[推荐学习]新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 压轴大题突破练 二 直线与圆锥曲线(2)理

高考压轴大题突破练 (二)直线与圆锥曲线(2)

1.已知B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上的一点，F 是椭圆右焦点，且BF ⊥x

轴，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，32. (1)求椭圆E 的方程；

(2)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P 是l 上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆E 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →

，求λ的取值范围．

2．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2

，点(2，2)在C 上．

(1)求C 的方程；

(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．

3．已知椭圆C经过点P(3，1

2

)，两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点A(0，－1)，直线l与椭圆C交于M，N两点．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．

4．(2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是2

2

，过点P (0,1)的动直线l

与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆E 的方程；

(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝

|PA |

|PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案精析

(二)直线与圆锥曲线(2)

1．解 (1)依题意得半焦距c ＝1，设左焦点为F ′， ∴|FF ′|＝2c ＝2， 又∵|BF |＝3

2，BF ⊥x 轴，

∴在Rt △BFF ′中，|BF ′| ＝BF 2＋FF ′2

＝52

，

∵2a ＝|BF |＋|BF ′|＝4，∴a ＝2. ∴b 2

＝a 2

－c 2

＝22

－12

＝3. 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)由(1)知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)．设M (x 0，y 0)． ∵M 在椭圆E 上，∴y 20＝3

4(4－x 20)．

由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝

⎛⎭

⎪⎫

4，

6y 0x 0＋2. ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2.

∴A 2M →·A 2P →

＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)，

∵－2

∈(0,10)．

2．解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2

b

2＝1，

解得a 2

＝8，b 2

＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 2

8

＋y 2

4

＝1， 得(2k 2

＋1)x 2

＋4kbx ＋2b 2

－8＝0. 故x M ＝

x 1＋x 2

2＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b

2k 2＋1

.

于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－1

2k

，

即k OM ·k ＝－1

2

.

所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．

3．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．

依题意，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝

12＋14

＋

1

4

＝4， 所以a ＝2.

又c ＝3，所以b 2

＝a 2

－c 2

＝1. 于是椭圆C 的标准方程为x 2

4＋y 2

＝1.

(2)依题意，显然直线l 的斜率存在． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

4＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，

得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2

－4＝0.

由Δ＝64k 2m 2

－4(4k 2＋1)(4m 2

－4)>0， 得4k 2

－m 2

＋1>0.(*)

设M (x 1

，y 1

)，N (x 2

，y 2

)，线段MN 的中点为Q (x 0

，y 0

)，则⎩⎪⎨⎪⎧

x 1

＋x 2

＝－8km

4k ＋1

，x 1x 2

＝4m 2

－4

4k 2

＋1，

于是x 0＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m

4k 2＋1.

因为|AM |＝|AN |，线段MN 的中点为Q ， 所以AQ ⊥MN .

①当x 0≠0，即k ≠0且m ≠0时，

y 0＋1

x 0

k ＝－1，整理得3m ＝4k 2＋1.(**) 因为AM ⊥AN ，AM →＝(x 1，y 1＋1)，AN →

＝(x 2，y 2＋1)，

所以AM →·AN →＝x 1x 2＋(y 1＋1)(y 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (m ＋1)(x 1＋x 2)＋m 2

＋2m ＋1＝(1＋