6 导数的概念及导数的几何意义

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高考复习-导数的概念及几何意义

导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。

导数的几何意义是什么

导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。

导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。

它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。

本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。

一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。

导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。

二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。

当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。

对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。

2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。

当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。

通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。

3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。

当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。

这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。

三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。

1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。

通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。

导数的概念及其意义、导数的运算

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x).( × )
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0). 又f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由yy00＝＋x10＝lnx10＋，ln x0x0，解得 x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值(范围)
1.函数f(x)＝ex＋1x 在x＝1处的切线方程为__y＝__(_e_－__1_)_x_＋_2__.
f′(x)＝ex－x12， ∴f′(1)＝e－1，又f(1)＝e＋1， ∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.
[cf(x)]′＝ cf′(x) .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝ y′u·u′x ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用结论
1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2.f1x′＝－[ff′x]2x(f(x)≠0).
第三章
考试要求
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如

导数的基本概念和意义

导数的基本概念和意义尽管导数在我们的日常生活中并不常见，但它在数学和物理学等学科中却扮演着重要的角色。

导数是微积分的一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

本文将探讨导数的基本概念和意义，并讨论它在实际应用中的重要性。

一、导数的定义导数可以被定义为函数在某一点上的变化率。

具体而言，对于一个函数f(x)，如果在某一点x上，函数的值发生微小的变化Δx，那么相应的函数值的变化量为Δf。

导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(Δx→0) [Δf/Δx]这个公式可以被解释为：当Δx趋近于0时，函数f(x)在x点上的变化率接近于Δf/Δx。

导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。

二、导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。

对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)可以被理解为函数曲线在某一点上的切线的斜率。

切线是曲线在该点附近的近似直线，而导数正是切线的斜率。

通过计算导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率情况，从而揭示函数曲线的变化趋势。

三、导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。

例如，对于一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，它的导数x'(t)可以表示物体在该时刻的速度。

速度是位置随时间变化的导数，它描述了物体在单位时间内移动的距离。

同样地，加速度可以被定义为速度随时间的导数。

导数的物理意义不仅限于运动学，它还可以应用于其他物理量的研究。

例如，对于一个物体的质量函数m(t)，它的导数m'(t)可以表示物体在该时刻的质量变化率。

导数可以帮助我们理解物体在不同时刻的质量变化情况，从而揭示物体的增长或减少趋势。

四、导数的计算方法计算导数是微积分中的重要内容。

对于简单的函数，我们可以通过求导法则来计算导数。

例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = anx^(n-1)对于更复杂的函数，我们可以使用链式法则、乘积法则和商法则等来计算导数。

导数的概念及几何意义_基础

导数的概念及几何意义【要点梳理】要点一：导数的概念 1．导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近．（5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．要点二：导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示： ()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．如图2，无论点P 在曲线上还是曲线外，过点P 都可以作两条直线1l 、2l 与曲线相切．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度．【典型例题】类型一：导数定义的应用例1．用导数的定义，求函数()y f x x==x =1处的导数．【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值．【解析】先求增量：(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=-+∆===再求平均变化率：y x ∆=∆ 求极限，得导数：01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；（3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．举一反三：【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【解析】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴ 2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆， ∴()'1=f -()00'(1)limlim 3=3x x yf x x ∆→∆→∆==-∆∆．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【解析】 ∵22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，∴263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆， 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=． ∴函数2()3f x x =在1x =处的导数为6 ．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【解析】∵2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，∴23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆， ∴00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆．例2．已知函数()24f x x=，求()f x '．【解析】先求增量：2222444(2)()()x x x y x x x x x x ∆+∆∆=-=-+∆+∆，再求平均变化率：224(2)()y x x x x x x ∆+∆=-∆+∆．求极限，得导数：23004(2)8'limlim ()x x y x x y x x x x x∆→∆→∆+∆==-=-∆++∆．【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导．举一反三：【变式1】求函数y=在(0,)+∞内的导函数．【解析】∵y∆==，∴y x ∆==∆==∴321lim2x y x -∆→'===-．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．【解析】∵y ∆=∴yx ∆=∆==∴'()limx f x y ∆→'==．当2x =时，1'(2)4f ==．例3．若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．【思路点拨】【解析】根据导数定义：0000[()]()'()limk f x k f x f x k→+--=-（这时增量x k ∆=－），所以000()()lim2k f x k f x k →--000[()]()1lim 2k f x k f x k →+--⎧⎫=-⋅⎨⎬-⎩⎭000[()]()1lim21221.k f x k f x k →+--=-⋅-=-⨯=-【思路点拨】（1）有一种错误的解法：根据导数的定义：0000()()'()limk f x k f x f x k→--=（这时增量x k ∆=），所以 000000()()()()11limlim 21222k k f x k f x f x k f x k k →→----==⨯=．（2）在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆也必须选择与之相对应的形式．利用函数()f x 在0x x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．举一反三：【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【答案】（1）00(1)(1)1(1)(1)1lim lim '(1)1222x x f x f f x f f x x →→+-+-===（2）00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2'(1)42x x f x f f x f f x x→→+-+-===【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【答案】()()()()()()[]00000000000000000()()lim()()lim()()lim21lim 2lim 1()2'()22'()2x x x x x f x x f x x xf x x f x x f x x f x x xf x x f x xf x x f x x x x f x af x a∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆--∆+∆--∆∆-∆-∆-∆-=-=-∆∆--∆=-==-==【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．【答案】原式0000()()()()lim2h f x h f x f x f x h h→+-+--=000000()()()()1lim lim 2h h f x h f x f x h f x h h →→+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦ 0000()()1'()lim 2h f x h f x f x h -→--⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦[]0001'()'()'()2f x f x f x =+=．类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P （1，2）处的切线的斜率等于函数21y x =+在1x =处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程．【解析】先求切线的斜率()'1f ：()()22001+111lim lim x x x y x x∆→∆→⎡⎤∆++∆⎣⎦=-∆∆ ()0lim +2=2x x ∆→=∆，由条件可知()1=2f ，由点斜式可得，过点P 的切线方程为：22(1)y x -=-，即2y x =．【总结升华】求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率．（2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =．举一反三：【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．【答案】先求2'|x y =：∵22211(2)2+4222(2)x y x x x x x -∆⎛⎫∆=+∆+-=∆+∆+ ⎪+∆+∆⎝⎭，∴142(2)y x x x ∆-=+∆+∆+∆， ∴001115limlim(4)4=2(2)44x x y y x x x ∆→∆→∆-'==+∆+=-∆+∆．再求2|x y =：22119|=25=22x y =++．由点斜式得切线方程：()915--224y x =，即15480x y -+=．【高清课堂：导数的几何意义 385147 例2】例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．【思路点拨】本题要分点(1,1)P 是切点和(1,1)P 不是切点两类进行求解．【解析】第一步：先求导函数．00()()limlimx x f x x f x xy y x ∆→∆→+∆-∆∆'==∆ ()()33322330222()lim3+3+=lim=lim 3+3+3=3x x x x x xxx xx x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆-∆=+∆∆∆∆∆g g g第二步：验证点(1,1)P 是否在曲线上．由于()11f =，所以P 在曲线上．第三步：分类讨论． ①若点P 是切点，则切线的斜率为()'13f =，于是切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-； ②若点P 不是切点，设切点为()()3000,1x x x≠．则切线的斜率为()200'3f x x =，于是切线方程为：320003()y x x x x -=- ．由于切线经过点(1,1)P ，于是有3200013(1)x x x -=-，整理得：()()()()()()32322322200000000000023+1=22++1=221=21+11x x x x x x x x x x x x ()()2000=121x x x ()()200=12+1=0x x ，解得012x =-或01x =（舍去）．所以切线方程是131+(+)842y x =，即3144y x =+．综上所述，所求切线方程为32y x =-或3144y x =+．【思路点拨】求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立；（3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．举一反三：【变式1】已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线．求切线方程．【解析】先求导函数：20()lim33x yf x x x∆→∆'==-∆．再验证：3(2)232=2f =-⨯，所以点(2,2)在函数()f x 图象上．最后讨论：（1）当点(2,2)是切点时，切线的斜率为(2)9f '=，则切线方程为：9160x y --=．（2）当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为3000(,3)x x x -．则切线的斜率为200()33f x x '=-（02x ≠），所以切线方程为()320000(3)=33()y x x x x x ----．代入点(2,2)得：()3200002(3)=33(2)x x x x ----整理得：0432030=+-x x ⇒0)2)(1(200=-+x x ⇒10-=x ，此时切线方程为2=y ．综上所述，所求的切线方程为9160x y --=或2y =．【变式2】已知曲线1y x=．（1）求曲线过点()10A ，的切线方程；（2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【解析】()200()()11'=limlim =x x f x x f x y x x x x x∆→∆→+∆--=-∆+∆ （1）由于点A 不在曲线上，设切点坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线的斜率为21'|=x a y a =-，切线方程为211()y x a a a -=--，将()10A ，代入，得12a =．所以所求的切线方程为44y x =+ ．（2）令2113x -=-，解得x = 所以斜率为13-的切线的切点为⎭或⎛ ⎝⎭．所以所求的切线方程为133y x =-+或133y x =--．【高清课堂：导数的几何意义 385147 例3】【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．【答案】 0(2+)(2)'(2)lim x f x f f x∆→∆=∆ 3230(2)2(2)(2)(282)=lim x x a x b x a a b a x∆→+∆++∆++∆+-+++∆ 20lim 1286()128x a b x x a b ∆→⎡⎤=+++∆+∆=++⎣⎦ 0g(2+)g(2)g '(2)lim x x x ∆→∆=∆220(2)3(2)2(2322)=lim x x x x∆→+∆-+∆+--⨯+∆ 0lim(1)1x x ∆→=+∆= 由条件可知：(2)0f =且'(2)'(2)f g =⇒2,5a b =-=，所以切线l 的方程：2y x =-．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【思路点拨】【解析】()0(2)(2)'2lim t T t T T t∆→+∆=∆ ()0012012015152+57=lim 120=lim 77+120=49t t t tt ∆→∆→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪∆+⎝⎭⎝⎭∆∆ ()()1202=C /min 49T '︒ 表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以()120C /min 49︒ 的速度下降．【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢．举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．【解析】00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆ 220000000011[()()][]2212v t t a t t v t at tv at a t +∆++∆-+=∆=++∆ 2s t ∴=的瞬时速度是02v a +．【变式2】质点按规律()21s t at =+做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）．若质点在 2 s t =时的瞬时速度为8 m / s ，求常数a 的值．【答案】质点 2 s t =时的瞬时速度为()'28s =．∵()222(2)2(2)1214()s s t ―s a t ―a a t a t ∆=+∆=+∆+⨯=∆+∆－， ∴4s a a t t∆=+∆∆． ∴()0'2lim4t s s a t ∆→∆==∆，所以48a =，即a =2．。

高数6导数定义、四算

切线斜率与速度的关系
在物理学中，速度可以看作是位移函数对时间的导数，即切线斜率表示了物体在某一时刻的瞬时速度。
导数定义及表示方法
导数的定义
导数表示函数在某一点的变化率，即函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量增量趋于0时的极限。
导数的表示方法
导数通常用符号f'(x)或y'表示，表示函数f(x)或y=f(x)在x处的导数。同时，导数也可以通过极限公式、导数表或求导法则来计算和表示。
03
导数运算法则的适用条件
在使用导数四则运算法则时，需要注意其适用条件。只有当各个函数在相应点处都可导时，才能使用这些法则进行求导。
拓展延伸：微分概念引入
01
微分的定义
微分是函数改变量的线性部分，即在一个数集中，当一个数靠近时，函数在这个数处的极限被称为函数在该处的微分。微分的中心思想是无穷分割，其中微分是函数改变量的线性部分。
瞬时速度是物体在某一时刻的速度，加速度是速度的变化率。
瞬时速度和加速度是物理学、工程学等领域中重要的概念，对于研究物体运动规律具有重要意义。
边际成本和边际收益问题
01
边际成本是增加一单位产量所带来的成本增量，边际
收益是增加一单位销售量所带来的收益增量。
02
利用导数可以求出企业在不同产量或销售量下的边际
高阶导数是指函数对自变量进行多次求导后得到的导数。
高阶导数可以反映函数更细微的变化特征，如凹凸性、拐点等。
对于一些复杂函数，需要利用高阶导数的计算方法来求解其导数。常用的高阶导数计算方法包括逐次求导法、莱布尼茨公式等。
03 四则运算求导法则
加减运算求导法则
加法运算求导
若函数$u(x)$和$v(x)$在点$x$处可导，则它们的和$u(x) + v(x)$在点$x$处也可导，且$(u + v)'(x) = u'(x) + v'(x)$。

导数的几何意义解析与归纳

导数的几何意义解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在几何学中也有着重要的几何意义。

本文将对导数的几何意义进行解析与归纳，以帮助读者更好地理解这一概念。

1. 导数的定义与几何意义首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限来定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h直观上，这个定义可以理解为函数f(x)在点x处的切线的斜率。

这意味着导数可以描述函数在某一点的变化趋势。

2. 导数与函数的递增与递减性根据导数的定义，我们可以得出以下结论：如果函数f(x)在某个区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，那么函数是递减的。

这是因为导数描述了函数的变化率，正值表示函数在该点上升，负值表示函数在该点下降。

3. 导数与函数的极值点导数还可以帮助我们找到函数的极值点。

如果函数f(x)在某一点x处的导数为零，那么这个点可能是一个极值点。

具体而言，如果导数由正变负，那么这个点是极大值点；如果导数由负变正，那么这个点是极小值点。

这是因为导数为零表示函数的变化率为零，也就是函数在该点存在水平切线，可能对应着极值点。

4. 导数与函数的拐点除了极值点，导数还能帮助我们找到函数的拐点。

拐点是函数曲线由凸变凹或由凹变凸的点。

我们可以通过导数的变化来判断函数的拐点。

如果函数f(x)在某一点x处的导数由正变负或由负变正，那么这个点可能是一个拐点。

5. 导数与函数的图像在坐标平面上，函数的导数可以帮助我们画出函数的图像。

我们可以通过导数的正负性来确定函数曲线的大致形状。

例如，如果导数在某一区间内始终为正，则函数在该区间上是递增的，曲线会向上凸起；如果导数在某一区间内始终为负，则函数在该区间上是递减的，曲线会向下凸起。

同样地，我们还可以根据导数为零或无定义的点来确定函数图像的特殊点，如极值点、拐点等。

导数的概念和几何意义

导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。

它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。

首先，我们来了解导数的概念。

在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。

具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。

这个极限值即为导数。

在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。

具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。

这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。

如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。

以一个简单的例子来说明导数的几何意义。

考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。

这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。

比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。

我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。

通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。

导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。

如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。

如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。

此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。

另外，导数还可以用于判断函数的连续性。

导数的概念及其几何意义教案

导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。

本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。

一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。

具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。

导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。

二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。

对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。

那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。

通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。

切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。

我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。

三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。

下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。

2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。

求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。

3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。

通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。

导数的概念及运算、几何意义

导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)．特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。

导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的几何意义是指函数在一点的导数等于函数图形上对应点的切线斜率。

当函数在某一点取某个值时，函数在该点的切线方向和该点处的法线方向相同，而切线斜率就是法线斜率。

因此，导数的几何意义可以看作是函数在某一点处切线的斜率。

导数的概念来源于微积分中的极值问题。

我们可以使用导数来寻找函数的极值点，特别是寻找函数的零点和极值点。

在求解微积分问题时，导数也是一个常用的工具。

例如，在求解函数的最大值和最小值时，我们可以使用导数来找到函数的极值点，进而求解最大值和最小值。

此外，导数还可以用于求解曲线的最值问题，例如求曲线的最小值或最大值。

总结起来，导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，具有广泛的应用。

在求解微积分问题时，我们应该熟练掌握导数的概念和应用，以便更好地解决问题。

导数概念--公式知识点总结+习题含详细讲解

．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x+∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数的概念几何意义与运算

导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。

对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。

导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。

导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。

二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。

特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。

2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。

导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。

3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。

导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。

三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。

2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。

四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。

二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。

导数的几何意义

导数的几何意义导数是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。

导数的几何意义是指导数在几何学中的解释和应用。

本文将从几何的角度解释导数的意义，并探讨它在几何领域中的应用。

一、导数的定义在探讨导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义。

在微积分中，导数代表了函数在某一点上的变化率。

对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x)或者 dy/dx。

导数的定义是函数在某一点上的极限值，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点上的瞬时变化率。

接下来，我们将从几何的角度来解释导数的几何意义。

二、几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。

具体来说，如果函数 f(x) 在点 P 上的导数为 f'(x)，那么这意味着函数曲线在点 P 上的切线的斜率为 f'(x)。

根据这一几何意义，我们可以得出一些结论。

首先，如果函数在某一点上导数为正，那么函数曲线在该点上是向上的；如果导数为负，曲线则向下。

其次，导数为零的点则代表函数曲线上的极值点，可能是极大值或者极小值。

最后，如果导数不存在，意味着函数曲线在该点上有垂直切线。

三、导数的应用导数的几何意义不仅仅是理论上的解释，它在几何领域中有着广泛的应用。

以下是一些导数的具体应用示例：1. 曲线的切线和法线：通过导数可以得出函数曲线在某点上的切线斜率，从而求得切线方程。

同时，切线的斜率的相反数就是法线的斜率，可以进一步求得法线方程。

2. 极值点与拐点：导数为零的点代表函数曲线上的可能极值点，通过求解导函数为零的方程可以找到极值点。

同时，通过导数的变化情况可以判断函数曲线上的拐点。

3. 函数图形的草图绘制：通过分析导数的正负和零点，可以画出函数图形的大致形态，包括增减性、极值和拐点等信息。

4. 空间曲面的切平面：对于二元函数，通过求偏导数可以得到切平面的方程，从而进一步研究空间曲面的性质。

导数的概念及导数的几何意义

导数的概念及导数的几何意义The final edition was revised on December 14th, 2020.导数的概念及导数的几何意义一．知识梳理1、导数的概念及意义求函数()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率=∆∆xy ；（3）取极限，得导数y '= . 特别提醒：)(0/x f 的定义式并不唯一，=')(0x f 0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，也可以写成00000)()(lim ,)()(lim 0x x x f x f x x x f x f x x x --∆∆--→→∆等形式. 特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别与联系曲线)(:x f y C =在点（x 0，y 0）处的导数的几何意义是)(x f 在该点处的切线的，即=k .切线方程为 . 物理意义:设物体运动规律是),(t s s =则表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度；设)(t v v =是速度函数，则表示物体在t =t 0时刻的加速度.2.常用导数公式3.导数的运算法则 .例1.用导数的定义求函数2231y x x =+-在3x =处的导数. 例2.求下列函数的导数：（1）31sin 3y x x =+- ；（2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan = ；（4）x e y x ln = （5）1xe y x =+ 例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.巩固练习1.知,)(2x x f -=则xf x f x ∆-∆+→∆)3()3(lim 0的值是________． 2.函数3x y =在1=x 处的导数为_______;3.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a ________．4.若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则直线l 的方程为________．5.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为________． 6.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是221+=x y ,)1()1(/f f += . 7. 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ． 8.已知函数.ln x x y =（1）求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.5. 求双曲线1y x =过点1(2,)2的切线方程。

导数的概念及其几何意义

注意:这里的增量不是一般意义上的增量它可正也可负注意这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负这里的增量不是一般意义上的增量它可正也可负. 自变量的增量∆x的形式是多样的但不论∆x选择的形式是多样的,但不论自变量的增量的形式是多样的但不论选择哪种形式, 也必须选择与之相对应的形式. 哪种形式 ∆y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式
4.导数的几何意义导数的几何意义
在点x 函数 y=f(x)在点 0处的导数的几何意义，就是曲在点处的导数的几何意义，在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，线 y=f(x)在点在点处的切线的斜率即曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ′( x0 ). 在点故曲线y=f(x)在点曲线在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是处的切线方程是: 在点处的切线方程是
导数的概念及其几何意义
一、导数的概念定义：设函数在点x 定义：设函数y=f(x)在点 0处及其在点附近有定义,当自变量在点x 当自变量x在点附近有定义当自变量在点 0处有改变量Δ 时函数有相应的改变量变量Δx时函数有相应的改变量如果当Δ → Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx→0 如果当的极限存在,这个极限就叫时,Δy/Δx的极限存在这个极限就叫 Δ Δ 的极限存在做函数f(x)在点 0处的导数或变化率) 在点x 或变化率做函数在点处的导数(或变化记作 f ′( x )或y′ | , 即:
2
求函数y = x 在点(−2, 4)处的切线.
2
例3求函数y = x 在x0 = 1处的切线.
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导数的定义和几何意义

导数的定义和几何意义一、定义的理解1．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。

注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

③xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ∆，)(00x x f ∆+）的割线斜率。

④导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。

2. 函数)(x f 在0x x =处的导数)('0x f 的几何意义：曲线)(:x f y C =在其上点0(x P ，)0y 处的切线的斜率。

注：①用导数研究切线问题，切点是关键（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。

②注意区分“求曲线)(x f y =上过点M 的切线”与“求曲线)(x f y =上在点M 处的切线”；前者只要求切线过M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M 点。

3. （1）几种常见的函数导数：①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）；③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= .（2）求导数的四则运算法则：()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u'-'=' 4. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ϕϕ'∙'=' 或 '∙'='x u x u y y二、典例选讲：（1）定义的应用1、若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/22、设函数)(x f 在任何处可求导且0000(2)()lim2,()x f x x f x f x x ∆→+∆-'==∆则 ( ) A ．0 B ．21 C ． 1 D ．2 3、设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC ∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）。