(word完整版)高中数学必修五数列测试题
(完整版)数学必修五数列练习题(含答案)

)
A. S5 S6 B. S5 S6 C. S5 S7 D. S6 S7
17.各项都是正数的等比数列
{
an}
中,
3a1 ,
1 2
a3 ,
2a2
成等差数列,
则 a2012 a2014
(
)
a2013 a2011
A. 1 B. 3 C. 6 D. 9
18.等差数列 { an} , { bn} 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 Sn
线
A. 18
B
. 24
C
. 60 D . 90
…
…
4.已知等比数列 { an} 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a52 , a2 =1,则 a1=( )
…
…
A. 1
B
2
.
C . 2 D .2
2
2
○
…
5.已知等差数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ,且 a4 18 a5 ,则 S8 =(
(Ⅰ)求 a 2, a 3, a4 ;
…
…
…
…
…
…
○
…
…
…
…
线
…
… …
28.已知数列 { a n} 的前 n 项和 Sn 2 n ,数列 { bn} 满足 b1 1,bn 1 bn (2n 1) n 1 ,2 ,3 ,L .
…
( 1)求数列 { a n } 的通项 a n ;
○
…
( 2)求数列 { bn } 的通项 bn ;
…
…
…
订
…
数列
26.若三个数 5 2 6, m,5 2 6 成等差数列,则 m=________.
数学必修五数列练习题(含答案)(可编辑修改word版)

21.等差数列{a n }中,已知a 1 + a 4 + a 7 = 39, a 3 + a 6 + a 9 = 27,则前9项和S 9 的值为()A .66B .99C .144D .2972. 已知数列{a n }是公比为 2 的等比数列,若a 4 = 16 ,则a 1 = ()A .1B .2C .3D .43. 公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为 S n .若a 4 是 a 3与a 7 的等比中项, S 8 = 32 ,则 S 10 等于()A .18B . 24C .60D . 904. 已知等比数列{a } 的公比为正数,且a · a =2 a 2 , a =1,则 a =()n395211 2 A .B .22C .D .25. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 4 = 18 - a 5 ,则S 8 =()A .18B .36C .54D .726.等比数列{a n }中, a 4 = 4 ,则 a 2 ⋅ a 6 = ()A .4B .8C .16D .327. 数列{a n } 中,a 1 = -60, a n +1 = a n + 3 ,则此数列前 30 项的绝对值的和为 ( )A.720B.765C.600D.6308. 已知等比数列前n 项和为 S n ,若 S 2 = 4 , S 4 = 16 ,则 S 8 = ()A.160B. 64C. - 64D. - 1609. 公比为2 的等比数列{a n }的各项都是正数,且 a 3 ⋅ a 11 =16 ,则a 6 = ()(A )1(B ) 2(C ) 4(D ) 810. 数列{a n }为等差数列, a 1 , a 2 , a 3 为等比数列, a 5 = 1,则 a 10 = ()A. 5B. -1C. 0 D .1… … … … 内 … … … … ○ … … … … 装 … … … … ○ … … … … 订 … … … … ○ … … … … 线 … … … … ○ … … … …11.已知等比数列{a n}中,a1+a2=1,a4 +a5 =-8 ,则公比q =((A)-2(B)2(C)-121(D)(D)212.观察下列数的特点,1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中,其中 x 是()A.12 B.13 C.14 D.1513.若a1 = 3, a2= 6, an+2=an+1-an,则a33= ()A. -3B. 3C. -6D. 614.已知数列{a n}满足,那么的值是()A.20112B.2012×2011 C.2009×2010 D.2010×20111 15.数列,1⨯ 21,2 ⨯ 313 ⨯ 4, 的一个通项公式是1 1 1A.B.C.D.以上都不对n(n -1) n(n +1) (n + 1)(n + 2)16.数列{a n}是等差数列,a4=-4, a9= 4, S n是{a n}的前n 项和,则()A.S5 <S6B.S5 =S6C.S5 =S7D.S6 =S717.各项都是正数的等比数列{a n }中,3a1 ,1 a ,2a2 成等差数列,2 3则a2012+a2014 =( ) a2013+a2011A.1B.3C.6D.918.等差数列{a },{b }的前n 项和分别为S ,T ,若Sn =2n,则an=()n n n n Tn 3n +1 bn2 2n +1 2n -1 2n -1 A.B.C.D.3 3n +1 3n -1 3n + 419.已知某等差数列共有10 项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则公差为…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………3 ⎪n n n20.在等差数列{a n }中,S10=120,则a1+a10等于()A.12 B.24 C.36 D.4821.数列{a n }为等差数列,a1 , a2 , a3 为等比数列,a5 =1,则a10 =()A. 5B.-1C.0 D.122.已知数列{a }中,a =1 ,a =a + 3,(n ≥ 2, n ∈N *) ,则a= .n 1 n n-1 n23.若数列{n(n+4) ⎛2 ⎫n}中的最大项是第k 项,则k= . ⎝⎭24.设S n为数列{a n}的前n 项和,若S2n (n ∈ N* ) 是非零常数,则称该数列{a }为Sn“和等比数列”.若数列{bn} 是首项为 3,公差为d (d ≠ 0) 的等差数列,且数列{bn} 是“和等比数列”,则d=.25.如果数列{a }的前n 项和S = 2n 2- 3n ,那么这个数列是数列26.若三个数5 + 2 6, m, 5 - 2成等差数列,则m=.27.已知等比数列{a n}中,S n为前n 项和且a1+a3= 5 ,S4=15 ,(1)求数列{a n}的通项公式。
(完整版)高中数学必修5数列基础题测试卷.docx

高一数学必修五第二章数列测试题一 . (每小 5 分,共 60分)1、已知数列{a n}的通公式a n n 23n 4( n N * ) ,a4等于( ).A、 1B、 2C、 0D、 32、在等比数列 { a n } 中 , 已知11a59 , a3( )a9C 、1A、 1 B 、 3 D 、± 33、等比数列a n中 , a29, a5 243,a n的前 4 和()A、 81B、 120 C 、 168D、 1924、数列 1, 3, 6,10,⋯的一个通公式是()22n(n 1)n(n 1)A、a n =n -(n-1)B、 a n=n -1C、 a n= D 、a n =225、已知等差数列a n中 , a2a88 ,数列前9 和S9等于 ()A、 18B、 27C、 36D、 456、S n是等差数列a n的前n和,若S735 , a4()A、8B、 7C、 6D、 57、已知数列3 ,3, 15, ⋯ ,3(2n1), 那么 9 是数列的()A、第 12 B 、第 13C、第 14D、第 158、等差数列{ a n}的前m和 30,前2m 和100,它的前3m 和是()A、 130B、170C、 210D、 2609、a n是等差数列,a1a3a59, a69 ,个数列的前 6 和等于()A、 12B、 24C、 36D、 4810、已知某等差数列共有10 ,其奇数之和15,偶数之和30,其公差()A、 5B、4C、3D、211、已知数列 2 、 6、10 、14 、 3 2 ⋯那么 7 2 是个数列的第几()A、 23B、24C、 19D、2512、在等比数列{ a n}(n N* )中,若a11, a4110 项和为(,则该数列的前)81B 、21C 、211A、222210D 、224211二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13、已知数列的通项a n5n 2 ,则其前 n 项和 S n.14、已知a n是等差数列,a4a6 6 ,其前5项和 S510 ,则其公差d.15、等比数列a n的前n项和为S n,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则a n的公比为.16、各项都是正数的等比数列a n,公比q 1 , a5, a7, a8成等差数列,则公比q=三、解答题(70 分)17、有四个数,前三个数成等比数列,其和为19,后三个数为等差数列,其和为12,求此四个数。
高中数学必修五数列测试题

高中数学必修五数列测试题一、填空题1. 已知数列的首项为\( a_1 = 3 \),公差为\( d = 2 \),求数列的第5项\( a_5 \)。
2. 若数列的前4项分别是1,4,9,16,则数列的第5项是多少?3. 已知数列的前4项分别是4,7,10,13,求数列的通项公式。
4. 若数列的通项公式为\( a_n = 2n + 1 \),求数列的第10项\( a_{10} \)。
5. 数列的前3项分别是3,6,12,求数列的公比。
二、选择题1. 对于公差为2的等差数列\( \{a_n\} \),下列哪个命题是正确的?A. \(a_1 = 2\),\(a_2 = 5\),\(a_5 = 10\)B. \(a_1 = 1\),\(a_2 = 3\),\(a_5 = 9\)C. \(a_1 = 3\),\(a_2 = 6\),\(a_5 = 15\)D. \(a_1 = 4\),\(a_2 = 7\),\(a_5 = 14\)2. 对于公比为3的等比数列\( \{b_n\} \),下列哪个命题是正确的?A. \(b_1 = 3\),\(b_2 = 9\),\(b_3 = 27\)B. \(b_1 = 1\),\(b_2 = 4\),\(b_3 = 16\)C. \(b_1 = 5\),\(b_2 = 10\),\(b_3 = 20\)D. \(b_1 = 2\),\(b_2 = 4\),\(b_3 = 8\)3. 若数列的前三项为\(a_1 = 1\),\(a_2 = 2\),\(a_3 = 3\),则下列哪个数列的第4项一定与之相同?A. 5,8,11,...B. -2,-1,0,...C. 0,1,3,...D. 4,5,7,...三、解答题1. 求等差数列\( \{c_n\} \)的前4项和,已知首项为1,公差为3。
2. 若数列的前两项和为10,第二项和第四项的和为18,求数列的前四项。
四、应用题1. 小明计划连续7天抛掷一枚硬币,他决定从第2天开始,每天与前一天的正反面相反。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(包含答案解析)

一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥,若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立,则实数λ的最小值为( ) A .52-B .116C .332D .12.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40423.在数列{}n a 中,11a =-,33a =,212n n n a a a ++=-(*n N ∈),则10a =( ) A .10B .17C .21D .354.两个公比均不为1的等比数列{}{},n n a b ,其前.n 项的乘积....分别为,n n A B ,若552a b =,则99A B =( ) A .512B .32C .8D .25.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,6.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元466485~年间,其记臷着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺,30天其织布390尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为( ) A .1629B .1627C .1113D .13297.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( ) A .1011B .910C .89D .28.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若数列{}12n S a -也为等比数列,则43a a =( ).A .2B .1C .32D .129.对于数列{}n a ,定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”,现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则20202020S=( ) A .2019B .2020C .2021D .202210.已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+,5a 是数列{}n a 的最小项,则实数a 的取值范围是( ) A .[40,25]--B .[40,0]-C .[25,0]-D .[25,0]-11.已知数列{}n a 满足123n n a a +-=,11a =,3n n b a =+,则10b =( ) A .92B .103C .2048D .102412.已知{}n a 为等比数列,13527a a a =,246278a a a =,以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.已知数列{}n a 的首项1a m =,其前n 项和为n S ,且满足2123n n S S n n ++=+,若数列{}n a 是递增数列,则实数m 的取值范围是_______. 14.设数列{}n a 是等比数列,公比2q,n S 为{}n a 的前n 项和,记219n nn n S S T a +-=(*n N ∈),则数列{}n T 最大项的值为__________. 15.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈,都有m n m n a a a ++=成立,72a π=,函数()f x =2sin 24cos 2xx +,记()n n y f a =,则数列{}n y 的前13项和为______. 16.无穷数列{}n a 满足:只要()*,p q a a p q N=∈,必有11p q aa ++=,则称{}n a 为“和谐递进数列”.已知{}n a 为“和谐递进数列”,且前四项成等比数列,151a a ==,22a =,则2021S =_________.17.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 18.下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中,着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项,则数列{}n a 的一个通项公式为______.19.已知数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,21nn n b a -=+,且1222n n n S T n ++=+-,则2n T =____.20.已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅,若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立,则整数λ的最大值为_____.三、解答题21.已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .22.已知{}n a 是等差数列,{}n b 是递增的等比数列且前n 和为n S ,112822,10a b a a ==+=,___________.在①2345,,4b b b 成 等差数列,②12n n S λ+=+(λ为常数)这两个条件中任选其中一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分). (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 23.已知数列{}n a 满足112a =,1223241n n n a a n ++-=-,n *∈N . (1)设121n n b a n =+-,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,求证:3n S <,n *∈N .24.已知正项数列{}n a 、{}n b ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1143a b +=,21n n S a +=,2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求数列{}2n n a b 的前n 项和n T . 25.已知数列{}n a ,11a =,121n n a a +=+.(1)求证数列{}1n a +是等比数列; (2)令()2log 1n n b a =+,求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26.已知数列{}n a 满足:12a =,()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)设2nn n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-,则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭,设272nn n c -=,利用数列的单调性即可求解. 【详解】解:数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,23a =,且()11222n n nn S S S n +-+=+≥, 所以112nn n n n S S S S +--=+-,故()122nn n a a n +-=≥,因为1212a a -=,所以()121nn n a a n +-=≥,所以112n n n a a ---=,2122n n n a a ----=,⋯,1212a a -=, 则1211222n n a a --=++⋯+,故11211222121n n n n a --=++⋯+==--, 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---,所以21nn n S a n -=--,因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立,所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 设272n n n c -=,则111252792222n n n nn n n nc c +++----=-=, 当4n ≤时,1n n c c +>,当5n ≥时,1n n c c +<, 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=,故λ的最小值为332. 故选:C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式,再利用累加法求出na 的通项;2.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.3.B解析:B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列,求出公差得到其通项公式,最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-(*n N ∈),212n n n a a a ++∴+=,即数列{}n a 是等差数列, 11a =-,33a =,312a a d ∴=+即312d =-+,则公差2d =,则()11223n a n n =-+-⨯=-(*n N ∈), 所以10210317a =⨯-=. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列,进而求出通项公式进行计算.4.A解析:A 【分析】直接利用等比数列的性质化简99A B ,再代入552a b =即得解. 【详解】由题得99912919285599129192855()()()2512()()()A a a a a a a a a aB b b b b b b b b b ⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅. 故答案为A. 【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等比数列{}n a 中,如果m n p q +=+,则m n p q a a a a =,特殊地,2m p q =+时,则2·m p q a a a =,m a 是p q a a 、的等比中项. 5.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=,12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----,所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<, 因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C .【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.6.A解析:A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题,且已知13030,390a S ==,求公差d .由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=,解之得1629d =,应选答案A . 7.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称, 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =,且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++, 因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.8.D解析:D 【分析】分公比是否为1进行讨论,再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,()1111222n S a na a n a -=-=-, 则{}12n S a -不为等比数列,舍去, 当1q ≠时,()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----, 为了符合题意,需11201a a q -=-,得12q =,故4312a q a ==. 故选D . 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式,定义,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.9.D解析:D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,得到112333n n n a a a n -+++=⋅,然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+,再利用等差数列求和公式求解. 【详解】∵11233n nn a a a T n-+++=,且3nn T =,∴112333n n n a a a n -+++=⋅,当2n ≥时,有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅,两式相减可得:()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+(2n ≥). 当1n =时,13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项,以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选:D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用,属于中档题.10.D解析:D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立,参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立, 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥, 当6n ≥时,有()56a n n ≤-恒成立,故0a ≤, 当14n ≤≤时,有()56a n n ≥-恒成立,故25a ≥-, 当5n =时,a R ∈, 故250a -≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查数列的函数性质:最值问题,此类问题可利用函数的单调性来研究,也可以利用恒成立来研究,本题属于较难题.11.C解析:C 【分析】根据题意得到12n n b b +=,计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=,()1323n n a a +∴+=+,即12n n b b +=, 14b =,910422048b ∴=⨯=.故选:C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式,确定12n n b b +=是解题的关键.12.A解析:A 【分析】先求出首项和公比,得出{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 【详解】{}n a 为等比数列,3135327a a a a ==,32464278a a a a ==, 33a ∴=,432a =,4312a q a ∴==,112a =,543·14a a q ==<. 故{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1, 以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是4, 故选:A . 【点评】本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.二、填空题13.【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得:两式相减得:两式相减可得:数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得:将代入可得要使得恒成立只需要解析:15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥,再求得234,,a a a ,根据1234a a a a <<<列不等式,解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得:212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得:141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得:114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ,4a ,6a ,...是以4为公差的等差数列,数列3a ,5a ,7a ,...是以4为公差的等差数列,将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得:252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈,1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ,考查数列的单调性,属于中档题.14.【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析:3【解析】数列{}n a 是等比数列,公比q 2=,n S 为{}n a 的前n 项和,219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ,2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=, 当且仅当822nn =时取等号, 又,1n N n *∈=或2 时,n T 取最大值19243T =--= .∴ 数列{}n T 最大项的值为3 .故答案为3 .15.【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解:对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析:26【分析】由题意可得11n n a a a +-=,为常数,可得数列{}n a 为等差数列,求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,运用等差数列中下标公式和等差中项的性质,计算可得所求和. 【详解】 解:对*,m n ∀∈N ,都有m n m n a a a ++=成立,可令1m =即有11n n a a a +-=,为常数, 可得数列{}n a 为等差数列, 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++, 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=,可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,113212a a a a +=+=6872a a a π=+==,∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==,∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=.故答案为26. 【点睛】本题考查等差数列的性质,以及函数的对称性及运用,化简运算能力,属于中档题.16.7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为:7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列解析:7576 【分析】根据新定义得数列是周期数列,从而易求得2021S . 【详解】∵1234,,,a a a a 成等比数列,121,2a a ==,∴344,8a a ==,又15a a =,{}n a 为“和谐递进数列”,∴26a a =,37a a =,48a a =,59a a =,…, ∴数列{}n a 是周期数列,周期为4. ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=. 故答案为:7576.【点睛】本题考查数列新定义,解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列,从而易得结论.17.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.18.【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通解析:817n n a -= 【分析】根据图象的规律,得到前后两项的递推关系,然后利用迭代法求通项,并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =,218181a a =⨯+=+,23281881a a =⨯+=++, 依次类推,1288...1n n n a --=+++,数列{}18n -是首项为1,公比为8的等比数列,所以1881187n n n a --==-, 故答案为:817n n a -=【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通项,重点是得到前后两项的递推关系.19.【解析】所以 解析:22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20.4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解:∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析:4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立,再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解:∵()102nn a n =+⋅>,∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->, 记232n nn b -=,112121223462n n n n n b n n b n ++--==--, ∴3n ≥时,11n nb b +<,即3n ≥时数列单调递减, 又∵ 1211,24b b =-=, ∴ ()3max 38n b b ==, ∴358λ->,即337588λ<-=,∴整数λ的最大值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数,考查化归转化思想,是中档题.三、解答题21.(1)21n a n =-;(2)2332n nn S +=-.【分析】(1)利用已知条件列出关于首项与公差的方程组,解方程组即得数列{}n a 的通项公式;(2)先由(1)得到n n n a 2n 122-=,再利用错位相减法求和即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩,即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩,所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩, 所以21n a n =-. (2)由(1)得n n n a 2n 122-=, 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++,① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++,② -①②得:21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭,所以2332n nn S +=-. 【点睛】易错点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.22.条件选择见解析;(1)n a n =,2n n b =;(2)212222n n n n T +=-++.【分析】选①,(1)列出关于首项与公差、首项与公比的方程组,求出首项与公差、首项与公比,从而求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)由(1)知2nn n a b n +=+,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可.选②,(1)列出关于首项与公差的方程组可求出数列{}n a 的通项公式,利用1n n n b S S -=-可求{}n b 的通项公式;(2)由(1)知2n n n a b n +=+,利用分组求和法,结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 选①解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==, 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.由题意知132452,24b b b b ⎛⎫=⋅=+⎪⎝⎭,得324522b b b =+, 设等比数列{}n b 的公比为2222,522q b q b b q ⋅=+,即22520q q -+=,解得2q,或12q =,由数列{}n b 为递增等比数列可知12q =不合题意, 所以{}n b 是一个以2为首项,2为公比的等比数列.1222n n n b -∴=⨯=(2)由(1)知2nn n a b n +=+,()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++,()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+, ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.选②解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==, 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=.令1n =,则111112,42,2S b S λλλ+=+∴==+=∴=-,122n n S +∴=-当2n ≥时,()()1122222n n n n n n b S S +-=-=---=当1n =时,12b =也满足上式.2n n b =(2)由(1)知2nn n a b n +=+,()()()()1231222322n n T n ∴=++++++⋯++, ()123(123)2222n n T n ∴=+++⋯+++++⋯+, ()212(1)212nn n n T -+∴=+-212222n n n n T +∴=-++.【点睛】方法点睛:利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种:一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差,可以分别用等比数列求和后再相加减;二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差,可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减. 23.(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【分析】(1)直接利用定义证明12n n b b +=即得证;(2)分析得到211321n n a -≤⋅-,再利用等比数列求和得证. 【详解】 解:(1)121n n b a n =+-,1223241n n n a a n ++-=-, 则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--, 又11312b a =+=, 所以数列{}n b 是等比数列; (2)由(1)得,1232322n n n b --=⋅=⋅,N n *∈, 213221n n a n -∴=⋅--,N n *∈, 211n -≥,23210n n a -∴≥⋅->,211321n n a -∴≤⋅-, 当2n ≥时,21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-,又11123S a ==<, 综上,3n S <,n *∈N . 【点睛】方法点睛:证明数列不等式常用的方法有:(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)数学归纳法;(5)放缩法;(6)反证法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 24.(1)13n n a =,12n n b +=;(2)151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】(1)由1n =求得1a ,再風1b ,然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系,知其为等比数列,从而得通项公式,由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+,用累乘的方法求得n b ;(2)用错位相减法求和n T . 【详解】(1)由题意知:1111221S a a a +=+=,113a =,∴11413b a =-=, ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-(1b 也适合), (2)∵123n n n n a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅. 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,累乘法求通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法:设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.25.(1)证明见解析;(2)()()235412n n nT n n +=++【分析】(1)利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+,证明数列{}1n a +是等比数列;(2)首先求数列{}n b 的通项公式,再利用裂项相消法求和. 【详解】 (1)121n n a a +=+,()1121n n a a +∴+=+,即1121n n a a ++=+,且112a +=, 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列;(2)由(1)可知11222n nn a -+=⋅=, 所以2log 2nn b n ==,()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛:本题第二问考查裂项相消法求和,这样的形式不是连续相消,如果前面剩下两个正数项,那么最后一定剩下两个负数项.26.(1)2nn a n =⋅;(2)()1122n n T n +=-⋅+;(3)12.【分析】(1)利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式; (2)利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)令2n n n c S S =-,分析数列{}n c 的单调性,由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】(1)数列{}n a 满足:12a =,()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭, 则2140a a =>,323202a a =⨯>,,以此类推,对任意的n *∈N ,0n a >,由已知条件可得()121n n n a a n++=, 3211212223222121n n n n a a a na a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-; (2)1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--,因此,()1122n n T n +=-⋅+;(3)21n n n b a n ==,则111123n S n=++++, 令2n n n c S S =-,则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++,则1n n c c +>, 则数列{}n c 为单调递增数列,所以,数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和;(2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .40422.在数列{}n a 中,11a =-,33a =,212n n n a a a ++=-(*n N ∈),则10a =( ) A .10B .17C .21D .353.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且4331S S S =-,若11a >,则( ) A .13a a <,24a a < B .13a a >,24a a < C .13a a <,24a a >D .13a a >,24a a >4.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ,等差数列{}n b 前n 项和为n T ,若11n n S n T n -=+.则55a b =( ) A .23B .45C .32D .545.设数列{}n a 满足12a =,26a =,且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈,若[]x 表示不超过x 的最大整数(例如[]1.61=,[]1.62-=-),则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=( ) A .2018B .2019C .2020D .20216.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书于公元466485~年间,其记臷着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺,30天其织布390尺,则该女子织布每天增加的尺数(不作近似计算)为( ) A .1629B .1627C .1113D .13297.数列{}n a 满足122,1a a ==,并且()111212n n n n a a a -+=-≥,则1011a a +=( ) A .192B .212 C .2155D .23668.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且()*2n n S a n n N =+∈,则{}na 的通项公式为na=( ) A .23n -B .23n -C .12n -D .12n -9.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且()23n n S a n n N *=-∈,则( ) A .{}n a 为等比数列 B .{}n a 为摆动数列 C .1329n n a +=⨯-D .6236n n S n =⨯--10.已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A B .2C .14 D .1211.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,且675S S S >>,下列说法错误的是( ) A .0d <B .110S >C .120S <D .67a a >12.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =,19114S =,则15S =( ) A .45B .75C .90D .95二、填空题13.设S n 是数列{}n a 的前n 项和,且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈,则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14.已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈,都有m n m n a a a ++=成立,72a π=,函数()f x =2sin 24cos 2xx +,记()n n y f a =,则数列{}n y 的前13项和为______. 15.已知函数()f x 在()1,∞-+上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则1100a a +等于________.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上,11a =,数列{}n a 通项为__________.17.数列{}n a 满足:112a =,212n n a a a n a ++⋯+=⋅,则数列{}n a 的通项公式n a =___________.18.下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中,着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项,则数列{}n a 的一个通项公式为______.19.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,422n n n S S S +++=(*n ∈N ),且12S =,则20202021a a +=______.20.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若22a =-,714S =,则10a =__________.三、解答题21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设13n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 22.设数列{}n a ,{}n b 是公比不相等的两个等比数列,数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N .(1)若2,3nnn n a b ==,是否存在常数k ,使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在,求k 的值;若不存在,说明理由;(2)证明:{}n c 不是等比数列.23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,121n n S S +=+. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b na =,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在正整数n ,使得2021n T =?若存在,求出n 的值;若不存在,说明理由. 24.设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.(1)求{}n a 的通项公式; (2)记数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,证明:3n T <. 25.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且244,22a S ==. (1)求{}n a 的通项公式﹔ (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 26.已知数列{}n a 满足11a =,1nn n a pa q +=+,(其中p 、q 为常数,*n N ∈).(1)若1p =,1q =-,求数列{}n a 的通项公式; (2)若2p =,1q =,数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明:22n T n <+,*n N ∈.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2.B解析:B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列,求出公差得到其通项公式,最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-(*n N ∈),212n n n a a a ++∴+=,即数列{}n a 是等差数列, 11a =-,33a =,312a a d ∴=+即312d =-+,则公差2d =,则()11223n a n n =-+-⨯=-(*n N ∈), 所以10210317a =⨯-=. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列,进而求出通项公式进行计算.3.B解析:B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-,11a >利用等比数列求和公式求出0q <,分情况讨论求得10q -<<,从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q , 由4331S S S =-可得431a S =-, 若1q =,则1113a a =-显然不成立,所以1q ≠, 所以()312111q a a q q -++=,即()232111q q a q +=-+, 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭,210a >,所以30q <,所以0q <,当1q ≤-时,31q ≤-,211q q ++≥,因为11a >,则()232111q q a q +=-+不可能成立,所以10q -<<,()213110a a a q -=->,()224110a a a q q -=-<,所以13a a >,24a a <, 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+,结合11a >求出q 的范围.4.B解析:B 【分析】本题首先可令9n =,得出9945S T =,然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =,代入9945S T =中,即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+,所以99914915S T -==+, 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和,n T 是等差数列{}n b 前n 项和, 所以()1995992a a S a +==,()1995992b b T b +==, 则95959459S a T b ==,5545a b =, 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的相关性质的应用,主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用,若等差数列{}n a 前n 项和为n S ,则()12n n n a a S +=,当2m n k +=时,2m n k a a a +=,考查化归与转化思想,是中档题.5.B解析:B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=,可得()2112n n n n a a a a +++---=,214a a -=.利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出. 【详解】2122n n n a a a ++-+=,()2112n n n n a a a a +++∴---=,214a a -=.{}1n n a a +∴-是等差数列,首项为4,公差为2.142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+.2n ∴≥时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+. 2(1)1n n n a n++∴=.∴当2n ≥时,2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n . 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选:B .本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.A解析:A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题,且已知13030,390a S ==,求公差d .由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=,解之得1629d =,应选答案A . 7.C解析:C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-,由此计算得323a =,424a =,……101110112221,,101155a a a a ==+=. 8.C解析:C 【分析】由()*2n n S a n n N =+∈结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-,通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时,11121a S a ==+,解得1 1a =-;当2n ≥时,122(1)n n n a a n a n -=+---.∴121n n a a -=-,∴()1121n n a a --=-.∵112a -=-,∴12nn a -=-, ∴12nn a =-.故选:C . 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解,考查了,n n a S 的递推关系求通项公式,考查了等比数列的通项公式,考查了构造法求数列的通项公式,属于中档题.9.D解析:D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项的和为n S ,即可判断四个选项的正误.因为23n n S a n =-①,当1n =时,1123a a =-,解得:13a =, 当2n ≥时,()11231n n S a n --=--②,①-②得:1223n n n a a a -=--,即123n n a a -=+,所以()1323n n a a -+=+,所以{}3n a +是以6为首项,2为首项的等比数列,所以1362n n a -+=⨯,所以1623n n a -=⨯-,所以{}n a 不是等比数列,{}n a 为递增数列,故A B 、不正确,()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---,故选项C 不正确,选项D 正确.故选:D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式,考查了构造法,考查了分组求和,属于中档题.10.D解析:D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2. 又m 2+n 2=c 2, ∴m=2c. ∵c 是a ,m 的等比中项, ∴2c am =, ∴22ac c =, ∴12c e a ==.选D . 11.C解析:C 【分析】根据{}n a 是等差数列,且675S S S >>,变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>,7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>,76670,0,0a a a a <>+>,所以0d <,()111116111102a a S a +==>, ()()11267121212022a S a a a ++==>,67a a >,故选:C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题.12.B解析:B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩,解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解:根据题意64a =,19114S =,结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得:115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩,即:115496a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量,考查数学运算能力,是基础题.二、填空题13.【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为:【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析:17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ,再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-= 又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项,2为公差的等差数列,所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为:17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14.【分析】由题意可得为常数可得数列为等差数列求得的图象关于点对称运用等差数列中下标公式和等差中项的性质计算可得所求和【详解】解:对都有成立可令即有为常数可得数列为等差数列函数由可得的图象关于点对称可得 解析:26【分析】由题意可得11n n a a a +-=,为常数,可得数列{}n a 为等差数列,求得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,运用等差数列中下标公式和等差中项的性质,计算可得所求和. 【详解】 解:对*,m n ∀∈N ,都有m n m n a a a ++=成立,可令1m =即有11n n a a a +-=,为常数, 可得数列{}n a 为等差数列, 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++, 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=,可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称,113212a a a a +=+=6872a a a π=+==,∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==,∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=.故答案为26. 【点睛】本题考查等差数列的性质,以及函数的对称性及运用,化简运算能力,属于中档题.15.【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析:2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性,利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性,结合函数的单调性,根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值,最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,则函数()f x 的图象关于1x =-对称, 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =,所以5051a a 2+=-,因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列,所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为:2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性,等差数列的性质,涉及函数的图象的平移变换,属中档题,小综合题,难度一般.16.【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得:∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为:【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --,整理得到1{}nS 是等差数列,公差2d =,然后由等差数列的通项公式得答案. 【详解】由题意可得:()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-, ∴1140n n n n s s s s ---+=.两边除以1n n s s -,并移向得出1114,(2)n n n S S --=, 1{}nS ∴是等差数列,公差4d =, 11111S a ==. ∴114(1)43nn n S =+-=-, 故143n S n =-. ∴当2n 时,()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----. 当1n =时,11a =不符合上式.()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩. 故答案为:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩. 【点睛】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了运算求解能力,属于中档题.17.【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可;【详解】解:因为①;当时②;①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为:【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数解析:21n n+ 【分析】当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅,作差即可得到111n n a n a n --=+,再利用累乘法求出数列的通项公式即可; 【详解】解:因为212n n a a a n a ++⋯+=⋅①;当2n ≥时,()212111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②;①减②得()2211n n n a n a n a -=⋅-⋅-,即()()22111n n n a n a -⋅-⋅-=,所以()()()21111n n n n a n a --+=⋅-⋅,所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=,所以111n n a n a n --=+ 所以2113a a =,3224a a =,4335a a =,……,111n n a n a n --=+,所以324211312313451n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅⨯⨯⨯=⨯+,所以()121n a a n n =+,又112a =,所以()11n a n n =+,当1n =时()11n a n n =+也成立,所以()11n a n n =+故答案为:()11n n +【点睛】对于递推公式为()1nn a f n a -=,一般利用累乘法求出数列的通项公式,对于递推公式为()1n n a a f n --=,一般利用累加法求出数列的通项公式;18.【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为:【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通解析:817n n a -= 【分析】根据图象的规律,得到前后两项的递推关系,然后利用迭代法求通项,并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =,218181a a =⨯+=+,23281881a a =⨯+=++, 依次类推,1288...1n n n a --=+++,数列{}18n -是首项为1,公比为8的等比数列,所以1881187n n n a --==-, 故答案为:817n n a -=【点睛】关键点点睛:本题的关键是迭代法求通项,重点是得到前后两项的递推关系.19.4或0【分析】设等比数列的公比为q 化简已知得再分类讨论即得解【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解由可得即∴若则此时若则此时故或故答案为:4或0【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求解析:4或0 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,化简已知得()22121n n n n q a a a a +++++=+,再分类讨论即得解. 【详解】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解. 由422n n n S S S +++=可得422n n n n S S S S +++-=-, 即4312n n n n a a a a +++++=+, ∴()22121n n n n qa a a a +++++=+,若210n n a a +++=则1q =-,此时()121n n a -=⋅-,若210n n a a +++≠,则1q =,此时2n a =, 故202020210a a +=或202020214a a +=. 故答案为:4或0 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.14【分析】本题先求再求即可解题【详解】解:因为数列是等差数列所以解得所以故答案为:14【点睛】本题考查等差数列的基本量法是基础题解析:14 【分析】本题先求1a 、d ,再求10a 即可解题. 【详解】解:因为数列{}n a 是等差数列,22a =-,714S =所以217127(71)7142a a d S a d =+=-⎧⎪⎨⨯-=+=⎪⎩,解得142a d =-⎧⎨=⎩, 所以101914a a d =+=故答案为:14 【点睛】本题考查等差数列的基本量法,是基础题.三、解答题21.(Ⅰ)*65()n a n n N =-∈;(Ⅱ)11(1)261n T n =-+. 【分析】(Ⅰ)根据点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上,得到232n S n n =-,再利用数列通项与前n 项和的关系求解.(Ⅱ)由(I )得111()26561n b n n =--+,再利用裂项相消法求解. 【详解】 (Ⅰ)因为点(,)()nS n n N n*∈均在函数32y x =-的图像上, 所以3 2.nS n n=-即232n S n n =-. 当n ≥2时,221(32)3(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦; 当1n =时,113121a S ==⨯-=所以*65()n a n n N =-∈.(Ⅱ)由(I )得[]131111()(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+, 所以1111111(1)()()277136561nn n l T b n n =⎡⎤==-+-+⋯+-⎢⎥-+⎣⎦∑, 11(1)261n =-+. 【点睛】方法点睛:求数列的前n 项和的方法(1)公式法:①等差数列的前n 项和公式,()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩;(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的,则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法:一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如a n =(-1)n f (n )类型,可采用两项合并求解. 22.(1)存在,2k =或3k =;(2)证明见解析. 【分析】(1)若数列{}1n n c kc +-为等比数列,则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-,其中2n ≥且*n ∈N ,将23n n n c =+代入上式,整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=化简即可得出答案;(2)证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅,验证其不成立即可.【详解】解:(1)由题意知,若数列{}1n n c kc +-为等比数列,则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-,其中2n ≥且*n ∈N ,将23n nn c =+代入上式,得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=,解得2k =或3k =.(2)设数列{}n a ,{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠,11,0a b ≠, 则1111n n n c a pb q --=+,为证{}n c 不是等比数列,只需证2213c c c ≠⋅,事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++,()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++,由于p q ≠,故222p q pq +>,又11,0a b ≠,从而2213c c c ≠⋅,所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛:等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法,通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明.23.(1)12n n a ;(2)不存在,理由见解析.【分析】(1)根据11n n n a S S ++=-以及等比数列的通项公式可求得结果;(2)利用错位相减法求出n T ,分别对1,2n n ==和3n ≥讨论等式是否成立可得答案. 【详解】(1)由121n n S S +=+①,知2n ≥时,121n n S S -=+②, ①-②得()122n n a a n +=≥,在①式中令12121212n a a a a =⇒+=+⇒=,212a a =, ∴对任意*n ∈N ,均有12n na a +=,∴{}n a 为等比数列,11122n n n a --=⨯=, (2)由(1)得12n n b n -=⋅,所以()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅,所以()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅,所以()12111212222221212nn nnn n nT n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=--⋅-,所以(1)21nn T n =-⋅+,令()()1212021122020nnn n -⋅+=⇒-⋅=,当1n =和2n =时,等式显然不成立;当3n ≥时,方程化为()212505n n --⋅=,左边为偶数,右边等于505为奇数,等式也不成立,故不存在正整数n ,使得2021n T =成立. 【点睛】关键点点睛:利用11n n n a S S ++=-求出通项公式,根据错位相减法求出n T 是解题关键. 24.(1)()2121n a n n =≥-;(2)证明见解析. 【分析】(1)当1n =时,可求1a ,当2n ≥时,可得1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-与已知条件两式相减可得()212n n a -=,检验1a 满足221n a n =-,即可得{}n a 的通项公式; (2)由(1)知()2121n a n n =≥-,所以22111(21)(22)(1)1n a n n n n n n n n n=<==-----,计算其前n 项和即可证明. 【详解】(1)当1n =时,12a =当2n ≥时,1213(23)(21)2n n a a n a n a n -+++-+-=①1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-②①-②得:()212n n a -=. ∴()2221n a n n =≥-. 当1n =时,12a =,上式也成立.∴()2121n a n n =≥- (2)由(1)知()221n a n n n=-. 当1n =时,2na n=, 当2n ≥时,22111(21)(22)(1)1n a n n n n n n n n n=<==----- ∴11111212231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭133n =-< 【点睛】 方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.25.(1)32n a n =-;(2)31n nT n =+. 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,解方程组114434222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩可求d 的值,进而可得{}n a 的通项公式﹔(2)11n n n b a a +=()()1111323133231n n n n ⎫⎛==- ⎪-+-+⎝⎭,利用裂项求和即可求解. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意知114434222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得113a d =⎧⎨=⎩, 所以()13132n a n n =+-=-. (2)()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭12n n T b b b111111134473231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭31n n =+ 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解. 26.(1)()*1(1)2nn a n N --=∈;(2)证明见解析. 【分析】(1)1p =,1q =-,已知条件可得1(1)nn n a a +-=-,利用累加法及等比数列的求和公式,计算可求数列{}n a 的通项公式;(2)2p =,1q =,121n n a a +=+,化简可得1121n n a a ++=+,通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈,化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-,放缩后,通过分组求和可证得结果. 【详解】(1)∵1p =,1q =-,∴1(1)n n n a a ++-=,即1(1)nn n a a +-=-,∴当2n ≥:12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-,得1(1)12n n a a -+-=,∴11a =,∴1(1)2nn a --=,当1n =:11a =也符合上式,故()*1(1)2n n a n N --=∈(或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数). (2)∵2p =,1q =,∴121n n a a +=+,∴()1121n n a a ++=+,即1121n n a a ++=+,∴{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴12nn a +=,即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---, ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-, 综上说述:()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛:数列求和的方法技巧:(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和 (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.(4)裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和.。
高二数学必修五数列单元测试题(含答案)(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】1、数列⋯--,924,715,58,1的一个通项公式是( )A .12)1(3++-=n nn a n nB .12)3()1(++-=n n n a n nC .121)1()1(2--+-=n n a nnD .12)2()1(++-=n n n a n n2、已知数列{a n }的通项公式)(43*2N n n n a n ∈--=,则a 4等于( ).A 1B 2C 3D 0 3、在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a ()A 4-B 4±C 2-D 2±4、已知等差数列}{n a 的公差为2,若1a ,3a ,4a 成等比数列,则2a 等于( )A 4-B 6-C 8-D 10- 5、等比数列{a n }的前3项的和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为( )A .-2B .1C .-2或1D .2或-16、等差数列}a {n 中,已知前15项的和90S 15=,则8a 等于( ).A .245B .12C .445D .67、已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ,若S 4=1,S 8=4,则a13+a14+a15+a16=().A.7 B.16 C.27 D.648、一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列,那么()tan A C +的值是( )A .B .C .D .不确定9、若一个凸多边形的内角度数成等差数列,最小角为100°,最大角为140°,这个凸多边形的边数为( )A .6B .8C .10D .1210、在等比数列{a n }中4S =1,8S =3,则20191817a a a a +++的值是 ( ) A .14 B .16 C .18D .2011、计算机的成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低31,现在价格为8100元的计算机,9年后的价格可降为( ) A .2400元B .900元C .300元D .3600元12、已知等比数列{n a }中,1a =2,4a =54,则该等比数列的通项公式n a =13、 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于30, 那么前8项之和等于14、数列11111,2,3,,,2482nn ++++……的前n 项和是 .15、 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.16、在数列{}n a 中,11a =,且对于任意自然数n ,都有1n n a a n +=+,则100a =17等差数列{}n a 中,已知33,4,31521==+=n a a a a ,试求n 的值18在等比数列{}n a 中,5162a =,公比3q =,前n 项和242n S =,求首项1a 和项数n .19已知:等差数列{n a }中,4a =14,前10项和18510S .(1)求n a ;(2)将{n a }中的第2项,第4项,…,第n 2项按原来的顺序排成一个新数列,求此数列的前n 项和n G .20某城市2001年底人口为500万,人均住房面积为6 m 2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,则从2002年起,每年平均需新增住房面积为多少万m 2,才能使2020年底该城市人均住房面积至少为24m 2?(可参考的数据 1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).21已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{b n }的第二项,第三项,第四项. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }对任意自然数n ,均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c , 求c 1+c 2+c 3+……+c 2006值.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案D D A B C D C B A B A 12、3.2n-1 13、510 14、n (n+1)+1-2n 15、4n+2 16、495117、d=32,n=5018、解:由已知,得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =,解得12a =.将12a =代入②得()21324213n =--,即3243n =,解得n =5.∴ 数列{}n a 的首项12a =,项数n =5.19、解析:(1)、由41014185a S =⎧⎨=⎩∴11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩153a d =⎧⎨=⎩23+=∴n a n(2)、设新数列为{n b },由已知,223+⋅=n nbn n G n n n 2)12(62)2222(3321+-=+++++=∴ *)(,62231N n n n ∈-+⋅=+20.解 设从2002年起,每年平均需新增住房面积为x 万m 2,则由题设可得下列不等式19500619500(10.01)24x ⨯+≥⨯+⨯解得605x ≥.答:设从2002年起,每年平均需新增住房面积为605万m 2. 21、解:(1)由题意得(a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.(2)当n =1时,c 1=3 当n ≥2时,,1n n nna abc -=+ 132-⋅=n n c ,⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n22005200612200632323233c c c ∴++⋯+=+⨯+⨯+⋯+⨯=。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+,则2021S =( )A .20192020B .20202021C .20212022D .101010112.某大楼共有12层,有11人在第一层上了电梯,他们分别要去第2至12层,每层1人,因特殊原因,电梯只能停在某一层,其余10人都要步行到所要去的楼层,假设初始的“不满意度”为0,每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,要使得10人“不满意度”之和最小,电梯应该停在第几层( ) A .7B .8C .9D .103.在等比数列{n a }中,13a =,424a =,则345a a a ++的值为( ) A .33B .72C .84D .1894.数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-(*n ∈N ),若173a a ka +=,则实数k 等于( ) A .2B .3C .269D .2595.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若数列{}12n S a -也为等比数列,则43a a =( ). A .2B .1C .32D .126.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,81335a a =,则n S 中最大的是( ). A .10SB .11SC .20SD .21S7.已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=,若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯,则()1nii i xy =+=∑( )A .0B .nC .2nD .3n8.已知{}n a 是公比为整数的等比数列,设212n nn na ab a -+=,n ∈+N ,且113072b =,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,若2020n S ≥,则n 的最小值为( ) A .11B .10C .9D .89.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,523S =,360n S =,5183n S -=,则n =( ) A .18B .19C .20D .2110.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1000S >,1010S <,则满足10n n a a +<的n =( )A .50B .51C .100D .10111.若n S 是等比数列{}n a 的前项和,3S ,9S ,6S 成等差数列,且82a =,则25a a +=( ) A .12-B .4-C .4D .1212.等差数列{}n a 中,10a >,310S S =,则当n S 取最大值时,n 的值为 ( ) A .6B .7C .6或7D .不存在二、填空题13.数列{}n a 中,1111,,21n n n a a a a --==+则n a =_____________.14.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,公比()0,1q ∈.若355a a +=,264a a =,2log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.15.已知{}n a 为等差数列,其公差为2-,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,则10S 的值为__________.16.等比数列{}n a 的各项均为正数,且2414a a =,则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上,11a =,数列{}n a 通项为__________.18.定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数.已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈,若20154a a =,记数列{}n a 的前n项和为n S ,则2015S 的值为___________. 19.已知数列{}n a 的通项公式为3217n n a n -=-,前n 项和为n S ,则n S 取得最小值时n 的值为_________.20.已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅,若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立,则整数λ的最大值为_____.三、解答题21.已知数列{}n a 满足1*111,33().n n n a a a n ++==+∈N(1)求证:数列{}3nna 是等差数列. (2)求数列{}n a 的通项公式.(3)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 求证:37.324n n S n >- 22.已知n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根,记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中[]x 表示不超过x 的最大整数且n *∈N 若.130n n a a ++⋅>恒成立,求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)数列{}n a 的前n 项和n S .23.已知数列{}n a 满足11a =,13(1)n n na n a +=+. (1)设nn a b n=,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .24.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知23S =,()*11n n a S n +=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()()111n n n n a b a a +=++,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:12n T <.25.已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,前n 项和为n S ,且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ,2a ,6a 成等比数列;③535S =,这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置,并根据你的选择解决问题). (1)求n a ﹔ (2)设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:13n T <. 26.已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈,{}n b 是递增等比数列,且11b a =,35b a =.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若()*N n n n c a b n =⋅∈,求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】由1(2)n n na n a +=+,可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,数列{}(1)n n n a +为常数列,令1n =,可得1(1)21n n n a a +==,进而可得1(1)n a n n =+,利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =,对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+, 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++,可得数列{}(1)n n n a +为常数列, 有1(1)2n n n a a +=,得(1)1n n n a +=,得1(1)n a n n =+,又由111(1)1n a n n n n ==-++,所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=. 故选:C 【点睛】方法点睛:数列求和的方法(1)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法(2)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(4)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(5)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.2.C解析:C 【分析】根据题意,假设电梯所停的楼层,表达出“不满意度”之和,利用等差数列的求和公式即可求得结论. 【详解】解:设电梯所停的楼层是(212)n n ,则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+开口向上,对称轴为5396x =≈, 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==.故选:C . 【点睛】本题考查数列知识,考查函数思想的运用,考查计算能力,求得“不满意度”之和是关键.3.C解析:C 【分析】根据341a a q =,可求出q ,再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =,即3243q =,所以2q,所以22313212a a q ==⨯=,44513248a a q ==⨯=,所以34512244884a a a ++=++=. 故选:C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用,属于基础题.4.C解析:C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ,然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-, 所以111a S ==,当2n ≥时,()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-,111a S ==适合上式,故43n a n =-,因为173a a ka +=, ∴1259k +=, 解可得269k = 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式,考查来了运算能力,属于中档题.5.D解析:D【分析】分公比是否为1进行讨论,再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解:设等比数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,()1111222n S a na a n a -=-=-, 则{}12n S a -不为等比数列,舍去, 当1q ≠时,()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----, 为了符合题意,需11201a a q -=-,得12q =,故4312a q a ==. 故选D . 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式,定义,考查逻辑推理能力以及运算求解能力,属于中档题.6.C解析:C 【解析】分析:利用等差数列的通项公式,化简求得20210a a +=,进而得到20210,0a a ><,即可作出判定.详解:在等差数列{}n a 中,18130,35a a a >=,则113(7)5(12)a d a d +=+,整理得12390a d +=,即()()1119200a d a d +++=, 所以20210a a +=,又由10a >,所以20210,0a a ><,所以前n 项和n S 中最大是20S ,故选C .点睛:本题考查了等差数列的通项公式,及等差数列的前n 项和n S 的性质,其中解答中根据等差数列的通项公式,化简求得20210a a +=,进而得到20210,0a a ><是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.7.D解析:D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称,函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称,然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=,∴()f x 的图像关于点()2,1对称,而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称,设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑,则111ni n n i x x x x -==++∑,()()()1211124ni n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑,12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑,则111ni n n i y y y y -==++∑,()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑,1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑,故选:D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用,考查了倒序相加法求和,解题的关键是找出中心对称点,属于中档题.8.B解析:B 【分析】设{}n a 是公比为q ,根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q,数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ,由212n nn na ab a -+=,n ∈+N ∴1n n n b qq -=+,又113072b =即10113072q q +=,又q Z ∈,知:2q∵{}n b 的前n 项和为n S ,则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时,3(21)2020n -≥,n ∈+N 解得10n ≥ 故选:B 【点睛】本题考查了数列,由数列的递推关系及已知条件求公比,进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9.A解析:A 【分析】根据题意,由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===,变形可得3235a =,又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-,变形可得21775n a -=,结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意,等差数列{}n a 中,523S =,则()155355232a a S a+⨯===,变形可得3235a =, 又由360n S =,5183n S -=,则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-,则21775n a -=, 又由360n S =,则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====,解可得18n =. 故选:A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数,同时也考查了等差数列基本性质的应用,考查计算能力,属于中等题.10.A解析:A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>;510a <,进而可得500a >,据此分析可得答案. 【详解】根据题意,等差数列{}n a 中,1000S >,1010S <, 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>,则有50510a a +>;又由110110151()10110102a a S a +⨯==<,则有510a <;则有500a >,若10n n a a +<,必有50n =; 故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用,涉及等差数列的性质,属于基础题.11.C解析:C 【分析】当公比q=1时,易推断不符合题意,故q 1≠,然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程,再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ,当1q =时,2n a =,则36S =,612S =,918S =,此时396,,S S S 不成等差数列,不符合题意,舍去;当1q ≠时,∵396,,S S S 成等差数列,∴3692S S S +=, 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---,即96320q q q --=,解得312q =-或31q =(舍去)或30q =(舍去), ∴8268a a q ==,8534a a q ==-,∴254a a +=,故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列;在应用等比数列的前n 项和公式时,公比不能为1,故在解题过程中,应注意公比为1的这种特殊的等比数列,以防造成漏解.12.C解析:C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ∵310S S = ∴()()113319913922a d a d ⨯-⨯-+=+∴160a d += ∴70a = ∵10a >∴当n S 取最大值时,n 的值为6或7 故选C二、填空题13.【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列 解析:121n - 【分析】 对1121n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=,从而可得数列1{}n a 是等差数列,求出数列1{}na 的通项公式,即可求出n a . 【详解】 因为1121n n n a a a --=+,所以11121112n n n n a a a a ---+==+,即1112n n a a --=,又111a ,所以数列1{}na 是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以11(1)221n n n a =+-⨯=-,所以121n a n =-. 故答案为:121n - 【点睛】本题主要考查取到数构造新数列,同时考查等差数列的概念及通项公式,属于中档题.14.8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析:8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式,先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式,再结合等差数列的求和公式,求得()92n n n S -=,进而得到92n nc -=,再结合数列{}n c 取值,即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中,若355a a +=,264a a =,所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩,解得3541a a =⎧⎨=⎩,所以253a a q =,解得12q =或12q =-,因为()0,1q ∈,所以12q =, 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==,则92n n S nc n -==, 当9,n n N +<∈时,902n nc -=>;当9n =时,0n c =;当10,n n N +>∈时,0n c <,故当8n =或9n =时,1212nS S S n+++取最大值. 故答案为:8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式,以及等差数列的前n 项和公式的应用,其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式,以及等差数列的求和公式,准确计算是解答解答的关键,着重考查推理与运算能力.15.110【分析】根据题意求出首项再代入求和即可得【详解】是与的等比中项解得故答案为:110【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及等差数列求和是基础题解析:110 【分析】根据题意,求出首项120a =,再代入求和即可得. 【详解】31124a a d a =+=-,711612a a d a =+=-,911816a a d a =+=-,7a 是3a 与9a 的等比中项,()()2111(12)416a a a ∴-=--,解得120a =,()101102010921102S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=.故答案为:110. 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和,是基础题.16.【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解:等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为:【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析:5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值,再利用对数的运算性质,求得结果.【详解】解:等比数列{a n }的各项均为正数, 且224314a a a ==,∴312a =, 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-,故答案为:5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质,考查运算求解能力,求解时注意对数运算法则的运用.17.【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得:∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为:【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --,整理得到1{}nS 是等差数列,公差2d =,然后由等差数列的通项公式得答案. 【详解】由题意可得:()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-, ∴1140n n n n s s s s ---+=.两边除以1n n s s -,并移向得出1114,(2)n n n S S --=, 1{}nS ∴是等差数列,公差4d =, 11111S a ==. ∴114(1)43nn n S =+-=-, 故143n S n =-. ∴当2n 时,()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----. 当1n =时,11a =不符合上式.()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩. 故答案为:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩. 【点睛】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了运算求解能力,属于中档题.18.7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为:【点睛】本题解析:7254 【分析】参数a 进行分类讨论,由已知求出数列的前几项,从中发现是以5为周期的,再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】 由题意34a a=,当2a ≥时,44a =,52a a =,6a a =,71a =,因此{}n a 是周期数列,周期为5,所以2015524a a a a ==≠,不合题意,当02a <<时,48a a=,54a =,6a a =,71a =,同理{}n a 是周期数列,周期为5,所以2015544a a a ===,1a =,1234518a a a a a ++++=,2015403187254S =⨯=.故答案为:7254. 【点睛】本题考查新定义问题,考查周期数列的知识,解决此类问题常采取从特殊到一般的方法,可先按新定义求出数列的前几项(本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ),从中发现周期性的规律,本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论.解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力,转化与化归的数学思想,即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来,用已学过的方法解决新的问题.19.8【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出的单调性可求出【详解】令解得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增所以取得最小值时的值为8故答案为:8【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法解题的关解析:8 【分析】求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令30217n n a n -=≥-,解得3n ≤或172n ≥,∴当3n ≤时,0n a ≥,n S 单调递增,当47n ≤≤时,0n a <,n S 单调递减, 当8n ≥时,0n a >,n S 单调递增, 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为:8. 【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法,解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.20.4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解:∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为:4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析:4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立,再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解:∵()102nn a n =+⋅>,∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->, 记232n nn b -=,112121223462n n n n n b n n b n ++--==--, ∴3n ≥时,11n nb b +<,即3n ≥时数列单调递减, 又∵ 1211,24b b =-=, ∴ ()3max 38n b b ==, ∴358λ->,即337588λ<-=,∴整数λ的最大值为4. 故答案为:4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数,考查化归转化思想,是中档题.三、解答题21.(1)证明见解析;(2)233nn a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭;(3)证明见解析. 【分析】(1)利用已知条件通分计算或者直接整理,证明11133n nn n a a ++-=,即证结论; (2)利用(1)求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式,即求得{}n a 的通项公式; (3)结合(2)的结果,利用错位相减法求得n S ,并计算整理3n n S ,根据7043n>⨯即证得结论. 【详解】解:(1)解法1:由()1*133n n n a a n N ++=+∈,得111111333313333n n n n n n nn n n n a a a a a a ++++++-+--===. 又11133a =,故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项,以1为公差的等差数列. 解法2:由()1*133n n n a a n N ++=+∈,得11133n nn n a a ++=+,即11133n n n n a a ++-=. 又11133a =,故数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以13为首项,以1为公差的等差数列. (2)由(1)得()111133n n a n =+-⨯,*N n ∈, 即233n n a n =-,故233n n a n ⎫⎛=-⋅ ⎪⎝⎭;(3)由(2)可知()121222213231333333n nn S n n -⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭① ()2312222313231333333n n n S n n +⎫⎫⎫⎛⎛⎡⎤⎛=-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+--⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎝⎭⎭⎭②由①②得1112397723133262n n n n S n n +++-⎫⎫⎛⎛=-⨯--=-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 故17732124n n n S +⎫⎛=-⨯+ ⎪⎝⎭,从而1737377372123343244324n n n n n n n S n n +⎫⎛-⨯ ⎪⎫⎛⎝⎭=+=-+>- ⎪⨯⨯⎝⎭. 【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)公式法:利用等差数列和等比数列前n 项和公式进行计算即可;(2)倒序相加法:如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法;(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求;(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中间的一些项可相互抵消,从而求得其和;(5)分组转化法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转换法分别求和再相加减;(6)并项求和法:一个数列的前n 项和可以两两结合求解,则称之为并项求和,形如()()1nn a f n =-类型,可采用两项合并求解.22.(1)*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩;(2)2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【分析】 (1)先令12n nx t =,根据所给方程,得到()()2312log 23n n n t n t n n ++=+,构造函数()()214log 2n g x x n x +=+,确定122n n n t +<<,再讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况,结合题中条件,即可求出数列的通项;(2)根据(1)的结果,讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况,利用分组求和的方法,结合等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】(1)因为n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x+-=+的实数根,令12n n x t =,则12n nx t =, 所以()()2312log 23n n n t n t n n ++=+,记()()214log 2n g x x n x +=+,显然()g x 单调递增,且2221log 32n n g n n n n n n n +⎛⎫=+<+<+ ⎪⎝⎭,()()222111log 13132n n g n n n n n n n ++⎛⎫=+++=++>+ ⎪⎝⎭, 所以122n n n t +<<, 当*21()n k k N =-∈时,2112n k k t k --<<<,则[]11122n n n n a t k x ⎡⎤-===-=⎢⎥⎣⎦; 当*2()n k k N =∈时,21122n k k t k +<<=+,则[]122n nn n a t k x ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦; 综上,*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩; (2)由(1)可得,*1,212(),22n n n k a k N n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩, 当*21()n k k N =-∈时,()()1352461......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++211121002412461122222......22222222224n n n n n n n +---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;当*2()n k k N =∈时,()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2220024224622222 (222)22222224n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+++++++++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 综上,2*21,214(),24n n n k S k N n n k ⎧-=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】 关键点点睛:求解本题的关键在于由n x 是关于x 的方程2121log 3n n x n n x +-=+的实数根,求出12n x 的范围,利用12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,通过讨论n 的奇偶,得出数列通项,即可求解.23.(1)证明见解析;(2)(21)3144n n n S -=+.【分析】(1)将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+,得到{}n b 为等比数列, (2)由(1)得到{}n a 的通项公式,用错位相减法求得n S 【详解】(1)由11a =,13(1)n n na n a +=+,可得131n na a n n+=+, 因为nn a b n=则13n n b b +=,11b =,可得{}n b 是首项为1,公比为3的等比数列, (2)由(1)13n n b -=,由13n na n-=,可得13n n a n -=⋅, 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅, 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅,上面两式相减可得:0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-, 则(21)3144n n n S -=+.【点睛】数列求和的方法技巧:(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.(4) 裂项相消法:用于通项能变成两个式子相减,求和时能前后相消的数列求和. 24.(1)12n n a ;(2)证明见解析.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-消去n S ,得到{}n a 为等比数列,公式法求通项公式; (2)把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++,用裂项相消法求出n T ,再证明12n T <.【详解】解:(1)∵11n n a S +=+,∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=,即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+,2123S a a =+=∴11a =,22a =,∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项,2为公比的等比数列,∴12n na(2)由(1)知()()()()11112111121212121n n nn n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n=-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差(比)数列的方法:定义法和等差(比)中项法;(2)数列求和的方法:公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法. 25.条件选择见解析;(1)32n a n =-;(2)证明见解析. 【分析】(1)由①可得11a =,由②可得13d a =,由③可得3127a a d =+=,选择①②、①③、②③条件组合,均得11a =,3d =,即得解析式; (2)可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭,由裂项相消法求出n T 即可证明.【详解】(1)①由()101051S a =+,得()11109105912a d a d ⨯+=++,即11a =; ②由1a ,2a ,6a 成等比数列,得2216a a a =,222111125a a d d a a d ++=+,即13d a =;③由535S =,得()15355352a a a +==,即3127a a d =+=; 选择①②、①③、②③条件组合,均得11a =,3d =, 故()13132n a n n =+-=-. (2)()()111111323133231n n nb a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴123n n T b b b b =++++11111111134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ∵n *∈N ,∴1031n >+,∴13n T <.【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于{}n n a b 结构,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,用错位相减法求和; (3)对于{}+n n a b 结构,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构,其中{}n a 是等差数列,公差为d ,则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用裂项相消法求和. 26.(1)()*21n a n n N =-∈,()1*3n nbn N -=∈;(2)()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈.【分析】(1)首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式,再根据条件求等比数列{}n b 的基本量,求数列{}n b 的通项公式;(2)()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈,利用错位相减法求和. 【详解】(1)当1n =时,111a S ==;当1n >时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-;当n=1时符合上式, ∴()*21n a n n N=-∈;∴111b a ==,359==b a , ∴数列{}n b 的公比3q =, ∴()1*3n n b n N -=∈;(2)由(1)可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈,∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,②①-②,整理得()*(1)31nn T n n N =-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式,求通项公式,和错位相减法求和,一般数列求和包含1.公式法,利用等差和等比数列的前n 项和公式求解;2.错位相减法求和,适用于等差数列乘以等比数列的数列求和;3.裂项相消法求和,适用于能变形为()()1n a f n f n =+-, 4.分组转化法求和,适用于n n n c a b =+;5.倒序相加法求和.。
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必修五阶段测试二(第二章 数列)时间:120分钟 满分:150分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中,公比q =-2,且a 3a 7=4a 4,则a 8等于( )A .16B .32C .-16D .-322.已知数列{a n }的通项公式a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n +1(n 为奇数),2n -2(n 为偶数),则a 2·a 3等于( ) A .8 B .20 C .28 D .303.已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3=b 3,2b 3-b 2b 4=0,则数列{a n }的前5项和S 5为( )A .5B .10C .20D .404.(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中,a n =-2n 2+29n +3,则此数列最大项的值是( )A .102 B.9658 C.9178D .108 5.等比数列{a n }中,a 2=9,a 5=243,则{a n }的前4项和为( )A .81B .120C .168D .1926.等差数列{a n }中,a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和,则( )A .S 1, S 2, S 3, …, S 10都小于零,S 11,S 12,S 13,…都大于零B .S 1,S 2,…,S 19都小于零,S 20,S 21,…都大于零C .S 1,S 2,…,S 5都大于零,S 6,S 7,…都小于零D .S 1,S 2,…,S 20都大于零,S 21,S 22,…都小于零7.(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn (a ,b ∈R ),且S 25=100,则a 12+a 14等于( )A .16B .8C .4D .不确定8.(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误的是( )A .d <0B .a 7=0C .S 9>S 5D .S 6和S 7均为S n 的最大值9.设数列{a n }为等差数列,且a 2=-6,a 8=6,S n 是前n 项和,则( )A .S 4<S 5B .S 6<S 5C .S 4=S 5D .S 6=S 510.(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中,a 1=1,a 2=23,且1a n -1+1a n +1=2a n(n ∈N *,n ≥2),则a 6等于( )A.17B.27C.72D .7 11.(2017·安徽蚌埠二中期中)设a n =1n sin n π25,S n =a 1+a 2+…+a n ,在S 1,S 2,…S 100中,正数的个数是( )A .25B .50C .75D .10012.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2+3n (n ∈N +),数列{b n }满足b n =1a n a n +1,则数列{b n }的前64项和为( )A.63520B.433 C .133 D.1132二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.等差数列{a n }中,a 4+a 10+a 16=30,则a 18-2a 14的值为________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2=1,a 8=a 6+2a 4,则a 6的值是________.15.(2017·广东实验中学)若数列{a n }满足a 1=1,且a n +1=4a n +2n ,则a 5=________.16.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =3+2n ,求a n ;(2)已知数列的前n 项和S n =2n 2+n ,求数列的通项公式.18.(12分)(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式;(2)若S 5=3132,求λ.19.(12分)(2017·唐山一中期末)已知等差数列{a n }满足:a 2=5,前4项和S 4=28.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和T 2n .20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=t ,a n +1=2S n +1(n ∈N *).(1)当t 为何值时,数列{a n }是等比数列;(2)在(1)的条件下,若等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值,且T 3=15,又a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3成等比数列,求T n .21.(12分)等差数列{a n }的各项都是整数,首项a 1=23,且前6项和是正数,而前7项之和为负数.(1)求公差d ;(2)设S n 为其前n 项和,求使S n 最大的项数n 及相应的最大值S n .22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n ,数列{b n }满足:b 1=-1,b n +1=b n +(2n -1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)求数列{b n }的通项公式b n ;(3)若c n =a n ·b n n,求数列{c n }的前n 项和T n .答案与解析1.A 在等比数列{a n }中,∵a 3a 7=a 4a 6=4a 4,∴a 6=4,∴a 8=a 6q 2=4×(-2)2=16.故选A.2.B 由已知得a 2·a 3=(2×2-2)(3×3+1)=20.3.B 由2b 3-b 2b 4=0,得2b 3=b 23,∴b 3=2,∴a 3=2,故S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=10,故选B. 4.D 将a n =-2n 2+29n +3看作一个二次函数,但n ∈N *,对称轴n =294开口向下, ∴当n =7时离对称轴最近,∴a n 的最小值为a 7=108,故选D.5.B 设等比数列的公比为q ,∴a 5=a 2·q 3,∴243=9×q 3,∴q =3.∴a 1=93=3. S 4=3(1-34)1-3=120,故选B. 6.B ∵a 10<0, ∴a 1+9d <0.∵a 11>0, ∴a 1+10d >0.又a 11>|a 10|, ∴a 1+10d >-a 1-9d .∴2a 1+19d >0.∴S 19=19a 1+19×182d =19(a 1+9d )<0. 排除A 、D.S 20=20a 1+20×192d =10(2a 1+19d )>0. 排除C. 故选B.7.B 由题可知数列{a n }为等差数列,∴S 25=25×(a 1+a 25)2=100,∴a 1+a 25=8, ∴a 12+a 14=a 1+a 25=8,故选B.8.C 由S 5<S 6,得S 6-S 5=a 6>0,由S 6=S 7,得S 7-S 6=a 7=0,∴d <0,S 9<S 8=S 5,故C 错.9.C 设等差数列的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =-6,a 1+7d =6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,d =2. ∴S n =-8n +n (n -1)2×2=n 2-9n , S 4=-20,S 5=-20,∴S 4=S 5,故选C.10.B 由已知可得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列. ∵a 1=1,a 2=23,∴1a 1=1,1a 2=32, ∴公差d =32-1=12,∴1a 6=1a 1+5d =1+52=72, ∴a 6=27. 11.D f (n )=sin n π25的周期T =50. a 1,a 2,…,a 24>0,a 25=0,a 26,a 27,…,a 49<0,a 50=0.且sin 26π25=-sin π25,sin 27π25=-sin 2π25,… ∴S 1,S 2,…,S 50都为正,同理,S 51,…,S 100都为正,故选D.12.B 由S n =n 2+3n ,可得a n =2(n +1),∴b n =12(n +1)×2(n +2)=14⎝⎛⎭⎫1n +1-1n +2, 则数列{}b n 的前64项和为T 64=14⎝⎛⎭⎫12-13+13-14+…+165-166=433,故选B. 13.-10解析:由等差数列的性质知,a 4+a 10+a 16=3a 10=30,∴a 10=10.∴a 18-2a 14=(a 10+8d )-2(a 10+4d )=-a 10=-10.14.4解析:∵a 8=a 6+2a 4,∴a 4q 4=a 4q 2+2a 4.∵a 4>0,∴q 4-q 2-2=0.解得q 2=2.又∵a 2=1,∴a 6=a 2q 4=1×22=4.15.496解析:∵a n +1=4a n +2n ,∴a 2=4a 1+2=6,a 3=4a 2+22=28;a 4=4a 3+23=120,a 5=4a 4+24=496.16.8解析:∵a 7+a 8+a 9=3a 8>0,∴a 8>0.又∵a 7+a 10=a 8+a 9<0,∴a 9<-a 8<0.∴数列{a n }的前8项和最大,即n =8.17.解:(1)当n =1时,S 1=a 1=3+2=5;当n ≥2时,∵S n =3+2n ,S n -1=3+2n -1,∴a n =S n -S n -1=2n -1,而a 1=5,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧5,n =1,2n -1,n ≥2. (2)∵S n =2n 2+n ,当n ≥2时,S n -1=2(n -1)2+(n -1),∴a n =S n -S n -1=(2n 2+n )-[2(n -1)2+(n -1)]=4n -1.又当n =1时,a 1=S 1=3,∴a n =4n -1.18.解:(1)证明:由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0. 由S n =1+λa n ,S n -1=1+λa n -1得a n =λa n -λa n -1,即a n (λ-1)=λa n -1,由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0.所以a n a n -1=λλ-1. 因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝⎛⎭⎫λλ-1n -1. (2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎫λλ-1n ,由S 5=3132得1-⎝⎛⎭⎫λλ-12=3132,即⎝⎛⎭⎫λλ-15=132,解得λ=-1.19.解:(1)由题得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =5,4a 1+6d =28,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4, ∴a n =1+4(n -1)=4n -3.(2)b n =(-1)n (4n -3),T 2n =b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n -1+b 2n=(-1+5)+(-9+13)+…+(-8n +7+8n -3)=4n .20.解:(1)由a n +1=2S n +1,可得a n =2S n -1+1(n ≥2).两式相减得a n +1-a n =2a n ,即a n +1=3a n (n ≥2).∴当n ≥2时,{a n }是等比数列.要使n ≥1时,{a n }是等比数列,则只需a 2a 1=2t +1t=3,从而t =1,即当t =1时,数列{a n }是等比数列.(2)设{b n }的公差为d ,由T 3=15,得b 1+b 2+b 3=15,于是b 2=5. 故可设b 1=5-d ,b 3=5+d ,又a 1=1,a 2=3,a 3=9,由题意可得(5-d +1)(5+d +9)=(5+3)2.解得d 1=2,d 2=-10.∵等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值,∴d <0,d =-10.∴T n =15n +n (n -1)2×(-10)=20n -5n 2.21.解:(1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧S 6>0,S 7<0. ∴⎩⎨⎧ 6a 1+12×6×5d >0,7a 1+12×7×6d <0.∴-465<d <-233,又等差数列各项都是整数, ∴d =-8或d =-9.(2)当d =-8时,S n =23n +12n (n -1)(-8)=-4n 2+27n . 当n =3时,S n 最大,(S n )max =45.当d =-9时,S n =23n +12n (n -1)×(-9)=-92n 2+552n . 当n =3时,(S n )max =42.22.解:(1)S n =3n ,S n -1=3n -1(n ≥2),∴a n =3n -3n -1=2×3n -1(n ≥2). 当n =1时,a 1=S 1=3≠2×31-1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,2×3n -1,n ≥2. (2)∵b n +1=b n +(2n -1),∴b 2-b 1=1,b 3-b 2=3,b 4-b 3=5,…,b n -b n -1=2n -3,以上各式相加得,b n -b 1=1+3+5+…+(2n -3)=(n -1)(1+2n -3)2=(n -1)2. 又b 1=-1,故b n =n 2-2n .(3)由题意得,c n =a n ·b n n= ⎩⎪⎨⎪⎧-3,n =1,2(n -2)×3n -1,n ≥2. 当n ≥2时,T n =-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+…+2×(n -2)×3n -1, ∴3T n =-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+…+2×(n -2)×3n . 两式相减得,-2T n =6+2×32+2×33+…+2×3n -1-2×(n -2)×3n , ∴T n =-(3+32+33+…+3n -1)+(n -2)×3n =(n -2)×3n -3n -32=(2n -5)3n +32. 又T 1=-3=(2×1-5)×31+32,符合上式,∴T n =(2n -5)3n +32(n ∈N *).。