最新重庆中考数学25题专题及答案
重庆市中考数学25题
重庆市中考数学专题1、（一中2019级初三下入学考试）《见微知著》读到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思维阀门发现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思维难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等。
例如：11111,1=+++=ba ab 求证：证明：111111=+++=+++=b b b b a ab ab 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到一个蘑菇或者作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题：我们有更多的式子满足以上特征。
阅读材料二： 基本不等式()0,02 b a b a ab +≤，当且仅当b a =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具；例如：在0 x 的条件下，当x 为何值时，xx 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0 x ，01 x ，∴xx x x 121⋅≥+，即2121=⋅≥+x x x x ，∴21≥+x x 当且仅当x x 1=，即1=x 时，x x 1+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知1=ab ，求下列各式的值： ①=+++221111b a ； ②=+++n n b a 1111 ；（2）若1=abc ，解方程.1151515=++++++++c ca cx b bc bx a ab ax（3）若正数b a 、满足1=ab ，求ba M 21111+++=的最小值。
2、（巴蜀2019级初三下开学考试）材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子。
在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与划归的目的。
例如在求解一元四次方程,012,0122224=+-==+-t t t x x x 则原方程变为时，令解得,1=t ，从而解得原方程的解为.1±=x材料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。
2022年重庆中考数学25题专题复习二次函数综合题平移基础类
2022级重庆中考数学25题专题复习二次函数综合题平移基础类1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，-4），直线x=-2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=-x2从点O沿OA方向平移，与直线x=-2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA所在直线的函数解析式是______；（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图1，已知直线l：y=-x+2与y轴交于点A，抛物线y=（x-1）2+m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l的点D处，点D的横坐标n（n ＞1）．（1）求点B的坐标；（2）平移后的抛物线可以表示为______（用含n的式子表示）；（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．①请写出a与n的函数关系式．②如图2，连接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =√33x 2-2√33x -√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，求P 点坐标？（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线y =√33x 2-2√33x -√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，已知二次函数y =ax 2+bx +3（a ≠0）的图象经过点A （3，0），B （4，1），且与y轴交于点C ，连接AB 、AC 、BC ． （1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC 的形状；若△ABC 的外接圆记为⊙M ，请直接写出圆心M 的坐标； （3）若将抛物线沿射线BA 方向平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别记为点A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的外接圆记为⊙M 1，是否存在某个位置，使⊙M 1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a-5的顶点为D，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=6．（1）求抛物线C1的解析式及顶点D的坐标；x沿y轴向下平移m个单位（m＞0），若平移后的直线与抛物线C1（2）将直线y=-13相交于点M、N（点M在点N的左边），且MN=√10，求m的值；（3）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点P旋转180°后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为C，与x轴相交于E、F两点（点E在F的左边），当以点D、C、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点C的坐标．6.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）（1）求此抛物线解析式；（2）在抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离是√10，求点D的坐标；（3）如图2，将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线C1，若直线y=m与新抛物线C1交于P、Q两点，点M是新抛物线C1上一动点，连接PM，并将直线PM沿y=m 翻折交新抛物线C1于N，过Q作QS∥y轴，求证：QS必定平分MN．7.如图，抛物线C：y=ax2+bx+3与x轴的两个交点坐标为A（-3，0），B（-1，0）．（Ⅰ）求抛物线C的解析式；（Ⅱ）设抛物线C的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点E，交直线OM于点F．现保持抛物线C的形状和开口方向，使顶点沿直线OM移动（O为坐标原点）．在平移过程中，当抛物线与线段EF（含端点E、F）只有一个公共点时，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（Ⅲ）将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点．问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PMN的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8.在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）．（1）探究与猜想：若A（1，y a）、B（0，y b）、C（-1，y c）三点均在C1上，连接BC，作AE∥BC交抛物线C1于E．①探究，取a=1，则点E的坐标为______．②猜想：当a值变化时，E点总在直线______上，验证你的猜想．（2）如图2，若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到抛物线C2，C2交x轴于M，交y轴于N，直线y=kx-9交抛物线C2于P，Q，当PM∥QN时，求k的值．9.在平面直角坐标系中，已知顶点为P的抛物线C1的解析式是y=a（x-3）2（a＞0），且经过点（0，1）．（1）求a的值；（2）如图1，将抛物线C1向下平移h（h＞0）个单位长度得到抛物线C2，过点M（0，m2）（m＞0）作直线l平行于x轴，与两抛物线从左到右分别相交于A、B、C、D四点，且A、C两点关于y轴对称．①点G在抛物线C1上，当m为何值时，四边形APCG是平行四边形？②如图2，若抛物线C1的对称轴与抛物线C2交于点Q，试证明：在M点的运动过程中，MC PQ =34恒成立．10.如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（-3，0），B两点，四边形ABCD是边长为4的正方形，且抛物线的顶点E落在过B的直线l上.（1）求顶点E的坐标；（2）将抛物线沿着射线EB方向平移，使顶点仍落在直线l上，且平移后的抛物线过点C，求平移后抛物线的解析式.11.如图1，抛物线C1：y=ax2-2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，B（1，0），第二象限内有一点P在抛物线C1上运动，OP交线段AC于点E．（1）求抛物线C1的解析式及点A坐标；（2）若PE：OE=2：3，求P点坐标；（3）如图2，将抛物线C1向右平移，使平移后的摊物线C2的顶点D在y轴上，P是抛物线C2在第二象限图象上的动点，作P关于y轴的对称点P′，连接PO并延长交抛物线C2于点Q，连接QP′并延长交y轴于点N，求证：ND=OD．12.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-1x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角2三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究PQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；NP+BQ若不存在，请说明理由．13.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）经过点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），A（-1，0），C（4，0），连接AB，BC，点M（0，-1）2为y轴负半轴上的一点，连接AM并延长交抛物线于点E，点D为线段AE上的一个动点，过点D作y轴的平行线与抛物线交于点F，与线段BC交于点N（1）求出抛物线的表达式及直线BC的表达式（2）在点D运动的过程中，点FN的值最大时，在线段BC上是否存在一点H，使得△FNH 与△ABC相似，如果存在，求出此时H点的坐标（3）当DF=4时，连接DC，四边形ABCD先向上平移一定单位长度后，使点D落在x 轴上，然后沿x轴向左平移n（1＜n＜4）个单位长度，用含n的表达式表示平移后的四边形与原四边形重叠部分的面积S（直接写出结果）14.如图所示，已知二次函数y=x2-3x+2的图象l1的顶点为点D，与x轴的交点为点A、E（点A位于点E的左侧），与y轴的交点为B．连接AB，将△ABO绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，得到△ACF．（1）如图①，求点C的坐标；（2）如图②，将二次函数y=x2-3x+2的图象l1沿y轴向下平移后，得到的二次函数y=ax2+bx+c的图象l2经过点C、顶点为D1、与y轴的交点为B1，连接DD1．①求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；②点N为平移后得到的二次函数图象l2上的动点，点N的坐标为（n，m），且n＞0．是否存在这样的点N，使△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-√33x 2+bx +c 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ，B （-3，0），A （0，√3） （（1）求抛物线解析式及D 点坐标；（2）如图1，P 为线段OB 上（不与O 、B 重舍）一动点，过点P 作y 轴的平行线交线段AB 于点M ，交抛物线于点N ，点N 作NK ⊥BA 交BA 于点K ，当△MNK 与△MPB 的面积相等时，在X 轴上找一动点Q ，使得12CQ +QN 最小时，求点Q 的坐标及12CQ +QN 最小值；（3）如图2，在（2）的条件下，将△ODN 沿射线DN 平移，平移后的对应三角形为△O ′D ′N ′，将△AOC 绕点O 逆时针旋转到A 1OC 1的位置，且点C 1恰好落在AC 上，△A 1D ′N ′是否能为等腰三角形，若能求出N ′的坐标，若不能，请说明理由．16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=ax2-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l与抛物线M交于另一点D，且D点的横坐标为6．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴．（2）若点E是直线L上方抛物线上的动点，且△ADE的面积的最大值为49，求a的值．（3）将抛物线平移到顶点与原点重合，过点F（0，-2）的直线与平移后的抛物线交于点G、H．若∠GOH=90°，△GOH的面积为4√2，求直线GH的解析式．第11页，共11页。
重庆数学中考试题及答案
重庆数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么斜边的长度是？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 * 4B. 5 / 2C. 7 - 2D. 8 ÷ 2答案：B4. 下列哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + x + 1 = 0C. x^3 - 2x^2 + x = 0D. x^2 - 4 = 0答案：B5. 圆的周长公式是？A. C = πdB. C = 2πrC. A = πr^2D. A = πd^2答案：B6. 一个数的平方根是它自己，这个数是？A. 1B. -1C. 0D. 2答案：C7. 以下哪个是立方体的体积公式？A. V = a^2B. V = a^3C. V = 2aD. V = πa^3答案：B8. 一个数的倒数是1/5，这个数是？A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A9. 以下哪个是正弦函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 双曲线答案：C10. 如果一个角的正弦值是0.5，那么这个角的度数是？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知一个数的平方是25，这个数是________。
答案：±512. 一个圆的半径是7，那么它的直径是________。
答案：1413. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，它的体积是________。
答案：2414. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角是60°，那么底角是________。
答案：60°15. 一个数的立方是-27，这个数是________。
答案：-316. 一个直角三角形的两个直角边分别是6和8，那么斜边的长度是________。
2024重庆中考复习第25题-二次函数综合题
2024重庆中考复习第25题-二次函数综合题2024年重庆中考复习第25题为一道关于二次函数的综合题。
由于题目没有具体给出，我将为您提供一道关于二次函数的综合题，并给出一个详细的解答，希望能对您的复习有所帮助。
题目：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
已知f(1) = 0，f(3) = 0，f(4) = 6、求函数f(x)的表达式。
解答：根据题目已知条件，我们可以列出以下方程组：1)f(1)=0：a(1)^2+b(1)+c=0a+b+c=0--(1)2)f(3)=0：a(3)^2+b(3)+c=09a+3b+c=0--(2)3)f(4)=6：a(4)^2+b(4)+c=616a+4b+c=6--(3)现在我们有一个包含三个未知数（a，b，c）的方程组。
我们可以通过解这个方程组来求出函数f(x)的表达式。
首先，我们可以通过方程(1)和方程(2)的消元法得到一个新的方程。
(2)-(1)得：9a+3b+c-(a+b+c)=08a+2b=04a+b=0--(4)然后，我们可以通过方程(4)和方程(3)的消元法得到另一个新的方程。
(4)×4得：16a+4b=0将这个方程代入到方程(3)中，得到：16a+4b+c=6将16a+4b=0代入到上式，得到：c=6现在我们已经得到了a、b和c的值。
将这些值代入到函数f(x) =ax^2 + bx + c中，即可得到函数f(x)的表达式。
将a=-1、b=4和c=6代入到函数f(x)中，得到：f(x)=-x^2+4x+6所以，函数f(x)的表达式为f(x)=-x^2+4x+6以上就是针对2024年重庆中考复习第25题的一道关于二次函数的综合题的解答。
希望能对您的复习有所帮助。
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2024重庆中考数学试卷
2024重庆中考数学试卷一、下列实数中，是无理数的是：A. 3.14B. √2 （答案）C. 0D. -1/3二、若a//b，b//c，则a与c的关系是：A. a//c （答案）B. a⊥cC. a与c相交但不垂直D. a与c无法确定关系三、在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 70°，则∠C的度数是：A. 50°B. 60° （答案）C. 70°D. 80°四、下列运算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. (a2)3 = a5C. a6 ÷ a3 = a3 （答案）D. a2 · a4 = a6 （此选项也正确，但题目要求单选，故不作为答案）五、若一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)有两个相等的实数根，则判别式Δ = b2 - 4ac的值是：A. Δ > 0B. Δ < 0C. Δ = 0 （答案）D. Δ无法确定六、在平面直角坐标系中，点P(-3,4)到x轴的距离是：A. -3B. 3C. 4 （答案）D. 5七、下列函数中，是一次函数的是：A. y = x2 + 1B. y = 1/xC. y = 2x - 1 （答案）D. y = √x八、若圆的半径为r，则圆的面积S与r之间的函数关系是：A. S = πrB. S = 2πrC. S = πr2 （答案）D. S = 2πr2九、在比例尺为1:50000的地图上，两城市间的图上距离为2cm，则这两城市间的实际距离为：A. 1kmB. 100mC. 1000m （答案）D. 10km十、已知数据x₁，x₁，…，x₁的平均数为5，若每个数据都加3，则新数据的平均数为：A. 2B. 5C. 8 （答案）D. 10。
重庆中考数学25题二次函数专项训练：平行四边形的存在性
第二讲 平行四边形的存在性例1、（2022•重庆A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221与直线AB 交于点A （0，4-），B （4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC+PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC+PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．练习1、（2022•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=243与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ，交AB 于点M ，求PM+56AM 的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P 关于抛物线c bx x y ++-=243的对称轴对称．将抛物线c bx x y ++-=243向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P′、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．练习2、如图1，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （4-，0），B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD+PH 的最大值及此时点P 的坐标；（3）把抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 向右平移23个单位，再向上平移165个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M ，在新抛物线上找一点N ，直接写出所有使得以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．练习3、（选讲）在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴的交点为A(1-，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接AC ，BC ，P 是第一象限内抛物线上一动点，过点P 作PT ⊥x 轴交BC 于点T ，过点P 作PR//AC 与BC 交于点R ．求△PRT 的周长的最大值以及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线沿CA 方向平移，使得新抛物线'y 刚好经过点A ，设M 为新抛物线上一点，N 为原抛物线对称轴上一点，当点B ，C ，M ，N 组成的四边形为平行四边形时，直接写出点N 的纵坐标．自我巩固1、（2021•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （1-，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接PA ，PD ，求⊥PAD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 沿射线AD 平移24个单位，得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．。
中考数学重庆试题及答案
中考数学重庆试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 已知一个长方体的长、宽、高分别为10cm、8cm和6cm，其体积是多少立方厘米？A. 480B. 240C. 360D. 3203. 一个数的60%加上它的25%等于它的多少？A. 75%B. 85%C. 90%D. 100%4. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. 1/3D. -25. 一个班级有48名学生，其中2/3是男生，女生有多少人？A. 16B. 24C. 32D. 406. 一个数的1/4与它的1/2的和是一个整数，这个数最小是多少？A. 4B. 8C. 12D. 167. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 168. 下列哪个表达式等于2？A. (-1)^2B. √4C. |-2|D. 1 + 1/29. 一个数除以3的商是6，余数是2，这个数是多少？A. 20B. 18C. 17D. 1610. 一个等差数列的前三项分别是2, 5, 8，那么第6项是多少？A. 13B. 15C. 18D. 20二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的1.5倍是45，这个数是______。
12. 一个长方体的长是15cm，宽是10cm，高是8cm，它的表面积是______平方厘米。
13. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是______元。
14. 一个数的3/4加上它的1/2等于2，这个数是______。
15. 一个班级有40名学生，其中3/5是女生，男生有______人。
16. 一个正方形的边长增加2cm后，面积增加了12平方厘米，原来正方形的边长是______厘米。
17. 一个数的2/3等于另一个数的3/4，这个数是______。
18. 一个数除以5的商是10，余数是3，这个数是______。
19. 一个等差数列的前5项的和是75，那么第3项是______。
2022中考数学专题25 命题与证明(专项训练)(解析版)
专题25 命题与证明一、单选题1．（2021·河南九年级）能说明命题“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题的反例为（ ）A ．2n =-B ．1n =-C ．0n =D ． 6.8n =【答案】D【分析】计算一元二次方程根的判别式即可【详解】依题意“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题则：2(4)40n ∆=--< 解得：4n >故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，命题与假命题的概念，熟悉概念是解题的关键．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中）下列命题，真命题是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有一个角为直角的四边形为矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【分析】由题意根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B 、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；D 、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2021·山西九年级）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想【答案】D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．4．（2021·湖南九年级）下列各命题是真命题的是（）A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B．平行四边形一定是中心对称图形C．有一个内角为60 的平行四边形是菱形D．三角形的外角等于它的两个内角之和【答案】B【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．【详解】解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021·广西九年级）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；故选B ．6．（2021·浙江）下列选项中，可以用来证明命题“若a ＞b ，则1a ＜1b ”是假命题的反例是（ ）A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝2，b ＝﹣1C ．a ＝﹣2，b ＝1D ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 【答案】B【分析】把各选项提供的数据代入计算，进行比较即可求解．【详解】解：A.当 a ＝2，b ＝1时，111,12a b ==，则11a b ＜，无法说明原命题为假命题，不合题意； B. 当a ＝2，b ＝﹣1时，111,12a b ==-，则11a b＞，说明原命题为假命题，符合题意； C.当 a ＝﹣2，b ＝1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意．D.当 a ＝﹣2，b ＝﹣1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意． 故选：B【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．7．（2021·辽宁九年级）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．同位角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．若0a >，0b >，则0a b +>【答案】B【分析】 分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A 、若a b =，则||||a b =的逆命题是若||||a b =，则a b =，逆命题是假命题，不符合题意；B 、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．8．（2021·辽宁九年级）下列说法错误．．的是（ ） A ．“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等C ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D ．函数1y x=-的图象经过点()1,1- 【答案】A【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A 错误，符合题意； 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，B 正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，C 正确，不符合题意；因为1x =时，11y x =-=-，所以函数1y x=-的图象经过点(1,1)-，D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（2021·湖南九年级）下列说法正确的是（ ）A ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；C 、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2021·重庆九年级）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C ．菱形的对角线相等D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】由平行四边形的判定得出A 错误；由矩形的判定得出B 不正确；由菱形的定义得出C 正确；由菱形的判定得出D 正确；即可得出答案．【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A 不正确；B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B 不正确；C. 菱形的对角线互相垂直平分∴C 不正确；D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形∴不正确;故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题11．（2021·山西九年级）若举反例说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题时，令a 的值为5,b -的值为2-，则可给c 取一个具体的值为_______．【答案】1c =-（答案不唯一）【分析】“若a b <时，则ac bc <”是假命题，则a b <时，ac ≥bc ，即可．【详解】解：ac -bc ≥0,c （a -b ）≥0-3c ≥0c ≤0即可.故答案为：1c =-（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题，掌握真假命题是解题的关键．12．（2021·江苏无锡市·）请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：_____________________________．【答案】如果同位角相等，那么两直线平行【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．【详解】解：原命题是：两直线平行，同位角相等．改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．【点睛】本题是一道命题与定理的概念试题，考查了命题的组成，原命题与逆命题的关系．13．（2021·安徽合肥·）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题________________【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【详解】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判定，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题结论，而第一个命题的结论是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题．14．（2021·安徽九年级）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．【答案】相等的角是对顶角【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2021·江苏九年级）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.【详解】∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.【点睛】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．三、解答题16．（2021·贵州九年级）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形．．．．，写出已知．．．．、求证和证明．．．．．． 【答案】见解析【分析】过点A 作//EF BC ，由两直线平行，内错角相等得到1B ∠=∠，2C ∠=∠，再根据平角的定义解题．【详解】已知：如图，ABC ．求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：过点A 作//EF BC ，∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，∵12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴180B BAC C ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．【答案】（1）甲：1，2，3，4，5；乙：6，8，10，12；丙：7，9，11；丁：13，15；（2）甲丙丁、甲丁丙、丙甲丁、丁甲丙，共4种情况【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理．（2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果．【详解】（1）由所选的座位号之和最小可知，甲先选：5，3，1，2，4；则乙选：6，8，10，12；丙选11，9，7；丁选15，13．（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．Ⅰ若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．此时丁可选的座位号为12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．Ⅱ若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时丙可选的座位号为10，12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丁、丙．②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．Ⅰ若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丁可选的座位号为13，11．即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．Ⅱ若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．Ⅰ若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丙可选的座位号为13，11，9．即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．Ⅱ若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．【点睛】本题考查推理与论证，理解题意并利用分类讨论的思想是解答本题的关键．18．（2021·河南九年级）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2），在O 中，弦AB CD ⊥于M ，连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点，EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H ，当M 是AB 中点时，直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．【答案】（1）见解析；（2）菱形【分析】（1）先写出已知、求证，先证明BMF MAF ∠=∠，再证明DE ME =，DE CE =即可证明 （2）先证明CE CF =，再证明AC BC =,由布拉美古塔定理证明ME EC CF FM ===即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 证明：,AC BD EF AB ⊥⊥9090BMF AMF MAF AMF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，，BMF MAF ∴∠=∠，EDM MAF EMD BMF ∠=∠∠=∠，， EDM EMD ∴∠=∠， DE ME ∴=，同理可证ME CE =，DE CE ∴=， ∴点E 是DC 的中点故答案为：已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 （2）四边形EMFC 是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，,E F 分别是,AC BC 的中点， 11,22CE AC CF CB ∴== AB CD ⊥ 11,22ME AC MF CB ∴== AB CD M ⊥，是AB 中点AC BC ∴=ME EC CF FM ∴===∴四边形EMFC 是菱形 故答案为：四边形EMFC 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 19．（2020·江苏鼓楼区·）点E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 上的点． （1）如图，若CE ＝CF ，求证AE ＝AF ；（2）判断命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【答案】（1）见解析；（2）假命题，见解析 【分析】（1）连接AC ，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可． 【详解】解：（1）连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ACE ＝∠ACF ， 在△ACE 与△ACF 中CE CF ACE ACF AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）， ∴AE ＝AF ，（2）当AE ＝AF ＝AF'时，CE ≠CF'，如备用图，∴命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”是假命题． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．20．（2020·丰台·北京十八中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：（1）则甲同学错的是第题；（2）丁同学的得分是；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）．【答案】（1）5；（2）3；（3）A【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为5;（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为3;（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键. 21．（2020·浙江台州·九年级期末）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ．(2)如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan ∠DBC 的值．【答案】(1)见解析；(2)①DEtan ∠DBC． 【分析】（1）①证明△ABE ≌△DCE （SAS ），得出△ABE ∽△DCE 即可； ②连接AC ，由自相似菱形的定义即可得出结论； ③由自相似菱形的性质即可得出结论； （2）①由（1）③得△ABE ∽△DEA ，得出AB BE AEDE AE AD==，求出AE ＝，DE ＝②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，则四边形DMEN 是矩形，得出DN ＝EM ，DM ＝EN ，∠M ＝∠N ＝90°，设AM ＝x ，则EN ＝DM ＝x +4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM ＝1，EN ＝DM ＝5，由勾股定理得出DN ＝EM，求出BN ＝7，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下： 如图3所示：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点， ∴AB =CD ，BE =CE ，∠ABE =∠DCE =90°， 在△ABE 和△DCE 中 AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△ABE ≌△DCE (SAS )， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C ＞90°，且∠ABC +∠C =180°，△ABE 与△EDC 不能相似， 同理△AED 与△EDC 也不能相似， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB =∠DAE ，当∠AED =∠B 时，△ABE ∽△DEA ，∴若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点， 则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ， 故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点， ∴BE =2，AB =AD =4， 由(1)③得：△ABE ∽△DEA ， ∴AB BE AEDE AE AD== ∴AE 2=BE •AD =2×4=8，∴AE DE =AB AE BE ⋅，故答案为：AE DE②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则四边形DMEN 是矩形， ∴DN =EM ，DM =EN ，∠M =∠N =90°， 设AM =x ，则EN =DM =x +4，由勾股定理得：EM 2=DE 2﹣DM 2=AE 2﹣AM 2，即2﹣(x +4)22﹣x 2， 解得：x =1， ∴AM =1，EN =DM =5，∴DN =EM = 在Rt △BDN 中， ∵BN =BE +EN =2+5=7，∴tan ∠DBC =DN BN =【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．22．（2020·渠县崇德实验学校九年级）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：）则丁同学的得分是；（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）【答案】（1）3；（2）CACCC【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，。
重庆数学中考试题及答案
重庆数学中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 1D. x = 4答案：B2. 一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足三角形的三边关系，那么x的取值范围是？A. 1 < x < 7B. 2 < x < 5C. 3 < x < 7D. 1 < x < 5答案：C3. 一个数的平方根是4，那么这个数是？A. 16B. 8C. 6D. 4答案：A4. 一个圆的半径是5，那么它的面积是？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C5. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标是？A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (-1, 0)D. (1, 0)答案：B6. 一个数的相反数是-5，那么这个数是？A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A7. 一个等腰三角形的底角是45度，那么它的顶角是？A. 90度B. 45度C. 60度D. 30度答案：A8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A10. 一个二次函数的顶点坐标是(2, -1)，那么这个函数的对称轴是？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：82. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是______。
答案：33. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±54. 一个数除以3余1，除以5余2，那么这个数最小是______。
答案：115. 一个三角形的内角和是______。
重庆初三数学试题及答案
重庆初三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 6C. 9D. 72. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方等于36，这个数是多少？A. 6B. -6C. ±6D. ±34. 一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 255. 一个正方体的棱长是4，那么它的体积是多少？A. 64B. 48C. 32D. 24二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个数的绝对值是它自身的______。
2. 一个数的倒数是1/这个数，例如，2的倒数是______。
3. 一个数的相反数是与它相加等于______的数。
4. 一个多项式的最高次项的系数是1，这样的多项式称为______。
5. 一个数的算术平方根是另一个数，那么这个数的平方等于______。
三、计算题（每题5分，共20分）1. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 + 3x - 4)，当x = 1时。
2. 解方程：2x + 5 = 11。
3. 计算：(-3)^2 - √16 + 2π。
4. 化简：\(\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{5}{6}\)。
四、解答题（每题10分，共30分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米，求这个长方体的表面积和体积。
2. 已知一个直角三角形的两个锐角的度数分别为30°和60°，求这个直角三角形的边长比。
3. 某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，求实际生产效率比原计划提高了百分之几。
五、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半。
答案：一、选择题1. D2. A3. C4. B5. A二、填空题1. 相反数或正值2. \( \frac{1}{2} \)3. 04. 单项式5. 该数三、计算题1. 原式 = \(3x^2 - 2x + 1 - 2x^2 - 3x + 4\) = \(x^2 - 5x +5\)，当x = 1时，原式 = \(1 - 5 + 5 = 1\)。
最新重庆中考数学25题专题及答案
重庆中考25题专题训练（及答案）1、（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++1022c c b解得： b =－21c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y --------3分（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2）∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OCDEAO AD = --------------4分 ∴122DEm =- ∴DE =22m ------------------------------------5分∴△CDE 的面积=21×22m-×mABCxyo备用图ABCED xyo题图26=242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时，设P(k , －k －1)过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1)过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2 （2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) ------------------------12分2、（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C ，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1） 设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE ∥BD∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分 在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中，OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF∴OD= BE∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分(3) 存在， ………………8分由题意得：29332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ）， 由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=三角形=23293131=⨯=ODBE S 四边形 ∴1±=y当y=1时，即1342=+-x x ，∴ 221+=x ， 222-=x ，∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分 当y=-1时，即1342-=+-x x ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1） 使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形31． ………………12分3、（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．EFQ 1 Q 3Q 2（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，309333a a ∴=+∴=-························· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-++ ············· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，° ·············· 4分OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 66(s)OP t ∴=∴= ············· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== ·························· 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分yMCDPxyM CDPQO AB N E H（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则32PE t =···················· 8分 113633(62)222BCPQ S t t ∴=⨯⨯-⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ··························· 9分 当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338··················· 10分 ∴此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=， 222233933442PQ PE QE ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ··············· 11分4．（本小题满分13分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标． 解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入， O xyAB C4 1 2-（第26题图）得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． ··············· （3分）（2）存在． ······························ （4分） 如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°， ∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ················ （6分） ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． ······················ （7分）类似地可求出当4m >时，(52)P -，． ·················· （8分） 当1m <时，(314)P --，． 综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． ········ （9分）（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ． 由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-． ·············· （10分） O xy A BC41 2-（第26题图）D PM EE ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭． ············· （11分）22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，．5.如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397 ………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD ≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO∴BO BM DO PM = ∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33)⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33)②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，3-)，经检验，点(10，33)都在抛物线上3)与(-2，3综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC点Q的坐标为(10，3-)．3)或(-2，33)或(4，36、(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . …………………………8分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.7、如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解：（1）把A (1,0)- B (1,0)代入21y ax bx =++得：1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：10a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分（2）令0x =，得1y = ∴()0,1C ……………………………………………4分∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA ， ∴∠AB D=∠BA C 45=︒过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k = ()0k >，则1DE k =+ ∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线21y x ∴=-+上 ∴ ()211k k --=--+解得12k =，21k =-（不合题意，舍去） ()2,3D -- ∴DE=3(说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可) ∴四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分∵∠ABC=∠ABD=45 ∴∠DBC=90 ∵MN ⊥x 轴于点N ， ∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中，OB=OC=1 有BC=2 在Rt △DBE 中，BE=DE=3 有BD=32设M 点的横坐标为m ，则M ()2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD=∵21,1AN m MN m =--=-即 211232m m ---=解得：1m =-（舍去） 22m =- 则()2,3M --(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC=即211322m m ---=解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）…………10分② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC=∵21,1AN m MN m =+=-∴ 211322m m +-=解得11m =-（舍去） 243m =∴47,39M ⎛⎫-⎪⎝⎭ (ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD=即 211232m m +-=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴()4,15M -∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫---- ⎪⎝⎭…………………………12分8、在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
重庆数学中考试题及答案
重庆数学中考试题及答案****一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是正数？A. -2B. 0C. 3D. -0.5**答案：C**2. 以下哪个选项是二次方程的解？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 + 4x + 4 = 0C. x^2 - 4x - 4 = 0D. x^2 + 4x - 4 = 0**答案：A**3. 以下哪个函数是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 2C. y = 3x^3 - 2D. y = 1/x**答案：A**4. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线**答案：A**5. 以下哪个选项是等腰三角形？A. 三边长分别为3, 4, 5B. 三边长分别为2, 2, 3C. 三边长分别为1, 1, 2D. 三边长分别为4, 5, 6**答案：B**6. 下列哪个选项是锐角三角形？A. 三角形内角分别为30°, 60°, 90°B. 三角形内角分别为45°, 45°, 90°C. 三角形内角分别为60°, 60°, 60°D. 三角形内角分别为50°, 70°, 60° **答案：D**7. 以下哪个选项是不等式？A. 2x + 3 = 5B. 3x - 2 > 4C. 5y - 7 = 0D. 4z + 6 ≤ 10**答案：B**8. 以下哪个选项是反比例函数？A. y = 2xB. y = 1/xC. y = x^2D. y = 3x + 2**答案：B**9. 以下哪个选项是相似三角形？A. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE = AC/DF = BC/EFB. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE ≠ AC/DF = BC/EFC. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE = AC/DF ≠ BC/EFD. 三角形ABC和三角形DEF，AB/DE ≠ AC/DF ≠ BC/EF **答案：A**10. 以下哪个选项是圆的标准方程？A. (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1B. x^2 + y^2 = 4C. (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9D. x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0**答案：B**二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是 _______。
重庆中考数学第25题(阅读理解)专题专训(学生版)
重庆中考数学第25题专题专训2501．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）= ；（2）求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（3）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．2502．任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a ×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．2503．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F （s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2504．有一个n位自然数能被x整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x 0+2整除，按此规律轮换后，能被x+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．2505．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤9）称之为喜马拉雅数，例如：在32523自然数中，3=2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除n的最大的喜马拉雅数记为F（n），能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I（n）．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F（3）+I（8）的值．2506．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2507．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．2507．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435 ×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．2509．根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．2510．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．2511．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．（1）请写出一个“优数”，它的最优拆分点是；（2）求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；（3）把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．2512．一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．如2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x 2+2xy+2y 2=（x+y ）2+y 2 （x+y ，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰数”．（填是或不是）；（2）已知S=x 2+y 2+2x ﹣6y+k （x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个k 值（10≤k ＜200），并说明理由．2513．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝 对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：()qpF n =，例如12 可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1； （2）如果一个两位正整数t ，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F （t ）的最大值．2514．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．2515．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．2515．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p≤q ），正整数的所有这种分解中，如果p 、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称p ×q 是正整数的最佳分解．并规定：()qpF n =．例如24可以 分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， 所以4×6是24的最佳分解，所以F （24）=． （1）求F （18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x 、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的 两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最 美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F （t ）的最大值．2517．阅读下列材料，解决问题材料一：如果一个正整数的个位数字等于除个位数字之外的其他各位数字之和，则称这个数为“刀塔数”，比如：因1+2=3，所以123是“刀塔数”，同理，55，1315也是“刀塔数”．材料二：形如的三位数叫“王者数”，其中x﹣2，x，x+2分别是这个数的百位数字，十位数字，个位数字．例如：135，468均为“王者数”问题：（1）已知a既是“刀塔数”又是“王者数”，若数b（b＞0）使10a+b 为一个“刀塔数”，求b的最小值；（2）已知一个五位“刀塔数”与一个“王者数”的和能被3整除，且c﹣a+d﹣b=4，证明．2518．一个形如的五位自然数，（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该位数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且a≠0，b≠0），若有a=e，b=d 且c=a+b，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”，同时规定，若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”，如在对称数43734中432﹣342=693，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”．求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中最大的“智慧对称数”．2519．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2 整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉祥数”．请解答下面几个问题：（1）已知是“吉祥数”，则x= ．（2）若正整数是“吉祥数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数是“吉祥数”，那么d+4（a+b+c）也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．2520．阅读理解：有一个n位自然数（n，n1，n2，n3，…nn是正整数，n≥2，1≤n1，n2，n3，…nn＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数的一个“轮换数”，如：，均是的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．（1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数与它所有轮换数的和是111的倍数．（3）试求：4213与它所有轮换数的和．2521．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．2522．人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是1的数为“两头蛇数”．（1）6的“亲和数”为25 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数，求满足条件的“两头蛇数”．（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”．2523．一个形如的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c≠0），若有a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352 是一个“M数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P＜＞，与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q＜＞．（1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整数；（2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P＜＞和Q＜＞．2524．阅读下列材料，解决后面两个问题：一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8 ×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．2525.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16+61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37+73=110，110的逆序数为11，110+11=121，121是谋略数．（1）请你根据以上材料，直接写出57 产生的第一个谋略数；（2）若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？2526.如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．例：16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2= （k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．问题：（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是；（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．2527.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．2528.阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r为m的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）= ，F（9）= ：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．2529．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？2530、一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．2531．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N ﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2 除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N 礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．2532．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2533．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）= ；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．2534．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．（1）计算：F（8）．（2）设两位正整数t=l0a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′﹣t=9，且F（t）能被2整除，求两位正整数t．2535、定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．2535．在一个m （m ≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n ≤m ，n为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数 k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186 中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正 整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”， 其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s ≤9，s 为整数），百位上的数字 为t （0≤t ≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A=（1≤a ≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x ≤9，x 为整数），数C 十位上 的数字为y （0≤y ≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．2537．任意一个正整数m 都可以表示为：m=a 2×b(a 、b 均为正整数) ,在m 所有表示的结果中，当b a -最小时，规定Q(m)=ab 2，例如：108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为1081-＞272-＞123-＞36-，所以Q(m)= 3=1.2538.一个正偶数去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数为“魅力数”，把这个商叫做的魅力系数，记这个商为．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记．（1）计算：；（2）若都是“魅力数”，其中,是整数，规定：．当时，求的值2539.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同均不为0，那么称为“启航数”，将的两位数位上的数字对调得到一个新数′，把′放在后面组成第一个四位数，把放在′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如时，（1）计算若为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；（2）为“启航数”，其中，且为整数.并规定：，若能被7整除，且，求的最大值.2540.对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不相同的新的“陌生数”，把这个“陌生数”，的和与111的商记为，例如，可以得到，，，，这个新三位数，这个三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332，¸，所以（）.（1）计算：，；（2）若，都是“陌生数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当除以余时，求的最大值.。
2024年重庆市中考数学真题(B卷)及答案
[机密]2024年6月13日11:00前重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2bx a =-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 下列各数中最小的数是（ ）A 1- B. 0 C. 1 D. 22. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）A.B. C. D. 3. 反比例函数10y x =-的图象一定经过的点是（ ）A. ()1,10 B. ()2,5- C. ()2,5 D. ()2,84. 如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A 35︒ B. 45︒ C. 55︒ D. 125︒..5. 若两个相似三角形相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:166.+的值应在（ ）A. 8和9之间B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A. 20B. 21C. 23D. 268. 如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若28D ∠=︒，则OAB ∠的度数为（ ）A. 28︒B. 34︒C. 56︒D. 62︒9. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接AE ，AF ，AM 平分EAF ∠．交CD 于点M ．若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A. 2B.C. D. 125的10. 已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. 计算：023-+=______．12. 甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________．13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.14. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为________．15. 如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．若2BC =，则AD 的长度为________．16. 若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪-<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y --=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是________．17. 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，点B 为切点．连接AC 交O 于点D ，点E 是O 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作AF BE ∥交BD 的延长线于点F ．若5BC =，3CD =，F ADE ∠=∠，则AB 的长度是________；DF 的长度是________．18. 一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b -=-=，则这个数为________；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd ++是整数，则满足条件的M 的最大值是________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）()()()312a a a a -+-+；（2）22241244x x x x -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭．20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：A ．90100x ≤≤，B ．8090x ≤<，C ．7080x ≤<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均中位众的数数数七年级8687b 八年级86a 90根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ________，b =________，m =________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”()90x ≥的总共有多少人？21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴①，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴②．∴CFO AEO ≅△△（AAS ）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．22. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？23. 如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）24. 如图，A ，B ，C ，D 分别是某公园四个景点，B 在A 的正东方向，D 在A 的正北方向，且在C 的北偏西60︒方向，C 在A 的北偏东30︒方向，且在B 的北偏西15︒方向，2AB =千米． 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）（1）求BC 的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点D 出发去景点B ，甲选择的路线为：D C B --，乙选择的路线为：D A B --．请计算说明谁选择的路线较近？25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD x ∥轴交抛物线于点D ，作PE BC ⊥于点E ，求PD +的最大值及此时点P 的坐标；（3）将抛物线沿射线BC PD +取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC ∠-∠=︒，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．26. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点B 作BD AC ∥．（1）如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；（2）如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ⊥交AB 于点M ，CN 平分ACB ∠交BG 于点N ，求证：AM CN =；（3）若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60︒得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR 沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP 的最大值．[机密]2024年6月13日11:00前重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a=-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．【11题答案】【答案】3【12题答案】【答案】13【13题答案】【答案】8【14题答案】【答案】()22001401x +=【15题答案】【答案】2【16题答案】【答案】12【17题答案】【答案】 ①. 203##263②. 83##223【18题答案】【答案】 ①. 3456 ②. 6273三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．【19题答案】【答案】（1）42a -试题11（2）2xx +【20题答案】【答案】（1）88；87；40（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析（3）310人【21题答案】【答案】（1）见解析 （2）①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【22题答案】【答案】（1）A 种外墙漆每千克的价格为26元，则B 种外墙漆每千克的价格为24元． （2）甲每小时粉刷外墙面积是25平方米．【23题答案】【答案】（1）()()124606063y x x y x x=<≤=<≤， （2）函数图象见解析，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小（3）2.26x <≤【24题答案】【答案】（1）2.5千米（2）甲选择的路线较近【25题答案】【答案】（1）215322y x x =-- （2）PD PE 最大值为152；()5,3P -； （3）4N ⎝或1⎛+ ⎝⎭【26题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3的。
重庆中考抛物线25题最新训练试题(含详细答案解析)
.一．解答题（共7小题）1．（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．，，×）﹣×=的坐标为（，n=，）﹣，，，﹣=，秒或秒或秒时，以2．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，且s△PAC：S△PAB=1：3？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．，解得则有：解得得：，）或（3．（2011•沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．，PQ=，轴的距离是，，（，）=CG=．，﹣）x=1+﹣，﹣的纵坐标为：﹣，或1+，﹣），﹣﹣，﹣4．已知，如图1，抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线．点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD 是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．，且对称轴为直线解之，得∴该抛物线的解析式为：∴设点，∴；，，）有点B，即是：且（，解之：（舍去），时，1+，解之：（舍去）时，1+）或（﹣，5．已知抛物线y=ax2﹣2ax+n（a＞0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴的负半轴于点C，且x1＜x2，OC=OB，S△ABC=6（1）求此抛物线的解析式；（2）若D为抛物线的顶点，P为抛物线上的点，且在第二象限，S△PBD=15，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M，使△MBD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．AB（﹣×3+×BC=3CD=BD=2x+h则有：﹣+h=0h=x+；，解得（﹣，，﹣）（﹣，），﹣）6．已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作NQ⊥X轴于点Q，当点N在BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积没有空为S，求S与t之间的函数关系式及自变量的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．，，﹣）解得xt=x﹣=（﹣﹣t+3t，=，∴，（，，=，，（，﹣）（，，﹣）7．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．（4）在抛物线对称轴上是否存在点M，使点M到点A和B的距离之差最大？若存在，直接写出所有符合条件的点M坐标；不存在，请说明理由．，代入求出即可；﹣，x x+4BM=，（，﹣（（是线段y=，。
重庆中考数学24题 (专题练习答案详解)
重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点EEF∥CA，（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==， ∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。
重庆中考数学24题专题
重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。
最新重庆中考数学第25题几何专题训练(2020年整理).pdf
GF EDCBA M 证明题1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ．（1）求证：BE=CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。
求证：（1）AF ＝CG ；（2）CF ＝2DE3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。
（1）求证：OE=OF ；（2）若BC=23，求AB 的长。
4.已知，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE 的长； （2）求证：∠CEG=∠AGE ．5.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。
（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=23，求AB，BD的长。
（2）如图1，求证：HF=EF。
（3）如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。
6.如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．（1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长；（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE；②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上(不含端点)运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．7.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF扔与线段AC相交于点F.求证：1CF2BE AB+=；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC 于点N，若DN=FN，求证：3()BE CF BE CF+=−.ABFD CE25题图1BAFD CEG25题图2ABFD CEG25题图3图1 图2 图3 8.已知在四边形ABCD 中，180ABC ADC ∠+∠=︒，AB =BC . （1）如图1，若90BAD ∠=︒，AD =2，求CD 的长度；（2） 如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ =AP +CQ ，求证：1902PBQ ADC ∠=︒−∠； （3）如图3，若点Q 运动到DC 的延长线上，点P 也运动到DA 的延长线上时，仍然满足PQ =AP +CQ ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出PBQ ∠与ADC ∠的数量关系，并给出证明过程.9.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，E 是对角线AC 上任意一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF =AE ，连接BE 、EF ．（1）如图1，当E 是线段AC 的中点，且AB =2时，求△ABC 的面积； （2）如图2，当点E 不是线段AC 的中点时，求证：BE =EF ；（3）如图3，当点E 是线段AC 延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．10.如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在AB 的延长线上，EF ∥AD ，EF=BE ，点P 是DE 的中点，连接FP 并延长交AD 于点G ．（1）过D 作DH ⊥AB,垂足为H ，若DH=3BE=14AB,求DG 的长； （2）连接CP ，求证：CP ⊥FP ； （3）如图2，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，若点E 在CB 的延长线上运动，点F 在AB 的延长线上运动，且BE=BF ，连接DE,点P 为DE 的中点，连接FP 、CP ，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出PFCP的值；若不成立，请说明理由．图1DABCADCPQ 图2ADBC PQ图3ECD HPFG ABCDPFG ’AEOCB11.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE . （1）若AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；（2）如图2，若AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；（3）如图3，若AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜想线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。
重庆市 中考数学第25题专题复习训练(含答案)
重庆市中考数学第25题专题复习训练(含答案）1.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接DF、CF。
DE ,求CF；（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC中点，2（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转45°时，线段DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．（1）求证：MN⊥CE；（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论．4. 已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作E F⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF 的中点，连接EG，CG。
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。
延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。
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∴Q点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q （2+ ，1），Q (2- ，1)，Q （2，-1）
使得 = ． ………………12分
3、（11分）如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线的顶点为 ，过 作射线 ．过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连结 ．
②当 时， ，即 ．
解得 ， （均不合题意，舍去）
当 时， ．（7分）
类似地可求出当 时， ．（8分）
当 时， ．
综上所述，符合条件的点 为 或 或 ．（9分）
（3）如图，设 点的横坐标为 ，则 点的纵坐标为 ．
k2+k2= 解得k1= ，k2=－
∴P1（ ，－ ）P2（－ ， ）---10分
②以A为顶点，即AC=AP=
设P(k, －k－1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣
在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2
（2－k)2+(－k－1)2=5
解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1,－2)----------------------------------11分
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得 的面积最大，求出点D的坐标．
解：（1） 该抛物线过点 ， 可设该抛物线的解析式为 ．
将 ， 代入，
得 解得
此抛物线的解析式为 ．（3分）
（2）存在．（4分）
如图，设 点的横坐标为 ，
则 点的纵坐标为 ，
当 时，
， ．
又 ，
①当 时，
，
即 ．
解得 （舍去）， ．（6分）
③以P为顶点，PC=AP设P(k,－k－1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA= k
∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜
在Rt△PLA中
( k)2=(k－2)2＋(k＋1)2
解得：k= ∴P4( ,－ )------------------------12分
解：（1）∵二次函数 的图像经过点A（2，0）C(0,－1)
∴
解得：b=－ c=－1-------------------2分
∴二次函数的解析式为 --------3分
（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）
∴OD=m∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得， ---------------------------------------5分
∴△CDE的面积= × ×m
= =
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分
（3）存在由(1)知：二次函数的解析式为
设y=0则 解得：x1=2 x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）
设直线BC的解析式为：y=kx＋b
∴ 解得：k=-1b=-1
∴直线BC的解析式为:y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC=
∵点B(－1,0) 点C（0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC= 时，
设P(k, －k－1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中
2、（本题满分12分）已知抛物线 交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．
求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的 ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1） 抛物线 经过点 ，
1分
二次函数的解析式为： 3分
（2） 为抛物线的顶点 过 作 于 ，则 ，
4分
当 时，四边形 是平行四边形
5分
当 时，四边形 是直角梯形
过 作 于 ， 则
（如果没求出 可由 求 ）
6分
当 时，四边形 是等腰梯形
综上所述：当 、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分
重庆中考25题专题训练（及答案）
1、（12分）如图, 已知抛物线 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
∴四边形ODBE是梯形 ………………5分
在 和 中，
OD= ，BE=
∴OD=BE
∴四边形ODBE是等腰梯形 ………………7分
(3)存在， ………………8分
由题意得： ………………9分
设点Q坐标为（x，y），
由题意得： =
∴
当y=1时，即 ，∴ ， ，
∴Q点坐标为（2+ ，1）或(2- ，1)………………11分
（3）由（2）及已知， 是等边三角形
则
过 作 于 ，则 8分
= 9分
当 时， 的面积最小值为 10分
此时
11分
4．（本小题满分13分）
如图，抛物线经过 三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作 轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
2、（1）求出： ， ，抛物线的对称轴为：x=2
(2)抛物线的解析式为 ，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵ OBC是等腰直角三角形， DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE=∠OBD= ∴OE∥BD
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 从点 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 ．问当 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此时 的长．