在切线上任意一点测设曲线的方法
实习四切线支距法圆曲线详细测设
实习四 圆曲线详细测设——切线支距法一、实习目的及要求1. 学会用切线支距法详细测设圆曲线。
2. 掌握切线支距法测设数据的计算及测设过程。
二、仪器设备与工具1. 由仪器室借领：经纬仪1台、皮尺1把、小目标架3根、测钎若干个、方向架1个、记录板1块。
2. 自备：计算器、铅笔、小刀、记录计算用纸。
三、实习方法与步骤1．切线支距法原理：切线支距法是以曲线起点YZ 或终点ZY 为坐标原点，以切线为X 轴，以过原点的半径为Y 轴，根据曲线上各点的坐标（X ，Y ）进行测设，故又称直角坐标法。
如图9-1所示，设P 1、P 2…为曲线上的待测点，l i 为它们的桩距（弧长），其所对的圆心角为i ϕ，由图可以看出测设元素可由下式计算 ：式中：2. 测设方法（1）在实习前首先按照本次实习所给的数据计算出所需测设数据。
（2）根据所算出的圆曲线主点里程测设圆曲线主点。
（3）将经纬仪置于圆曲线起点(或终点)，标定出切线方向，也可以用花杆标定切线方向。
（4）根据各里程桩点的横坐标用皮尺从曲线起点(或终点)沿切线方向量取x 1、x 2、x 3……，得各点垂足，并用测钎标记之，如图4-1所示。
（5）在各垂足点用方向架标定垂线，并沿此垂线方向分别量出y 1、y 2、y 3……，即定出曲线上P 1、P 2、P 3……各桩点，并用测钎标记其位置。
sin (1cos )x R y R ϕϕ==-180l R ϕπ︒=⋅图4-1 切线支距法测设原理（6）从曲线的起(终)点分别向曲线中点测设，测设完毕后，用丈量所定各点间弦长来校核其位置是否正确。
也可用弦线偏距法进行校核。
五、实习数据已知：圆曲线的半径R =100 m，JD2的里程为K4 +296.67，桩距l =10 m，按切线支距整桩距法设桩，试计算各桩点的坐标(x，y)，并详细测设此圆曲线（转角视实习场地现场测定）。
切线支距法详细测设圆曲线数据记录表日期：班级：组别：观测者：记录者：交点号交点里程转角观测结果盘位目标水平度盘读数半测回右角值右角转角盘左盘右曲线元素R(半径)= T(切线长) =E(外距)=α (转角) = L(曲线长)= D(切曲差)=主点桩号ZY 桩号： QZ 桩号： YZ桩号:各中桩的测设数据桩号曲线长x y 备注略图：计算：检核：。
工程测量线路曲线设计方法
工程测量线路曲线设计方法
工程测量线路曲线设计方法指的是工程测量中用于设计和布置线路曲线的方法。
线路曲线是指在工程设计中为了满足道路或铁路等交通工程要求而设计和布置的曲线段。
主要的设计方法包括以下几种：
1. 几何设计法：根据设计要求和条件，通过几何图形的分析和计算，确定线路曲线的基本参数，例如曲率、超高等。
2. 曲线参数法：根据设计要求和条件，通过确定线路曲线的关键参数，例如曲率半径和缓和长等，然后根据这些参数进行曲线设计。
3. 等分弧长法：将曲线段分成若干等分弧段，在每个弧段上采取相同的曲率，并根据各弧段之间的关系确定曲线的基本参数。
4. 平差法：根据线路曲线的几何条件和对称性条件，通过数学平差的方法确定曲线的基本参数。
5. 数值拟合法：利用数学函数拟合的方法，根据给定的曲线形状和条件，确定曲线的基本参数。
在具体的工程测量中，根据测量要求和条件，可以选择以上任意一种或多种方法进行线路曲线的设计。
设计完成后，还需要进行实地勘测和详细的测量，以确保设计的曲线满足工程要求。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
圆曲线测设
圆曲线测设1. 引言圆曲线是道路、铁路和运动赛道等曲线的基本类型之一。
在工程测量中，圆曲线的测设是非常重要的一项任务。
圆曲线测设的目的是确定曲线的半径、切线长以及缓和曲线的相对位置，以确保道路设计的安全性和顺畅性。
本文将介绍圆曲线测设的基本原理、测量方法以及注意事项。
2. 圆曲线测设的基本原理圆曲线测设是基于圆曲线的几何性质进行的。
根据圆曲线的定义，任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆曲线的半径。
圆曲线还具有切线的概念，即曲线上每一点的切线方向都与该点的切线相切。
在圆曲线测设中，测量人员通过测量切线长、切线与缓和曲线的交点等信息来确定圆曲线的位置和参数。
3. 圆曲线测设的测量方法圆曲线测设通常使用电子测量设备进行。
下面介绍主要的测量步骤：3.1 设置测量起点测量起点是圆曲线的起始位置，通常选择在道路或铁路的直线段上。
测量人员使用测量杆、经纬仪或全站仪等设备准确记录起点位置的坐标。
3.2 测量切线长测量人员沿着直线段逐步前进，使用测量杆或激光测距仪测量每一段切线的长度。
切线长是圆曲线测设的重要参数之一。
3.3 确定切线与缓和曲线的交点切线与缓和曲线的交点确定了曲线的位置。
测量人员继续测量切线的长度，直到切线与缓和曲线相交。
使用全站仪或经纬仪测量交点的坐标，以确定圆曲线的位置。
3.4 计算圆曲线参数根据测得的切线长和切线与缓和曲线的交点，可以计算出圆曲线的半径、切线坡度等参数。
常用的计算方法有各种数学公式和计算软件，如CAD软件、测绘软件等。
4. 圆曲线测设的注意事项在进行圆曲线测设时，需要注意以下几点：4.1 测量精度圆曲线测设需要高精度的测量数据，因此必须使用精密的测量设备，并进行合理的校准和误差补偿。
4.2 安全措施在进行圆曲线测设时，要注意交通安全和工作人员的安全。
必要时应设置警示标志，避免发生交通事故。
4.3 数据处理测量得到的数据需要经过严格的处理和分析。
对于测量误差进行合理的处理，避免对工程设计和施工产生不良影响。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：一、曲线切线概述二、求曲线切线的方法1.直角三角形法2.切线斜率法3.导数法三、实例分析四、曲线切线的应用五、总结与展望正文：一、曲线切线概述曲线切线是指在曲线上的某一点，与该点处曲线相切的直线。
在数学、物理等领域中，求曲线切线有着广泛的应用。
掌握曲线切线的求法，有助于我们更好地理解和分析曲线性质，为后续研究打下基础。
二、求曲线切线的方法1.直角三角形法直角三角形法求曲线切线的基本思路是：在曲线上的某一点作一条垂直于该点处曲线的直线，与曲线交于另外两点，构成一个直角三角形。
根据直角三角形的性质，可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
2.切线斜率法切线斜率法是指在曲线上的某一点，通过计算曲率来求得切线斜率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个指标，其数值越大，曲线的弯曲程度越大。
根据曲率可以求得切线斜率，进而得到切线方程。
3.导数法导数法是指利用曲线在某一点的导数值来求得切线斜率。
导数表示曲线在该点处的切线斜率，因此可以直接作为切线斜率的近似值。
求得切线斜率后，可以得到切线方程。
三、实例分析以抛物线为例，设抛物线方程为y = ax^2 + bx + c。
在抛物线上任取一点（x0，y0），求该点的切线方程。
首先，求抛物线在点（x0，y0）处的导数：y" = 2ax + b然后，将x0代入导数公式，得到切线斜率：k = y"(x0) = 2ax0 + b最后，根据切线斜率和点（x0，y0）可以求得切线方程：y - y0 = k(x - x0)四、曲线切线的应用曲线切线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如求解曲线与坐标轴的交点、计算曲线长度、求解曲线的曲率等。
在实际问题中，掌握曲线切线的求法有助于解决许多实际问题。
五、总结与展望本文介绍了曲线切线的概念，以及求曲线切线的直角三角形法、切线斜率法和导数法。
通过实例分析，了解了如何在抛物线上求切线方程。
曲线切线在实际问题中具有广泛的应用，值得我们深入研究。
圆曲线(偏角法,切线支距法,极坐标法
圆曲线(偏角法,切线支距法,极坐标法一、圆曲线测量方法（一）偏角法1. 原理- 偏角法是以曲线起点（或终点）至曲线上任一点的弦线与切线之间的弦切角（偏角）和弦长来确定待放点的位置。
- 设圆曲线半径为R，弧长为l，对应的圆心角为φ（弧度制），则φ=(l)/(R)。
偏角δ=(φ)/(2)（因为弦切角等于圆心角的一半）。
2. 计算步骤- 首先计算圆曲线的要素，如切线长T = Rtan(α)/(2)（α为圆曲线的转角），曲线长L = Rα（α为弧度制），外矢距E = R(sec(α)/(2)-1)。
- 然后将曲线按一定的弧长l进行分段（一般为等分段），计算每段弧长对应的偏角δ_i。
- 对于第i段弧长l_i，偏角δ_i=(l_i)/(2R)（弧度制），换算为度分秒形式方便测量。
- 根据起点（或终点）的切线方向，依次拨出偏角δ_i，并量取相应的弦长c_i = 2Rsinδ_i，从而确定曲线上各点的位置。
（二）切线支距法1. 原理- 切线支距法是以曲线起点（或终点）为坐标原点，以切线为x轴，过原点的半径为y轴，建立直角坐标系。
曲线上任一点P的位置用坐标(x,y)表示，根据圆曲线的方程来计算坐标值。
- 圆曲线的方程为y = R(1 - cosφ)，x = Rsinφ，其中φ为圆心角（从起点到该点所对应的圆心角）。
2. 计算步骤- 同样先计算圆曲线的要素。
- 将曲线按一定的圆心角Δφ进行分段（一般为等分段）。
- 对于第i段圆心角φ_i = iΔφ，计算该点的坐标x_i = Rsinφ_i，y_i = R(1 - cosφ_i)。
- 根据计算出的坐标值，从原点沿切线方向量取x值，再垂直于切线方向量取y 值，从而确定曲线上各点的位置。
（三）极坐标法1. 原理- 极坐标法是在已知控制点的基础上，以控制点为极点，以某一方向为极轴，通过测量待定点相对于极点的极径ρ和极角θ来确定待定点的位置。
- 在圆曲线测量中，一般以曲线起点（或终点）附近的控制点为极点，以切线方向为极轴方向。
实训五缓和曲线的测设
缓和曲线的测设（切线支距法）
一、目的和要求 1、掌握缓和曲线测设数据的计算方法； 2、练习在野外用切线支距法测设缓和曲线的方法与步骤； 二、任务 ° 用切线支距法测设缓和曲线。α =15 45’，R=200m，l0=40m，JD=2+451.23。 三、仪器和工具 1．每 4-5 人一组； 2．每组配备 DJ6 级光学经纬仪 1 台，钢尺 1 把，测针 1 组。 四、方法和步骤 （一）数据准备 1、计算缓和曲线的要素： JD
ZH
YH
BHale Waihona Puke A HY y A y0 yB
JD
α
X
m
xA
xo xB
Y
图
测量坐标系建立示意图
y'
α R
B
x'
β
0
m
C
HZ
β
0
l 02 6R
α
X'
C
C
Y'
1、主点的测设 （1）在 JD 安置仪器，选定 A 点使 JD-A 为 T’，得到 ZH 点，后视 ZH 点正倒镜测设 180+α 角，定出 直线 JD-C，使距离约为 T’得到 HZ，测设（180-α ）/2，并丈量出 E’得到 QZ， （2）测设 HY、YH 两点的方法 --直角坐标法：测设元素为 x0，y0； 2、测设缓和曲线上的细部点： 在 ZH（或 HZ）上安置仪器，用直角坐标法测设细部点，直到 HY 或（YH）并进行检核；
测设数据的计算表
点号 桩号（里程） li φ xi yi
样表 点号 ZH 1 2 3 4 HY 5 6 7 QZ 桩号（里程） 3380.22 3400.00 3420.00 3440.00 3450.00 3440.22 3460.00 3480.00 3500.00 3516.02 li 0 19.78 39.78 59.78 69.78 60.00 19.78 39.78 59.78 75.80 7.075 9.5943 12.5137 15.0918 φ xi 0 19.78 39.78 59.75 69.71 59.97 79.65 99.43 119.03 134.57 yi 0 0.05 0.44 1.48 2.36 1.50 3.47 6.45 10.41 14.29
曲线测设实验-参考步骤
曲线测设实验曲线测设是《工程测量学》课程中的一次重要野外教学实习，其目的是通过对带有缓和曲线的圆曲线主点及细部的现场测设，让学生掌握曲线计算和测设的全过程。
曲线放样方法可以是偏角法、切线支距法，也可以是极坐标法和自由设站法，前两种方法是在只有经纬仪测角和钢尺量距的条件下，将经纬仪架设在特定点上，利用曲线与切线的相对位置关系，通过查表得到放样的角度和距离，按要求进行后视、拨角和量距，在实地放样出曲线上的点，这两种法已逐渐消亡并被极坐标法、自由设站法和GNSS-RTK 所取代。
下面主要以极坐标法和自由设站法进行曲线测设实验。
1 基本要求本次实习主要采用极坐标法和自由设站法，要求学生掌握带缓和曲线的圆曲线主点及加密点坐标的计算，掌握极坐标法和自由设站法进行曲线测设的步骤。
时间安排为课堂2个学时，老师讲解0.5个学时，学生准备数据和上机计算1.5个学时；室外实习4-6个学时， 4-5人一个小组，在校内开阔地进行。
仪器工具：全站仪一台，掌上电脑一台，通讯电缆一根，对中杆、棱镜三套，测伞 一把，钢尺一把。
软件：要求全站仪上带有极坐标法和自由设站法测量放样程序；为掌上电脑提供带缓和曲线的铁路曲线计算程序、极坐标测量放样程序和自由设站程序；并提供算例一个。
题目和要求：某一铁路曲线交点JD 的里程为DK8+667.36，偏角α右为'2602 ，曲线半径R 等于200m ，缓和曲线长度 300=l m 。
要求在假定坐标系计算缓和曲线上每5m ，圆曲线上每10m 的曲线点坐标，在整百米处加设百米桩的坐标。
并分别以极坐标法与自由设站法测设该曲线。
实习内容：根据已知铁路曲线的线路前进方向、曲线转角α、交点（JD ）里程、圆曲线半径R 、缓和曲线长l 0 ，以及直缓点（ZH ）为原点，以切线为x 轴，建立局部坐标系，计算曲线综合要素、缓和曲线参数，计算交点、缓直点（HZ ）和主点的坐标；给定中桩与边桩的间距（如20m ）和中桩的间距（如5m 、10m ），从直缓点或缓直点起，每隔5m 米计算中桩、左右边桩的设计坐标。
高中数学解曲线切线问题解题技巧
高中数学解曲线切线问题解题技巧在高中数学中，曲线切线问题是一个常见的考点，也是数学解题中的一大难点。
解曲线切线问题需要掌握一定的解题技巧，下面我将为大家介绍一些常见的解题方法和技巧。
一、求曲线切线的斜率要求曲线在某一点的切线斜率，首先需要求出该点的导数。
导数表示了曲线在某一点的变化率，也就是切线的斜率。
例如，求曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率。
首先，我们需要求出曲线$y=x^2$的导函数。
根据求导法则，$y'=2x$。
然后，将$x=2$代入导函数中，得到$y'=2\times2=4$。
所以曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4。
二、求曲线切线的方程已知切线斜率后，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求出曲线切线的方程。
1. 利用点斜式点斜式是求直线方程的一种常用方法，它利用直线上一点和直线的斜率来表示直线方程。
例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用点斜式求出切线的方程。
根据点斜式，切线的方程为$y-4=4(x-2)$，化简得$y=4x-4$。
2. 利用斜截式斜截式是求直线方程的另一种常用方法，它利用直线的斜率和截距来表示直线方程。
例如，已知曲线$y=x^2$在点$(2,4)$处的切线斜率为4，我们可以利用斜截式求出切线的方程。
根据斜截式，切线的方程为$y=4x+b$，其中$b$为截距。
将点$(2,4)$代入方程，得到$4=4\times2+b$，解方程得到$b=-4$。
所以切线的方程为$y=4x-4$。
三、举一反三掌握了求曲线切线的斜率和方程的方法后，我们可以通过举一反三的方法拓展解题技巧。
举例来说，已知曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率为3，我们可以利用之前的方法求出切线的方程为$y=3x-2$。
然后，我们可以进一步求出曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线与曲线的交点。
将切线方程$y=3x-2$代入曲线方程$y=x^3$中，得到$x^3=3x-2$。
利用切线支距法测设非对称型平曲线
利用切线支距法测设非对称型平曲线摘要：该文结合工程实例演示了用切线支距法测设非对称型缓和曲线的公式推导与坐标计算过程。
关键词：公路?平曲线?切线支距法?敷设公路平面线形由直线、圆曲线以及缓和曲线三种要素组成，基本的平曲线线型组合是缓和曲线+标准圆曲线+缓和曲线，曲线两端的缓和曲线通常参数相同，整个曲线以过QZ点的半径呈对称布置，基本型缓和曲线的计算和敷设相对简单，在实际应用中较为普遍。
但在公路改建施工中，由于受地理条件、周围环境和旧路线形的限制，往往会大量应用非对称型缓和曲线。
非对称型缓和曲线的计算较为复杂，在一般资料中有关这方面的内容介绍很少，且所述方法不够直观。
该文结合工程实例就此利用切线支距法进行计算阐述。
1 概况省道S263线某路段进行路面改建，设计线形需与旧路拟合，在某交点处设置非对称复合曲线。
已知参数为：交点桩号为K7+932.560，半径R=772.976?m，转角α=14?°57′17.5″（本例所涉及角度均以弧度计算：0.261011566），第一缓和曲线长度L1=60?m，第二缓和曲线长度L2=70?m。
根据施工条件，拟采用切线支距法对该曲线进行实地放样。
切线支距法的支距计算是以曲线的起、终点为坐标原点，切线方向为x轴，过原点垂直于切线的方向为y轴。
切线支距法的实质是以路线切线（直线段）为基线，在该基线上（或其延长线上）的某一点处（x值控制）向外偏移某一距离（y值控制），从而定确定曲线上某一桩号的实地位置。
使用切线支距法进行中桩放样操作快捷，工作效率高，是勘测设计外业工作中的首选。
2 计算原理及公式公路设计中通常采用回旋曲线做为缓和曲线，其性质满足ρL=C，C为常量，称之为回旋参数。
如图1所示，曲线由两段缓和曲线L1和L2及半径为R的标准圆曲线Lc组成。
由于L1≠L2，因此两段缓和曲线终点处的圆曲线的内移值不相等，此时的圆心O已经不在内夹角的平分线上，圆曲线部分相对于切线是不对称的。
如何进行曲线测量
如何进行曲线测量曲线测量是一项重要的技术，在多个领域都有着广泛的应用。
通过测量曲线的形态和参数，我们可以获得很多有用的信息，从而帮助我们进行科学研究、工程设计和质量控制等方面的工作。
本文将介绍曲线测量的基本原理、常用方法以及一些注意事项。
一、曲线测量的基本原理曲线测量是通过对曲线上的一系列点进行测量，然后根据这些测量数据对曲线进行分析和描述。
在进行曲线测量时，我们需要确定曲线上的点的坐标，通常使用坐标测量仪器或全站仪进行测量。
然后，我们可以根据测量数据通过数学模型来拟合曲线，进而求取曲线的各种参数。
二、常用的曲线测量方法1. 直接法直接法是最简单的曲线测量方法之一，它通过使用测量仪器在曲线上的若干点进行测量，然后将这些点连接起来形成曲线。
直接法适用于简单的曲线或少量曲线点的情况，但对于复杂的曲线，直接法往往不能满足要求。
2. 插点法插点法是一种通过在曲线上插入若干虚拟点，然后使用测量仪器进行测量的方法。
通过插入更多的点，我们可以获得更多的测量数据，从而提高曲线的测量精度。
插点法适用于复杂曲线的测量，但需要消耗更多的时间和精力。
3. 数学模型法数学模型法是曲线测量中最常用的方法之一，它通过使用数学模型来对曲线进行拟合和描述。
常用的数学模型包括多项式模型、曲线方程等。
数学模型法适用于复杂曲线的测量和分析，可以根据测量数据精确地求取曲线的各种参数。
三、曲线测量的注意事项1. 测量精度曲线测量的精度是保证测量结果准确性的关键。
要提高测量精度，我们需要选择适当的测量仪器和测量方法，并严格控制测量过程中的误差。
在实际操作中，我们可以使用多次测量和重复测量的方法来提高测量精度。
2. 数据处理曲线测量的数据处理是非常重要的，它决定了测量结果的可靠性和有效性。
在进行数据处理时，我们需要注意去除异常值、平滑数据、求取曲线参数等。
同时，为了提高数据处理的效率和准确性，我们可以使用计算机软件进行辅助处理。
3. 环境因素在进行曲线测量时，环境因素对测量结果会产生一定的影响。
测量曲线的常见方法
测量曲线的常见方法
测量曲线是在科学研究和工程领域中广泛应用的一种技术手段。
通过测量曲线，我们可以获取数据点并进一步分析曲线的性质和特征。
以下是一些常见的测量曲线的方法：
1. 直尺法：直尺法是一种简单但有效的测量曲线方法。
通过将一根直尺或直线
放置在曲线上，我们可以记录直尺与曲线的交点，然后用直尺连接这些点来近似描述曲线。
这种方法适用于一些简单的曲线，例如直线、抛物线等。
2. 特定高度法：特定高度法是通过在曲线上选择一些特定的高度水平来测量曲
线的方法。
具体来说，我们可以选择一些固定的高度水平，并记录它们与曲线的交点。
这些交点之间的连线将近似描述曲线的形状。
这种方法适用于具有明显特征的曲线，如山脉轮廓等。
3. 比例法：比例法是一种通过设置适当的比例尺来测量曲线的方法。
在比例法中，我们首先选择几个数据点并确定它们的横纵坐标数值。
然后，我们设置合适的比例尺，将这些数据点转化为曲线上的点。
通过连接这些点，我们可以近似地绘制整个曲线。
4. 数字测量法：数字测量法是一种使用数学工具和测量设备来准确测量曲线的
方法。
其中包括使用激光测距仪、传感器、测量仪器等来获取曲线上的各个数据点，并用这些点来构建曲线。
数字测量法适用于需要高精度测量的曲线，例如地形测量、工程设计等领域。
总的来说，测量曲线的方法多种多样，选择适用的方法需要考虑曲线的特征、
准确度要求和可用的设备。
无论采用哪种方法，都需要仔细记录数据点并准确描绘曲线，以保证测量结果的可靠性和准确性。
高等数学中的曲线的切线与法线解析
高等数学中的曲线的切线与法线解析引言：在高等数学中，曲线的切线与法线是一个重要的概念。
曲线的切线是指与曲线相切于一点的直线，而法线是与切线垂直的直线。
这两个概念在微积分中有着广泛的应用，可以帮助我们理解曲线的性质和求解问题。
本文将从曲线的切线与法线的定义开始，逐步展开，深入探讨其解析方法和应用。
一、曲线的切线解析1.1 切线的定义曲线的切线是指与曲线在某一点相切的直线。
在数学中，我们通常使用导数来求解曲线的切线。
设曲线的方程为y=f(x)，若曲线上一点(x0,y0)处的导数存在，则该导数即为曲线在该点的切线斜率。
因此，曲线的切线方程可以表示为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x0)表示曲线在点(x0,y0)处的导数。
1.2 求解切线的步骤（1）确定曲线上一点(x0,y0)；（2）计算曲线在该点处的导数f'(x0)；（3）代入切线方程的点坐标和斜率，得到切线方程。
1.3 实例分析以抛物线y=x^2为例，求解曲线在点(1,1)处的切线方程。
（1）确定曲线上一点(x0,y0)：(1,1)；（2）计算曲线在该点处的导数f'(x0)：f'(x)=2x，代入x=1，得到f'(1)=2；（3）代入切线方程的点坐标和斜率，得到切线方程：y-1=2(x-1)，化简得到y=2x-1。
二、曲线的法线解析2.1 法线的定义曲线的法线是与切线垂直的直线。
与切线不同，求解曲线的法线需要使用切线的斜率的倒数。
设曲线的方程为y=f(x)，若曲线上一点(x0,y0)处的导数存在且不为0，则该导数的倒数即为曲线在该点的法线斜率。
因此，曲线的法线方程可以表示为y-y0=-1/f'(x0)(x-x0)，其中f'(x0)表示曲线在点(x0,y0)处的导数。
2.2 求解法线的步骤（1）确定曲线上一点(x0,y0)；（2）计算曲线在该点处的导数f'(x0)；（3）计算导数的倒数-1/f'(x0)；（4）代入法线方程的点坐标和斜率，得到法线方程。
双曲线 抛物线切线的尺规作法
双曲线抛物线切线的尺规作法
双曲线及抛物线是几何学中常见的几何曲线，可以用来描述有限的几何特征。
它们的切线尺规作法可以在许多场合中使用，以提供准确的结果。
在本文中，我们将探讨双曲线和抛物线的切线尺规作法，以及如何利用它们来解决几何问题。
切线尺规作法是几何学技术中最常用的，用来求取一条曲线上任意两点之间的几何特征。
一般情况下，对于一条双曲线或抛物线，其几何特征可以由一条直线描述，称为切线。
这种工具有助于确定曲线曲率的变化，以及曲线的空间位置信息。
首先，要在双曲线或抛物线上确定切线，需要先确定曲线的几何特性，包括曲线的焦点、离心率和弯曲度。
然后，通过基元方程计算出曲线的几何参数，这些参数可以用来确定切线的方向、长度和其它属性。
一旦把这一切准备就绪，使用尺规可以确定两个点间的几何特征。
使用尺规作绘制双曲线或抛物线切线的过程如下：1、准备尺规，在尺规上标出两个点的坐标；2、用尺规寻找切线的方向，以及在曲线上的分布；3、标记出切线的坐标；4、绘制出双曲线或抛物线切线的结构图。
双曲线抛物线切线的尺规作法为几何学研究者提供了强大的工具，可以用来求解有限几何问题，而不必进行繁琐的计算。
在科学研究和工程应用中，双曲线抛物线切线的尺规作法都可以证明很有用，从而提高科学研究的精确度和准确性。
总之，双曲线抛物线切线的尺规作法是现今几何学技术中一项重要的研究，它在很多科学和工程领域中都得到了广泛应用，为解决几何问题提供了一种简易、有效的方法。
它的研究将有助于更多的学者进行更全面的几何学研究，以拓宽知识面，增强几何思维能力。
利用切线支距法测设非对称型平曲线
利用切线支距法测设非对称型平曲线非对称型平曲线是一种自然地形或人工地形，它不具有对称性，而是沿着一条曲线有较大的变化。
在建设道路、管道、铁路、水利等工程时，需要对非对称型平曲线进行测量。
本文将讨论利用切线支距法测设非对称型平曲线的方法、步骤及注意事项。
一、切线支距法测设非对称型平曲线的原理切线支距法是利用实测数据计算出各点处曲线的切线倾角和弯矩，最后推算出各点的高程值。
该方法将曲线近似为若干条等距离线段的连续整体，将曲线上任意一点处的曲率半径表示为其斜率之倒数。
根据平面几何的相关公式求出曲线上任意一点处的切线倾角。
最终利用解析公式把曲线的横截面轮廓用多项式函数来表示，得到曲线的高程等参数。
二、切线支距法测设非对称型平曲线的步骤1. 建立原始数据。
依据现场实测数据，建立起“距离-X”、“到中线的偏差-Y”，及该点对称轴的坡度变化值的“曲率-C”三个序列。
2. 计算弯矩值。
由原始数据中的距离和偏差，利用微积分计算得到当前段弯矩值。
3. 拟合函数。
根据得到的曲率和弯矩值，采用最小二乘法，建立各个点的拟合函数，进行各点的弯矩值的计算。
4. 计算切线倾角。
如果该段曲线形态已知，则可以根据已知的形态参数计算出切线角。
如果曲线形态未知，则需要根据拟合函数计算出弯矩值以进行切线角计算。
5. 推算高程值。
最后根据多项式式提取能得出每个点的高程值。
三、切线支距法测设非对称型平曲线的注意事项1. 周围环境：在测设非对称型平曲线时，需要注意周围环境是否干扰测量结果，应选择平坦的场地并及时清除障碍。
2. 测量仪器：选择准确、精确、稳定、易于操作的测量仪器进行测量，保证数据精确性和可靠性。
3. 测量过程：在测量过程中必须采用严格的步骤，确保各项数据的准确性和一致性。
4. 数据处理：数据处理要准确、快捷、简便，并采取科学、合理的处理方法，以保证数据的可靠性，避免人为错误的出现。
5. 算法应用：测量数据按照步骤进行处理，根据各种公式和计算方法进行算法应用，以便得到正确的结果。
重要曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法[整理版]
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缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。
重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。
§ 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。
（一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey)分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey)1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。
2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量(center line survey) 、测纵断面图(profile) 、横断面图(cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：1.曲线切线的基本概念2.求曲线切线的方法3.实例演示与应用正文：在数学和工程领域中，曲线切线是一个重要的概念。
切线是指在曲线上某一点，与该点处曲率相同的直线。
求曲线切线的方法有很多，本文将介绍几种常见的方法，并通过实例进行演示。
一、曲线切线的基本概念曲线切线是为了描述曲线在某一点处的局部性质而引入的概念。
在平面上，给定一条曲线C，设点P为曲线C上任意一点，点Q为曲线C上与点P 相邻的另一点，那么连接PQ的直线称为曲线C在点P处的切线。
切线的斜率等于曲线在点P处的曲率。
二、求曲线切线的方法1.斜率法求曲线切线的第一种方法是利用曲线在某一点的斜率。
对于一曲线上某点P（x，y），我们可以通过求该点前后相邻两点的斜率来得到切线的斜率。
斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，m为切线斜率，(x1, y1)和(x2, y2)为曲线上的两点。
2.导数法求曲线切线的另一种方法是利用曲线的导数。
对于一曲线的方程y =f(x)，我们可以求其在某一点处的导数，得到切线的斜率。
导数公式为：m = dy/dx |_(x=a)其中，m为切线斜率，a为曲线上的某一点。
3.切线方程法已知曲线方程y = f(x)，我们可以求出曲线在任意一点处的切线方程。
切线方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1, y1)为曲线上的某一点，m为切线斜率。
三、实例演示与应用1.实例一：求圆的切线已知圆的方程为x + y = r，其中r为半径。
设圆上两点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，求AB的切线方程。
解：首先求两点间的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
2.实例二：求椭圆的切线已知椭圆的方程为x/a + y/b = 1，求椭圆上某点的切线方程。
解：求椭圆在点P处的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
总之，求曲线切线的方法有很多，如斜率法、导数法和切线方程法等。
测量曲线形状的使用教程
测量曲线形状的使用教程曲线形状是数学中的一个重要概念，它存在于各个科学领域中。
测量曲线形状有助于我们理解和分析数据，从而做出更准确的预测和判断。
本文将介绍如何正确地测量曲线形状，并给出一些实用的技巧。
无论您是在学校学习，还是在科研中研究曲线形状，这些方法都会对您有所帮助。
首先，为了能够正确地测量曲线形状，我们需要选择合适的曲线拟合方法。
曲线拟合是将实际数据点与拟合曲线进行对比，以获得曲线形状的一种方法。
常见的曲线拟合方法有多项式拟合、线性回归、非线性回归等。
在选择拟合方法时，需要考虑到数据的分布情况以及需要拟合的曲线形状。
其次，测量曲线形状的一种常用指标是斜率。
曲线的斜率反映了曲线上点的变化率。
通过计算曲线上两个点之间的斜率，我们可以了解曲线在这一段区间内的变化趋势。
对于连续的曲线形状，我们可以通过切线的斜率来测量曲线的局部变化情况。
除了斜率，曲线的曲率也是测量曲线形状的一项重要指标。
曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度。
通过计算曲线上某一点处的曲率，我们可以了解曲线在这一点的局部弯曲程度。
曲线的曲率可以通过计算曲线的二阶导数来得到。
然而，在测量曲线形状时，我们还需要考虑到数据的误差和噪音。
数据误差和噪音会对曲线形状的测量结果产生一定的干扰。
为了降低误差对测量结果的影响，我们可以采用滤波技术进行数据处理。
常见的滤波技术包括移动平均滤波、中值滤波等。
通过滤波技术，我们可以有效地减小数据的误差和噪音，从而得到更准确的曲线形状。
此外，测量曲线形状还可以利用数学工具进行数值分析。
数值分析是通过数值计算方法来研究和解决数学问题的一门学科。
在测量曲线形状时，我们可以利用数值分析中的插值技术来对曲线进行逼近。
插值是指在已知数据点的基础上，通过计算方法来估计两个数据点之间的数值。
常见的插值方法有线性插值、样条插值等。
通过插值技术，我们可以获得更精确的曲线形状信息。
最后，测量曲线形状时我们还需要注意数据的可视化。
数据可视化是将数据用图表、图形等形式展示出来，以便更好地理解和分析数据。
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在切线上任意一点测设曲线的方法
一、问题提出
随着国民经济的高速发展，铁路、公路特别是现代化高速公路的修建越来越多。
对铁路和高等级公路测量来说，缓和曲线的设臵是整个线路的组成部分。
测量工作者如何因地制宜地选择经济、合理、快速的测量方法，是测量工作者需要不断探索的。
众所周知，测设曲线的方法有偏角法、切线支距法等多种方法。
这些方法在地形、通视条件、以及曲线元素适宜的情况下，都得到了广泛应用。
但在上述条件受到限制时，这些测设方法又存在着许多不足之处。
鉴于以上原因，作者提出了在切线的任意一点测设曲线的方法，它可以避开不利的地形、障碍物等因素的影响。
在切线上任意一点上测设整个曲线。
二、测设元素аP、S P的计算
如（图一）所示，根据现场地形、通视及曲线元素等条件，在曲线两切线的任一条上选一A点，并量测ZH（直缓）点到A点的长度TA，将仪器臵于A点，后视ZH点，顺时针拨所计算的аP角，并测距离S P，即可定出曲线上任意一点P的位臵。
用同样的方法，可将曲线上全部所需点定出。
（一）ZH～HY段上任意点的测
在（图一）中，建立ZH点为原点，过ZH点的缓和曲线为X轴，ZH点上缓和曲线的半径为Y轴的直角坐标系，P为缓和曲线上任意一点，Li为ZH点到P点的缓和曲线长度，Lo为缓和曲线长度。
根据《工程测量学》（上）以曲线长Li为参数的缓和曲线方程形式：
X=Li-Li5/40R2Lo2+ Li9/3456R4Lo4- ……
Y= Li3/6RLo- Li7/336R3Lo3+ Li11/4224R5Lo5- (1)
实际上，可只取前一、二项即可满足要求。
（1）式参数方程变为：
x=Li-Li5/40R2Lo2
y= Li3/6Rlo （2）
在图一坐标系中，切线上任一点A的坐标为：（TA、O）
根据A点坐标和缓和曲线上任意点P点参数方程联立起来可求得点A（即测站）和缓和曲线上任意点P点的连线的距离Sp，及该连线和切线的夹角аp。
以аp为测量元素，用极坐标法可测定P点。
аp=tg-1（Y P/∣X
-X A∣）（3）
P
Sp=[Y P2+（X P-X A）]1/2 （4）
当在A点测定HY点时，Li=Lo。
P点坐标（X HY，Y HY）
X HY=Lo-Lo3/40R2
Y HY=Lo2/R6 （5）
为了实际测设方便，在测设时应注意，аp角是由ZH点顺时针方向至P点。
在设计计算程序时，当（3）式中的X
-X A﹤0时，测站拨角为аp。
当式中的
P
X P-X A﹥0时，测站拨角应为180O-аp。
（二）园曲线上任意点的测设
对于园曲线来讲，如（图二）所示，仍用上述直角坐标系。
设P为园曲线上任意一点，Li为由ZH点到P点的弧长，Lo为缓和曲线长。
根据《工程测量学》园曲线以Li为参数的方程式：
X=Li-0.5Lo- （Li-0.5Lo）3/6R2+…m
Y=（Li-0.5Lo）2/2R- （Li-0.5Lo）4/24R3+…p （6）通过测站点A点坐标（TA，O）和园曲线上任意点P的坐标（Xp，Yp），用同样的方法求аp和Sp，用此法可一直定出YH点。
（三）YH～HZ段缓和曲线上任意点的测设
在（图一）中，在另一条切线上建立以HZ点为原点O′，以缓和曲线切线方向为x′轴，HZ点上缓和曲线的半径为y′轴的直角坐标系x′o′y′，其目的是将A点坐标换算至x′o′y′坐标系中的xA，yA。
在x′o′y′坐标系中，缓和曲线方程省略形式仍然为：
x′= Li-Li5/40R2Lo2
y′= Li3/6Rlo （7）
式中：R为园曲线半径；Li为缓和曲线上任意一点至HZ点的弧长；Lo为缓和曲线长度。
测站A点在x′o′y′坐标式系中坐标为（x′A，y′A），连接A、HZ 连接两点，并且由A点向A点向x′作垂线交于B点。
由图可知：（а为线路的偏角）
x′A=T+（T-T A）cosа
y′A=（T-T A）sinа（8）
A点于公式（7）联立同样可以计算YH～HZ段上任意点P的测设元素。
аP=ctg-1（∣y′P-y′A∣/∣x′P-x′A∣）
S P=[( x′P-x′A)2+（y′P-y′A）]1/2
当x′P-x′A≤0时，测站顺时针拨为：2700-аp-а。
当x′P-x′A＞0时，测站顺时针拨为：900-аp-а。
三、结束语
该方法灵活性、适应性强，可根据实际地形，通视及所给定的曲线元素，在切线上灵活地选择最有利的的观测点，可避开障碍物，甚至是连续的障碍物。
在测距仪甚至是全站仪使用比较普遍的情况下，发挥测距仪测距的准确、快速的优越性，避免量测误差的积累，提高了测量精度。
架设一次仪器即可将整个曲线测设完毕，提高了工作效率。
该方法看起来计算较为烦琐，便携式微机普及的今天，设计一个计算程序，应用起来是比较方便的。
在测设曲线时，因各点者是孤立的，就需要在计算和操作时格外细心。
笔者用BASIC语言编制了一计算程序，由3个实际算例通过手工计算和微机计算结果进行了对比，结果中的微小误差是因取舍所致，证明计算程序可靠。
微机操作时，先输入R、a、Lo、TA和DK ZH（既ZH点的里程），采用人机对话的形式输入任一点里程DK P。
输出DK P、S P、a P其中S P是曲线上任一点到测站的距离，a P是测站后视ZH点顺时针所拨角度。
附微机及手工计算结果比较表
参考文献：李青岳《工程测量学》（上）
手工计算与计算机计算结果比较表。