂线上，那么它到这个线段两个端点的距离相等。

解答：设线段AB的中垂线为CD，点E为线段AB上的任意一点。

要证明AE=BE，我们可以利用三角形的性质进行证明。

首先，连接线段CD和线段AE，得到三角形CDE和三角形AED。

由于CD是线段AB的中垂线，所以CD和AB垂直且相等，即CD⊥AB，CD=AB/2。

又因为CE=DE，所以三角形CDE是一个等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，我们知道角CDE=角CED。

另一方面，由于CD⊥AB，所以角CDE是直角。

因此，角CED也是直角。

综上所述，我们得到了两个等角，即角CED=角AED。

而等角对应的弧长相等，所以CE=AE。

同理，可以证明DE=BE。

因此，AE=BE。

练习题三：应用中垂线解决问题问题：已知一个三角形ABC，其中AB=AC，角BAC=60°，且D为BC的中点。

求证：AD⊥BC。

解答：首先，连接线段AD，得到三角形ABD和三角形ACD。

由于AB=AC，所以这两个三角形是等边三角形。

另一方面，由于D为BC的中点，所以AD是BC的中垂线。

根据中垂线的性质，我们知道AD⊥BC。

综上所述，我们证明了AD⊥BC。

通过以上练习题，我们可以看到中垂线在几何学中的重要性和应用。

中垂线基础练习题(含答案)

1、如图，在△ABC中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、202、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、43、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、34、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BE B、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB二、填空题9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为______ ．10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，∠BCE=_____11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠C BD的度数为_______12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC 与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________ ．13、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________ 度．14、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．17、已知如图，在△ABC中，BC=8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_______19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为___ cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_____ °．三、解答题21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．23、如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．24、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF=2DE．25、如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么：（1）∠ADC=_________度；（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于_________ （面积单位）．26、如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．。

中考数学专题复习练习：线段的中垂线

典型例题一例01．如图，已知：在中，，，BD 平分交AC 于ABC ∆︒=∠90C ︒=∠30A ABC ∠D .求证：D 在AB 的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明即可.DA BD =证明：∵，（已知），︒=∠90C ︒=∠30A ∴ （的两个锐角互余）︒=∠60ABC ∆Rt 又∵BD 平分（已知）ABC ∠∴ . A ABC DBA ∠=︒=∠=∠3021∴（等角对等边）AD BD =∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.典型例题二例02．如图，已知：在中，，，AB 的垂直平分线交AB ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC 于E ，交BC 于F .求证：.BF CF 2=分析：由于，，可得，又因为EF 垂直平分︒=∠120BAC AC AB =︒=∠=∠30C B AB ，连结AF ，可得. 要证，只需证，即证BF AF =BF CF 2=AF CF 2=︒=∠90FAC 就可以了.证明：连结AF ，∵EF 垂直平分AB （已知）∴（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）FB FA =∴（等边对等角）B FAB ∠=∠∵（已知），AC AB =∴（等边对等角）C B ∠=∠又∵（已知），︒=∠120BAC ∴（三角形内角和定理）︒=∠=∠30C B ∴︒=∠30BAF ∴︒=∠90FAC∴（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）FA FC 2=︒30∴FBFC 2=说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.典型例题三例03．如图，已知：AD 平分，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF . BAC ∠求证：.CAF B ∠=∠分析：与不在同一个三角形中，又，所在的两个三角形不全等，B ∠CAF ∠B ∠CAF ∠所以欲证，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平CAF B ∠=∠分AD ，可得，因此，又因为，FD FA =ADF FAD ∠=∠CAD FAD CAF ∠-∠=∠，而，所以可证明.BAD ADF B ∠-∠=∠BAD CAD ∠=∠B CAF ∠=∠证明：∵EF 垂直平分AD （已知），∴（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.FD FA =∴（等边对等角）ADF FAD ∠=∠∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），BAD ADF B ∠-∠=∠，CAD FAD CAF ∠-∠=∠又（角平分线定义），CAD BAD ∠=∠∴CAFB ∠=∠说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF 垂直平分AD ，可以直接有结论，不必再去证明两个三角形全等.FD FA =典型例题四例04．如图，已知直线和点A ，点B ，在直线上求作一点P ，使.l l PB PA =分析：假设P 点已经作出，则由，那么根据“到线段两端点距离相等的点在PB PA =这条线段的垂直平分线上”可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上. 而点P 又在直线上，l 则点P 应是AB 的垂直平分线与垂线的交点.l作法：1．连结AB .2．作线段AB 的垂直平分线，交直线于点P.l 则P 即为所求的点.说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.典型例题五例05．如图所示，在，，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交BC 于ABC ∆︒=∠90C D ，，求的度数. 2211∠=∠B ∠分析：由于DE 垂直平分AB ，所以，又为直角三角形，由直角三角B ∠=∠2ABC ∆形中两锐角互余，即可求出的度数.B ∠解答：∵DE 垂直平分AB ，∴ DBDA =∴ ，B ∠=∠2在中，，ABC ∆︒=∠90C ∴ ，︒=∠+∠90B CAB 而，21∠+∠=∠CAB ，，2211∠=∠B ∠=∠2∴，B CAB ∠=∠23∴，∴︒=∠+∠9023B B ︒=∠36B 答：的度数为. B ∠︒36典型例题六例06．求证：三角形两边中垂线的交点在第三边的中垂线上.分析：文字题应先根据题意画出图形，并根据图形写出已知、求证.已知：中，（如图），EF 、MN 分别为AB 、BC 边的中垂线且交于O .ABC ∆求证：点O 在AC 的中垂线上.证明：连结OA 、OB 、OC∵ EF 为AB 的中垂线∴ OBOA =同理得： ∴OC OB =OCOA =∴点O 在AC 的中垂线上典型例题七例07．如图所示，，.ABD ABC ∠=∠BD BC =求证：.AD AC =分析：要证，只需证直线AB 是线段CD 的垂直平分线即可.AD AC =证明：连结CD ，延长AB 交CD 于E .∵ ，BD BC =∴ 为等腰三角形，BCD ∆∵ ，ABD ABC ∠=∠∴ ，21∠=∠∴ BE 是等腰的角平分线，BCD ∆∴BE 垂直平分CD （等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边），∴直线AE 是线段CD 的垂直平分线，又∵点A 在直线AE 上，∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）AD AC =说明本例也可以通过证明，得出，利用线段垂直平)(SAS ABD ABC ∆≅∆AD AC =分线的性质定理和逆定理为我们证明线段（或角）相等又提供了一个新的方法.典型例题八例08．如图所示：已知内有两点A 、B ，在内部找到一点D ，使得D 点EOF ∠EOF ∠到A 、B 两点的距离相等，并且点D 到的两边也相等.EOF ∠分析：欲使点D 到A 、B 两点的距离相等，由线段的垂直平分线的判定定理可知，点D 一定在AB 的垂直平分线上；D 点又要满足到的两边距离相等，由平分线的判定定EOF ∠理可知点D 一定在的平分线上，综合以上两点，可以推知点D 是线段AB 的垂直平EOF ∠分线与的平分线的交点，因此可以据此找到D 点.EOF ∠作法：（1）连结AB ，作AB 的垂直平分线MN .（2）作的角平分线OP ，与MN 相交于一点D .EOF ∠ 则D 点就是满足要求的点.选择题1．选择题（1）如图，已知：，那么（）BD BC AD AC ==,（A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD（C ）CD 与AB 互相垂直平分（D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）以上都有可能参考答案：1．选择题（1）B （2）A填空题1．填空题（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是________.（2）在中，，AD 为角平分线，则有AD______BC （填或），ABC ∆AC AB =⊥//_____. 如果E 为AD 上的一点，那么_______. 如果，，=BD =EB ︒=∠120BAC 8=BC 那么点D 到AD 的距离是______.（3）已知：在中，，，DE 垂直平分AB ，且交CA 的ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC 延长线于D ，则的度数为_______.DBC ∠（4）在等腰三角形ABC 中，，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，cm AC AB 8==若的周长为，则底边BC 的长为______.BCD ∆cm 10（5）如图，在中，，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E . ABC ∆︒=∠90ACB①若，则______，________.︒=∠60A =∠DCB =∠ADC ②若，，则的周长为______.︒=∠30B 5=BD ACD ∆（6）如图，在中，，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，ABC ∆BC AC >，的周长为12，则_____.8=AC BCE ∆=BC（7）如图，在中，，，DE 是AB 的垂直平分线，则ABC ∆AC AB =︒=∠65ABC _______.=∠CBE（8）如图，在中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，的周长为ABC ∆ABD ∆，，则的周长为_______.cm 12cm AC 5=ABC ∆cm（9）如图，已知在直角三角形ABC 中，，，DE 垂直平分AB ，︒=∠90C ︒=∠15B交BC 于E ，，则______.5=BE =AC（10）在中，，，AC 的垂直平分线交BC 于D ，交AC ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC 于E ，若，则BC 的长度为______.cm DE 5=cm 参考答案：1．填空题（1）线段的垂直平分线（2），CD ，EC ，2 （3）（4）⊥︒90cm 2（5）①， ②15 （6）4 （7）（8）17 （9）（10）30︒30︒60︒155.2解答题1．作图题（1）已知：如图，B 为的边OB 上的一点，AOB ∠求作：点P ，使P 点到OA 和OB 的距离相等，并且有.BP OP =（2）已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，求作一点P ，使. PC PB PA ==参考答案：1．作图题（1）作法：①画出的平分线OC ，AOB ∠②作出OB 的垂直平分线MN ，则OC 与MN 的交点即为所要求的点P .（2）①作线段AB 的垂直平分线MN ，②作线段BC 的垂直平分线CD. 则AB 与CD 的交点即为所要求的点P .解答题1．计算题（1）如图，已知：在直角三角形ABC 中，，E 为AB 的中点，且︒=∠90C AB DE ⊥交BC 于D ，连结AD ，若，求：和的度数.2:1:=∠∠EAD CAD B ∠BAC ∠（2）如图，已知：在中，，BC 边上的垂直平分线交AC 于D ，交BC ABC ∆︒=∠124A 于E. BD 分为两部分，若. 求的度数.ABC ∠2:3:=∠∠DBC ABD C ∠（3）如图，已知：在中，，MP 和NQ 分别是AB 和AC 的垂直ABC ∆︒=∠140BAC 平分线，求的大小.PAQ ∠参考答案：1．计算题（1）解：E 为AB 中点，且，∴DE 为AB 的垂直平分线，AB DE ⊥∴，∴. 又，∴，DB DA =EAD B ∠=∠2:1:=∠∠EAD CAD B CAD ∠=∠21∵，∴，︒=∠90C ︒=∠+∠+∠90EAD CAD B 即，求得，∴. ︒=∠⋅+∠+∠9021B B B ︒=∠36B ︒=∠54BAC （2）解：DE 为BC 的垂直平分线，∴，DBC C ∠=∠又∵，∴. 2:3:=∠∠DBC ABD C ABD ∠=∠23∵，∴，︒=∠124A ︒=∠+∠+∠56DBC ABD A 即，求得. ︒=∠+∠+∠18023C C C 7360︒=∠C （3）解：PM 与QN 为AB 与AC 的垂直平分线，∴. ∴，.CQ AQ BP AP ==,BAP B ∠=∠CAQ C ∠=∠又∵ ，C B ∠+∠︒-︒=140180︒=40∴BAP CAQ PAQ ∠-∠-︒=∠140︒-︒=40140︒=100解答题1．证明题（1）如图，已知：，DE 是AB 的垂直平分线，D 为垂足，交BC 于E ，︒=∠90C . 求证：.AC AB 2=DE CE =（2）如图，已知：线段CD 垂直平分AB ，AB 平分. 求证：.DAC ∠BC AD //（3）如图，已知：AD 是的高，E 为AD 上一点，且.ABC ∆CE BE =求证：是等腰三角形.ABC ∆（4）如图，已知：在中，，DE 垂直平分线AC 交AB 于ABC ∆A B AC AB ∠=∠=2,D ，交AC 于E . 求证：.BC AD =（5）如图，已知：E 是的平分线上的一点，，，垂足分AOB ∠OA EC ⊥OB ED ⊥别是C 、D. 求证：OE 垂直平分CD .（6）如图，已知：在中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P .ABC ∆求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（7）如图，已知：AD 是的的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的ABC ∆BAC ∠延长线于F ，交AD 于E ，求证：.CAF BAF ∠=∠（8）如图，已知：在中，的平分线交BC 于D ，且，ABC ∆BAC ∠AB DE ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.AC DF ⊥（9）如图，已知：，，，，BC AB ⊥BC CD ⊥︒=∠75AMB ︒=∠45DMC . 求证：. DM AM =BC AB =参考答案1．证明题（1）证明：连结AE ，由于，，∴，，∵︒=∠90C AC AB 2=︒=∠30B ︒=∠60CAB DE 是AB 的垂直平分线，∴，∴，∴BE AE =︒=∠=∠30B EAB ，即AE 是的角平分线，∴.︒=︒-︒=∠303060CAE CAB ∠DE CE =（2）证明：∵CD 是AB 的垂直平分线，∴，∴，又∵BC AC =B CAB ∠=∠，∴，∴.DAB CAB ∠=∠B DAB ∠=∠BC AD //（3）证明：∵，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴，∴BC AD CE BE ⊥=,AC AB =是等腰三角形.ABC ∆（4）证明：DE 垂直平分AC ，∴，∴，∵CD AD =DCA A ∠=∠，又有，∴，∴A DCA A BDC ∠=∠+∠=∠2A B ∠=∠2BDC B ∠=∠.AD CD BC ==（5）证明：OE 是的平分线，∴，∴，∴AOB ∠DE CE =ODE Rt OCE Rt ∆≅∆，∴O 与E 都在CD 的垂直平分线上，∴OE 垂直平分CD .OD OC =（6）证明：P 是AB 、BC 边上的垂直平分线，∴，∴，∴CP BP BP AP ==,CP AP =P 点在AC 的垂直平分线上.（7）证明：EF 垂直平分AD ，∴，∴.DF AF =ADF FAD ∠=∠∴DAC ADF ACF ∠+∠=∠BAFBAD FAD ∠=∠+∠=（8）证明：∵AD 是的平分线，且，，∴，∴BAC ∠AB DE ⊥AC DF ⊥DF DE =易证，∴，∴A 与D 都在EF 的垂直平分线上，∴AD 就是ADF Rt ADE Rt ∆≅∆AF AE =EF 的垂直平分线.（9）证明：，且，∴. 又∵︒=︒-︒-︒=∠604575180AMD DM AM =AD AM =，∴，∴，∴AC 为DM 的垂直平︒=︒-︒=∠454590MDC DMC MDC ∠=∠CM CD =分线，∴，∴.︒=︒-︒=∠454590ACM AB BC =能力训练1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、不能确定答：C 提示：此交点恰好为斜边的中点2、如图，∠BAC=，若MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，则∠PAQ 的度数＿＿＿＿0100提示：利用三角形内角和求得∠B+∠C ＝，080再转化为∠BAP+∠CAQ ＝0803、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长为12，AC ＝5，则△ABC 的周长＝＿＿＿＿提示：把DC 转化为AD ，利用△ABD 的周长. 答：17A B CMN P Q A B CD E4、如图，△ABC 中∠A ＝，∠C ＝，AC ＝12，DE 垂直平分BC ，090075则BE ＝＿＿＿答：245、如图，已知：△ABC 中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P 在AC 的垂直平分线上证明：连结PA 、PB 、PC∵PM 垂直平分AB ，PN 垂直平分BC ∴PA ＝PB ，PB ＝PC ∴PA ＝PC∴点P 在AC 的垂直平分线上6、如图，△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，交BC 的延长线于F.求证：∠B ＝∠CAF证明：∵EF 垂直平分AD ∴∠ADF ＝∠DAF ，∠ADF ＝∠B+∠BAD∵∠BAD ＝∠CAD ，∴∠ADC ＝∠B+∠CAD ，又∵∠DAF ＝∠CAD+∠CAF∴∠B ＝∠CAF AB C P M N C D A B E F。

中垂线基础练习题(含答案)

...1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（） A 、7 B 、14 C 、17 D 、20 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（） A 、6B 、4C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（） A 、6B 、5C 、4D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（） A 、80° B 、70° C 、60°D 、50°5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（）A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（） A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分ABC 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB 二、填空题 9、如图，在△ABC 中，∠B=30°，ED 垂直平分BC ，ED=3．则CE 长为 ______ ．10、如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∠A=30°，∠ACB=80°，∠BCE= _____11、如图，等腰三角形ABC 中，已知AB=AC ，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，则∠CBD 的度数为 _______ 12、如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为 _________ ．13、如图，AB=AC ，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么∠ADC= _________ 度． 14、如图，∠ABC=50°，AD 垂直且平分BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数是 _________ 度．17、已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB 的中垂线...交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 与E ，则△ADE 的周长等于 _________ ．18、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB=AC ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=∠DAC ；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号 _______ 19、如图，△ABC 的周长为19cm ，AC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，E 为垂足，AE=3cm ，则△ABD 的周长为 ___ cm ．20、在△ABC 中，∠A=50°，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，则∠DBC 的度数是 _____ °．三、解答题21、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．22、如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．23、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ．24、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l 分别交AB 、AC 及BC 的延长线于点D 、E 、F ，连接BE ．求证：EF=2DE ．25、如图，已知线段AB ，分别以A 、B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、Q ，连接CQ 与AB 相交于点D ，连接AC ，BC ．那么：（1）∠ADC= _________ 度；（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC 的面积等于 _________ （面积单位）．26、如图，在△ABC 中，已知BC=7，AC=16，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，求△BEC 的周长．。

北师版八年级数学----中垂线练习题

北师大版数学八年级下册1.3线段的垂直平分线课时练习一、选择题1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，那么△BDC 的周长是〔〕A. 8B.9C. 10D.11答案：C解析：解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．应选C.分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．假设∠A=60°，∠ABD=24°，那么∠ACF的度数为〔〕A. 48°B. 36°C. 30°D. 24°答案：A解析：解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°－60°－24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°－24°=48°，应选：A.分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数. 3．如图，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，假设AB=10，△GBC的周长为17，那么底BC的长为〔〕A. 10B. 9C. 7D. 5答案：C解析：解：如图，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，∴AG=BG，∵AB=10，△GBC的周长为17，∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10，∴BC=7．应选C.分析：首先根据题意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，根据线段垂直平分线的性质，可得AG=BG，继而可得△GBC的周长=AC+BC=17，那么可求得答案.4．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，那么∠EBC 的度数是〔〕A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°答案：A解析：解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．应选A.分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案.5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，那么△BCE的周长为〔〕A. 6B. 14C. 18D. 24答案：B解析：解：∵AC=10，BC=4，∴AC+BC=10+4=14，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=〔BE+CE〕+BC=AC+BC=14．应选B.分析：先根据AC=10，BC=4，可得出AC+BC的长，再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE，进而可得出答案.6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，那么△BCM的周长为〔〕A. 18B. 16C. 17D. 无法确定答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得，BC=5，∵MN是AB的垂直平分线，∴MB=MA，∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，应选：C分析：根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是〔〕A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形答案：C解析：解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，那么AO=OB，AO=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°，即△ABC是钝角三角形，应选C分析：先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的角和定理求出∠BAC＞90°即可.8. MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，那么∠CAD和∠CBD之间的大小关系是〔〕A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D.无法确定答案：B解析：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如图2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．应选B.分析：首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，那么可证得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，继而求得答案.9. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm 和38 cm，那么△ABC的腰和底边长分别为〔〕A．24 cm和12 cmB．16 cm和22 cmC．20 cm和16 cmD．22 cm和16 cm答案：D解析：解：如图，连接BD，∵D在线段AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴BD+DC+BC=AC+BC=38 cm，且AB+AC+BC=60 cm，∴AB=60 cm－38 cm =22 cm，∴AC=22 cm，∴BC=38 cm－AC=38 cm－22 cm =16 cm，即等腰三角形的腰为22 cm，底为16 cm，应选D.分析：连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD，可知两三角形周长差为AB，结合条件可求得腰长，再由周长可求得BC，可得出答案.10．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口〔到A、B、C三个点的距离相等〕，尽快抓到老鼠，应该蹲守在〔〕A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点答案：A解析：解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．应选A分析：根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，那么此点就是三角形三边垂直平分线的交点.11. 三角形有一点到三角形三顶点的距离相等，那么这点一定是三角形的〔〕A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点答案：B解析：解：三角形有一点到三角形三顶点的距离相等，那么这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，应选：B.分析：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案.12. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，那么此等腰三角形的顶角为〔〕A．50°B．60°C．150°D．50°或130°答案：D解析：解：〔1〕当AB的中垂线MN与AC相交时易得∠A=90°－40°=50°，〔2〕当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，易得∠DAB=90°－40°=50°，∴∠A=130°，应选D.分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．假设AC=8，BC=6，那么△DBC的周长为〔〕A．12B．14C．16D．无法计算答案：B解析：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，应选：B分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB，根据三角形周长公式求出周长.14. 如图，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，那么△AEC的周长等于〔〕A．A+B B．A－B C．2A+B D．A+2B答案：A解析：解：∵ED垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=A，AC=B，∴AB=AE+BE=AE+CE=A．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=A+B．应选A分析：要求三角形的周长，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分线，结合线段的垂直平分线的性质，知EC=BE，这样三角形周长的一局部AE+EC=AE+BE=AB，代入数值，答案可得.15. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两角平分线的交点处答案：C解析：解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．那么超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．应选C.分析：要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得.二、填空题16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F．假设FC=3 cm，那么BF=_________．答案：6 cm解析：解：连接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°；∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∠FAC=30°，∴∠BAF=90°，∴BF=2AF〔30°直角边等于斜边的一半〕，∴BF=2CF=6 cm．故答案是：6 cm分析：利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC= 120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6 cm.17. 如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，那么BC=________．答案：3解析：解：∵ED为AC上的垂直平分线，∴AE=EC，∵AB=AE+EB=5，△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8，∴BC=8－5=3．故答案为：3分析：根据ED为AC上的垂直平分线，得出AE=CE，再根据AB=5，△BCE的周长为AB+BC=8，即可求得BC.18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，假设△BDC的周长为16，那么BC=__________ ．答案：6解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD，∵AC=10，△BDC的周长为16，∴BC=16－AC=16－10=6．故答案为：6分析：先根据DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周长为16即可求出答案.19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，那么∠DBC=答案：15解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°－40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°，故答案为：15分析：根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案.20.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，那么PB= _________．答案：7解析：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案为：7分析：根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．三、解答题21. 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐工程，现要在公园建一个售票中心，使三个娱乐工程所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．答案：解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，那么P即为售票中心解析：由三个娱乐工程所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.22．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．假设∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数答案：140°解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠B=∠EAB.∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠AEB=180°－20°－20°=140°.分析：根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据和三角形角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案.23．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．〔1〕求证：△ABD是等腰三角形；〔2〕假设∠A=40°，求∠DBC的度数；〔3〕假设AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长答案：〔1〕证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形.〔2〕30°〔3〕32解析：解：〔1〕证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；〔2〕∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=〔180°－40°〕÷2=70°.∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.〔3〕∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AD=12.∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．分析：〔1〕根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；〔2〕首先利用三角形角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；〔3〕将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.24．如以下图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．〔1〕假设∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．〔2〕假设AB=AC，且△BCD的周长为18 cm，△ABC的周长为30 cm，求BE的长.答案：〔1〕15°；〔2〕6 cm解析：解：〔1〕∵∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°.又∵DE垂直平分AB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15°．〔2〕∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AE=BE，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18 cm．∵△ABC的周长=30 cm，∴AB=30－18=12 cm，∴BE=AE=6 cm．分析：〔1〕∠A=50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．〔2〕同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．25．：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数=26°答案：B解析：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B.设∠B=x，那么∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，那么∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可。

画垂线的练习题

画垂线的练习题一、选择题1. 以下哪一项不是画垂线的基本步骤？A. 确定垂足B. 确定垂线方向C. 选择任意一点作为垂线的起点D. 画一条与已知线段平行的线段2. 在平面几何中，垂线的性质是什么？A. 垂线总是与已知线段相交B. 垂线与已知线段形成直角C. 垂线是已知线段的延长线D. 垂线与已知线段不相交3. 如果从一点向已知直线画垂线，这个点称为垂线的什么？A. 起点B. 终点C. 垂足D. 交点4. 在直角三角形中，斜边的垂线与哪条边垂直？A. 直角边B. 斜边C. 底边D. 高5. 画垂线时，通常使用什么工具？A. 圆规B. 三角板C. 直尺D. 量角器二、填空题6. 画垂线时，首先需要确定垂足的位置，垂足是垂线与________的交点。

7. 在平面几何中，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相________。

8. 直角三角形的两条直角边相互________。

9. 在画垂线的过程中，使用三角板的直角边对齐已知直线，另一条直角边即为所画垂线的________。

10. 如果已知直线AB，需要在点C处画AB的垂线，那么点C就是垂线的________。

三、判断题11. 画垂线时，垂足可以是已知直线上的任意一点。

（对/错）12. 垂线总是垂直于已知直线。

（对/错）13. 在直角三角形中，斜边上的高是垂线。

（对/错）14. 画垂线时，可以使用直尺代替三角板。

（对/错）15. 垂线的长度可以任意选择，只要它垂直于已知直线即可。

（对/错）四、简答题16. 描述如何使用三角板画一条已知直线的垂线。

17. 解释为什么在平面几何中，垂线与已知直线相交总是形成直角。

18. 如果需要在直角三角形中画出斜边上的高，请说明步骤。

19. 为什么说垂线是平面几何中非常重要的概念？20. 举例说明在实际生活中，垂线的应用场景。

五、作图题21. 给定直线AB，请在点C处画出AB的垂线，并标出垂足。

22. 在直角三角形DEF中，画出斜边DF上的高线，并标出垂足。

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二、垂线一、填空题1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线______，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的交点叫做______．2．垂线的性质性质1：平面内，过一点____________与已知直线垂直．性质2：连接直线外一点与直线上各点的_________中，_________最短．3．直线外一点到这条直线的__________________叫做点到直线的距离．4．如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．二、按要求画图5．如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．图a 图b 图c6．如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．图a 图b 图c7．如图，已知∠AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN．图a 图b 图c8．如图，小明从A村到B村去取鱼虫，将鱼虫放到河里，请作出小明经过的最短路线．综合、运用、诊断一、判断下列语句是否正确(正确的画“√”，错误的画“×”)9．两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直． ( )10．若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直． ( )11．一条直线的垂线只能画一条． ( )12．平面内，过线段AB 外一点有且只有一条直线与AB 垂直． ( )13．连接直线l 外一点到直线l 上各点的6个有线段中，垂线段最短． ( )14．点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离． ( )15．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． ( )16．在三角形ABC 中，若∠B ＝90°，则AC ＞AB ． ( )二、选择题17．如图，若AO ⊥CO ，BO ⊥DO ，且∠BOC ＝α，则∠AOD 等于( )．(A)180°－2α (B)180°－α (C)α2190+︒ (D)2α－90° 18．如图，点P 为直线m 外一点，点P 到直线m 上的三点A 、B 、C 的距离分别为PA ＝4cm ，PB ＝6cm ，PC ＝3cm ，则点P 到直线m 的距离为( )．(A)3cm (B)小于3cm (C)不大于3cm (D)以上结论都不对19．如图，BC ⊥AC ，CD ⊥AB ，AB ＝m ，CD ＝n ，则AC 的长的取值范围是( )．(A)AC ＜m (B)AC ＞n (C)n ≤AC ≤m (D)n ＜AC ＜m20．若直线a 与直线b 相交于点A ，则直线b 上到直线a 距离等于2cm 的点的个数是( )．(A)0 (B)1 (C)2 (D)321．如图，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )．(A)3条 (B)4条 (C)7条 (D)8条（第17题）（第18题）（第19题）（第21题）三、解答题22．已知：OA ⊥OC ，∠AOB ∶∠AOC ＝2∶3．求∠BOC 的度数．23．已知：如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于O ，且CD ⊥EF ，∠AOE ＝70°，若OG平分∠BOF ．求∠DOG ．。

(完整版)垂线练习题

课堂练习练习一：达标测试1、下列说法是否正确：两条直线相交,有一条角是直角，则两条直线互相垂直。

两条直线相交,有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

两条直线相交，四个角都相等，则两条直线互相垂直。

两条直线相交,有一组邻补角相等，则两条直线互相垂直。

2、如图一所示,当∠1与∠2满足时,能使OA ⊥OB3、如图二所示，从河中向稻田A 处引水，为使水渠最短，可过A 做AB ⊥CD 于点B ，沿线段AB 修渠最短，其根据是:( ）4、过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在（ )A 、这条线段B 、这条线段的端点上C 、这条线段的延长线上D 、以上都有可能5、如图三所示，已知ON ⊥L,OM ⊥L ，所以OM 与ON 重合，其理由是（ )A ．过两点有且只有一条直线B 、过一点只能作一条直线C 、在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D 、垂线段最短6、点直线的距离是指:( )A 、直线外一点到该直线的垂线的长度B 、直线外一点到该直线的垂线段的长度C 、直线外一点与直线外一点间的距离D 、从直线外一点向该直线所画的垂线段7、如图四所示，某人站在左侧点A 处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么?如果他要到路对面的点B 处,8、如图五所示,AB ⊥CD,垂足为O ，OE 是一条射线，且∠AOE=35、∠COE 的度数.B C D 图三 O L A B 路图四 AO 图一练习二：开拓思维9、①请画出∠AOB 的角平分线OC,②在OC 上任取一点P ，过点P 画OA 、OB 的垂线,垂足分别为点E 、F③量出点P 到OA 、OB 的距离，你有什么发现？④把你发现的结论用一句话描述出来。

10、如图六所示，一辆汽车在直线型的公路AB 上有A 向B 行驶，MN 分别是位于公路AB 两侧的村庄①设汽车行驶到公路AB 上点B 的位置是，距离村庄M 最近,行驶到Q 位置时,距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置②当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段路上，距离M 、N 两村庄距离都越来越近?在哪一段路上,距离村庄N 越来越近，而离村庄M 却越来越远？(用文字表述你的结论）BA M N 图六。

七年级数学-垂线练习含解析

七年级数学-垂线练习含解析基础闯关全练1．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，若∠BOE=35°，则∠DOF=( )A．65° B．45° C．35° D．55°2．如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA= 36°，则∠DOB的大小为( )A.36°B.54°C.55°D.44°3．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是( )A B C D4．在下图所示的各图中用三角板分别过点C画线段AB的垂线．（1）（2）（3）（4）5．如图，在立定跳远中，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在起跳线上，另一边与拉直的皮尺重合，这样做的理由是( )A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线6．如图．想在河堤两岸搭建一座桥，图中四种搭建方式PA，PB，PC，PD中，最短的是_______. 7．下列图形中，线段PQ的长为点P到直线MN的距离的是( )A B C D8．如图．立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离( )A．大于4.6米 B．等于4.6米 C．小于4.6米 D．不能确定能力提升全练1．如图，∠ACB= 90°．CD⊥AB，垂足为点D，则下面的结论中，正确的有( )①BC与AC互相垂直②AC与CD互相垂直③点A到BC的垂线段是线段BC④点C到AB的垂线段是线段CD⑤线段BC是点B到AC的距离⑥线段AC的长度是点A到BC的距离A.2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，已知直线CD、EF相交于点O．OA⊥OB，且OE平分∠AOC，若∠EOC= 60°，则∠BOF=______．3．如图,直线AB ，CD 相交于点O ，∠DOE=∠BOD ．OF 平分∠AOE. (1)判断OF 与OD 的位置关系；(2)若∠AOC ：∠AOD=1：5．求∠EOF 的度数．三年模拟全练一、选择题1．如图所示，直线AB ⊥CD 于点D ，直线EF 经过点O ．若∠1=26°，则∠2的度数是( )A ．26°B ．64° C.54° D ．以上答案都不对2．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，∠AOE= 52°，则∠BOD 等于( )A.24°B.26° C ．36° D ．38° 二、填空题3．如图，已知AC ⊥BC,CD ⊥ AB ．AC=3，BC=4，CD= 2.4，则点C 到直线AB 的距离等于______.4．如图，当∠1与∠2满足_________条件时，OA ⊥OB ．三、解答题5．如图，直线AB 与CD 相交于点D ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ，OF ⊥ CD. (1)图中除直角外，写出三对相等的角： (2)已知∠EOC= 50°，求∠POF 的度数，五年中考全练选择题.1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD.下列说法错误的是( )A. ∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD= 180°2．如图，经过直线l 外一点A 画l 的垂线，能画出( )A.1条B.2条C.3条D.4条 3．如图所示，点P 到直线l 的距离是( )A ．线段PA 的长度B ．线段PB 的长度C ．线段PC 的长度D ．线段PD 的长度核心素养全练如图，随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M'O’N’，画出∠MON的平分线OP和∠M'O’N'的平分线O’P’．(1)在OP上任取一点A，画AB⊥OM，AC⊥ON，垂足分别为B，C；(2)在O'P’上任取一点A’，画A'B'⊥O'M’，A'C'⊥O'N'，垂足分别是B’，C’；(3)通过度量线段AB，AC，A'B’，A'C'的长度，发现AB____AC，A'B'____ A'C’；（填“=”或“≠”）(4)通过上面的画图和度量，和同学们交流一下，有什么猜想？请用一句话表述出来．5.1.2垂线1.D∵AB⊥CD,∠BOE=35°,∴∠AOF=35°,∠AOD=∠BOC=90°，∴∠DOF= 90°-35°=55°．故选D．2.B∵OC⊥OD,∴∠COD= 90°,又∵∠AOC+∠COD+∠DOB= 180°．∴∠DOB= 180°-36°-90°= 54°．故选B.3．C根据垂线的作法，将直角三角板的一条直角边与直线AB重合，另一条直角边过点P后沿该直角边画直线即可．4．解析5．C根据垂线段的性质：垂线段最短，故选C．6．答案PC解析根据“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”与PC⊥AD．知PC最短．7．A对于选项A，PQ⊥MN，Q是垂足，故线段PQ的长为点P到直线MN的距离．8．A跳远的成绩是点B到起跳线的距离，即垂线段的长度为4.6米，结合题图知AB的长大于4.6米．1.B．∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC，故①正确；AC与DC相交不垂直，故②错误；点A到BC的垂线段是线段AC．故③错误；点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．故选B．2．答案30°解析∵OE平分∠AOC,∠EOC=60°,∴∠AOE=∠COE= 60°,∠DOE= 180°-∠COE= 120°,∴∠DOA= 60°,∵OA⊥OB，∴∠DOA+∠BOD= 90°．∴∠DOB=30°,∵∠DOF=∠EOC=60°,∴∠BOF=30°.3．解析(1)因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=21∠AOE．又因为∠DOE=∠BOD=21∠BOE,所以∠DOE+∠EOF=21(∠BOE+∠AOE)=21×180°=90°,即∠FOD=90°,所以OF⊥OD.(2)设∠AOC=x．因为∠AOC：∠AOD=1：5，所以∠AOD=5x，因为∠AOC+∠AOD= 180°,所以x+5x= 180°,x=30°.所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°.又因为∠FOD= 90°．所以∠EOF= 90°-30°= 60°.一、选择题1.B∵∠1=26°,∠DOF与∠1是对顶角，∴∠DOF=∠1=26°,又∵AB⊥CD.∴∠DOF+∠2=90°,∴∠2=90°-∠ DOF=90°-26°=64°．故选B.2.D 因为OE⊥CD, ∠AOE =52°，所以∠AOC= 38°，则∠BOD=∠AOC= 38°，故选D．二、填空题3．答案2.4解析由题意得点C 到直线AB 的距离等于CD 的长，即点C 到直线AB 的距离等于2.4． 4．答案∠1+∠2= 90°解析当∠1+∠2= 90°时，∠AOB= 90°，根据垂直的定义得OA ⊥OB. 三、解答题5．解析(1)①∠AOD= ∠BOC,②∠COP= ∠BOP,③∠COE=∠ BOF 等． (2)∵OE ⊥AB,∴ ∠EOB=90°.∵∠ EOC= 50°,∴∠COB= ∠EOB- ∠EOC= 40°.∵OP 是∠BOC 的平分线，∴∠COP=21∠BOC=20°. ∵OF ⊥CD, ∴∠COF=90°,∴∠POF= ∠COF-∠COP=70°. 选择题1．C 由对顶角相等知∠AOD=∠BOC ，选项A 中说法正确；由对顶角相等知∠BOD=∠AOC ．由EO ⊥CD 知∠AOE+∠AOC=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，选项B 中说法正确；由邻补角概念知∠AOD+∠BOD= 180°，选项D 中说法是正确的．只有选项C 中说法是错误的． 2．A 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 3．B 点P 到直线l 的距离就是点P 到直线l 的垂线段PB 的长度。

直角三角形与线段的中垂线练习

第一章直角三角形练习题一、填空题1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 .2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .3、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ；4、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的高等于____________；5、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________；6、等边三角形的高为2，则它的面积是。

7、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。

8、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是。

第7题第8题9、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是。

10、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC=二、选择题11、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4a D.以上结果都不对12、下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有组(1)7,24,25 (2)2223,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,2013．如图，在Rt △ABC 中，90∠= A ，AB =AC ＝86，点E 为AC 的中点，点F 在底边BC 上，且⊥FE BE ，△CEF 的面积是（）A ． 16B ． 18C ． 66D ． 76C BF A E14、如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º15.如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ∠ABC ＝∠ADC ＝70°， ∠DAO+∠DCO 的大小是（）A ．70°B ．110C ．140°D ．150°14题图15题图三、解答题、1、如右图,已知∠BAC=90°,∠C=30°,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,BE=1,求BC 的长.2、如图：Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE ⊥AB ．求证：AE=BE ．A E D CB BC O A DD C A B3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°AD ⊥AC 交BC•于点D ，求证：BC=3AD.4、已知，如图AD ∥BC ，∠B =90°，∠D =120° ，CA 是∠DCB 的平分线，AB =3，求AC 的长和∠BAC 的度数。

垂线(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题5.6垂线（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）．A．有两个角相等B．有两对角相等C．有三个角相等D．有四对邻补角2．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条B．3条C．2条D．1条3．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是()A．B．C．D．4．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于35．如图，在△ABC中，∠C＝90︒，D是边BC上一点，且∠ADC＝60︒，那么下列说法中错误的是（）A．直线AD与直线BC的夹角为60︒B．直线AC与直线BC的夹角为90︒C ．线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离D ．线段AB 的长是点B 到直线AD 的距离6．如图，已知直线AB l ⊥，BC l ⊥，则直线AB 与BC 重合，理由是（）A ．垂线段最短B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离D ．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条7．如图， ,, 5, 3AD BD BC CD AB BC ⊥⊥==，则BD 的长度可能是()A ．3B ．5C ．3或5D ．4.58．如图所示，点A 到BC 所在的直线的距离是指图中线段()的长度．A ．ACB ．AFC ．BD D ．CE9．直线AB ，CD 相交于点O ．OE ，OF ，OG 分别平分AOC ∠，BOC ∠，AOD ∠．下列说法正确的是（）A ．OE ，OF 在同一直线上B ．OE ，OG 在同一直线上C ．OG OF⊥D ．OE OF ⊥10．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，O 为垂足，如果∠EOD ＝38°，下列结论不正确的是（）A ．∠EOB =90°B ．∠DOB 是∠AOE 的补角C ．∠AOC =52°D ．∠AOC 与∠EOD 互为余角二、填空题11．如果∠α，∠β两边分别垂直，其中∠α比∠β的2倍少30°，那么∠α＝_____．12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB ，垂足为O ，∠AOC ：∠COE ＝2：3，则∠AOD ＝______．13．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分BOC ∠，OF OE ⊥于点O ．若80AOD ∠=︒，则AOF ∠等于____________．14．点O 为线段AB 上一点，不与点A 、B 重合，OC ⊥OD 于点O ，若∠AOC ＝35°，则∠BOD 的度数为___．15．如图，点C ，O ，D 在一条直线上，OA OB ⊥，OE 平分AOC BOC ∠∠，比BOD ∠大70︒，COE ∠的度数为________．16．已知点O 是直线AB 上一点，50AOC ∠=︒，OD 平分AOC ∠，90BOE ∠=︒，请写出下列正确结论的序号_____________①130BOC ∠=︒②25AOD ∠=︒③155BOD ∠=︒④45COE ∠=︒17．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE CD ⊥，垂足为点O ．当直线AB 绕着点O 在DOE ∠内部转动，OF 是AOC ∠的角平分线，若BOE α∠=，则AOF β∠=，则β关于α的函数关系式为______．18．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）_______对，邻补角________对.三、解答题19．如图，A 、B 、C 是平面内三点．(1)按要求作图：①作射线BC ，过点B 作直线l ，使A 、C 两点在直线l 两旁；②点P 为直线l 上任意一点，点Q 为直线BC 上任意一点，连接线段AP 、PQ ；(2)在（1）所作图形中，若点A 到直线l 的距离为2，点A 到直线BC 的距离为5，点A 、B 之间的距离为8，点A 、C 之间的距离为6，则AP +PQ 的最小值为__________，依据是__________20．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OD 平分AOF ∠，EO OD ⊥，55EOA ∠=︒，求BOF ∠的度数.21．如图，已知OB ，OC ，OD 是AOE ∠内三条射线，OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠．(1)若70AOB ∠=︒，20DOE ∠=︒，求BOC ∠的度数．(2)若136AOE ∠=︒，AO CO ⊥，求BOD ∠的度数．(3)若20DOE ∠=︒，220AOE BOD ∠+∠=︒，求BOD ∠的度数．22．如图，O 为直线AB 上一点，F 为射线OC 上一点，OE ⊥AB ．（1）用量角器和直角三角尺画∠AOC 的平分线OD ，画FG ⊥OC ，FG 交AB 于点G ；（2）在（1）的条件下，比较OF 与OG 的大小，并说明理由；（3）在（1）的条件下，若∠BOC ＝40°，求∠AOD 与∠DOE 的度数．23．如图，用三张卡片拼成如下图①，图②所示的两个四边形，其周长分别为1C 、2C ．(1)请你根据所学知识解释：在直角三角形卡片中，“n m <”的理由是_________．（填写正确选项的字母）A ．两点之间线段最短；B ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；C ．垂线段最短；D ．两点确定一条直线．(2)分别计算1C 、2C （用含m 、n 的代数式表示）；(3)比较112C 与212C 的大小，并说明理由．24．点O 为直线l 上一点，射线OA OB 、均与直线l 重合，如图1所示，过点O 作射线OC 和射线OD ，使得100BOC ∠=︒，90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ．(1)求AOC ∠与MOD ∠的度数；(2)作射线OP ，使得90BOP AOM ∠+∠=︒，请在图2中画出图形，并求出COP ∠的度数；(3)如图3，将射线OB 从图1位置开始，绕点O 以每秒5︒的速度逆时针旋转一周，作COD ∠的平分线ON ，当20MON ∠=︒时，求旋转的时间．参考答案1．C【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据的定义判断即可．【详解】解：A、两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，是两个对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；B、两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，是两对对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；C、两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确；D、两条直线相交成四个角，如果有四对邻补角，是四对普通的邻补角，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误；故选：C．【点拨】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．D【分析】平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得．【详解】解：经过直线l外一点画l的垂线，能画出1条垂线，故选D．【点拨】本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．3．A【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断.【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，故选A．【点拨】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．A【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；同理，点B 到AC 的距离也不是3，故D 错误，故选：A【点拨】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．5．D【分析】根据已知角即可判断A 、B ；根据点到直线的距离的定义即可判断C 、D ．【详解】解：A 、∵∠CDA ＝60︒，∴直线AD 与直线BC 的夹角是60︒，正确，故不符合题意；B 、∵∠ACD ＝90︒，∴直线AC 与直线BC 的夹角是90︒，正确，故不符合题意；C 、∵∠ACD ＝90︒，∴DC ⊥AC ，∴线段CD 的长是点D 到直线AC 的距离，正确，故不符合题意；D 、∵BD 和AD 不垂直，∴线段AB 的长不是点B 到直线AD 的距离，错误，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．6．B【分析】直接利用垂线的性质进而分析得到答案．【详解】∵AB l ⊥，BC l ⊥，垂足为B ，∴AB 和BC 重合，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：B ．【点拨】本题考查了同一平面内直线的垂直关系及垂线段的知识点，解题的关键是熟悉对垂线段定义的理解．7．D【分析】根据垂线段最短可得3＜BD ＜5．【详解】解：∵AD ⊥BD ，BC ⊥CD ，AB=5，BC=3，∴BC ＜BD ＜AB ，即3＜BD ＜5．故选：D ．【点拨】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．8．B【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．【详解】点A 到线段BC 所在直线的距离是线段AF 的长度，故选B ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．9．D【分析】根据角平分线的性质得到12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，又因为AOC ∠与BOC ∠是互为补角，所以90COE COF ∠+∠=︒，所以OE OF ⊥，所以A 错误，D 正确；因为12AOG AOD Ð=Ð，且AOD ∠与BOC ∠互为对顶角，所以AOG BOF ∠=∠，所以OF 与OG 共线，所以OE OG ⊥，所以B ，C 均错误．【详解】解：如图，∵OE ，OF 分别是AOC ∠，BOC ∠的平分线，∴12COE AOE AOC ∠=∠=∠，12COF BOF BOC Ð=Ð=Ð，∵OG 是AOD ∠的平分线，∴12AOG DOG AOD Ð=Ð=Ð，∴1180902COE COFAOF BOF ��窗=，∴90EOF ∠=︒，∵AOC BOD ∠=∠，∴AOG BOF ∠=∠，∴90EOG AOG AOE Ð=Ð+Ð=°，∴180EOG EOF ∠+∠=︒，∴OF 与OG 共线，∴射线OE ，OF 互相垂直，故D 正确，A 错误；射线OF 与OG 互相垂直，故BC 错误．故选：D ．【点拨】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．10．B【分析】根据垂直的定义可知90EOB ∠=︒，故A 正确；根据互补定义，由图知DOB ∠和AOD ∠互补，故B 错误；根据OE ⊥AB ，∠EOD ＝38°，结合对顶角定义，可得52AOC BOD ∠=∠=︒，故C 正确；根据互余定义和对顶角定义可知AOC BOD ∠=∠，90BOD EOD ∠+∠=︒即可得到∠AOC 与∠EOD 互为余角，故D 正确，从而得到结论．【详解】解：A 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，故该选项不符合题意；B 、由于A O B 、、三点共线，则180AOD BOD ∠+∠=︒，即∠DOB 是∠AOE 的补角错误，故该选项符合题意；C 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，再结合∠EOD ＝38°，根据对顶角相等可知52AOC BOD ∠=∠=︒，故该选项不符合题意；D 、由于OE ⊥AB ，则90EOB ∠=︒，从而90BOD EOD ∠+∠=︒，根据对顶角相等AOC BOD ∠=∠可得90AOC EOD ∠+∠=︒，∠AOC 与∠EOD 互为余角，故该选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题考查垂线的定义、互余的定义、互补的定义和对顶角相等的性质等知识点，熟记概念，准确识图并找到各个相关角度之间的数量关系是解决问题的关键．11．30︒或110︒【分析】分两种情况，当αβ∠=∠时，当180αβ∠+∠=︒，然后进行计算即可解答，【详解】解：设∠β为x ︒，则()230x α∠=-︒，分两种情况：当αβ∠=∠时，如图：230x x ∴-=，解得：30x =，30α∴∠=︒，当180αβ∠+∠=︒，如图：230180x x ∴-+=，解得：70x =，110α∴∠=︒综上所述：30α∠=︒或110α∠=︒．故答案为：30︒或110︒．【点拨】本题考查了垂线，角的计算，根据题意画出图形，分两种情况讨论是解题的关键．12．144°【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOE =90°，进而利用∠AOC ：∠COE =2：3，得出∠AOC 的度数，进而得出答案．【详解】解：∵EO ⊥AB ，∴∠AOE =90°，∵∠AOC ：∠COE =2：3，∴设∠AOC =2x ，∠COE =3x ，则3x +2x =90°，解得：x =18°，故∠AOC =36°，则∠AOD =180°-36°=144°．故答案为：144°．【点拨】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC 度数是解题关键．13．50︒##50度【分析】根据对顶角相等可得80BOC AOD =∠=︒∠，再根据角平分线的性质得1402BOE BOC ==︒∠∠，最后根据平角的性质求解即可．【详解】解：∵80AOD ∠=︒，∴80BOC AOD =∠=︒∠．∵OE 平分∠BOC ，∴1402BOE BOC ==︒∠∠．∵OF ⊥OE ，∴90EOF ∠=︒，∴180180409050AOF BOE EOF =︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠．故答案为：50︒．【点拨】本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．14．55°或125°【分析】分OC ，OD 在AB 的同侧和异侧两种情况求解．【详解】当OC 和OD 在AB 同一侧时，如图：∵OC ⊥OD ，∴∠COD ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝90°，∵∠AOC ＝35°，∴∠BOD ＝90°﹣∠AOC ＝90°﹣35°＝55°，当OC 和OD 在AB 同异侧时，如图：∵OC ⊥OD ，∴∠COD ＝90°，∵∠AOC ＝35°，∴∠AOD ＝55°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣55°＝125°．∴∠BOD 的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．【点拨】本题考查了垂直的定义即两直线相交，交成的四个角中有一个是直角，理解定义，学会分类是解题的关键．15．72.5︒##72.5度【分析】根据BOC ∠比BOD ∠大70︒，BOC ∠和BOD ∠互补，即可求出55BOD ∠=︒，进而由垂直性质可求出35AOD ∠=︒，再由角平分线性质即可得出答案．【详解】解：∵BOC ∠比BOD ∠70︒，∴设BOD x ∠=，则70BOC x ∠=+︒，∵BOC ∠+180BOD ∠=︒，∴()70180x x ++︒=︒，∴55x =︒，∴55BOD ∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴9035AOD BOD ∠=︒-∠=︒，∴180145AOC AOD ∠=︒-∠=︒，∵OE 平分AOC ∠，∴172.52COE AOC ∠=∠=︒．故答案为：72.5︒．【点拨】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质以及角的运算，掌握以上知识是解题的关键．16．①②③【分析】根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答．【详解】解：∵50AOC ∠=︒，∴∠BOC =180°-AOC ∠=130°，则①正确∵OD 平分AOC ∠，∴∠AOD =1252AOC ∠=︒，则②正确∴∠BOD =180°-∠AOD =155°，则③正确∵90BOE ∠=︒∴∠COE =90︒-AOC ∠=40°，则④错误．故答案为：①②③．【点拨】本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点，熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键．17．()1450902β=-α+︒︒<α<︒【分析】先由角平分线定义得：22AOC AOF ∠=∠=β，由垂直定义和角的和差90BOC ∠=︒+α，再根据180AOC BOC ∠+∠=︒，得到α与β的关系，进而得解．【详解】∵OF 是AOC ∠的角平分线，AOF β∠=，∴22AOC AOF ∠=∠=β．∵OE CD ⊥，∴90COE ∠=︒，∵BOE α∠=，∴90BOC COE BOE ∠=∠+∠=︒+α．∵180AOC BOC ∠+∠=︒，∴290180β+︒+α=︒，∴()1450902β=-α+︒︒<α<︒，故答案是()1450902β=-α+︒︒<α<︒．【点拨】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，补角的定义，由180AOC BOC ∠+∠=︒，90BOC ∠=︒+α，推导出β关于α的函数关系式是解本题的关键．18．990019800【详解】100条直线两两相交，最多有100(1001)49502-=个交点，每个交点处有两组对顶角，4对邻补角，故100条直线两两相交于一点共有4950×2＝9900（对）对顶角，有4950×4＝19800（对）邻补角，故答案为9900，19800.19．(1)①见解析；②见解析(2)5，垂线段最短【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据线段的性质即可得到结论．(1)解：①如图1所示，射线BC ，直线l 即为所求；②如图1所示，线段AP ，PQ 即为所求；；(2)解：过A 作AQ ⊥BC 交直线l 于P ，则此时，AP +PQ 的值最小，∵点A 到直线BC 的距离为5，∴AP +PQ 的最小值为5，依据是垂线段最短，故答案为：5，垂线段最短．【点拨】本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．20．110BOF ∠=︒【分析】依据EO OD ⊥，55EOA ∠=︒，可得905535AOD ∠=︒-︒=︒，再根据OD 平分AOF ∠，即可得出270AOF AOD ∠=∠=︒，依据平角定义得到BOF ∠．【详解】解：∵EO OD ⊥，∴90EOD ∠=︒.∵55EOA ∠=︒.∴1905535EOD EOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒.∵OD 平分AOF ∠.∴11352AOF ∠=∠=︒.∴70AOF ∠=︒.∵180BOA BOF AOF ∠=∠+∠=︒∴180********BOF AOF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点拨】本题主要考查了垂线的意义，角平分线的定义以及余角的综合运用，正确的识别图形是解题的关键．21．(1)30︒(2)45︒(3)60︒【分析】对于（1），由角平分线的定义求出∠BOE 和COE ∠，再根据=BOC BOE COE ∠∠-∠即可求解；对于（2），先求出COE ∠，再根据角平分线的定义求出DOE ∠和∠BOE ，然后根据=-BOD BOE DOE ∠∠∠即可求解；对于（3），由角平分线的定义得2AOE BOE ∠=∠，结合已知条件可得2220BOE BOD ∠+∠=︒，20BOE BOD ∠-∠=︒，即2240BOE BOD ∠-∠=︒，进而得出3180∠=︒BOD ，可得答案．【详解】（1）∵OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，∴70BOE AOB ∠=∠=︒，240COE DOE ∠=∠=︒，∴=704030BOC BOE COE ∠∠-∠=︒-︒=︒；（2）∵AO CO ⊥，∴=90AOC ∠︒．∵136AOE ∠=︒，∴1369046COE AOE AOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，∴1682BOE AOE ∠=∠=︒，1232COE ∠=∠=︒，∴=-682345BOD BOE DOE ∠∠∠=︒-︒=︒；（3）∵OB 平分AOE ∠，∴2AOE BOE ∠=∠．∵220AOE BOD ∠+∠=︒，∴2220BOE BOD ∠+∠=︒．∵BOE BOD DOE ∠-∠=∠，∴20BOE BOD ∠-∠=︒，∴2240BOE BOD ∠-∠=︒，∴3180∠=︒BOD ，∴60BOD ∠=︒．【点拨】本题主要考查了角的和差，关键是由角平分线定义得出相关等式．22．（1）见解析；（2）OF ＜OG ；理由见解析；（3）∠AOD ＝70°，∠DOE ＝20°．【分析】（1）使用量角器量出AOC ∠的度数，再用直角三角尺画它的平分线，使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ；（2）根据垂线段最短即可确定OF 和OG 的大小；（3）先利用邻补角计算出180140AOC BOC ∠=︒-∠=︒，再根据角平分线定义得70AOD ∠=°，然后利用角互余计算DOE ∠的度数．【详解】（1）先使用量角器量出AOC ∠的度数，再用直角三角尺画它的平分线；使用直角三角尺画FG OC ⊥于G ，如下图所示，OD 、FG 即为所画（2）OF OG <．理由如下：FG OC⊥ OF ∴是点O 到FG 的距离由直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短可知，OF OG <；（3）40BOC ︒∠= 180140AOC BOC ∴∠=︒-∠=︒∵OD 是AOC ∠的平分线∴1702AOD AOC ∠=∠=︒∵OE AB⊥∴90AOE ∠=︒∴20DOE AOE AOD ∠=∠-∠=︒故AOD ∠的度数为70︒，DOE ∠的度数为20︒．【点拨】本题考查了角平分线和垂线的画法、垂线段最短、角互余等知识点，掌握角平分线的定义是解题关键．23．(1)C(2)124C m n =+，242C m n =+(3)121122C C <，理由见解析【分析】（1）根据垂线段最短解答；（2）根据周长公式计算即可；（3）利用作差法比较大小．(1)解：“n m <”的理由是垂线段最短，故选：C ；(2)解：1224,42C m n C m n =+=+；(3)解：()()12111124422222C C m n m n n m -=+-+=-；∵n <m ，∴n-m <0，∴1211022C C -<，∴121122C C <．【点拨】此题考查了垂线的性质，计算图形的周长，利用作差法比较两个式子的大小，整式加减的应用，正确掌握垂线的性质及作差法比较大小的方法是解题的关键．24．(1)80AOC ∠=︒，50MOD ∠=︒(2)50︒或150︒(3)6秒或62秒【分析】（1）根据180AOB ∠=︒，100BOC ∠=︒，即可得出AOC ∠的度数，根据角平分线的定义得出1402COM AOC ∠=∠=︒，然后根据90COD ∠=︒得出MOD ∠的度数；（2）根据题意得出BOP ∠的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线OP 在BOC ∠内部时；②当射线OP 在BOC ∠外部时；分别进行计算即可；（3）根据ON 平分COD ∠得出45CON ∠=︒，根据题意画出图形，计算∠BOE 的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，180AOB ∠=︒，∵100BOC ∠=︒，∴80AOC AOB BOC ∠=-∠=︒，∵OM 平分AOC ∠，∴1402COM AOC ∠=∠=︒，∴50MOD COD COM ∠=∠-∠=︒；（2）由（1）知，40AOM AOC COM ∠=∠-∠=︒，∴9050BOP AOM ∠=︒-∠=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时，如图2（1），50COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时，如图2（2），150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒，综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒；（3）∵ON 平分COD ∠，∴1452CON COD ∠=∠=︒，①如图3，25COM CON MON ∠=∠-∠=︒，∵OM 平分AOC ∠，∴250AOC COM ∠=∠=︒，∴18030BOE AOC BOC ∠=︒-∠-∠=︒，∴旋转的时间3056t =︒÷︒=（秒）；②如图3（1），此时，65COM CON MON ∠=∠+∠︒，∵OM 平分AOC ∠，∴2130AOC COM ∠=∠=︒，∴18013050COE ∠=︒-︒=︒，∴1005050BOE ∠=︒-︒=︒，∴旋转的时间(36050)562=︒-︒÷︒=（秒）；综上所述，旋转的时间为6秒或62秒．【点拨】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线OB 旋转的过程中，OM 和ON 的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．。

线段中垂线的性质与判定

巩固练习
练3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF．
课堂小结
这节课你的收获是什么？已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两个端点距离相等且∠AOB两边距离也相等．这节课你的收获是什么？已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两个端点距离相等且∠AOB两边距离也相等．练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF．
这节课你的收获是什么？例．如图，OC 为∠AOB 的平分线，P 为 OC 上任意一点，PE垂直 OA 于点 E，PF 垂直 OB 于点 F，求证：OP是EF的中垂线．
这节课你的收获是什么？练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF．练3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF．例．如图，OC 为∠AOB 的平分线，P 为 OC 上任意一点，PE垂直 OA 于点 E，PF 垂直 OB 于点 F，求证：OP是EF的中垂线．练2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A<∠B ，CM是斜边AB的中线，将△ ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，求∠A的大小．第十一章生活中的轴对称练3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F，求证：CF=2BF．这节课你的收获是什么？练2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A<∠B ，CM是斜边AB的中线，将△ ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，求∠A的大小．《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上第十一章生活中的轴对称《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上这节课你的收获是什么？《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF．《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上第十一章生活中的轴对称已知平面内三条直线两两相交且不交于一点，问平面内存在到三条直线距离相等的点有几个？ 4 线段中垂线的性质与判定练1．在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，求∠CAF．已知平面内三条直线两两相交且不交于一点，问平面内存在到三条直线距离相等的点有几个？《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上已知∠AOB与线段CD，求作一点P，使点P到CD的两个端点距离相等且∠AOB两边距离也相等．《优等生数学》八年级P21 T1、T2、T4 ，P23 T4，P25 T1、T3，其它选做在书上

中垂线数学练习

• 3．（2010•三明）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论丌正确的是（） • A． AE=BE B． AC=BE • C． CE=DE D． ∠CAE=∠B
•
4．（2010•巴中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A． △ABC的三条中线的交点 B． △ABC三边的中垂线的交点 C． △ABC三条角平分线的交点 D． △ABC三条高所在直线的交点
AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．
• 13．（2008•孝感）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC= _________ 度．
• 14．（2007•陕西）如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分 BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则 ∠AEC的度数是 _________ 度．
• 6．（2009•怀化）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是 AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知 ∠BAE=10°，则∠C的度数为（） • A． 30° B． 40° C． 50° D． 60°

• 8．（2005•南通）如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂
直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于 18cm，则AC的长等于（）
AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则 △ACD的周长为 _________ cm．
• 11．（2011•海南）如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，
AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则 BC的长等于 _________ cm．

中垂线专题练习

过一点作垂线 作图操作题专项练习40题 有答案 (7+12页 )

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