高二数学必修5等差数列的复习课-新人教[原创]】
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等差数列复习课课件(公开课)
详细描述
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
等差数列的应用包括计算等差数列的和、解决等差数列的实际问题、在数学证 明和数学竞赛中的应用等。通过掌握等差数列的性质和应用，可以更好地解决 实际问题，提高数学素养和思维能力。
02
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式的推导
理解等差数列通项公式的推导过程
等差数列的通项公式是数列中任意一项的数值公式，其推导过程基于等差数列的 定义和性质。通过累加等差数列中相邻两项的差，可以得到等差数列的通项公式 。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
定义首项和公差
倒序相加法推导
等差数列的首项记作$a_1$，公差记 作$d$，则第$n$项可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。
将等差数列的前$n$项和记作$S_n$ ，则有$S_n = frac{n}{2} [2a_1 + (n1)d]$，也可以得到等差数列的求和公 式。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以第10项=2+(101)×3=29。
题目2
答案2
一个等差数列的第3项为7，第5项为13，求 该数列的首项和公差。
解：根据等差数列的通项公式，第n项=首 项+(n-1)×公差，所以首项=第3项-(3-1)× 公差=7-(3-1)×d，公差d=(第5项-第3项 )/(5-3)=(13-7)/2=3。
等差数列复习课课件( 公开课)
目录 CONTENT
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的综合应用 • 复习题与答案解析
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其相邻 两项之间的差是一个常数。
必修5等差数列复习课PPT15页
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
必修5等差数列复习课
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
必修5等差数列复习课
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
必修五第二章 数列 复习课【2】求数列前N项和的常用方法【原创】
例1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的 ：设等差数列 ，公差为 ，求证： 的 项和S 前n项和 n=n(a1+an)/2 项和 解：Sn=a1+a2+a3+...+an ① 倒序得： 倒序得： Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ② ①+②得： ② 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1 ∴2Sn=n(a2+an源自 Sn=n(a1+an)/2
6
类型三、用裂项相消法求数列的前 项和 类型三、用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和 项和。 后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 项和。
例3 求数列 的前n项和 的前 项和Sn 项和
点拨：由推导过程可看出， 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法是借助 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，即与首末项等距的两项 ， 之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实 现的。 现的。
类型二、用公式法求数列的前n项和 类型二、用公式法求数列的前 项和
对等差数列、等比数列，求前 项和 项和S 对等差数列、等比数列，求前n项和 n，可直接用 等差、等比数列的前n项和公式进行求解 项和公式进行求解。 等差、等比数列的前 项和公式进行求解。运用公式求 注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 解时，要注意：首先要注意公式的应用范围，再计算。 例2：求数列 ： 和 Sn 的前n项 的前 项
人教A版高中数学必修五第二章《数列复习》
aan1
n(n1)
2 2 (n
2)
n(n1)
经验证a1符合an 2 2
练习:已知a1
3, an1
3n 1 3n 2
an ,则通项公式an
________
key
பைடு நூலகம்
: an
6. 3n 1
类型三 : 线性递推式an1 pan q( p 0, p 1, q 0)
例3、已知a1 1, an 3an1 1(n 2).求an .
2
四、裂项相消求和法：
例4.求和Sn
1 13
1 35
1
(2n 1)(2n 1)
解:
11 1
an
2
( 2n
1
2n
) 1
1 111
11
Sn 2 (1 3 3 5
) 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) n 2 2n 1 2n 1
把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按 此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和 方法称为裂项相消法.
列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。
练习:
• ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458.
• ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _
6.
• ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =___2_70_或__-2_7_0_.
a
2
a 2an1 (1 a)2
(2n 1)an1 1 a
(a 1)
高中数学必修5高中数学必修5等差数列复习教案
等差数列复习知识归纳1. 等差数列这单元学习了哪些内容？2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题:n ≥2，a n －a n －1＝d (常数)3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R )4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点?2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A !6. 你知道等差数列的哪些性质?等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+):①a n ＝a m ＋(n －m )d ；②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ；等差数列定义通项前n 项和主要性质n a n d ＜0n a n d ＞0③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列；④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列.知识运用1.下列说法:(1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列(2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列(3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列.(4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列.其中正确的有( (2)(3) )2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 .3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 .4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 .5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 .6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 .7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A )A. a11B. a10C. a9D. a88.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B)A. na1＜S n＜na nB. na n＜S n＜na1C. na n＜na1＜S nD. S n＜na n＜na1能力提高1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110.2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？课后作业《习案》作业十九.。
高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.2习题课——等差数列习题课
得 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.即
1
1
1
-1
−
1
+2=0,
∴ − =2.
∴数列
-1
1
是公差为 2 的等差数列.
1
1
2
1
又 S1=a1= ,∴ =2.
1
1
∴ =2+(n-1)×2=2n,Sn=2 ,
1
1
-1
∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 − 2(-1) = 2(-1).
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最大;
2
+-1
++1
2
2
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
,Sn 最大.
②若a1<0,且Sp=Sq(p≠q),则
+
当 p+q 为偶数时,n=
,Sn 最小;
当 p+q 为奇数时,n=
或 n=
2
+-1
++1
2
2
,Sn 最小.
目标导航
题型一
4
(+2)
1
2
1
d=3n+
2
1
(-1)
1
1 1
2
1 1
-
2 4
1
1
-
4(+1)(+2)
.
+2
2
,
+…+
2 +1 +2
2+3
2(+1)(+2)
新课标高中数学人教A版必修五全册课件第二章数列复习
是等差数列； ④ 每n项和Sn , S2n－Sn , S3n－S2n …
组成的数列仍是等差数列.
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列 1. 等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式
an a1 qn1(a1 , q 0)
3. 等比中项
第九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列
其推导的方法．
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
知识归纳
一、等差数列
1.等差数列这单元学习了哪些内容？
定义
等差数列
通项
前n项和
主要性质
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
一、等差数列
2. 等差数列的定义、用途及使用时需
注意的问题:
n≥2，an －an－1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有 什么特点？
qn )
1 q
(q 1) (q 1)
第十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列
已知
x0
，
7.
等比数列前n项和的一般形式
y0
，
x，Aq (q 1) x，c，d，y
n
成等比数列，则
n
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
第十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒 序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和 法、裂项相消法等．
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
1. 已知: x＞0，y＞0, x，a，b，y成等差数
列，x，c，d，y成等比数列，则
的最小值是 ( )
(a b)2 cd
A. 0 B. 1 C. 2
组成的数列仍是等差数列.
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列 1. 等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式
an a1 qn1(a1 , q 0)
3. 等比中项
第九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列
其推导的方法．
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
知识归纳
一、等差数列
1.等差数列这单元学习了哪些内容？
定义
等差数列
通项
前n项和
主要性质
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
一、等差数列
2. 等差数列的定义、用途及使用时需
注意的问题:
n≥2，an －an－1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有 什么特点？
qn )
1 q
(q 1) (q 1)
第十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列
已知
x0
，
7.
等比数列前n项和的一般形式
y0
，
x，Aq (q 1) x，c，d，y
n
成等比数列，则
n
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
第十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒 序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和 法、裂项相消法等．
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
1. 已知: x＞0，y＞0, x，a，b，y成等差数
列，x，c，d，y成等比数列，则
的最小值是 ( )
(a b)2 cd
A. 0 B. 1 C. 2
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方法2. 设三边分别为：a-d,a,a+d(a>0,d>0),
由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2， 即a2-4ad=0, ∴a=0(舍去)或a=4d. ∴三边为：3d,4d,5d. ∴a:b:c=3:4:5.
方法3:由题意可设三边为：a,b,c,且a<b<c，则
a2+b2=c2 --①, 2b=a+c --②.
要 点 复 习
1.定义：an-an-1=d（d为常数） （n≥2） 2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d 3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）· d
4.数列{an}为等差数列，则通项公 式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然
要
5、 如果在两个数 与b中间插入一个数 ， a A 使得a、、A、 构成等差数列 那么A叫做 ， a与b的等差中项 .
等的两项和等于首末两项的和，即
a1 an a2 an1 a3 an2
9. 数列an 前n项和:
S n a1 a2 an
10.性质：若数列 an 前n项和为 sn，则
S n S n 1 an S1
( n 2) ( n 1)
11.等差数列的前 n 项和公式:
n( a1 a n ) Sn 或 2
n(n 1)d S n na1 2
两个公式都表明要求 S n 必须已知 注意： n, a , d , a 1 n 中三个
12.性质: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列.
பைடு நூலகம்
n(n 1)d 结论：等差数列的前n项和S n na1 的图 2 象是相应抛物线上一群孤立的点，它的最值由抛 物线的开口决定。
(方法1) 解: 设直角三角形三边长分别为： a,a+d,a+2d(a>0,d>0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， ∴a=3d(a=-d舍去)， ∴直角三角形三边长分别为3d,4d,5d， ∴它们的比为3:4:5.
例3. 已知等差数列｛an｝的前 m项和为30， 前 2m项和为100，求它的前 3m项的和。
解: 在等差数列｛an｝中,有:
Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等差数列.
所以,由2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)得:
S3m=210
练习: (一题多解) 已知直角三角形三边 长成等差数列，试求其三边之比.
由①、②消去a得：5b2-4bc=0，
∴b=0(舍去)或b=4c/5, 即b(5b-4c)=0,
∴a:b:c=3:4:5.
1 数列 n(n 1)
的前n项和
+
1 23
1 Sn= 1 2
+
1 3 4
1 +4 5
+
1 , n ( n 1)
研究一下,能否找到求Sn的一个公式.你能对这个 问题作一些推广吗?
点
复
6、 如果a、、A、 成等差数列， 那么 ab A 2
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习
7.性质: 在等差数列an 中， d
为公差，
若 m, n, p, q N 且 m n p q 那么： am an a p aq
8.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相
联系:
an = a1+(n-1)d的图象是相 应直线 上 一群孤立的点.它的最值又是怎样?
例1.己知数列 ｛an｝ 的前n项和Sn=-n2-2n+1, 试判断数列｛an｝是不是等差数列? 思路: Sn → an →an-an-1= 常数? 答案:是
例2.在等差数列｛an｝中,a3=-13,a9=11,求其前 n项和Sn的最小值. 解法一、 (利用函数方法求解) 解法二、 (利用等差数列的特点和性质求解) (答案: Sn=2n2-23n, 当n=6时,Sn取得最小值-56.)