长春市普通高中2019届高三质量监测(二)3_2019二模(理数)答案

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吉林省长春市普通高中2019届高三理数质量监测(二)

第1页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………吉林省长春市普通高中2019届高三理数质量监测（二)考试时间：**分钟满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号一二三总分核分人得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释评卷人得分一、单选题（共12题)1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 2. 集合，，则（） A . B . C . D .3. 命题“ ，”的否定是（） A .， B .，C .，D .，4. 下列函数中，在内单调递减的是（） A .B .C .D .5. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）答案第2页，总19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 32B .C .D . 86. 等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A . 2B . 3C . 4D . 67. 下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4 8. 直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A .B .C .D .9. 正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）第3页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 3B . 5C .D .10. 已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（） A . B .C .D .11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D .12. 定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（） A . B .C .D .第Ⅱ卷主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共4题)1. 已知实数，满足，则的最大值为．2. 直线与抛物线围成的封闭图形的面积为．3. 在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为．答案第4页，总19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4. 正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为，和该截面所成角的正弦值为．评卷人得分二、解答题（共7题)5. 各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和 .6. 某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：工资人数 5 10 20 42 18 3 11企业：第5页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i ）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii ）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由. 7. 四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅰ）求二面角的余弦值.8. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标. 9. 已知函数 .（1）讨论的单调性；答案第6页，总19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.10. 在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值. 11. 设函数 .（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.参数答案1.【答案】：【解释】：第7页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2.【答案】：【解释】： 3.【答案】：【解释】： 4.【答案】：【解释】： 5.【答案】：【解释】：答案第8页，总19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6.【答案】：【解释】：7.【答案】：【解释】：8.【答案】：【解释】：第9页，总19页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9.【答案】：【解释】： 10.【答案】：【解释】：答案第10页，总19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11.【答案】：【解释】：12.【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【答案】：【解释】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【解释】：（1）【答案】：…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）【答案】：【解释】：（1）【答案】：（2）【答案】：【解释】：。

吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(含解析)

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值. 【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。

吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(精品解析)

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题.4.下列函数中，在内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.【详解】由题，在R上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案.【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：工资人数510204218311企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2)（i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论.【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：012②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。

吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题(详细答案)

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为复数=，所以对应的点位于第二象限.2.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，先求出集合A=，再根据交集的定义求出答案即可.【详解】，.故选A.【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于基础题.3.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特征命题，写出结果即可【详解】因为全称命题的否定是特征命题，所以命题“，”的否定是，故选D【点睛】本题主要考查了全称命题的否定是特征命题，属于基础题. 4.下列函数中，在内单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】直接根据指数型函数的单调性判断出在R 上递减，求得结果.【详解】由题，在R 上递减，所以在内单调递减，故选A【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题. 5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. 32B.C.D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，利用体积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，所以该四棱锥的体积为，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6.等差数列中，是它的前项和，，，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】先根据求和，利用中项公式，求得，再利用公差的公式求得结果.【详解】由题即，，.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，能否熟练运用中项公式是解题的技巧，属于较为基础题.7.下边的折线图给出的是甲、乙两只股票在某年中每月的收盘价格，已知股票甲的极差是6.88元，标准差为2.04元；股票乙的极差为27.47元，标准差为9.63元，根据这两只股票在这一年中的波动程度，给出下列结论：①股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定；②购买股票乙风险高但可能获得高回报；③股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大；④两只般票在全年都处于上升趋势.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】通过标准差的比较，得出两只股票的稳定性，通过极差的比较，得出风险和回报，再根据折线图得出股票的上升和下跌趋势，可分析出答案.【详解】由题可知，甲的标准差为2.04元，乙的标准差为9.63元，可知股票甲在这一年中波动相对较小，表现的更加稳定，故①正确；甲的极差是6.88元，乙的极差为27.47元，可知购买股票乙风险高但可能获得高回报，故②正确；通过折线图可知股票甲的走势相对平稳，股票乙的股价波动较大，故③正确；通过折线图可得乙再6月到8月明显是下降趋势，故④错误故选C【点睛】本题主要考查了统计图像的折线图，通过对标准差和极差的了解得出结论，属于较为基础题.8.直线绕原点顺时针旋转得到直线，若的倾斜角为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得，解得，进而根据余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，直线的斜率为2，将绕原点顺时针旋转，则，解得，则，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角的应用，以及两角和的正切函数和余弦的倍角公式的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用公式化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（）A. 3B. 5C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10.已知曲线在点处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画岀切线扫过的区域，得当时，此时切线都在轴的上方，即可作出判断，得到答案. 【详解】由题意，画岀切线扫过的区域，如图所示，当时，此时切线都在轴的上方，所以不可能在直线上的点为.故选C.【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线方程应用，其中解答中熟记曲线在某点处的切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，求得，，求得，在直角中，由射影定理得到，进而可求解离心率，得到答案.【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为的关系式是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．12.定义在上的函数有零点，且值域，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由题求出，再根据有零点和值域，可得，求得的取值范围.【详解】由，有，又因为在上的函数有零点，即值域即所以，从而.故选C.【点睛】本题是考查三角函数的相关知识，对其函数图像和性质的掌握是解题的关键，属于中档题.二、填空题.13.已知实数，满足，则的最大值为_______．【答案】4【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求解目标函数的最大值.【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．【答案】【解析】【分析】由题意，联立方程组，解得或，利用微积分基本定理，即可求解封闭图形的面积.【详解】由题意，联立方程组，解得或，所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据微积分基本定理得出面积的定积分，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.在中，角、、的对边分别为，、，，，则的面积的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得，求得，又由余弦定理和基本不等式，求得的最大值为，进而利用面积公式，即可求解.【详解】在中，角、、的对边分别为，、满足由正弦定理可化简得，又由，即，即，又由，则，所以，即，解得，又由余弦定理得，又由，即，当且仅当时取等号，即的最大值为，所以的面积的最大值为.【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．16.正方体的棱长为2，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为____，和该截面所成角的正弦值为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】(1)取CD的总点Q，BC的中点P，根据题意易证MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，求得S即可；(2) 连接AC交PQ于点R，易证CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角然后直接求得的正弦值即可.【详解】(1)由题，取CD的总点Q，BC的中点P，连接ME、NQ，在正方体中易知，ME与NQ是平行且相等的，所以MN//EQ，即MN//平面EFQP，故平面EFQP就是过且与平行的平面截正方体所得截面，PQ=所以面积(2)连接AC交PQ于点R，再连接CE，易知CR垂直平面EFQP，所以为直线和平面EFQP所成角，所以故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查了立体几何综合，解题的关键是能否找出截面以及线面角，属于较难题目.三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.各项均为整数的等差数列，其前项和为，，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意，可知，解得，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知，可得，即可求解.【详解】（1）由题意，可知数列中，，，，成等比数列.则，即，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1），可知，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某研究机构随机调查了，两个企业各100名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及企业员工收入的统计图如下：企业：企业：（1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5000元的概率；（2）（i）若从企业收入在员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人收入在的人数的分布列.（ii）若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由.【答案】(1)0.68(2) （i）见解析（ii）见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，即可求解其概率.（2）①企业中三个不同层次人数比为，得到随机变量的取值，求得相应的概率，即可得出分布列；②利用平均数的计算公式，即可求额及企业的员工平均收入和企业的员工平均收入进而得到结论. 【详解】（1）由题意，根据饼状图知工资超过5000的有68人，故慨率为.（2）①企业中三个不同层次人数比为，即按照分层抽样7人所抽取的收入在的人数为2.的取值为0，1，2，因此，，，的分布列为：②企业的员工平均收入为：.企业的员工平均收入为：.参考答案1：选企业，由于企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业，企业员工的平均收入只比企业低10元，但是企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业，由于企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.【点睛】本题主要考查了平均数的计算、古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列的求解，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面. （2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，，，在中，由余弦定理，，又，，有，是等腰三角形，所以，，由线面垂直的判定定理，得平面，又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，有，，，令平面的法向量为，由，可得一个，由（1）可知平面的一个法向量为，所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足轴，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若为轴正半轴上的定点，过的直线交椭圆于，两点，设为坐标原点，，求点的坐标.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题意可得且，求得，，即可得到椭圆的方程；（2）设，：，由，得，联立方程组，利用根与系数的关系，以及向量的数量积的运算，求得的值，即可得到答案.【详解】（1）由题意知，为椭圆上一点，且满足轴，则又由，且，解得，，所以椭圆的方程为.（2）设，：，设，，由，即，即，即，联立直线和椭圆方程组，得，有，则，又由即，解得，所以点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）令，知单调递增且有大于0的零点，不妨设为，若有有两个零点，需满足，即，令，得出在上单调递减，求得的解集为，当时，，即，进而利用函数的单调性求解.【详解】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于函数的零点问题立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性和极值（最值），进而得出相应的不等关系式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22.选修4-4 坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线极坐标方程为.（1）求直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）当时，为曲线上动点，求点到直线距离的最大值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的参数方程(为参数) (2)【解析】【分析】(1)由题意，对直线的参数方程以及曲线的极坐标方程进行化简得出直线的普通方程以及曲线的参数方程；（2）设点的坐标为，根据点到直线的距离公式求得距离d，然后求得最大值.【详解】（1）直线的普通方程为，曲线的极坐标方程可化为，化简可得.故曲线C的参数方程(为参数)（2）当时，直线的普通方程为.有点的直角坐标方程，可设点的坐标为，因此点到直线的距离可表示为.当时，取最大值为.【点睛】本题主要考查了极坐标参数方程的综合知识，化简极其重要，属于基础题.23.选修4-5 不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)通过对x进行讨论求出不等式的解集即可；（2）对x进行讨论，求出的最小值，然后根据解集为，得出k=0，求得k+m的范围即可.【详解】（1）.由，则.（2）.由的解集为可知：，即.【点睛】本题考查了不等式选讲，解绝对值不等式以及恒成立问题，属于基础题.。

吉林省长春2019届高三上学期第二次质量检测理数试题Word版含解析

吉林省长春2019届上学期第二次质量检测高三理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，集合A B 为（）A.{}0B.{}1C.{}0,1D.{}0,1,2【答案】C考点：集合间的基本运算.2.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒【答案】C 【解析】试题分析：t s 21+-='，物体在3秒末的瞬时速度是5321|3=⨯+-='=t s 米/秒，故答案为C. 考点：导数的几何意义. 3. 函数()2+31xf x a =+的零点为1，则实数a 的值为（） A.2- B.12-C.12D.2【答案】B 【解析】试题分析：函数()2+31x f x a =+的零点为1，所以()0211=+=a f ，得21-=a ，故答案为B. 考点：函数零点的定义.4.设()sin f x x x =-，则()f x （）A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数【答案】B考点：函数的奇偶性和单调性.5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则()2f -=（）A.14B.114-C.1D.1-【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f f -=-∴()1322-=--=，故答案为D.考点：奇函数的应用.6. 下列选项中，说法正确的是（）A.命题“x ∃∈R ，20x x -≤”的否定是“x ∃∈R ，20x x ->”B.命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件C.命题“若22bm am ≤，则b a ≤”是假命题D.命题“在中ABC ∆中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题【答案】C 【解析】试题分析：对应A ，命题“x ∃∈R ，20x x -≤”的否定是“R x ∈∀，20x x ->”错误；对于B ，当命题“q p ∨为真”，q p ,可能一真一假，q p ∧不一定是真命题，当q p ∧是真命题时，q p ,都是真命题，此时q p ∨为真，故命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的必要不充分条件，错误；对于C ，若22bm am ≤，当02=m 时，a 与b 的大小关系不确定，假命题；对于D ，“在中ABC ∆中，若1sin 2A <，则60π<<A 或ππ<<A 65，假命题，命题的逆否命题也是假命题，故答案为C.7.定积分dx e x x⎰-1)2(的值为（）A. e -2B. e -C. eD. e +2 【答案】A考点：定积分的计算.8. 已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()xg x f x =，则()1g '=（） A.12B.12-C.32-D.2【答案】A 【解析】试题分析：由切线方程得()01121=+-f ，()11=∴f ，由导数的几何意义得()211='f ， ()()()()()()()x f x f x x f x f x f x x f x x g 22'⋅-='⋅-⋅'='，()()()()21111112-='-='∴f f f g 21=，故答案为A. 考点：1、导数的几何意义；2、导数的运算法则.9.若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),2-∞-，关于x 的不等式201ax bxx +>-的解集为（） A.()()2,01,-+∞ B.()(),01,2-∞C.()(),20,1-∞-D.()(),12,-∞+∞【答案】B 【解析】10.若向量()ααsin ,cos =，b ()cos ,sin ββ=则a 与b 一定满足（）A.a 与b 的夹角等于αβ-B.()()-⊥+ C. //D. ⊥【答案】B 【解析】试题分析：()βαβαsin sin ,cos cos ++=+，()βαβαsin sin ,cos cos --=-，()()=-⋅+∴b a b a ()()βαβαcos cos cos cos -⋅+()()βαβαsin sin sin sin -⋅++ +-=βα22cos cos ()βα22sin sin -0=，()()b a b a -⊥+∴，故答案为B.考点：平面向量数量积的性质.【方法点睛】本题考查平面向量数量积的性质应用，属于中档题，判断向量垂直的方法：①当向量与是坐标形式给出时，若证明⊥，则只需证明002121=⋅+⋅⇔=⋅y y x x ；②当向量,是非坐标形式时，要把8,用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明0=⋅；③数量积的运算⇔=⋅0⊥中，是对非向量而言的，若=，显然有0=⋅，但不能说明⊥.11.将函数)62sin()(π-=x x f 的图象上所有的点向左平移3π个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）A. x y 2cos -=B. x y 2cos =C. 8)652sin(π-=x yD. )62sin(π+=x y 【答案】B考点：三角函数的图象变换.【易错点睛】本题考查三角函数图象平移，属于简单题，本题学生得到错误答案⎪⎭⎫⎝⎛--=632sin ππx y ，对于三角函数图象的平移问题，其平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中自变量x ，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后1确定变换的单位和方向，另外，当两个函数的函数名不同时，首先将函数名称统一，其次把ϕω+x 变换成⎪⎭⎫⎝⎛+ωϕωx ，最后确定平移单位和方向. 12.函数()x x x f πsin 21--=的所有零点之和等于（）A.4B. 5C. 6D. 7 【答案】B8 【解析】试题分析：由()0sin 21=--=x x x f π，得x x πs in 21=-，分别作出函数1-=x y 和x y πsin 2=的图象如图，两个函数图象都关于()0,1对称，由图象知，两个函数共有5个交点，其中1=x 是一个零点，另外4个零点关于点()0,1，设对称的两个点的横坐标分别为21,x x ，21221=⨯=+∴x x ，所以5个交点的横坐标之和5122=++，故答案为B.考点：1、函数的零点；2、函数的图象.【方法点睛】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于中档题，求函数零点的方法：①直接求零点：令()0=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：函数在[]b a ,上是连续不断的曲线，且()()0<⋅b f a f ，还必须结合函数的图象和性质才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画出两个函数图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 13.已知tan 3x =，则sin 3cos 2sin 3cos x xx x+=- ；【答案】2考点：同角三角函数的基本关系. 14.如图，圆222:4O x y π+=内的余弦函数cos y x =的图像与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是；【答案】38π【解析】试题分析：余弦函数x y cos =的图象与x 轴围成的区域M 的面积为2222|sin cos ππππ--=⎰x xdx22sin 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ππ，圆的面积4232πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅，根据几何概型的概率计算公式得点A 落在区域M 内的概率为=423π38π.考点：1、定积分的应用；2、几何概型.15.若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数1y z x =+的最大值是__________；【答案】2考点：线性规划的应用【方法点晴】本题主要考查的是利用线性规划求函数的最值，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义()101---=+=x y x y z 表示的是()y x ,点与()1,0-连线的斜率，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足对于任意的R x ∈，都有()()91f x f x +=+，且[)0,9x ∈时，()2f x x =+，则()2015f 的值为__________．【答案】233 【解析】考点：累加求通项公式.【方法点睛】本题考查利用累加法求函数的解析式，从而求出函数值，属于中档题，本题所求的()2015f 的2015不在[)9,0范围内，利用()()91f x f x +=+，列出n 个式子然后相加求出()()n x f n x f +=⨯+9，然后把2015转化为[)9,0范围内，最后求解，解决本题的关键利用累加法求解析式，从而求出要求的函数值.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知向量,()2,61=-⋅==，（1）求向量与的夹角为；（2）求-2 【答案】（1）3π；（2）72. 【解析】试题分析：（1）计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用；（2）求向量夹角主要是应用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦值，这里要注意向量夹角的取值范围[]π,0，求2=，将模的运算转化为向量的数量积的运算.试题解析：（1）设向量a 与b 的夹角为θ，θθcos 6==⋅，()21cos 62=-=-⋅=-⋅∴θ，得21cos =θ，[]πθ,0∈ ，3πθ=∴（2）2==36124+-=72=考点：1、向量的夹角；2、向量的模. 18.(本题满分12分)设()x f y =是二次函数，方程()0=x f 有两个相等的实根，且'()22f x x =+（1）求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积【答案】（1）()122++=x x x f ；（2）31.考点：1、二次函数的解析式；2、定积分的应用.【方法点睛】本题考查求二次函数的解析式，利用定积分求平面图形的面积，属于中档题，利用定积分求曲线围成的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③确定积分的上、下限，并求出交点坐标；④运用微积分基本定理计算定积分，表示平面图形的面积，求解时，注意把定积分与利用定积分计算的曲线围成的面积区别开，定积分是一个数值，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.19.(本题满分12分)已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1+1n nb n a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，当n S m <对于任意的+n ∈N 恒成立时，求实数m 的取值范围【答案】（1）n a n 2=；（2）12m ≥.考点：1、等差数列的通项公式；2、裂项相消法求和.【易错点睛】本题考查是等差数列的基本运算和裂项相消法求和，恒成立的问题等知识，属于中档题，使用裂项相消法求和的注意事项，①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；②将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等，如数列{}n a 是等差数列，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅++111111n n n n a a d a a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅++2211211n n n n a a d a a . 20.（本小题满分12分）ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且cos cosB 2cos b C c a B +=．（1）求角B 的大小；（2求ABC ∆的面积．【答案】（1）3π=B ；（2）43.考点：1、正弦定理的应用；2、三角形的面积公式. 21.（本小题满分12分）已知函数)(21cos 2sin 23)(2R x x x x f ∈--= （1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈125,12ππx 时，求函数)(x f 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C =，若向量(1,sin )A =与向量(2,sin )B =共线，求,a b 的值.【答案】（1）()x f 最大值为0，最小值为123--；（2）1=a ，2=b . 【解析】试题分析：（1）熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的考点：1、三角函数在闭区间上的最值；2、正弦定理的应用. 22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()1g x x =-．（1）求函数()y f x =图像在1x =处的切线方程；（2）证明：()()f x g x ≤；（3）若不等式()()f x ag x ≤对于任意的()1,x ∈+∞均成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1-=x y ；（2）证明略；（3）1≥a . 【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()()1,1f 处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率()1f k '=；（2）利用导数方法证明不等式()()x g x f >在区间D 上恒成立的基本方法（2）设()()()ln 1h x f x g x x x =-=-+，则()11h x x'=-，令()0h x '=得1x =．∴()()()max 10h x h x h ≤==，即()()f x g x ≤．（3）()1,x ∀∈+∞，()0f x >，()0g x >．当1a ≥时，()()()f x g x ag x ≤≤；当0a ≤时，()0f x >，()0g x ≤不满足不等式；当01a <<时，设()()()()ln 1x f x ag x x a x ϕ=-=--，()1x a x ϕ'=-，令()0x ϕ'=，得1x a=∴()()max 110x a ϕϕϕ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭综上1a ≥考点：1、求切线方程；2、利用导数证明不等式；3、恒成立的问题.。

吉林省长春市普通高中2019届高三质量监测(二)数学(理科)试题题

，其前项和为，
，，，
成等比数列 .
（ 2）求数列
的前项和 .
18. 某研究机构随机调查了收入的统计图如下：
企业：
，两个企业各 100 名员工，得到了企业员工收入的频数分布表以及
企业员工
工资
人数
5
10
20
42
18
3
1
1
3
企业：
（ 1）若将频率视为概率，现从企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于
，
，则
的面积的最大值为 ____．
16. 正方体
的棱长为 2，，，，分别是
，，，的中点，则过且与
平行的平面截正方体所得截面的面积为 ____，和该截面所成角的正弦值为 ______．
三、解答题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. 各项均为整数的等差数列（ 1）求的通项公式；
9.正方形
边长为 2，点为边的中点，为边上一点，若
的值为（），则
（）
A. 3 B. 5 C.
D.
10. 已知曲线
A.
B.
在点 C.
处的切线为，则下列各点中不可能在直线上的是（） D.
11. 已知双曲线
的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线
和轴相交于，两点，为坐标原点，若
为直角梯形，
，
，
，为中点 .
，
平面
，
（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）求二面角
平面
；
的余弦值 .
20. 已知椭圆
的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足

精品解析：【市级联考】吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测(三)数学(理)试题(解析版)

【解析】
【分析】
根据图形给出的信息，分析判断即可．
【详解】从研发投入占营收比（图中的红色折线）
07 ～09 年有所下降并非连续 12 年研发投入占营收比逐
年增加，故 D 错．
故选： D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查识图能力，考查分析问题解决问题的能力，属基础题．
10.函数 f（ x） =
另 1 件是一等品的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】【分析】
根据题意，设“所取 2 件产品中有 1 件不是一等品”为事件 A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件 B，分别求得 P（ AB）和 P（ A）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．【详解】解：根据题意，设“所取 2 件产品中有 1 件不是一等品”为事件 A，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件 B，
D.
【答案】 A 【解析】【分析】利用平面向量的数量积的运算法则求解即可．
【详解】解：、是两个单位向量，且夹角为，
则（ 2 ）?（﹣ 2
）
＝﹣ 4+5
．
故选： A．【点睛】本题主要考查平面向量，向量的数量积的应用，是基本知识的考查．
7.若 8 件产品中包含 6 件一等品，在其中任取 2 件，则在已知取出的 2 件中有 1 件不是一等品的条件下，
的部分图象大致是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可
.
【详解】∵函数 f（ x）的定义域为（ -∞，- ）∪ （ - ，） ∪（， +∞）

2019届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷【含答案及解析】

2019届吉林省长春市高三质量监测二理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 复数，在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（）A ． _________B ．______________C ． _________D ．2. 若实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A ． ________B ．C ．D ．3. 设集合，，则（）A．B．C．D ．4. 设等差数列的前项和为，且，当取最大值时，的值为（）A ．B ． ________C ． ________D ．5. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ． ____________________B ．_________C ．______________ D ．6. 已知变量服从正态分布，下列概率与相等的是（） A．___________B．___________C． ________D ．7. 函数与的图象关于直线对称，则可能是（）A ． ________B ．______________C ． ________D ．8. 已知为圆的直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（）A ． ___________B ．C ．D ．9. 已知函数满足，当时，，当时，，若定义在上的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． ___________________________________ B．C ． ___________D ．10. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有（）种．A ． ______________B ．____________________C ．________D ．11. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为（）A ． ___________B ．________________________C ． _________D ．二、填空题12. 已知实数，满足，则的最小值为___________ ．13. 已知向量，，则当时，的取值范围是 _________ ．14. 已知，展开式的常数项为15，则___________ ．15. 已知数列中，对任意的，若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积，已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则 ___________ ．三、解答题16. 已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）已知的三个内角，，的对边分别为，，，其中，若锐角满足，且，求的面积．17. 近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0 ． 6，对服务的好评率为0 ． 75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0 ． 1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：① 求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；② 求的数学期望和方差．（，其中）18. 在四棱锥中，底面是菱形，⊥平面，点为棱的中点，过作与平面平行的平面与棱，，相交于，，，．（1）证明：为的中点；（2）若，且二面角的大小为，，的交点为，连接，求三棱锥外接球的体积．19. 椭圆的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．20. 已知函数在点处的切线与直线平行．（1）求实数的值及的极值；（2）若对任意，，有，求实数的取值范围；21. 选修4—1：几何证明选讲．如图，过圆外一点的作圆的切线，为切点，过的中点的直线交圆于，两点，连接并延长交圆于点，连接交圆于点，若．（1）求证：∽ ；（2）求证：四边形是平行四边形．22. 选修4—4：坐标系与参数方程．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线与曲线交于，两点，求的最大值和最小值．23. 选修4—5：不等式选讲．设函数．（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。

长春市普通高中2019高三质量监测(二)3-2019二模(理数)答案

1 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第1页（共9页）长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C 8. D 9. D 10. C 11. B 12. C简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A {|2},{1,0,1,2}A x x A B =≤=-I .故选A.3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知. 故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C2 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第2页（共9页） 7. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.8. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】D 由题意可知21tan(45)2,tan ,cos 22cos 13αααα+︒===- 2241tan 15α-=+.故选D.9. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.EF AE ⊥，由E 【试题解析】D 由数量积的几何意义可知是BC 中点，所以52AF =.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】C 画出切线l 扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选C.11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知2||,||,||,2bF A b AB OA a ===所以222b a =，从而3e =.故选B.12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.3 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第3页（共9页）【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 4 14. 64315. 1216. ；10三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法.【试题解析】解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+，可得2,23n d a n ==-.（6分）（2）由（1），212342122n n n T a a a a a a n -=-+-++-+=L .（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）4 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第4页（共9页）因此252710(0)21C P X C ===，11522710(1)21C C P X C ===， 22271(2)21C P X C ===，X 的分布列为：（9分）② A 企业的员工平均收入为：1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260= B 企业的员工平均收入为：1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.（如有其它情况，只要理由充分，也可给分）（12分）5 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第5页（共9页） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cos BD BDC DBA =∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理，BC =，又2PB PD ==，有,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC MD PC MB ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，所以平面PBC ⊥ 平面BDM .（6分）（2）以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，P，(0,0,0),(1,0,0),A B C D，有(1,0,PB =u u u rPC PD ==u u u r u u u r ，令平面PBD 的法向量为n r ，由00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，可得一个n =r ，由（1）可知平面BDM的一个法向量为PC =u u u r ，所以经计算M BD P--的余弦值为12. （12分） 20. (本小题满分12分)6 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第6页（共9页）【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（1）由题意知，213,,2,22c b a b a a ====，所以22143x y +=. （4分）（2）设(0,),:M t l y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件可得，||||cos 3,3OA OB AOB OA OB ∠=-⋅=-u u u r u u u r ，联立直线l 和椭圆C ，有22143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x ktx t +++-=，由1212()()3x x kx t kx t +++=-，由韦达定理可得t =. （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e b '=+，当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0b <时，()ln(),0x b f x '≥->，()f x 在(ln(),)b -+∞上单调递增；7 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第7页（共9页）()ln(),0x b f x '<-<，()f x 在(,ln())b -∞-上单调递减.（4分）（2）令()()11ln ,x x g x e bx x g x e b x '=+--=+-，易知()g x '单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为00,()0x g x '=，即0000110,x x e b b e x x +-==-，故若有()g x 有两个零点，需满足()00g x <，即00000000000011ln ()1ln ln 0x x x x x e bx x e e x x e e x x x +--=+---=--< 令1()ln ,()0x x x h x e e x x h x e x x'=--=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0h =，所以0000ln 0x x e e x x --<的解集为(1,)+∞，由001x b e x =-，所以1b e <- 当1b e <-时，1ln ln x e bx x x bx x +-->+-，有()ln (1)b b b b b g e e be e b e b >+-=+-，令()(1)(1)(1)1x x g x x e x x e =+-=+-+，由于1x e <-，所以120,1x x e e +<-<<，故()(1)0x g x x e x =+->，所以()0b g e >，故0()()0b g e g x <，()g x 在0(0,)x 上有唯一零点，另一方面，在0(,)x +∞上，当x →+∞时，由x e 增长速度大，所以有()0g x >，综上，1b e <-. （12分）8 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第8页（共9页）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=，x cos ()y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩是参数. （5分）（2）当1a =时，直线l0y --=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为|cos sin 1||)1|2224d θθπθθθ-==--=+- 当cos()14πθ+=-时，d取最大值为2.（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.9 / 9数学（理科）试题参考答案及评分标准第9页（共9页）【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞U . （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知：0k =，即5k m +<-. （10分）。

长春市普通高中2019届高三质量监测二理科试题及详细解析

长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学试题卷及答案详析（理科）考生须知：1.本试卷分试题卷与答题卡，满分150分，考试时间为120分钟。

2.答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题12上小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的1、已知复数z=,则在复平面内，z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、集合A=, B={-1,0,1,2,3},则A B=A. {-1,0,1,2}B. {-1,0,1,}C. {0,1,2}D.{1,2,3}3、命题A=的否定是A. B.C. D.4、下列是函数中，在（0，）内单调递减的是A. B. C. D.5、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.32 B、 C. D.86、等差数列{}中，是它的前n项和，，则该数列的公差为A.2B.3C.4D.6长春市普通高中2019届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C8. D9. D 10. C 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A {|2},{1,0,1A x x A B=≤=-.故选A. 3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知. 故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C 7. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.8. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】D由题意可知21tan(45)2,tan ,cos 22cos 13αααα+︒===- 2241tan 15α-=+.故选D. 9. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】C 画出切线l 扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选C. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知2||,||,||,2b F A b AB OA a ===所以222b a =，从而e =故选B.12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 414.64315.16. ；三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法.【试题解析】解：（1）由题意可知2(12)(1)(36)d d d -+=-+-+，可得2,23n d a n ==-.（6分）（2）由（1），212342122n n n T a a a a a a n -=-+-++-+=.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68.（4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，即按照分层抽样7人所抽取的收入在[3000,4000)的人数为2. X 的取值为0,1,2，因此252710(0)21C P X C ===，11522710(1)21C C P X C ===， 22271(2)21C P X C ===，X的分布列为：（9分）② A 企业的员工平均收入为： 1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260=B 企业的员工平均收入为： 1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的. 参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少. （如有其它情况，只要理由充分，也可给分）（12分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cos cos BD BDC DBA =∠=∠，在BCD ∆中，由余弦定理，BC =，又2PB PD ==，有,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC MD PC MB ⊥⊥，PC ⊥平面MDB ，所以平面PBC ⊥ 平面BDM .（6分）（2）以A 为原点，,,AB AD AP 为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，P，(0,0,0),(1,0,0),A B C D，有(1,0,PB =(2,2,2),(0,2,PC PD =-=，令平面PBD 的法向量为n ，由00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(2,1,1)n =，由（1）可知平面BDM 的一个法向量为PC =，所以经计算M BD P --的余弦值为12. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识.【试题解析】解：（1）由题意知，213,,2,22c b a b a a ====所以22143x y +=. （4分）（2）设(0,),:M t l y kx t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由条件可得，||||cos 3,3OA OB AOB OA OB ∠=-⋅=-，联立直线l 和椭圆C ，有22143y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，有222(34)84120k x ktx t +++-=，由1212()()3x x kx t kx t +++=-，由韦达定理可得7t =. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得()x f x e b '=+，当0b ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0b <时，()ln(),0x b f x '≥->，()f x 在(ln(),)b -+∞上单调递增；()ln(),0x b f x '<-<，()f x 在(,ln())b -∞-上单调递减.（4分）（2）令()()11ln ,x x g x e bx x g x e b x '=+--=+-，易知()g x '单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为00,()0x g x '=，即0000110,x x e b b e x x +-==-，故若有()g x 有两个零点，需满足()00g x <，即00000000000011ln ()1ln ln 0x x x x x e bx x e e x x e e x x x +--=+---=--< 令1()ln ,()0x x x h x e e x x h x e x x'=--=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，由(1)0h =，所以0000ln 0x x e e x x --<的解集为(1,)+∞，由001x b e x =-，所以1b e <-当1b e <-时，1ln ln x e bx x x bx x +-->+-，有()ln (1)b b b b b g e e be e b e b >+-=+-，令()(1)(1)(1)1x x g x x e x x e =+-=+-+，由于1x e <-，所以120,1x x e e +<-<<，故()(1)0x g x x e x =+->，所以()0b g e >，故0()()0bge gx <，()g x 在0(0,)x 上有唯一零点，另一方面，在0(,)x +∞上，当x →+∞时，由x e 增长速度大，所以有()0g x >，综上，1b e <-. （12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分）（2）当1a =时，直线l0y -=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为cos sin 1|)1|4d πθθθ==--=+-当cos()14πθ+=-时，d取最大值为2.（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知：0k =，即5k m +<-. （10分）。

吉林省长春市普通高中近年届高三数学质量检测试题(三)理(含解析)(最新整理)

吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测（三）数学(理）试题一、选择题（本大题共12小题,共60。

0分) 1。

的值为（ )A 。

B 。

C.D 。

【答案】B 【解析】由诱导公式可得，故选B.2。

已知集合A=｛—1，0,1，2｝，B={x|（x+1）（x —2）＜0}，则A∩B=（） A 。

B.C 。

0，D 。

1，【答案】A 【解析】分析】化简集合B ，进而求交集即可。

【详解】由B 中不等式解得：-1＜x ＜2，即B=｛x|-1＜x ＜2}， ∵A={—1,0，1，2｝， ∴A∩B={0，1}，故选：A ．【点睛】本题考查交集的概念与运算，考查一元二次不等式的解法,属于基础题.3。

若实部与虚部相等，则实数a 的值为（）A 。

0B. 1C. 2D 。

3【答案】A 【解析】【分析】先化简已知得，所以,解之即得a 的值. 【详解】由题得，【的所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算和实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力。

4。

执行如图所示的程序框图，如果输入,则输出p为（）A。

6 B。

24 C。

120 D. 720【答案】B【解析】【分析】根据程序框图运行程序，按判断框循环运行,不符合时输出即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，一次运行：,此时，循环得二次运行：，此时，循环得三次运行:，此时,循环得四次运行：，此时，输出本题正确选项：【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于基础题.5。

已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S6=（）A。

0 B。

10 C。

15 D. 30【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．【详解】数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d,a4=2=a1+3d，所以a1=5，d=-1，则S6=6a1+=15．故选:C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式，属于基础题．6。