2020版新高考二轮复习理科数学教学案：第三部分第2讲 数列
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第2讲 数列
■真题调研——————————————
【例1】 [2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.
(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．
解：(1)由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝1
2(a n ＋b n )．
又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为1
2的等比数列．
由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8, 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.
又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，a n ＋b n ＝1
2n －1，a n －b n ＝2n －1.
所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －1
2， b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.
【例2】 [2019·江苏卷]定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．
(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M －数列”；
(2)已知数列{b n }(n ∈N *
)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n
－2
b n ＋1，其中S n 为数
列{b n }的前n 项和．
①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数．若存在“M －数列”{c n }(n ∈N *)，对任意正整
数k ，当k ≤m 时，都有c k ≤b k ≤c k ＋1成立，求m 的最大值．
解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 21q 4＝a 1q 4，
a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，q ＝2.
因此数列{a n }为“M －数列”． (2)①因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.
由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2
b 2
，则b 2＝2.
由1S n ＝2b n －2
b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )，
当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1， 得b n ＝b n b n ＋12(b n ＋1－b n )－b n －1b n
2(b n －b n －1)，
整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *)． ②由①知，b k ＝k ，k ∈N *. 因为数列{c n }为“M －数列”， 设公比为q ，所以c 1＝1，q >0.
因为c k ≤b k ≤c k ＋1，所以q k －1≤k ≤q k ，其中k ＝1,2,3，…，m . 当k ＝1时，有q ≥1；
当k ＝2,3，…，m 时，有ln k k ≤ln q ≤ln k
k －1.
设f (x )＝ln x
x (x >1)，则f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.列表如下：
x (1，e) e (e ，＋∞)
f ′(x ) ＋
0 －
f (x )
极大值
因为ln22＝ln86 3. 取q ＝3 3，当k ＝1,2,3,4,5时，ln k k ≤ln q ，即k ≤q k ，经检验知q k －1 ≤k 也成立． 因此所求m 的最大值不小于5. 若m ≥6，分别取k ＝3,6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243， 且q 15≤216，所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5. 【例3】 [2019·天津卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，2k ， 其中k ∈N *. ①求数列的通项公式； ②求 ． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依 题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3， q ＝2， 故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1， b n ＝6×2n －1＝3×2n . 所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n . (2)① ＝(3×2n ＋1)(3×2n －1)＝9×4n － 1.