2014届高考数学总复习小题冲关课件(浙江专用)：专题2 第5讲 导数及其应用

反思归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
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(1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数 f(x)的定义域 内解(或证明)不等式 f′ (x)>0 或 f′ (x)<0. ②若已知 f(x)的单调性， 则转化为不等式 f′ (x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上恒成立问题求解 .
1 ∴f′(t)＝ ＋1， t
∴f′(1)＝2.
3.(2013· 浙江)已知 e 为自然对数的底数， 设函数 f(x)＝(ex－1)(x －1)k(k＝ 1,2)，则 A.当 k＝1 时，f(x)在 x＝ 1 处取到极小值 B.当 k＝1 时，f(x)在 x＝ 1 处取到极大值
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( C )
2 即 a≥ －2x2 在[1，＋∞)上恒成立， x
2 设 φ(x)＝ －2x2， x
∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，
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∴φ(x)max＝φ(1)＝0，∴a≥0. ②若 g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数， 则 g′(x)≤0 在[1，＋∞)上恒成立，不可能. ∴实数 a 的取值范围为[0，＋∞).
题型二
利用导数研究函数的单调性
例 2 已知函数 f(x)＝ x2＋aln x. (1)当 a＝－2 时，求函数 f(x)的单调递减区间； 2 (2)若函数 g(x)＝f(x)＋ 在 [1，＋∞ )上单调，求实数 a 的取 x 值范围.
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审题破题 (1)直接根据 f′(x)<0 确定单调递减区间； (2)g(x) 在[1，＋∞)上单调，则 g′(x)≥0 或 g′(x)≤0 在[1，＋∞) 上恒成立.
4.闭区间上函数的最值
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在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值 是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大 值中的最大者， 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间 内函数的所有极小值中的最小值.
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1.(2013· 广东)若曲线 y＝kx＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于 x
审题破题 利用导数的几何意义，列方程求交点 P 的坐标.
解析 因为 y′＝3x2－10，设 P(x，y)，
则由已知有 3x2－10＝2，即 x2＝4，∴x＝± 2， 又∵点 P 在第二象限，∴x＝－2.
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则 y＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点 P 坐标为(－2,15).
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∴f(x)在(－∞， －2)上是增函数， 在(－2,1)上是减函数， 在(1,2) 上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
∴函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2).
答案 D
5.(2013· 安徽)若函数 f(x)＝ x3＋ax2＋bx＋c 有极值点 x1， x2， 且 f(x1)＝ x1， 则关于 x 的方程 3(f(x))2＋2af(x)＋ b＝ 0 的不同 实根个数是 A.3
答案 (－2,15)
反思归纳
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在求曲线的切线方程时，注意两点：①求曲线在点
P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程，在点 P 的切线， 一定是以点 P 为切点；过点 P 的切线不管点 P 在不在曲线上， 点 P 不一定是切点；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐 标，再求解.
变式训练 1
1 所以，f(x)的单调增区间是－∞，2－a， 1 f(x)的单调减区间是2－a，2.
题型三
利用导数研究函数的极值(最值) 1 2 例 3 已知函数 f(x)＝ x ＋ln x. 2 (1)求函数 f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；
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(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数 f(x)的图象在函数 g(x) 2 3 ＝ x 的图象的下方. 3
审题破题 (1)f(x)在闭区间[1，e] 上的最大值、最小值要么
在端点处取得，要么在极值点处取得 . 所以首先要研究 f(x) 在[1，e] 上的单调性. 2 3 (2)f(x)的图象在函数 g(x)＝ x 的图象的下方，即 g(x)－f(x) 3 在(1，＋∞)上恒大于 0.
4.(2012· 重庆 )设函数 f(x)在 R 上可导，其 导函数为 f′(x)，且函数 y＝(1－ x)f′ (x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成 立的是
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(
)
A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(－ 2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－ 2) D.函数 f(x)有极大值 f(－ 2)和极小值 f(2)
反思归纳
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(1)求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有
时也可以和图象联系；(2)利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x) 在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)＝ f(x)－ g(x)， 然后根据函数的单调性， 或者函数的最值证明函数 h(x)>0， 其 中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么地方可以等于零， 这 往往就是解决问题的一个突破口.
3 2 2 x － x －1 1 2 则 h′(x)＝2x －x－ ＝ x x x－12x2＋x＋1 ＝ . x
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当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在区间[1，＋∞)上为增函 1 数，所以 h(x)>h(1)＝ >0. 6
所以对于 x∈(1，＋∞)，g(x)>f(x)成立，即 f(x)的图象在 g(x) 的图象的下方.
解析 利用极值的存在条件判定. 当 x<－2 时，y＝(1－x)f′(x)>0，得 f′(x)>0；
当－2<x<1 时，y＝(1－x)f′(x)<0，得 f′(x)<0；
当 1<x<2 时，y＝(1－x)f′(x)>0，得 f′(x)<0；
当 x>2 时，y＝(1－x)f′(x)<0，得 f′(x)>0，
(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)，
第五讲 导数及其应用
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1.导数的几何意义 (1)函数 y＝f(x)在 x＝ x0 处的导数 f′ (x0)就是曲线 y＝f(x)在 点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k＝f′(x0). (2)曲线 y＝ f(x)在点(x0， f(x0))处的切线方程为 y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (3)导数的物理意义：s′ (t)＝v(t)，v′(t)＝ a(t).
变式训练 2 已知函数 f(x)＝ln(2－x)＋ax. (1)设曲线 y＝f(x)在点(1， f(1))处的切线为 l，若 l 与圆(x＋ 1)2＋ y2＝ 1 相切，求 a 的值； (2)当 a>0 时，求函数 f(x)的单调区间.
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解 (1)函数的定义域为(－∞，2). 1 依题意得 f′(x)＝a＋ . x－2
因此过(1，f(1))点的切线的斜率为 a－1.
又 f(1)＝a，所以过点(1，f(1))的切线方程为 y－a＝(a－1)(x －1)，
即(a－1)x－y＋1＝0.
又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为 1，
|1－a＋1| 依题意，有 ＝1，解得 a＝1. 2 a－1 ＋1
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(2)f(x)＝ln(2－x)＋ax 的定义域为(－∞，2)， 1 1 f′(x)＝a＋ .因为 a>0，所以 2－ <2. a x－2 1 令 f′(x)>0，解得 x<2－ ； a 1 令 f′(x)<0，解得 2－ <x<2. a
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( C.5 D.6
)
B.4
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知得 x1≠x2，
2 3x1＋2ax1＋b＝0， 且 2 3x 2＋2ax2＋b＝0，
若 x1<x2，y＝x1，y＝x2 与 f(x)＝x3＋
ax2＋bx＋c 有三个不同交点.
Hale Waihona Puke 即方程 3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0 有三个不同实根.
∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2). 令 f′(x)＝0 得 x1＝0，x2＝ln 2.
列表如下： x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ 0 0 极大值 (0，ln 2) － ln 2 0 极小值 (ln 2，＋∞) ＋
↗
↘
↗
由表可知，函数 f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为 (－∞，0)，(ln 2，＋∞).
C.当 k＝2 时，f(x)在 x＝ 1 处取到极小值 D.当 k＝2 时，f(x)在 x＝ 1 处取到极大值
解析 当 k＝1 时，f′(x)＝ex· x－1，f′(1)≠0.
∴x＝1 不是 f(x)的极值点. 当 k＝2 时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2) 显然 f′(1)＝0，且 x 在 1 的左边附近 f′(x)<0， x 在 1 的右边附近 f′(x)>0， ∴f(x)在 x＝1 处取到极小值.故选 C.
若 x1>x2，如图，
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同理得方程 3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0 有三个不同实根.
答案 A
题型一
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导数意义及应用
例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x ＋3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜 率为 2，则点 P 的坐标为________.
－1 轴，则 k＝________.